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    基于MATLAB做巴特沃斯低通滤波器.

    基于MATLAB设计巴特沃斯低通滤波器

    课程设计

    专 业: XXXXXX

    姓 名: XXX

    学 号: XX

    指导老师: XXX

    2011年 11 月 26日

    通信系统仿真课程设计任务书

    院(系):电气信息工程学院

    姓名XXX学号XX专业XXXXXX课程设计题目基于MATLAB设计巴特沃斯低通滤波器指导教师XX主要内容:

    本文重点研究怎样通过MATLAB来模拟出巴特沃斯低通滤波器。讨论巴特沃斯低通滤波器在实际中的一些应用,提出了巴特沃斯低通滤波器的优点。

    基本要求:

    试设计一个模拟低通滤波器,f_p=2400Hz,f_s=5000Hz,R_p=3 dB,R_s=25dB。分别用巴特沃斯和椭圆滤波器原型,求出其3dB截止频率和滤波器阶数,传递函数,并作出幅频、相频特性曲线。

    指导教师(签字):

    年 月 日[摘要] 滤波器设计是数字信号处理的重要内容。在MATLAB软件中有丰富的滤波器设计的相关命令,掌握相关的方法后可以提高我们的工作效率。首先对巴特沃斯低通滤波器的特性进行研究,然后用MATLAB信号处理工具箱提供的函数设计出巴特沃斯低通滤波器模型,并对具体实例进行分析,使得巴特沃斯滤波器的设计更加快捷、直观、简单。

    [关键词]巴特沃斯低通滤波器; MATLAB仿真;

    目 录

    1 绪论1

    1.1 引言1

    1.2 数字滤波器的设计原理1

    1.3 数字滤波器的应用2

    1.4 MATLAB的介绍3

    1.5 本文的工作及安排3

    2 滤波器分类及比较4

    2.1 滤波器的设计原理4

    2.2 滤波器分类4

    6

    3 巴特沃斯低通滤波器7

    3.1 巴特沃斯低通滤波器简介7

    3.2 巴特沃斯低通滤波器的设计原理7

    4 MATLAB仿真及分析11

    4.1 MATLAB工具箱函数11

    4.2 巴特沃斯低通滤波器的MATLAB仿真11

    另附程序调试运行截图:13

    5.1 总结13

    5.2 展望13

    1 绪论

    1.1 引言

    凡是有能力进行信号处理的装置都可以称为滤波器。

    滤波器在如今的电信设备和各类控制系统里面应用范围最广、技术最为复杂,滤波器的好坏直接决定着产品的优劣。自60A/DC和D/AC,在信号形式上进行匹配转换,同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。[2]

    大多数的数字滤波器都归类于选频滤波器,其频率响应函数如下:

    (1.1)称为幅频特性函数;称为相频特性函数。幅频特性反应的是信号从此滤波器通过后各个频率成分的振幅衰减情况,相频特性表示的是经过滤波器之后各个频率成分在时间上的延时情况。因此,即使两个滤波器幅频特性相同,而相频特性不同,对相同的输入,滤波器输出的信号波形也是不一样的。通常情况下幅频特性决定了选频滤波器的技术要求,因为巴特沃斯低通滤波器具有固定的相频特性,所以设计时对相频特性基本没有要求。

    图1.1低通滤波器的技术要求

    图1.1是低通滤波器的幅频特性,和表示通带边界频率和阻带截止频率。通带频率范围为0,在通带(0,)中要求,阻带频率范围为

    ,在阻带(,)中要求。从到为过渡带,过渡带上的频响一般是单调下降的。一般情况下用分贝数表示通带及阻带内允许的衰减,通带范围内允许的最大衰减为,阻带范围内允许的最小衰减为。和在低通滤波器里分别用下式定义:

    (1.2)

    (1.3)

    从上式可以看出愈小,通带波纹与通带逼近误差愈小;愈大,阻带波纹越小与阻带逼近误差愈小;和之间的距离愈小,过渡带也随之变得更加狭窄。所以通带边界频率、阻带边界频率、通带最大衰减、阻带最小衰减决定了低通滤波器的设计指标。

