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    2020-03-29 17:10:39

    写在开头

    本着熟悉知识+经验分享的精神而作,如果有任何疑问可以联系博主,相互学习。
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    关系R的解释

    假设有集合A,这里的关系R指的是从A到A上的二元关系,即R为A与自身的笛卡尔积:A×A的子集。

    笛卡尔积

    假如有集合: A = { 1 , 2 , 3 , 4 } A=\lbrace1,2,3,4\rbrace A={1,2,3,4}
    则有 A × A = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 , 4 ) } A×A=\lbrace(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ \qquad \qquad \qquad(2,1),(2,2),(2,3),(2,4) ,\\ \qquad\qquad \qquad(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ \qquad \qquad \qquad(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\rbrace A×A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}
    表示为关系矩阵:
    A × A = { 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 } A×A=\begin{Bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{Bmatrix} A×A=1111111111111111

    n元素集合上有多少个子集?—— 2 n 2^n 2n

    方法一(归纳推理):

    假设集合: A n = { a 1 , a 2 , … … , a n } A_n = \lbrace a_1,a_2,……,a_n\rbrace An={a1,a2,,an}
    n = 1; 子集个数为2,2^1, { ∅ , a 1 } \lbrace\varnothing ,a_1\rbrace {,a1}
    n = 2; 子集个数为4,2^2, { ∅ , a 1 , a 2 , ( a 1 , a 2 ) } \lbrace\varnothing ,a_1,a_2,(a_1,a_2)\rbrace {,a1,a2,(a1,a2)}
    n = 3; 子集个数为8,2^3, { ∅ , a 1 , a 2 , a 3 , ( a 1 , a 2 ) , ( a 1 , a 3 ) , ( a 2 , a 3 ) , ( a 1 , a 2 , a 3 ) } \lbrace\varnothing ,a_1,a_2,a_3,(a_1,a_2),(a_1,a_3),(a_2,a_3),(a_1,a_2,a_3)\rbrace {,a1,a2,a3,(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,a2,a3)}
    n = ……
    则,n元素集合的子集共有 2 n 2^n 2n

    方法二(特征向量法):

    建立n元素集合的特征向量,每个元素位置标0或者1,1代表原则此元素
    特征向量的种类数即为n元素集合的子集个数
    每个元素位置可填0或1,有n个元素,即n个2相乘,即 2 n 2^n 2n

    n元素集合上有多少个不同的关系?—— 2 n 2 2^{n^2} 2n2

    首先算一下n元素集合的二元关系的总数,每个元素都可以和所有元素(包括自己)组成二元关系,即:总的二元关系数: n 2 n^{2} n2
    则关系R为总的二元关系的子集,根据上面的求解,即n元素集合上不同的关系数量为:
    2 n 2 2^{n^2} 2n2

    n元素集合上有多少个自反关系?—— 2 n 2 − n 2^{n^2-n} 2n2n

    计算在恒等关系的基础上再添加二元关系构成的新的集合数目
    即将下列矩阵上的某个或多个0,改为1后,得到的矩阵个数
    恒 等 关 系 举 例 : I A = { 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 } 恒等关系举例:I_A=\begin{Bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{Bmatrix} IA=1000010000100001

    我们可以看到有 n 2 − n n^2-n n2n个0
    我们的问题转化为:求有 n 2 − n n^2-n n2n个元素集合的子集个数
    利用上面得到的n元素集合上子集的个数为: 2 n 2^n 2n
    则, n 2 − n n^2-n n2n个元素集合的子集个数为: 2 n 2 − n 2^{n^2-n} 2n2n

