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  • 2021-05-11 08:12:32

    tr命令可以对来自标准输入的字符进行替换、压缩和删除。下面由学习啦小编为大家整理了linux tr命令的相关知识,希望对大家有帮助!

    linux tr命令用途

    tr命令可以对来自标准输入的字符进行替换、压缩和删除。它可以将一组字符变成另一组字符,经常用来编写优美的单行命令,作用很强大。

    linux tr命令语法

    tr(选项)(参数)

    linux tr命令选项

    -c或——complerment:取代所有不属于第一字符集的字符;

    -d或——delete:删除所有属于第一字符集的字符;

    -s或--squeeze-repeats:把连续重复的字符以单独一个字符表示;

    -t或--truncate-set1:先删除第一字符集较第二字符集多出的字符。

    linux tr命令参数

    字符集1:指定要转换或删除的原字符集。当执行转换操作时,必须使用参数“字符集2”指定转换的目标字符集。但执行删除操作时,不需要参数“字符集2”;

    字符集2:指定要转换成的目标字符集。

    linux tr命令实例

    将输入字符由大写转换为小写:

    echo "HELLO WORLD" | tr 'A-Z' 'a-z'

    hello world

    'A-Z' 和 'a-z'都是集合,集合是可以自己制定的,例如:'ABD-}'、'bB.,'、'a-de-h'、'a-c0-9'都属于集合,集合里可以使用'\n'、'\t',可以可以使用其他ASCII字符。

    使用tr删除字符:

    echo "hello 123 world 456" | tr -d '0-9'

    hello world

    将制表符转换为空格:

    cat text | tr '\t' ' '

    字符集补集,从输入文本中将不在补集中的所有字符删除:

    echo aa.,a 1 b#$bb 2 c*/cc 3 ddd 4 | tr -d -c '0-9 \n'

    1 2 3 4

    此例中,补集中包含了数字0~9、空格和换行符\n,所以没有被删除,其他字符全部被删除了。

    用tr压缩字符,可以压缩输入中重复的字符:

    echo "thissss is a text linnnnnnne." | tr -s ' sn'

    this is a text line.

    巧妙使用tr做数字相加操作:

    echo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | xargs -n1 | echo $[ $(tr '\n' '+') 0 ]

    删除Windows文件“造成”的'^M'字符:

    cat file | tr -s "\r" "\n" > new_file

    cat file | tr -d "\r" > new_file

    tr可以使用的字符类:

    [:alnum:]:字母和数字

    [:alpha:]:字母

    [:cntrl:]:控制(非打印)字符

    [:digit:]:数字

    [:graph:]:图形字符

    [:lower:]:小写字母

    [:print:]:可打印字符

    [:punct:]:标点符号

    [:space:]:空白字符

    [:upper:]:大写字母

    [:xdigit:]:十六进制字符

    使用方式:

    tr '[:lower:]' '[:upper:]'

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  • TrID是一个应用程序,它可以根据文件的二进制特征识别文件类型。TrID使用一个定义数据库,其中描述了对所支持文件类型的匹配模式。现有的定义数据库一共有超过14552种文件类型,并且在快速增加。

    引言:

    本文章结合 Marco Pontello’s Home - Software - TrID (mark0.net) 官方首页及本地测试编写,如有不足还望不吝赐教。

    TrID(trid)下载:

    win32、64位也能运行:https://www.mark0.net/download/trid_w32.zip

    linux32:https://www.mark0.net/download/trid_linux.zip

    linux64:https://www.mark0.net/download/trid_linux_64.zip

    TrID定义规则库:https://www.mark0.net/download/triddefs.zip

    更新规则库脚本:https://www.mark0.net/download/tridupdate.zip

    TrID安装:

    根据系统下载TrID和TrID定义规则库,然后把它们解压在同一个文件夹里:

    TrId介绍

    原文节选:

    TrID is an utility designed to identify file types from their binary signatures. While there are similar utilities with hard coded logic, TrID has no fixed rules. Instead, it’s extensible and can be trained to recognize new formats in a fast and automatic way.

