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  • MATLAB小数(浮点数)类型
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    2021-01-27 07:58:44

    MATLAB 用双精度或单精度格式表示浮点数,默认格式是双精度,但可以用转换函数转换为单精度。

    如果某个数据没有被指定数据类型,那么 MATLAB 会用双精度浮点数来存储它。为了得到其他类型的数值类型,可以使用类型转换函数。

    MATLAB 中的双精度浮点数和单精度浮点数均采用 IEEE 754 中规定的格式来定义。其表示范围、存储大小和类型转换函数如下表所示。

    浮点数的数据类型和表示范围

    数据类型名称

    存储大小

    表示范围

    类型转换函数

    双精度浮点数

    4 字节

    -1.79769 × 10308 ~+ 1.79769 ×10308

    double()

    单精度浮点数

    8 字节

    -3.40282 × 1038 ~+ 3.40282 × 1038

    single()

    双精度浮点数

    MATLAB 按照 IEEE 754 标准构造双精度型数据。作为双精度存储的任何数据,都需要 64 位,其格式如下表所示。

    双精度数格式

    用途

    63

    符号,0 = 正,1 = 负

    62~52

    指数,偏差值为 1023

    51~0

    数 1.f 的小数 f

    想进一步了解小数存储格式的读者,请转到《小数在内存中是如何存储的,揭秘诺贝尔奖级别的设计(长篇神文)》。

    最大和最小的双精度值

    MATLAB 的 realmax() 和 realmin() 函数返回能够表示的最大和最小双精度值,例如:

    >> str = 'The range f

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    (posted on may 31,2011)

    (Firstly justified on jun 6,2011)

    十进制数常用科学计数法表示,如11=1.1*10^1, 111=1.11*10*2. 同样地,二进制数也有科学计数法表示,如64, 1000000=1.000000*2^6; 127, 1111111=1.111111*2^6; 128, 10000000=1.0000000*2^7. 由于表示成科学计数法时第一位数总是1, 所以计算机以科学计数法存储二进制数时默认把第一位数上的1省去,只存储小数点后面的部分。

    matlab默认以64位双精度浮点格式存储数据于工作空间(workspace),第0位到第51位为小数部分,第52位到62位为指数部分,第63位为符号(正或负)部分。从排列组合的角度考虑,共有64位,每个位有0和1两种状态,因此64位最多能够表示的状态数为2^64个,即最多能够表示

    2^64个不同的数值。把这些数值按照从小到大的顺序排列,相邻的两个数之间就会出现空隙。如果一个数恰好落入空隙中,matlab怎么处理这个数呢?下

    面以具体实例来说明。

    64,127和128这三个数的二进制表示分别为:1000000,1111111,10000000. 其在计算机中的存储示意图如下:

    762fe6ab69225adc5c81a26dee3bd1e1.png64

    的指数部分为6,系数部分为0000000……0,加上缺省的1,成为1.0000000……0,根据二进制数的科学计数法,小数点依据系数值向右偏移6

    个单位,复原出64 的二进制码1000000.0……0.

    由于小数点需要向右偏移,这样在存储上最右边一位的量级就是2^-46,这正是matlab函数eps给出的值,即计算机能存储的比64大的第一个值是

    64+2^-46. 并且,区间 [64, 128)  之间的所有数由于小数点偏移的都是6位,所以这些数的eps都是2^-46.

    根据这样的分析,虽然128只比127大1,但128的二进制码需要偏移7为,导致最后一位的量级为2^-45,所以eps(128)=2^-45.

    可见一个十进制数的eps值是根据这个数的整数部分用二进制科学计数法表示时的小数点偏移量来定的,且随着偏移量的增大,eps也增大。

    整数可以用二进制码精确表示,当1位符号部分和11位指数部分确定之后,系数的52位最多能够编码出2^52个数。图中,当指数部分确定是6,就要用

    2^52个数表示区间 [64,128)

    中的数。这样,每个计算机能够编码的数都要覆盖一个小区间,计算机认为这个区间内的任何数都与这个数相等,才能用有限的数覆盖一个连续区间。在

    matlab中试验发现,一个数覆盖的区间长度就是这个数的eps值,并且这个数处于这个区间的中心,但是区间端点是属于本区间还是属于紧挨的区间不一

    定,以[64, 128)上的小区间为例,区间是开区间与闭区间间隔连在一起的。

    (64+0.5*eps(64), 64+1.5*eps(64))[64+1.5*eps(64), 64+2.5*eps(64)](64+2.5*eps(64),64+3.5*eps(65))[64+3.5*eps(64),64+4.5*eps(64)]……

    还有一类特殊的整数,像64和128,刚好处于指数位变化的地方,试验发现,64和128覆盖的区间分别是 [64-0.5*eps(63), 64+0.5*eps(64)],

    [128-0.5*eps(64), 128+0.5*eps(128)]. 即这类区间是闭区间,但是这个数不在这个区间的中心,数的左边是上个eps值的一半,数的右边是本eps值的一半,并且左边的区间长度是右边区间长度的一半。

    根据上面的理论,可以对“大数吃掉小数”的问题提供一个依据。当一个数加或减的数小于这个数的eps值的一半时,计算机是忽略的。那么一个数是这个数的

    eps值的多少倍呢?64=2^6, eps(64)=2^-46; 64+(2^52-1)*eps(64)~128,

    eps(64+(2^52-1)*eps(64))=eps(64).所以,一个数除以这个数的eps得到的值应该属于区间 [2^52, 2^53).