    所以:n元素集合上自反关系数为: 2 n 2 − n 2^{n^2-n} 2n2n

    n元素集合上有多少个反自反关系?—— 2 n 2 − n 2^{n^2-n} 2n2n

    反自反关系就是特征矩阵主对角线全为0,所以问题转化后与上一个问题相同,
    同样是求有 n 2 − n n^2-n n2n个元素集合的子集个数。

    n元素集合上有多少个对称关系?—— 2 ( n 2 + n ) / 2 2^{(n^2+n)/2} 2(n2+n)/2

    可以将 ( x , y ) 和 ( y , x ) , x ≠ y (x,y)和(y,x),x \ne y (x,y)(y,x),x=y看作一部分,也就是 ( n 2 − n ) 2 \tfrac{(n^2-n)}{2} 2(n2n)
    再加上主对角线的部分 n n n个,那么一共是 ( n 2 − n ) 2 + n = ( n 2 + n ) 2 \tfrac{(n^2-n)}{2}+n=\tfrac{(n^2+n)}{2} 2(n2n)+n=2(n2+n)
    问题转化为求有 ( n 2 − n ) 2 + n = ( n 2 + n ) 2 \tfrac{(n^2-n)}{2}+n=\tfrac{(n^2+n)}{2} 2(n2n)+n=2(n2+n)个元素集合的子集个数
    那么一共是 2 ( n 2 + n ) / 2 2^{(n^2+n)/2} 2(n2+n)/2

    n元素集合上有多少个反对称关系?—— 2 n ∗ 3 ( n 2 − n ) / 2 2^n*3^{(n^2-n)/2} 2n3(n2n)/2

    可以将 ( x , y ) , x ≠ y (x,y),x \ne y (x,y),x=y看作特征部分,也就是 ( n 2 − n ) 2 \tfrac{(n^2-n)}{2} 2(n2n)
    那么这部分中每个有序对 ( x , y ) (x,y) (x,y),对应三种状态 ( y , x ) , ( x , y ) (y,x),(x,y) (y,x),(x,y) ∅ \varnothing
    我们只取其中一种状态,即: 3 ( n 2 − n ) / 2 3^{(n^2-n)/2} 3(n2n)/2
    主对角线部分不受限制:共有 2 n 2^n 2n
    组合数为: 2 n ∗ 3 ( n 2 − n ) / 2 2^n*3^{(n^2-n)/2} 2n3(n2n)/2

    n元素集合上有多少个自反又对称关系?—— 2 ( n 2 − n ) / 2 2^{(n^2-n)/2} 2(n2n)/2

    上面已经推过对称关系,不过此时的主对角线元需要全部选中
    依旧将 ( x , y ) 和 ( y , x ) , x ≠ y (x,y)和(y,x),x \ne y (x,y)(y,x),x=y看作一部分,也就是 ( n 2 − n ) 2 \tfrac{(n^2-n)}{2} 2(n2n)
    主对角线此时只有一种状态,1
    问题转化为1×有 ( n 2 − n ) 2 \tfrac{(n^2-n)}{2} 2(n2n)个元素集合的子集个数
    即: 1 × 2 ( n 2 − n ) / 2 = 2 ( n 2 − n ) / 2 1×2^{(n^2-n)/2}=2^{(n^2-n)/2} 1×2(n2n)/2=2(n2n)/2

    n元素集合上有多少个反自反又对称关系?—— 2 ( n 2 − n ) / 2 2^{(n^2-n)/2} 2(n2n)/2

    与上述推导同理,主对角线部分此时只有一种状态,1
    问题转化为1×有 ( n 2 − n ) 2 \tfrac{(n^2-n)}{2} 2(n2n)个元素集合的子集个数
    即: 1 × 2 ( n 2 − n ) / 2 = 2 ( n 2 − n ) / 2 1×2^{(n^2-n)/2}=2^{(n^2-n)/2} 1×2(n2n)/2=2(n2n)/2

    n元素集合上有多少个既不自反又不反自反但对称关系?—— ( 2 n − 2 ) ∗ 2 ( n 2 − n ) / 2 (2^n-2)*2^{(n^2-n)/2} (2n2)2(n2n)/2

    主对角线部分此时的状态数为 2 n − 2 2^n-2 2n2
    问题转化为 ( 2 n − 2 ) (2^n-2) (2n2)×有 ( n 2 − n ) 2 \tfrac{(n^2-n)}{2} 2(n2n)个元素集合的子集个数
    或者说用对称关系的总个数 - (自反对称总数 + 反自反对称总数)