    TrID has many uses: identify what kind of file was sent to you via e-mail, aid in forensic analysis, support in file recovery, etc.

    TrID uses a database of definitions which describe recurring patterns for supported file types. As this is subject to very frequent update, it’s made available as a separate package. Just download both TrID and this archive and unpack in the same folder.

    The database of definitions is constantly expanding; the more that are available, the more accurate an analysis of an unknown file can be. You can help! Use the program to both recognize unknown file types and develop new definitions that can be added to the library. See the TrIDScan page for information about how you can help. Just run the TrIDScan module against a number of files of a given type. The program will do the rest.

    Because TrID uses an expandable database it will never be out of date. As new file types become available you can run the scan module against them and help keep the program up to date. Other people around the world will be doing the same thing making the database a dynamic and living thing. If you have special file formats that only you use, you can also add them to your local database, making their identification easier.

    To get you started, the current library of definitions is up to 14552 file types and growing fast.

    TrID is simple to use. Just run TrID and point it to the file to be analyzed. The file will be read and compared with the definitions in the database. Results are presented in order of highest probability.

    翻译:

    TrID是一个应用程序,它可以根据文件的二进制特征识别文件类型。相比一些相似的程序是固定的代码逻辑,TrID则没有固定的规则。所以它是可扩展的,并且可以在训练后快速、自动地识别新格式。

    TrID有很多用法:识别通过邮件发送给你的文件是什么类型,帮助进行取证分析,支持文件恢复。

    TrID使用一个定义数据库,其中描述了对所支持文件类型的匹配模式。因为它会频繁的更新,所以它作为一个单独的包(triddefs.trd)提供。请下载TrID和这个单独的包,然后把它们解压在同一个文件夹里。

    这个定义数据库会持续拓展;定义数据库越丰富,对未知文件的分析就会越准确。你可以帮助我们!可以用这个程序识别未知的文件类型然后添加新的定义在数据库中。至于怎么帮助拓展数据库,参见TrLDScan页面。针对给定类型的一些文件运行TrIDScan模块。程序便会测试。

    因为它使用的是一个可拓展的数据库,所以它永远不会过时。当新的文件类型可用时,你就可以针对这些文件运行scan模块从而帮助保持程序更新。世界上其他的人也将会做相同的事情,这样数据库就是动态的。如果你有仅仅你在使用的文件类型时,你可以将它们加入到你自己的数据库,让他们的类型识别更容易。

    目前,现有的定义数据库一共有超过14552种文件类型,并且在快速增加。

    TrID使用

    以下示例命令执行环境为windows10 CMD。

    官方help:

    Usage: TrID <[path]filespec(s)...> [-ae|-ce] [-d:file] [-ns] [-n:nn]
                                       [-@] [-v] [-w] [-?]
    
    Where: <filespec> Files to identify/analyze
           -ae        Add guessed extension to filename
           -ce        Change filename extension
           -d:file    Use the specified defs package
           -ns        Disable unique strings check
           -n:nn      Number of matches to show (default: 5)
           -@         Read file list from stdin
           -v         Verbose mode - display def name, author, etc.
           -w         Wait for a key before exiting
           -?         This help!
    

    TrID的使用非常简单,只需要运行并且指定要分析的文件。文件会被读取然后和数据库中的定义进行对比,结果按照更高的可能性来排序。

     .\trid.exe targetfile
    

    通配符可以用来扫描一组文件、整个文件夹。

    使用参数 -ae 将会让TrID给文件名增加猜测的扩展名,这在处理由恢复软件所恢复的大量数据文件时非常方便。

    另一个参数 -ce 可以改变扩展名;如果文件没有扩展名,将会被添加一个。比如:

    • 左边的图片其实是png,右边的其实是个exe程序,这里为了演示参数功能

    TrID使用 -@参数可以从标准流中获取文件。所以,只需通过管道获得其他命令的输出,然后就可以处理整个tree的文件或特定的文件集。

    • dir命令的参数:/s指列出指定目录及其子目录的所有文件;-b使用空格式(没有标题信息或摘要),也就是只要文件绝对路径。

    还可以告诉TrID去展示关于每个匹配的更多信息(比如mime类型,谁创建了这个定义,以及扫描了多少文件),并且还可以限制展示结果的数量。参数 -v即可打开这个开关。