    展开全文
  • MATLAB浮点数详解

    2022-04-13 13:49:34
    matlab中浮点数

    浮点数

    浮点数是属于有理数中某特定子集的数 的数字表示,在计算机中用以近似表示任意某个实数。
    说人话浮点数就是小数。。。

    浮点数的类型

    matlab存储小数的类型有两种,分为单精度浮点数(single precision)和双精度浮点数(double precision),matlab缺省值为双精度浮点数。

    双精度浮点数即double,占据64bit的存储空间
    单精度浮点数为single,占据32bit的存储空间
    双精度浮点数能精确更多的小数点
    如下:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    浮点数的取值范围

    realmin('single') %单精度浮点数的最小值
    realmax('single') %单精度浮点数的最大值
    realmin('double') %双精度浮点数的最小值
    realmax('double') %双精度浮点数的最大值
    

    单精度和双精度浮点数的最小值与最大值分别为:
    在这里插入图片描述
    double型能取到的值是最大的,取到的变量也是最多的。
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • MATLAB浮点数运算精度问题

    千次阅读 2021-10-02 22:43:06
    matlab计算题: ... eps是matlab中浮点数精度值。如eps(1)实际表示的就是大于1而距离1最近的浮点数到1的距离,是1~2范围内浮点数的最小步长(1下一个浮点数是1+eps)。 浮点数表示方法: 在matlab...

    matlab计算题: ((3+3*eps)-3)/eps = 4    
            而后用matlab进行了一些浮点数计算,但结果都出乎预料:
             2+2*eps = 2.000
             3 + eps = 3
             (3-3+3*eps)/eps = 3
             eps是matlab中求浮点数的精度值的函数,eps表示eps(1)。如eps(1)实际表示的就是大于1而距离1最近的浮点数到1的距离,是1~2范围内浮点数的最小步长(1下一个浮点数是1+eps)。
            

    浮点数表示方法:
            在matlab中数值默认为双精度浮点数,其表示如下(从高位到低位):

    6362~5152~0
    符号位S(1负、0正)阶码E(指数部分)尾数F(小数部分)

            规格化浮点数数值为:               (-1)^S * (1+F)*2^{E-Bias}
            其中E为阶码,Bias为偏阶双精度浮点数为1023,设置偏阶的原因是:使最小的负指数为全0,最大的正指数为全1,这样在比较大小时可以直接比较。
            补充:指数为0、尾数非0表示非规格化数;指数2047、尾数为0,表示无穷;指数2047、尾数非0为NaN。
            这样我们可以发现,浮点数并不是连续的,其精度与尾数位数和指数大小有关,具体为:2^{-52}*2^{E-Bias} 这就是最小步长。在2的两个幂之间,步长是相同的,比如eps(5)与eps(6)相等。

    matlab的舍入规则:小于等于 0.5eps(i) 的舍弃,大于 0.5eps 的按1*eps处理。
             这样就能解释为什么3+eps为整数3了:因为eps(3)=2^{-52}*2^{1}=2*eps(1),eps为3处最小步长的一半,被舍弃了。
            但这样还不能解释上述问题,因为3*eps=1.5eps(3),应当被舍入为1倍的eps(3),这样计算出来为2。

    浮点数加法规则:
            ·对阶  将较小指数向较大指数靠近(精度损失小),在实际运算时溢出的位会保留,参与加法运算,最后再进行舍入(如3*eps最低位的1)。  注意,尾数有效位为52位
            3*eps = \overbrace{0.00\cdots011}^{52bit}*2^0= \overbrace{0.00\cdots01}^{52bit}1*2^1
            3 = 1.\overbrace{100\cdots00}^{52bit}*2^1

            ·有效位数相加   将连个浮点数的有效位数相加,溢出位保留。
            3+3*eps = 1.\overbrace{1.00\cdots01}^{52bit}1*2^1

            ·调整和舍入    调整为规格化数然后舍入
            上述计算不需要进行调整,但需进行舍入,因为有一位的溢出位,舍入规则为:向偶数靠近  多余数字大于最低位一半则进位;小于最低位一半则舍弃;等于最低位一半时,若最低位为1则进位,最低位为0则舍弃。
            该运算中,多余数字等于最低位一半,最低位为1,结果如下:1.\overbrace{100\cdots10}^{52bit}*2^1
            这样再减去3,差为   0.\overbrace{00\cdots10}^{52bit}*2^1=2^{-51}*2^1=2^{-52}=4eps 
            


            

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  • 关于matlab的单精度与双精度

    千次阅读 2021-04-18 14:51:49
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