    即: ( 2 n − 2 ) ∗ 2 ( n 2 − n ) / 2 = 2 ( n 2 + n ) / 2 − 2 ∗ 2 ( n 2 − n ) / 2 (2^n-2)*2^{(n^2-n)/2}=2^{(n^2+n)/2}-2*2^{(n^2-n)/2} (2n2)2(n2n)/2=2(n2+n)/222(n2n)/2

    n元素集合上有多少个既不自反又不反自反关系?—— 2 n 2 − 2 ∗ 2 n 2 − n 2^{n^2}-2*2^{n^2-n} 2n222n2n

    由于自反关系和反自反关系是互斥的
    我们只要用n元素集合上总的关系数-(自反关系数+反自反关系数)即可
    总数为 2 n 2 − 2 ∗ 2 n 2 − n 2^{n^2}-2*2^{n^2-n} 2n222n2n

    写在结尾

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    自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导?即:

    1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

    还有

    1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

    这两个公式怎么推导!,平方数列求和公式推导

    |用户:悬赏100分的问题

    |用户:优质回答:

    1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

    利用立方差公式

    n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

    =n^2+(n-1)^2+n^2-n

    =2*n^2+(n-1)^2-n

    2^3-1^3=2*2^2+1^2-2

    3^3-2^3=2*3^2+2^2-3

    4^3-3^3=2*4^2+3^2-4

    .

    n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

    各等式全相加

    n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

    n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

    n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

    n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

    3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)

    =(n/2)(n+1)(2n+1)

    1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

    1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

    (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]

    =(2n^2+2n+1)(2n+1)

    =4n^3+6n^2+4n+1

    2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1

    3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1

    4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1

    .

    (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

    各式相加有

    (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

    4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n

    =[n(n+1)]^2

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  • 样本方差公式为什么除以的是n-1

    万次阅读 多人点赞 2021-10-27 12:37:17
    本文是依照《彻底理解样本方差为何除以n-1》一文进行学习而做的学习笔记,是在学习前面一文的基础上,对某些步骤添加了一些自己的理解,如果有什么不对的地方还请各位道友多多指正哈!当然以后要是突然明白真正的...

    本文是依照《彻底理解样本方差为何除以n-1》一文进行学习而做的学习笔记,是在学习前面一文的基础上,对某些步骤添加了一些自己的理解,如果有什么不对的地方还请各位道友多多指正哈!当然以后要是突然明白真正的道理的话还是会继续改正的~~下面进入正文


    这位篇文章的博主其他文章也很好,需要的小伙伴要留意一下喔


    *想到这个问题的来源:

    在降维算法中,PCA使用的信息量衡量指标,就是样本方差,其公式如下
    V a r = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − X ˉ ) 2 Var=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{X})^2 Var=n11i=1n(xiXˉ)2

    哎?突然发现,样本量不是n吗,为什么前面要除以一个n-1,按照正常来说不是除以n的吗

    解释使用n-1的目的

    其实,除以n-1就是为了得到样本方差的无偏估计,那么问题随之而来,什么是样本方差的无偏估计,凭什么就说除以n-1就可以,为什么不能除以n-2呢,带着这个问题,在下面就开始展开了和蔼可亲的长篇的验证


    *对上方种种疑问的解决过程(证明为什么要使用n-1)

    首先说明各个变量公式:

    • X ˉ \bar{X} Xˉ : 样本的均值
    • S 2 S^2 S2 : 样本方差
    • μ \mu μ : 总体均值
    • σ 2 \sigma^2 σ2 : 总体方差

    样本方差 S 2 S^2 S2的公式:
    S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − X ˉ ) 2 S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{X})^2 S2=n11i=1n(xiXˉ)2

    由上方提到过,n-1的目的是得到样本方差的无偏估计,那么什么是无偏估计

    无偏估计(借用上方链接的例子来理解):

