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  • Matlab 辛普森积分方式

    2018-11-23 21:52:37
    Matlab函数,数值积分中的辛普森积分公式,用来数据积分
  • 数值积分的基本思想由积分中值定理可知,在积分区间 内存在一点 ,成立 式的几何意义即为:底为 而高为 的矩形的面积恰等于所曲边梯形的面积 。因此,要想出 式左端积分,我们只需要知道三个值: 即可,这里 是...

    2f0ca1960975d55e47b79965e0312674.png

    数值积分的基本思想

    由积分中值定理可知,在积分区间

    内存在一点
    ,成立

    式的几何意义即为:底为
    而高为
    的矩形的面积恰等于所求曲边梯形的面积
    。因此,要想求出
    式左端积分,我们只需要知道三个值:
    即可,这里
    是显然的,问题在于
    的具体位置一般是不清楚的,从而
    未知。我们暂且将
    称为区间
    上的平均高度,我们的目标就是寻求一种求出平均高度
    的算法,这样我们的问题也就解决了。

    首先我们想到的是用区间两端点的“高度”

    的算术平均值作为平均高度
    的近似值,从而导出下述求积公式

    式即为我们我们熟知的
    梯形公式。写出MATLAB函数为
    function

    而若用区间中点

    的“高度”
    近似取代平均高度
    ,则可导出
    中矩形公式(简称 矩形公式

    其MATLAB函数为

    function

    总结:更一般地,我们可以在区间

    上适当选取某些节点
    ,然后用
    的加权平均得到平均高度
    的近似值,这样构造出来的求积公式具有下列通式

    其中

    称为
    求积节点
    称为
    求积系数,也称作伴随节点

    这种数值积分方法通常称为机械求积,其优势在于将积分求值问题归结为被积函数值的计算,很适合在计算机上使用。

    代数精度

    由于数值积分方法是近似方法,为保证精度,自然希望我们的求积公式能够对“尽可能多”的函数准确成立,这便提出了代数精度的概念。

    如果某个求积公式对于次数不超过
    的多项式均能够准确成立,但对于
    次多项式就不准确成立,则称该求积公式具有
    次代数精度
    (或 代数精确度)。

    前面提到的梯形公式

    和矩形公式
    均具有一次代数精度。

    求积公式的收敛性与稳定性

    在求积公式
    中,若
    其中
    ,则称求积公式
    收敛的。
    对任给
    ,若
    ,只要
    就有
    成立,其中
    为计算
    时产生误差
    后实际得到的值,即
    ,则称求积公式
    稳定的。

    定理

    若求积公式
    中系数
    ,则此求积公式是稳定的。

    牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式

    将积分区间

    划分为
    等份,此时步长为
    ,选取等距节点
    构造出的插值型求积公式

    称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式,其中

    称为
    柯特斯系数。可以通过下式确定

    • 时,
      这时的求积公式便是之前的梯形公式
    • 时,
      此时对应的求积公式便是
      辛普森(Simpson)公式:
      写成MATLAB函数为
    function
    • 时的牛顿-柯特斯公式则特别称为
      柯特斯公式,其形式为
      这里

    其MATLAB代码为

    function

    复合求积公式

    由于牛顿-柯特斯公式在

    时不具有稳定性,故不可能再通过提高阶的方法来提高求积精度。
    复合求积法便是通过把积分区间分成若干个子区间(通常是等分),再在每个子区间上使用低阶求积公式的方法来提高精度的。

    其实细心的同学可以发现,前面我所展示的MATLAB代码使用的便是对每个求积公式使用复合法完成的。常用的有复合梯形公式复合辛普森公式

    龙贝格(Romberg)求积公式

    前面介绍的复合求积方法可提高求积精度,如若精度仍不够,则可通过将步长逐次减半的方式来提高精度。如对复合梯形公式可导出其递推公式

    其中

    表示在
    基础上步长
    减半后的积分值。

    定理

    ,则有

    其中
    系数
    无关。

    式可以看出,
    阶,若用
    代替
    ,有

    再用

    式再减去
    式后再除以

    这里

    是与
    无关的系数。

    式可看出,用近似积分值
    ,其误差阶为
    ,显然误差阶是提高了。类似这种将计算
    的近似值的误差阶由
    提高到
    的方法称为
    外推算法,也称为 理查德森(Richardson)外推算法
    这是“数值分析”中一个重要的技巧,只要真值与近似值的误差能够表示成
    的幂级数,如
    式所示,都可以使用外推算法,提高精度。

    龙贝格(Romberg)算法

    次外推加速为

    余项为

    此方法常称为理查德森外推加速方法

    设用

    表示二分
    次后求得的梯形值,且以
    表示序列
    次加速值,则由递推公式
    可得

    上次则称为龙贝格求积算法,计算过程如下:

    1. ,求
      。令
      (
      记区间
      的二分次数)。
    2. 求梯形值
      ,即按递推公式
      计算
    3. 求加速值。
    4. (预先给定的精度),则终止计算,并且
      ;否则令
      继续计算。