    而参数 -r:n可以指定TrID要在屏幕展示的最大匹配数量。

    当程序启动时,TrLD会检查TrIDDefs。TRD规则库要在当前文件夹(和TrID.exe在同一文件夹)。也可以指定defs文件所在的地方,使用参数 -d:filespec

    可以强制让TrID在展示程序运行结果后,必须按下某个按键才能退出:

    更新

    为了提高更新最新定义库的速度,可以使用TrIDUpdate Python 脚本更新。它会首先比对现有TRD文件和网上可更新文件的MD5值,如果一样的话会很快。

    展开全文
  • tr069 协议 java 开发

    热门讨论 2012-05-23 11:43:50
    tr069 协议 java 开发 包括acs与ape的基础知识的研究 1.基于TR069协议的运营商终端管理.pdf 2.TR069协议实现研究.pdf 3.TR-069Amendment2.pdf 4.ACSDemo+for+TR069.rar
  • Android 上面实现Client 端 TR069协议

    热门讨论 2012-12-21 14:09:19
    Android 平台上面没有很好对TR069封装的包。花了些时间实现Android平台上面对TR069协议的实现。关于soap包的封装。还有一些TR的资料。希望对你有所帮助。
  • TR组件基础内容

    千次阅读 2020-10-16 22:01:07
    ISO_SW, output TR_1st_TR_SW1, output TR_2nd_ISO_SW, output TR_2nd_TR_SW1, output TR_3rd_ISO_SW, output TR_3rd_TR_SW1, output TR_4th_ISO_SW, output TR_4th_TR_SW1, output IFSW_P, output IFSW_N );...

    1,定义

    T/R组件一端接天线,一端接中频处理单元就构成一个无线收发系统。其功能就是对信号进行放大、移相、衰减。

    T/R组件一般包括收发两个支路,单元电路应包括:本振、上下变频、滤波器、低噪声放大器、功率放大器、双工电路等。

    射频放大器技术指标

    功率放大器主要指标

    衰减器

    2,要控制的参数:

    WYD060074-6移相器控制

    HGC238数控衰减器控制

    HMC472ALP4E数控衰减器控制

    HGC241-8PD数控衰减器控制

    AD9117BCPZ DAC控制

    3,顶层verilog

    module TRM_TOP(
    input                   sys_clk                 ,//in 120M
    //input                 sys_rst_n              	,
    input                   FPGA_RS422_RX2          ,
    output                  FPGA_RS422_TX2          ,//,
    output       reg        LED1          				,
    //-------------------------------------------------------------
    output	TR_1st_ISO_SW,
    output	TR_1st_TR_SW1,
    
    output	TR_2nd_ISO_SW,
    output	TR_2nd_TR_SW1,
    
    output	TR_3rd_ISO_SW,
    output	TR_3rd_TR_SW1,
    
    output	TR_4th_ISO_SW,
    output	TR_4th_TR_SW1,
    output	IFSW_P,
    output	IFSW_N
        );  
    wire				rst_n							;
    wire				sys_clk						;
    wire				sys_rst_n					;
    wire				clk							; 
    //wire				clk_100M						;                                              
    wire				order_cmd_valid_delay	;
    wire				data_cmd_valid				;
    wire[8:0]   	order_cmd					;
    wire[8:0]   	data_cmd						;
    
    /*gen_rst	gen_rst_inst(
    .clk		(	sys_clk	),
    .rst_out	(	sys_rst_n)
    );*/
    
     clk_wiz_0 clk_wiz_0_inst
    (// Clock in ports
     .CLK_IN1(sys_clk),      // IN 120
     // Clock out ports
     .CLK_OUT1(clk),     // OUT 25
     //.CLK_OUT2(clk_100M),     // OUT 100
     // Status and control signals
     //.RESET(!sys_rst_n),// IN
     .RESET(1'b0),// IN
     .LOCKED(rst_n));      // OUT
     