    假如你想知道一所大学里学生的平均身高是多少,一个大学好几万人,全部统计有点不现实,但是你可以先随机挑选100个人,统计他们的身高,然后计算出他们的平均值,记为 X 1 ˉ \bar{X_1} X1ˉ。如果你只是把 X 1 ˉ \bar{X_1} X1ˉ作为整体的身高平均值,误差肯定很大,因为你再随机挑选出100个人,身高平均值很可能就跟刚才计算的不同,为了使得统计结果更加精确,你需要多抽取几次,然后分别计算出他们的平均值,分别记为: X 1 ˉ \bar{X_1} X1ˉ X 2 ˉ \bar{X_2} X2ˉ … \ldots X k ˉ \bar{X_k} Xkˉ 然后在把这些平均值,再做平均,记为: E ( X ˉ ) E(\bar{X}) E(Xˉ),这样的结果肯定比只计算一次更加精确,随着重复抽取的次数增多,这个期望值会越来越接近总体均值 μ \mu μ,如果满足 E ( X ˉ ) = μ E(\bar{X})=\mu E(Xˉ)=μ,这就是一个无偏估计,其中统计的样本均值也是一个随机变量, X i ˉ \bar{X_i} Xiˉ就是 X ˉ \bar{X} Xˉ的一个取值

    无偏估计的意义是:在多次重复下,它们的平均数接近所估计的参数真值。

    我们计算的样本方差,希望它是总体方差的一个无偏估计,那么假如我们的样本方差是如下形式
    S 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − X ˉ ) 2 S^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{X})^2 S2=n1i=1n(xiXˉ)2

    根据无偏估计的定义可得:
    E ( S 2 ) = E ( 1 n ∑ i = 1 n ( x i − X ˉ ) 2 ) = E ( 1 n ∑ i = 1 n ( ( x i − μ ) − ( X ˉ − μ ) ) 2 )           对 x i 和 X ˉ 同 时 减 去 μ = E ( 1 n ∑ i = 1 n ( ( x i − μ ) 2 − 2 ( x i − μ ) ( X ˉ − μ ) + ( X ˉ − μ ) 2 )    打 开 平 方 = E ( 1 n ∑ i = 1 n ( ( x i − μ ) 2 − 1 n ∑ i = 1 n 2 ( x i − μ ) ( X ˉ − μ ) + 1 n ∑ i = 1 n ( X ˉ − μ ) 2 ) \begin{aligned} E(S^2)&=E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{X})^2) \\ &=E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((x_i-\mu)-(\bar{X}-\mu))^2) ~~~~~~~~~对x_i和\bar{X}同时减去\mu \\ &=E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((x_i-\mu)^2-2(x_i-\mu)(\bar{X}-\mu)+(\bar{X}-\mu)^2) ~~打开平方 \\ &=E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((x_i-\mu)^2-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 2(x_i-\mu)(\bar{X}-\mu)+\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(\bar{X}-\mu)^2) \end{aligned} E(S2)=E(n1i=1n(xiXˉ)2)=E(n1i=1n((xiμ)(Xˉμ))2)         xiXˉμ=E(n1i=1n((xiμ)22(xiμ)(Xˉμ)+(Xˉμ)2)  =E(n1i=1n((xiμ)2n1i=1n2(xiμ)(Xˉμ)+n1i=1n(Xˉμ)2)
    对于均值的公式:

    • E ( X ) = 1 n ∑ i = 1 n x i E(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i E(X)=n1i=1nxi
    • E ( C ) = C E(C)=C E(C)=C 常数的均值还是常数本身
    • E ( C X ) = C E ( X ) E(CX)=CE(X) E(CX)=CE(X)
    • 由于 1 n ∑ i = 1 n x i = X ˉ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i=\bar{X} n1i=1nxi=Xˉ
    • 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ ) = 1 n ∑ i = 1 n x i − μ = X ˉ − μ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i-\mu=\bar{X}-\mu n1i=1n(xiμ)=n1i=1nxiμ=Xˉμ