    MATLAB代码为

    function

    自适应积分方法

    复合求积方法通常适用于被积函数变化不太大的积分,如果在求积区间中被积函数变化很大,有的部分函数值变化剧烈,另一部分却变化平缓。这时如果统一将区间等分再用复合求积公式计算积分将会导致计算量很大,我们想实现的是在满足误差要求的前提下,对变化剧烈部分将区间细分,而平缓部分则可使用大步长,也即针对被积函数在区间上不同情形采用不同的步长,使得再满足精度前提下积分计算工作量尽可能小。其算法技巧是在不同区间上预测被积函数变化的剧烈程度确定相应步长。这就是自适应积分方法的基本思想。

    下面是一个基于复合辛普森法的自适应积分算法的MATLAB代码:

    function

    下面我们计算积分

    ,可输入下列语句调用上述MATLAB函数进行计算
    clear
    

    结果为

    I 

    高斯求积公式

    下面研究带权积分

    为权函数)的求积公式

    下面看定义

    如果求积公式
    具有
    次代数精度,则称其节点
    高斯点,相应公式
    称为
    高斯型求积公式。

    这里主要包括四种高斯型求积公式,即

    • 高斯-勒让德求积公式
    • 高斯-切比雪夫求积公式
    • 高斯-拉盖尔求积公式
    • 高斯-埃尔米特求积公式

    多重积分

    这里主要说一下多重积分计算的思路,归结为一句话,就是:多重积分化累次积分,再由里到外使用数值积分公式进行求积计算。

    展开全文
  • 包含代码和文档 采用复化梯形公式和复化辛普森公式求积分,并与精确值进行比较得下表。 采用复化梯形公式和复化辛普森公式求积分,并与精确值进行比较得下表。
  • 使用积分,复合辛普森求公式的计算,运行良好
  • 实验9 数值积分实验成绩实验类型:●验证性实验 ○综合性实验 ○设计性实验实验目的:进一步熟练掌握变步长数值积分算法,提高编程能力和解决定积分问题的实践技能。实验内容:用龙贝格积分算法计算实验原理实验算例...

    实验9 数值积分实验

    成绩

    实验类型:●验证性实验  ○综合性实验  ○设计性实验

    实验目的:进一步熟练掌握变步长数值积分算法,提高编程能力和解决定积分问题的实践技能。

    实验内容:用龙贝格积分算法计算79757f1573dafe39291dd4bb419f670c.png

    实验原理

    实验算例中a=0,b=1,f(x)=x2 .

    T(0)=(b-a)(f(a)+f(b))/2 ; H(0) =(b-a)·f( (a+b)/2 ) ; T(i)=(T(i-1)+H(i-1))/2

    T(i)的语义是将积分区间做2i 等分复化梯形求积分公式算出的近似值。

    H(i)的语义是将积分区间做2i 等分时,将每个小区间的长度乘该小区间中点处函数值的乘积进行累加求和的结果。

    龙贝格积分算法:生成i>=j 的积分近似值表R(i, j)具体计算如下:.

    R(i,0)=T(i)=(T(i-1)+H(i-1))/2, i>=0,T(i)为区间逐次减半递推梯形求积分公式算出的结果; 

    R(i,1)=S(i), i>=1,S(i)为由T(i)、T(i-1)联合递推得出的区间逐次减半递推辛普森求积分公式算出的结果;

    R(i,2)=B(i), i>=2,B(i)为由S(i)、S(i-1)联合递推得出布尔求积分公式算出的结果;

    ,,,,,,,,,,;归纳总结有如下递推关系式

     299a2f300098287a11133edbde41b321.png

    由上面递推关系式计算积分近似值R(i, j)构成三角表,循环结束条件:|R(i, i)-R(i-1, i-1)|<< span="">f927c216a9974d06d11940e6c29d95c3.png成立时,则以R(i, i)作为最终的积分近似值,否则继续循环计算。这一算法叫龙贝格积分算法,

    实验步骤

    1 要求上机实验前先编写出程序代码

    2 编辑录入程序

    3 调试程序并记录调试过程中出现的问题及修改程序的过程

    4 经反复调试后,运行程序并验证程序运行是否正确。

    5 记录运行时的输入和主要中间结果输出,以便与手工解算作比较。

    6 要求在A4纸上手工计算并和计算机程序计算的主要中间结果进行比较,验证手工解算和机器解算的R(i, j)构成三角表是否一致。

    实验报告:根据实验情况和结果撰写并递交实验报告。

    实验总结 (学会了......; 掌握了......; 训练了......; 发现了......; 今后学习中......有待提高。)

    程序代码(MATLAB程序,必须自己独立编程)

    电子报告word文件命名规则:专业班级-学号后两位-实验X-姓名.doc, 如信息123班学号为201212030315的郭海涛同学实验9报告word文件命名则应是:信息123-15-实验9-郭海涛.doc, 其中 .doc是Word文件扩展名。特别提醒:电子报告文件命名不规范的报告将不予接收。

    一、实验代码

    function s = maromb(fun,a,b,tol)