    
    Data_Uart_Analyse	Data_Uart_Analyse_inst(
    .clk					(	clk		),//in 25M
    .rst_n				(	rst_n		),//in
    .FPGA_RS422_RX2	(	FPGA_RS422_RX2		),
    .FPGA_RS422_TX2	(	FPGA_RS422_TX2		),
    .order_cmd_valid_delay	(	order_cmd_valid_delay		),//out
    .data_cmd_valid			(	data_cmd_valid),//out
    .order_cmd					(	order_cmd	),//out
    .data_cmd					(	data_cmd	)//out
    );
    
    //reg[8:0]   order_cmd;//判断指令
    //reg[8:0]   data_cmd;//判断指令后面的数据
    reg        order_cmd_valid;//判断指令有效
    //reg        data_cmd_valid;//判断指令后面的数据有效
    //reg        order_cmd_valid_delay;//判断指令有效
    
    reg[7:0]   correction_table;//校正表(0x12)
    reg[7:0]   Amplitude_Phase_ctrl_table;//读TRM幅相控制表(0x13)
    reg[7:0]   correction_channel_select;//校正模式下使用,接收通道/发射通道
    reg[7:0]   STC_waveform_select;//STC波形选择(指令0x26)
    reg[7:0]   MTC_ctl;//MTC-HMC472ALP4E数控衰减器控制
    reg[7:0]   TR_parameter_inquiry;//TR工作参数查询
    
    reg[7:0]   TR_1st_SW_ctrl;//收发通道控制(四个同时工作)16种情况,,低四位有效。
    reg[7:0]   TR_2nd_SW_ctrl;//收发通道控制(四个同时工作)16种情况,,低四位有效。
    wire	TR_1st_ISO_SW;
    wire	TR_1st_TR_SW1;
    
    wire	TR_2nd_ISO_SW;
    wire	TR_2nd_TR_SW1;
    
    
    wire	TR_3rd_ISO_SW;
    wire	TR_3rd_TR_SW1;
    
    
    wire	TR_4th_ISO_SW;
    wire	TR_4th_TR_SW1;
    
    
    assign	IFSW_P=TR_1st_SW_ctrl[3];
    assign	IFSW_N=TR_1st_SW_ctrl[2];
    
    
    assign	TR_1st_TR_SW=TR_1st_SW_ctrl[1];
    assign	TR_1st_TR_SW1=TR_1st_SW_ctrl[0];
    
    assign	TR_2nd_ISO_SW=TR_2nd_SW_ctrl[1];
    assign	TR_2nd_TR_SW1=TR_2nd_SW_ctrl[0];
    
    assign	TR_3rd_ISO_SW=TR_3rd_SW_ctrl[1];
    assign	TR_3rd_TR_SW1=TR_3rd_SW_ctrl[0];
    
    assign	TR_4th_ISO_SW=TR_4th_SW_ctrl[1];
    assign	TR_4th_TR_SW1=TR_4th_SW_ctrl[0];
    
    
    
    reg[7:0]   PhaseShifter_1st_ctrl;//WYD060074-6移相器控制,低六位有效。
    reg[7:0]   PhaseShifter_2nd_ctrl;//WYD060074-6移相器控制,低六位有效。
    
    reg[7:0]   RecDSA_1st_ctrl;//HGC241-8PD数控衰减器控制,低六位有效。
    reg[7:0]   RecDSA_2nd_ctrl;//HGC241-8PD数控衰减器控制,低六位有效。
    
    reg[7:0]   ComDSA_1st_ctrl;//HGC238数控衰减器控制,暂时全部为基态,低四位有效。
    reg[7:0]   ComDSA_2nd_ctrl;//HGC238数控衰减器控制,暂时全部为基态,低四位有效。
    