    1.3 数字滤波器的应用

    数字乘法器、加法器及延时单元三者共同构成了数字滤波器。其功能是对输入离散信号的数字代码进行运算处理,以达到改变信号频

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    对于不同滤波器而言,每个频率的信号的强弱程度不同。当使用在音频应用时,它有时被称为高频剪切滤波器,或高音消除滤波器。低通滤波器概念有许多不同的形式,其中包括电子线路(如音频设备中使用的hiss 滤波器)、平滑数据的数字算法、音障(acousTIc barriers)、图像模糊处理等等,这两个工具都通过剔除短期波动、保留长期发展趋势提供了信号的平滑形式。

    低通滤波器在信号处理中的作用等同于其它领域如金融领域中移动平均数(moving average)所起的作用;低通滤波器有很多种,其中,最通用的就是巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器。

    数字滤波器的设计步骤

    数字滤波器的设计步骤:根据数字滤波器的技术指标先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha(s),然后将Ha(s)按某种方法(本实验采用双线性变换法)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。具体为:

    (1)确定巴特沃斯数字低通滤波器的技术指标:通带边界频率ωp,阻带截止频率ωs,通带最大衰减аp,阻带最小衰减аs。

    (2)将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标。这里指ωp和ωs的变换而аp和аs保持不变。本题采用双线性变换法,其转换公式为:

    (3)根据技术指标Ωp、Ωs、ωp和ωs用下面公式求出滤波器的阶数。

    (4)根据N由下表求出归一化极点kp和归一化低通原型系统函数Ga(p)。

    (5)将Ga(p)去归一化,将代入Ga(p),得到实际的滤波器系统函数:

    这里Ωc为3dB截止频率。

    (6)用双线性变换法将模拟滤波器Ha(s)转换成数字低通滤波器系统函数H(z)。转换公式为

    用matlab实现巴特沃斯低通数字滤波器

    Matlab程序如下:

    fs=500;

    t=0:1/fs:1;

    x=sin(2*pi*20*t)+2*sin(2*pi*100*t)+5*sin(2*pi*200*t);

    wp=2*30/fs; ws=2*60/fs;

    Rp=1; As=30;

    subplot(311);

    plot(t,x);

    TItle(‘输入信号’);

    [N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As);

    [B,A]=butter(N,wc);

    [H,W]=freqz(B,A);

    y=filter(B,A,x);

    subplot(312);

    plot(W,abs(H));

    TItle(‘低通滤波器’);

    subplot(313);

    plot(t,y)

    TItle(‘30Hz’);

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    第 27 卷  第 3 期 2003 年 3 月 信  息  技  术 INFORMATION TECHNOLOGY          VOL. 27  NO. 3 Mar. 2003 基于 MATLAB 设计巴特沃斯低通滤波器 李 钟 慎 (华侨大学机电及自动化学院 , 泉州 362011) 摘  要 : 首先分析了巴特沃斯低通滤波器的特性 , 然后用 MATLAB 的信号处理工具箱提供的函数设计了巴特沃斯低通滤波器 , 使得巴特沃斯滤波器的设计变得更加简单、快捷、直观。 关键词 : 巴特沃斯低通滤波器 ; MATLAB ; 特性 ; 设计 中图分类号 :TP311   文献标识码 :B   文章编号 :1009 - 2552(2003)03 - 0044 - 02 The Design of Butterworth Lowpass Filter Based on MATLAB Li Zhongshen (College of Mechanical Engineering and Automation ,Huaqiao University , Quanzhou 362011 , China) Abstract : In this paper , the characteristics of Butterworth low - pass filter are first analysed , and then how to use the functions , which are provided by signal processing toolbox of MATLAB , to design Butterworth low - pass filter is proposed. The method makes the design of Butterworth filter simplier , quicklier and more intuitively. Key words: Butterworth low - pass filter ; MATLAB ; Characteristic ; Design   巴特沃斯 (Butterworth) 滤波器是一种具有最大平坦幅度响应的低通滤波器 ,它在通信领域里已有广泛应用 ,在电测中也具有广泛的用途 ,可以作检测信号的滤波器 ,文献[1] 成功地将巴特沃斯低通滤波 器应用于电动机测试中。 MATLAB 语言是一种面向科学与工程计算的语言 ,它编程效率高 ,测试程序手段丰富 ,扩展能力强 , 内涵丰富。它的信号处理工具箱 (Signal Processing Toolbox)提供了设计巴特沃斯滤波器的函数 ,本文充分利用这些函数 ,进行了巴特沃斯滤波器的程序设计 ,并将其作为函数文件保存 ,可方便地进行调用。 1  巴特沃斯低通滤波器的特性巴特沃斯低通滤波器的平方幅度响应为 | H( jω ) | 2 = 1 1 + ω ω c 2 n (1) 其中 , n为滤波器的阶数 ,ω c 为低通滤波器的截 止频率。该滤波器具有一些特殊的性质: ①对所有的 n ,都有当ω = 0时 ,| H(j0) | 2 = 1; ②对所有的 n ,都有当ω = ω c 时 , | H( jω c) | 2 = 1Π2 ,即在ω c 处有 3 dB 的衰减 ; ③H( jω ) | 2 是ω的单调递减函数 ,即不会出现 幅度响应的起伏; ④当 n →+ ∞时 ,巴特沃斯滤波器趋向于理想的低通滤波器; ⑤在ω