    对于:
          1 n ∑ i = 1 n 2 ( x i − μ ) ( X ˉ − μ )        对 于 X ˉ 和 μ 在 这 里 都 是 常 数 , 所 以 相 减 也 为 常 数 = 2 ( X ˉ − μ ) ∗ 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ ) = 2 ( X ˉ − μ ) ( X ˉ − μ )        使 用 上 面 均 值 公 式 里 面 的 第 三 第 四 点 , 对 上 式 进 行 化 简 = 2 ( X ˉ − μ ) 2 \begin{aligned} &~~~~~\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 2(x_i-\mu)(\bar{X}-\mu)~~~~~~对于\bar{X}和\mu在这里都是常数,所以相减也为常数 \\&=2(\bar{X}-\mu)*\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu) \\&=2(\bar{X}-\mu)(\bar{X}-\mu) ~~~~~~使用上面均值公式里面的第三第四点,对上式进行化简 \\&=2(\bar{X}-\mu)^2 \end{aligned}      n1i=1n2(xiμ)(Xˉμ)      Xˉμ=2(Xˉμ)n1i=1n(xiμ)=2(Xˉμ)(Xˉμ)      使=2(Xˉμ)2

           1 n ∑ i = 1 n ( X ˉ − μ ) 2 = ( X ˉ − μ ) 2         对 于 X ˉ 和 μ 在 这 里 都 是 常 数 , 所 以 相 减 也 为 常 数                             \begin{aligned} &~~~~~~\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(\bar{X}-\mu)^2 \\&=(\bar{X}-\mu)^2~~~~~~~对于\bar{X}和\mu在这里都是常数,所以相减也为常数~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \end{aligned}       n1i=1n(Xˉμ)2=(Xˉμ)2       Xˉμ                           

    对上方 E ( S 2 ) E(S^2) E(S2)继续计算:
    E ( S 2 ) = E ( 1 n ∑ i = 1 n ( ( x i − μ ) 2 − 1 n ∑ i = 1 n 2 ( x i − μ ) ( X ˉ − μ ) + 1 n ∑ i = 1 n ( X ˉ − μ ) 2 ) = E ( 1 n ∑ i = 1 n ( ( x i − μ ) 2 − 2 ( X ˉ − μ ) 2 + ( X ˉ − μ ) 2 )      由 上 面 拆 分 出 去 化 简 的 式 子 可 得 = E ( 1 n ∑ i = 1 n ( ( x i − μ ) 2 − ( X ˉ − μ ) 2 ) = E ( 1 n ∑ i = 1 n ( ( x i − μ ) 2 ) − E ( ( X ˉ − μ ) 2 ) \begin{aligned} E(S^2)&=E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((x_i-\mu)^2-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 2(x_i-\mu)(\bar{X}-\mu)+\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(\bar{X}-\mu)^2) \\ &= E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((x_i-\mu)^2-2(\bar{X}-\mu)^2+(\bar{X}-\mu)^2)~~~~由上面拆分出去化简的式子可得 \\&=E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((x_i-\mu)^2-(\bar{X}-\mu)^2) \\&=E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((x_i-\mu)^2)-E((\bar{X}-\mu)^2) \end{aligned} E(S2)=E(n1i=1n((xiμ)2n1i=1n2(xiμ)(Xˉμ)+n1i=1n(Xˉμ)2)=E(n1i=1n((xiμ)22(Xˉμ)2+(Xˉμ)2)    =E(n1i=1n((xiμ)2(Xˉμ)2)=E(n1i=1n((xiμ)2)E((Xˉμ)2)