    reg[7:0]   IF_DSA_ctrl;//HMC472ALP4E数控衰减器控制,中频衰减值
    
    always @(posedge clk  or  negedge rst_n)
    begin
    	if(!rst_n)
    		begin
    			TR_mode<=8'h00;
    			TR_1st_SW_ctrl<=8'h00;
    			TR_2nd_SW_ctrl<=8'h00;
    			TR_3rd_SW_ctrl<=8'h00;
    			TR_4th_SW_ctrl<=8'h00;
    			LED1<= 1;
    		end
    	else
    		begin
    			if(order_cmd_valid_delay==1&&data_cmd_valid==1)//接收到指令
    				begin
    					//LED1<= ~LED1;
    					case(order_cmd)//解析指令
    						8'h1:begin TR_mode<=data_cmd;end
    						8'h21:begin 
    									if(data_cmd==0)
    										begin
    											TR_1st_SW_ctrl<=8'h0A;
    											TR_2nd_SW_ctrl<=8'h0A;
    										end
    									else if(data_cmd==1)
    										begin
    											TR_1st_SW_ctrl<=8'h05;
    											TR_2nd_SW_ctrl<=8'h05;
    										end
    									else	LED1<= ~LED1;
    								end
    						default:begin TR_mode<=8'hff;LED1<= ~LED1;end
    					endcase
    				end
    			else//无参数状态
    				begin
    					LED1<= LED1;
    				end
    		end
    end
    
    endmodule

     

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  • tr AB = tr BA的证明

    千次阅读 2019-05-08 20:27:06
    tr AB= tr BA t r A B = t r B A ,于是自己推导了一遍。记录下来,强化记忆。 开始证明 首先给定两个 n n n 阶方阵 A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) B = ...

    突然忘记怎么证明 t r A B = t r B A tr AB= tr BA trAB=trBA,于是自己推导了一遍。记录下来,强化记忆。

    开始证明

    首先给定两个 n n n 阶方阵
    A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) B = ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n ) A=\begin{pmatrix} {a_{11}}&amp;{a_{12}}&amp;{\cdots}&amp;{a_{1n}}\\ {a_{21}}&amp;{a_{22}}&amp;{\cdots}&amp;{a_{2n}}\\ {\vdots}&amp;{\vdots}&amp;{\ddots}&amp;{\vdots}\\ {a_{n1}}&amp;{a_{n2}}&amp;{\cdots}&amp;{a_{nn}}\\ \end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix} {b_{11}}&amp;{b_{12}}&amp;{\cdots}&amp;{b_{1n}}\\ {b_{21}}&amp;{b_{22}}&amp;{\cdots}&amp;{b_{2n}}\\ {\vdots}&amp;{\vdots}&amp;{\ddots}&amp;{\vdots}\\ {b_{n1}}&amp;{b_{n2}}&amp;{\cdots}&amp;{b_{nn}}\\ \end{pmatrix} A=a11a21an1a12a22an2a1na2nannB=b11b21bn1b12b22bn2b1nb2nbnn算算 t r A B tr AB trAB
    A B = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) ⋅ ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n ) AB=\begin{pmatrix} {a_{11}}&amp;{a_{12}}&amp;{\cdots}&amp;{a_{1n}}\\ {a_{21}}&amp;{a_{22}}&amp;{\cdots}&amp;{a_{2n}}\\ {\vdots}&amp;{\vdots}&amp;{\ddots}&amp;{\vdots}\\ {a_{n1}}&amp;{a_{n2}}&amp;{\cdots}&amp;{a_{nn}}\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} {b_{11}}&amp;{b_{12}}&amp;{\cdots}&amp;{b_{1n}}\\ {b_{21}}&amp;{b_{22}}&amp;{\cdots}&amp;{b_{2n}}\\ {\vdots}&amp;{\vdots}&amp;{\ddots}&amp;{\vdots}\\ {b_{n1}}&amp;{b_{n2}}&amp;{\cdots}&amp;{b_{nn}}\\ \end{pmatrix} AB=a11a21an1a12a22an2a1na2nannb11b21bn1b12b22bn2b1nb2nbnn t r A B = ∑ j = 1 n a 1 j b j 1 + ∑ j = 1 n a 2 j b j 2 + ⋯ ∑ j = 1 n a n j b j n = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j b j i tr AB=\sum_{j=1}^{n}a_{1j}b_{j1}+\sum_{j=1}^{n}a_{2j}b_{j2}+\cdots\sum_{j=1}^{n}a_{nj}b_{jn}\\ =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji} trAB=j=1na1jbj1+j=1na2jbj2+j=1nanjbjn=i=1nj=1naijbji再算算 t r B A tr BA trBA
    B A = ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n ) ⋅ ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) BA=\begin{pmatrix} {b_{11}}&amp;{b_{12}}&amp;{\cdots}&amp;{b_{1n}}\\ {b_{21}}&amp;{b_{22}}&amp;{\cdots}&amp;{b_{2n}}\\ {\vdots}&amp;{\vdots}&amp;{\ddots}&amp;{\vdots}\\ {b_{n1}}&amp;{b_{n2}}&amp;{\cdots}&amp;{b_{nn}}\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} {a_{11}}&amp;{a_{12}}&amp;{\cdots}&amp;{a_{1n}}\\ {a_{21}}&amp;{a_{22}}&amp;{\cdots}&amp;{a_{2n}}\\ {\vdots}&amp;{\vdots}&amp;{\ddots}&amp;{\vdots}\\ {a_{n1}}&amp;{a_{n2}}&amp;{\cdots}&amp;{a_{nn}}\\ \end{pmatrix} BA=b11b21bn1b12b22bn2b1nb2nbnna11a21an1a12a22an2a1na2nann t r B A = ∑ j = 1 n b 1 j a j 1 + ∑ j = 1 n b 2 j a j 2 + ⋯ ∑ j = 1 n b n j a j n = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n b i j a j i tr BA=\sum_{j=1}^{n}b_{1j}a_{j1}+\sum_{j=1}^{n}b_{2j}a_{j2}+\cdots\sum_{j=1}^{n}b_{nj}a_{jn}\\ =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}b_{ij}a_{ji} trBA=j=1nb1jaj1+j=1nb2jaj2+j=1nbnjajn=i=1nj=1nbijaji