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    一、简介

    我们知道,在一幅图像中,其低频成分对应者图像变化缓慢的部分,对应着图像大致的相貌和轮廓。而其高频成分则对应着图像变化剧烈的部分,对应着图像的细节(图像的噪声也属于高频成分)。

    低频滤波器,顾名思义,就是过滤掉或者大幅度衰减图像的高频成分,让图像的低频成分通过。低频滤波器可以平滑图像,虑去图像的噪声。而与此相反的高频滤波器,则是过滤低频成分,通过高频成分,可以达到锐化图像的目的。

    理想低通滤波器的滤波非常尖锐,而高斯低通滤波器的滤波则非常平滑。Butterworth低通滤波器则介于两者之间,当Butterworth低通滤波器的阶数较高时,接近于理想低通滤波器,阶数较低时,则接近于高斯低通滤波器。

    下面我们所说的都是对应于二维图像处理的情况。


    二、这三种滤波器的相关介绍

    在这三种低通滤波器的表达式中,我们都用D0来表示其截止频率。D(u, v)表示距离频率矩形中心的距离。


    我并没有说明振铃现象产生的原因,只是说明了什么情况下振铃现象较为明显。


    1. 理想低通滤波器(ILPF)

    理想低通滤波器在以原点为圆心、D0为半径的园内,通过所有的频率,而在圆外截断所有的频率。(圆心的频率最低,为变换的直流(dc)分量)。函数如下:



    可以看出,理想低通滤波器的过渡非常急剧,会产生振铃现象。


    2. Butterworth低通滤波器

    函数表达式如下(在有些书中,Butterworth的函数的平方才等于右边的表达式,在这里我们按照课本的写法,计算较为方便),其中n称为Butterworth低通滤波器的阶数:



    从滤波器的函数图中,我们可以看出其过渡没有理想低通滤波器那么剧烈,从图(c)中可以看出,阶数越高,滤波器的过度越剧烈,振铃现象将越明显。


    3. 高斯低通滤波器(GLPF)

    函数表达式如下:



    高斯滤波器的过度特性非常平坦,因此不会产生振铃现象。


    三、频域滤波步骤

    1. 基本步骤

    1. 给定一幅大小为m*n的图像f(x,y)。选择适当的填充参数P和Q,一般令P = 2m,Q = 2n。

    2. 对图像f(x, y)填充0,填充后得到图像大小为P*Q的图像fp(x, y)。

    3. 用(-1)^(x+y)乘以fp(x,y)将其移到变换中心(中心化)。

    4. 计算fp(x, y)的DFT,得到F(u,v)。 

    5. 生成一个实的,对称的滤波函数H(u, v),大小为P*Q,中心在(P/2, Q/2)处。然后相乘(矩阵点乘)得到G(u,v) = H(u,v)F(u,v)。

    6. 对G(u, v)反傅里叶变换,然后取实部,再乘以(-1)^(x+y)进行反中心变换最后得到gp(x,y)。

    7. 提取gp(x,y)左上角的m*n区域,对提取的部分进行标准化处理,得到最终的结果图像g(x,y)。


    2. 相关步骤说明

    1. 对图像进行0填充,得到大小为P*Q的图像,主要是为了避免在循环卷积中出现的缠绕错误。当两个矩阵大小相同时,P≥2m-1,Q≥2n-1时可以避免环绕错误。由于对于偶数尺寸的矩阵计算其傅里叶变换较快,因此P取2m,Q取2n。