    突然发现 μ \mu μ是总体均值,那么
    1 n ∑ i = 1 n ( ( x i − μ ) 2 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((x_i-\mu)^2 n1i=1n((xiμ)2就是总体方差 σ 2 \sigma^2 σ2,总体方差是根据总体数据求出来的(我理解的解释是只有一个总体方差),所以对其取均值还是本身:
    1 n ∑ i = 1 n ( ( x i − μ ) 2 = E ( 1 n ∑ i = 1 n ( ( x i − μ ) 2 ) = σ 2 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((x_i-\mu)^2=E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((x_i-\mu)^2)=\sigma^2 n1i=1n((xiμ)2=E(n1i=1n((xiμ)2)=σ2
    可以观察出
    E ( S 2 ) = 1 n ∑ i = 1 n ( ( x i − μ ) 2 ) − E ( ( X ˉ − μ ) 2 ≤ σ 2 E(S^2)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((x_i-\mu)^2)-E((\bar{X}-\mu)^2\leq\sigma^2 E(S2)=n1i=1n((xiμ)2)E((Xˉμ)2σ2
    也就是说当除以的是n的时候, E ( S 2 ) ≤ σ 2 E(S^2)\leq\sigma^2 E(S2)σ2 不符合无偏估计

    为了寻找出一个正确的参数,让我们来继续对刚才的式子向下化简:

    在上面已经说明
    1 n ∑ i = 1 n ( ( x i − μ ) 2 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((x_i-\mu)^2 n1i=1n((xiμ)2就是总体方差 σ 2 \sigma^2 σ2

    所以设其为 V a r ( X ) Var(X) Var(X)代表的是总体方差,相应的 E ( V a r ( X ) ) = V a r ( X ) E(Var(X))=Var(X) E(Var(X))=Var(X)

    对于 E ( ( X ˉ − μ ) 2 E((\bar{X}-\mu)^2 E((Xˉμ)2 来说:
          E ( ( X ˉ − μ ) 2 ) = 1 n ∑ i = 1 n ( X ˉ − μ ) 2 = V a r ( X ˉ ) \begin{aligned} &~~~~~E((\bar{X}-\mu)^2) \\&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\bar{X}-\mu)^2 \\&=Var(\bar{X}) \end{aligned}      E((Xˉμ)2)=n1i=1n(Xˉμ)2=Var(Xˉ)

    因为如果是无偏估计的话,n个 V a r ( X ˉ ) Var(\bar{X}) Var(Xˉ)的期望值就是总方差,所以可以看成:
    n × V a r ( X ˉ ) = V a r ( X ) n×Var(\bar{X})=Var(X) n×Var(Xˉ)=Var(X)

    根据上方拆分开化简的式子可得:
          E ( 1 n ∑ i = 1 n ( ( x i − μ ) 2 ) − E ( ( X ˉ − μ ) 2 ) = V a r ( X ) − V a r ( X ˉ ) = σ 2 − 1 n σ 2 = n − 1 n σ 2 \begin{aligned} &~~~~~E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((x_i-\mu)^2)-E((\bar{X}-\mu)^2) \\&=Var(X)-Var(\bar{X}) \\&=\sigma^2-\frac{1}{n}\sigma^2 \\&=\frac{n-1}{n}\sigma^2 \end{aligned}      E(n1i=1n((xiμ)2)E((Xˉμ)2)=Var(X)Var(Xˉ)=σ2n1σ2=nn1σ2

    突然发现 E ( S 2 ) = n − 1 n σ 2 E(S_2)=\frac{n-1}{n}\sigma^2 E(S2)=nn1σ2,如果我们让他乘上一个 n n − 1 \frac{n}{n-1} n1n,结果就是 σ 2 \sigma^2 σ2了:
    E ( S 2 ) = n − 1 n σ 2 × n n − 1 = σ 2 E(S_2)=\frac{n-1}{n}\sigma^2×\frac{n}{n-1}=\sigma^2 E(S2)=nn1σ2×n1n=σ2