    %用龙贝格公式求积分

    %格式:s = maromb(fun,a,b,tol),fun 是被积函数,a,b是积分

    %下、上限,tol 是容许误差,s 是返回积分近似值

    if nargin < 4,tol = 1e-4;end

    i = 1;j = 1;h = b - a;

    T(1,1) = h * (feval(fun,a) + feval(fun,b)) / 2;

    T(i+1,j) = T(i,j)/2 + sum(feval(fun,a + h/2:h:b - h/2)) * h/2;

    T(i+1,j+1) = (4^j * T(i+1,j) - T(i,j)) / (4^j - 1);

    while (abs(T(i+1,i+1) - T(i,i)) > tol)

        i = i+1;

        h = h/2;

        T(i+1,1) = T(i,1)/2 + sum(feval(fun,a + h/2:h:b - h/2)) * h/2;

        for j = 1:i

            T(i+1,j+1) = (4^j * T(i+1,j) - T(i,j)) / (4^j - 1);

        end

    end

    T

    s = T(i+1,j+1);

    运行结果:

          >> fun = inline('x.^2');

          >> a = 0;

    >> b = 1;

    >> tol = 1e-5;

    >> s = maromb(fun,a,b,tol)

    T =

        0.5000         0         0

        0.3750    0.3333         0

        0.3438    0.3333    0.3333

    s =

        0.3333

    二、实验总结

          通过本次实验我学会了使用龙贝格公式求积分的算法程序;掌握了使用龙贝格算法求解积分的本领;训练了我的编程的能力和把数学问题转化为算法的能力;在本次实验中我发现了自己在编程方面和思考问题方面的一些不足;在今后的学习中我的编程能力和编写算法的能力有待提高。

    展开全文
  • 辛普森公式求积分在数值计算中,计算结果较为精确
  • 以二次曲线逼近实际曲线根据辛普森公式可得各积分小区间内的积分值如下式所示:其中于是,全积分区间[a, b]的积分值为为便于计算机计算,上式可写成其中C语言程序实现辛普森公式计算积分计算积分代码//simpson.c#...

    对于积分区间[a, b],若

    924b6f84f601eea5b26c21a37a99143d.png

    则成立

    8db58256d2865a66969b864ef0e15f15.png

    辛普森公式

    辛普森公式可看作是改良的梯形公式。梯形公式是以直线逼近实际曲线,而辛普森公式则以二次曲线(即抛物线)逼近。

    08f6c4ace574ee4a6d388c7c891fdd8b.png

    以二次曲线逼近实际曲线

    根据辛普森公式可得各积分小区间内的积分值如下式所示:

    2c428bfb8c9ae8c8cd52b7bd78960a3c.png

    其中

    6d9700d62203839619b5fb39d66df5ca.png

    于是,全积分区间[a, b]的积分值为

    3cdb56e02e7ba3f60a0ed17de57aa47f.png

    为便于计算机计算,上式可写成

    3a195fe50305fb5acd6f775f907a3542.png

    其中

    a7c99f8c8b01a8e949febbce22bcacd4.png

    C语言程序实现辛普森公式计算积分

    • 计算积分
    a118564c86e69355bff0658a75974fc7.png
    • 代码

    //simpson.c

    #include

    #include

    /*函数定义*/

    double f(double x)

    {

    return (1.0-x)*exp(-1*x);

    }

    /*辛普森公式计算积分*/

    double simpson(

    double a, double b, int n)

    {

    double h = (b-a)/n;

    double s0,s1=0.0,s2=0.0;

    double S;

    double x;

    int i;

    s0 = f(a) + f(b);

    for( i = 1; i < n; i += 2 )

    {

    x = a + h * i;

    s1 += f(x);

    }

    for( i = 2; i < n; i += 2 )

    {

    x = a + h * i;

    s2 += f(x);

    }

    S = h*(s0+4*s1+2*s2)/3;

    return S;

    }

    int main(void)

    {

    //积分区间[a, b]

    double a = -1.0, b = 1.0;

    //区间分割数

    int N[5]={10,20,30,50,100};

    int i = 0;

    for( i = 0; i < 5; i++ )

    printf("[%3d等分]积分近似值:

    I = %.7lf

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  • 复合辛普森公式求解定积分 matlab

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    复合辛普森积分 已知函数表达式与积分区间 精度esp正相关与1/num %复合辛普森积分 %已知函数表达式与积分区间 clc;clear; a=0;b=1;%积分范围 num=1000;%积分准确度 h=(b-a)/(2*num); f=@(x)exp(-x);%积分表达式 I=0;...

    复合辛普森积分
    已知函数表达式与积分区间
    精度esp正相关与1/num

    %复合辛普森积分
    %已知函数表达式与积分区间
    clc;clear;
    a=0;b=1;%积分范围
    num=1000;%积分准确度
    h=(b-a)/(2*num);
    f=@(x)exp(-x);%积分表达式
    I=0;%积分结果
    I=f(a)-f(b);
    for i=1:num
        I=I+(2*f(a+2*i*h)+4*f(a+(2*i-1)*h));
    end
    I=I*h/3
    
    

    在这里插入图片描述

    展开全文
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