    2. 图像乘以(-1)^(x+y),再对图像进行傅里叶变换可以得到将原点移到中心的傅里叶变换。这样,对于F(u,v)来说,中心的频率最低,四周的频率较高。每一点的值表示该频率对于的幅度。在matlab中,也可以不乘以(-1)^(x+y),直接对填充后的图像进行傅里叶变换,之后使用fftshift函数对其傅里叶变换进行中心化。得到的结果是一样的。

    3. 由于图像是一个实函数,所以其傅里叶变换是一个旋转对称的傅里叶变换。

    4. 关于对称中心。课本中指出,对于一个长度为M的一维序列,当M为偶数时,位置0和M/2呈现零的特性,当M为奇数时,只有位置0呈现零的特性。因此,在matlab中,由于矩阵下标是从1开始的,我们的P = 2m,Q = 2n。因此中心点的位置为(P/2+1, Q/2+1),即(m+1, n+1)。

    5. 标准化处理。对最终得到的图像每一点的值进行处理。使其范围变为[0, 255]的uint8。或者[0, 1.0]的double值。


    四、matlab代码实现Butterworth低通滤波器

    在使用matlab代码的实现过程中,对于这三种低通滤波器,只是在实验低通滤波器函数H(u,v)的代码中有部分不同,其他部分一致。因此,在下面中,只给出实现Butterworth低通滤波器的代码,不给出其他两种滤波器的代码。


    1.  Butterworth滤波器的代码如下:

    该函数为Bfilter,输入为需要进行Butterworth滤波的灰度图像,Butterworth滤波器的截止频率D0以及Butterworth滤波器的阶数n。输出为进行滤波之后的图像(图像的值已经归一化到[[0, 255])。

    function [image_out] = Bfilter(image_in, D0, N)
    % Butterworth滤波器,在频率域进行滤波
    % 输入为需要进行滤波的灰度图像,Butterworth滤波器的截止频率D0,阶数N
    % 输出为滤波之后的灰度图像
    
    [m, n] = size(image_in);
    P = 2 * m;
    Q = 2 * n;
    
    fp = zeros(P, Q);
    %对图像填充0,并且乘以(-1)^(x+y) 以移到变换中心
    for i = 1 : m
        for j = 1 : n
            fp(i, j) = double(image_in(i, j)) * (-1)^(i+j);
        end
    end
    % 对填充后的图像进行傅里叶变换
    F1 = fft2(fp);
    
    % 生成Butterworth滤波函数,中心在(m+1,n+1)
    Bw = zeros(P, Q);
    a = D0^(2 * N);
    for u = 1 : P
        for v = 1 : Q
            temp = (u-(m+1.0))^2 + (v-(n+1.0))^2;
            Bw(u, v) = 1 / (1 + (temp^N) / a);
        end
    end
    
    %进行滤波
    G = F1 .* Bw;
    
    % 反傅里叶变换
    gp = ifft2(G);
    
    % 处理得到的图像
    image_out = zeros(m, n, 'uint8');
    gp = real(gp);
    g = zeros(m, n);
    for i = 1 : m
        for j = 1 : n
            g(i, j) = gp(i, j) * (-1)^(i+j);
            
        end
    end
    mmax = max(g(:));
    mmin = min(g(:));
    range = mmax-mmin;
    for i = 1 : m
        for j = 1 : n
            image_out(i,j) = uint8(255 * (g(i, j)-mmin) / range);
        end
    end
    
    end

    2. 测试代码如下

    测试时Butterworth滤波器的阶数为2。截止频率分别为10,30,60,160,460。

    clear all;
    close all;
    clc;
    
    image1 = imread('3.bmp');
    
    image2 = Bfilter(image1, 10, 2);
    image3 = Bfilter(image1, 30, 2);
    image4 = Bfilter(image1, 60, 2);
    image5 = Bfilter(image1, 160, 2);
    image6 = Bfilter(image1, 460, 2);
    
    % 显示图像
    subplot(2,3,1), imshow(image1), title('原图像');
    subplot(2,3,2), imshow(image2), title('D0 = 10, n = 2');
    subplot(2,3,3), imshow(image3), title('D0 = 30, n = 2');
    subplot(2,3,4), imshow(image4), title('D0 = 60, n = 2');
    subplot(2,3,5), imshow(image5), title('D0 = 160, n = 2');
    subplot(2,3,6), imshow(image6), title('D0 = 460, n = 2');


    3. 运行结果如下,可以看出,与课本给出的结果一致。




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