    于是根据我们得到的结论,将我们假设的 S 2 S^2 S2的基础上乘上一个 n n − 1 变 成 新 的 S 2 \frac{n}{n-1}变成新的S^2 n1nS2:
    S 2 = n n − 1 ( 1 n ∑ i = 1 n ( x i − X ˉ ) 2 ) = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − X ˉ ) 2 S^2=\frac{n}{n-1}(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{X})^2)=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{X})^2 S2=n1n(n1i=1n(xiXˉ)2)=n11i=1n(xiXˉ)2

    对于新得到的 S 2 S^2 S2进行验证,如下(因为各个步骤的细节上方已经提到了,所以这里我就偷懒喽):
    在这里插入图片描述

    = E ( 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 − 2 n − 1 × n × 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ ) ( X ˉ − μ ) + 1 n − 1 × n × 1 n ∑ i = 1 n ( X ˉ − μ ) 2 ) \begin{aligned} &=E(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2-\frac{2}{n-1}×n×\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)(\bar{X}-\mu)+\frac{1}{n-1}×n×\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\bar{X}-\mu)^2) \end{aligned} =E(n11i=1n(xiμ)2n12×n×n1i=1n(xiμ)(Xˉμ)+n11×n×n1i=1n(Xˉμ)2)
    在这里插入图片描述
    由上方验证步骤就可以得出,修正之后的样本方差的期望是总体方差的一个无偏估计,这就是为什么分母为何要除以n-1,而不是n-2,n-3等等


    如果有看到这里的小伙伴,觉得哪里有问题的话,还请多多指点哈~

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    d1c8a45aeff555bfc8914557be9e7f93.png

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    aab6bd59bec1782bf27f4b5f40aafeb2.png

    我就在这简要写,自己整理一、1.开始2.乘积Mul初始化(1)3.循环变量i=14.Mul=Mul*i5.i=i+16.判断i是否大于n,大于继续,否则跳到步骤47.输出Mul8.结束

    d988f53a4943e15b7de9939d92320a0f.png

    1、输入一个数n2、赋值k=1,m=13、比较n是否大于k,若大于,跳至5;否则继续4、计算m=m*k,k=k+1,返回35、输出m

    fb7e30b26bdfe10b428ca4fa707beae4.png

    摘要:本文提供了2个计算阶乘的程序.第1个程序采用在C中嵌入汇编代码的方法,改进上篇中了程序2的瓶颈部分,使速度提高到原先的3倍多.第2个程序进一步改进了

    4efacefb2f9437d42c491181caf16f4d.png

    #include<iostream>usingnamespacestd;longsum=1;longcountall=1;intmain(intargc,char*argv[]){cout<<"PleaseinputmaxN:";intiNum;cin>>

    e64e517e900125c1f7a0ec0b8618fb9d.png

    classTest{staticintloop(intmax,intmin){intv,m,n;v=0;m=max;n=min;while(m-->n){v+=m;}returnv;};publicstaticvoidmain(String[]args){intrs=Test.loop(10,0);System.out.println(rs);}}

    7d685759b8671b6f845bca52a58ddb88.png

    可以用递归函数:#include#includelongdigui(intn);intmain(){intn;longdg;cout<>n;dg=digui(n);cout<

    4945bf4f16ef906b6638bb536cf42ff9.png

    最基础的思路,是逐个求阶乘,并累加.不过由于阶乘是从1乘到n,所以每个数都单独求一次阶乘,会有很多重复运算,影响效率.所以更快捷的方式是,在上一个数的阶乘基础上,直接乘上本身,得到当前数的阶乘.以此为主导,代码如下:#includeintmain(){intn,i,n1=1,s=0;scanf("%d",&n);//输入n值.for(i=1;i{n1*=i;//计算i的阶乘.s+=n1;//累加.}printf("%d\n",s);//输出结果.}

    1f89ecab9ed423a35312178b8d115f1b.png

    importjava.util.Scanner;publicclassKnownTest{publicstaticvoidmain(String[]args){Scannersc=newScanner(System.in);System.out.println("输入一个数字");intn=sc.nextInt();System.out.println("结果是:"+f(n));}publicstaticintf(intn){intsum=1;for(inti=1;isum*=i;}returnsum;}}

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