    问题关键

    原命题也就是要证明
    ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j b j i = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n b i j a j i \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}b_{ij}a_{ji} i=1nj=1naijbji=i=1nj=1nbijaji t r A B tr AB trAB也可以这样来看: ∑ a x y b y x x , y ∈ 1 , 2 , ⋯ n \sum a_{xy}b_{yx}\quad x,y \in 1,2,\cdots n\quad axybyxx,y1,2,n其中 x y xy xy n 2 n^{2} n2 种组合
    同理 &ThinSpace; t r B A = ∑ b x y a y x x , y ∈ 1 , 2 , ⋯ n \,tr BA=\sum b_{xy}a_{yx}\quad x,y \in 1,2,\cdots n trBA=bxyayxx,y1,2,n
    可见 x y xy xy 11 11 11 取到 n n nn nn,显然两者是等价的

    另一个角度理解

    因为下标 i , j i,j i,j 互不影响,是可以互换顺序的
    t r B A = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n b i j a j i = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 n b i j a j i tr BA=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}b_{ij}a_{ji}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}b_{ij}a_{ji} trBA=i=1nj=1nbijaji=j=1ni=1nbijaji再用 j ′ , i ′ j&#x27;,i&#x27; j,i 替换 i , j i,j i,j 得到 t r B A = ∑ i ′ = 1 n ∑ j ′ = 1 n b j ′ i ′ a i ′ j ′ = ∑ i ′ = 1 n ∑ j ′ = 1 n a i ′ j ′ b j ′ i ′ tr BA=\sum_{i&#x27;=1}^{n}\sum_{j&#x27;=1}^{n}b_{j&#x27;i&#x27;}a_{i&#x27;j&#x27;}=\sum_{i&#x27;=1}^{n}\sum_{j&#x27;=1}^{n}a_{i&#x27;j&#x27;}b_{j&#x27;i&#x27;} trBA=i=1nj=1nbjiaij=i=1nj=1naijbji这时就可以看出来 t r A B = t r B A tr AB= tr BA trAB=trBA

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