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  • matlab参数方程求导 求不定积分

    千次阅读 2020-02-29 13:06:11
    参数方程求导: syms t x = cos(t)^3 y = sin(t)^3 dx1dt = diff(x,t); % 一阶导数 dy1dx = diff(y,t)/dx1dt % 二阶导数 dy2d2x = diff(dy1dx,t)/dx1dt % 3阶导数 dy3d3x = diff(dy2d2x,t)/dx1dt ②求不定积分 单...

    ①参数方程求导:
    syms t
    x = cos(t)^3
    y = sin(t)^3

    dx1dt = diff(x,t);

    % 一阶导数
    dy1dx = diff(y,t)/dx1dt

    % 二阶导数
    dy2d2x = diff(dy1dx,t)/dx1dt

    % 3阶导数
    dy3d3x = diff(dy2d2x,t)/dx1dt

    ②求不定积分
    单变量被积函数表达式,f(x)
    例1:syms x
    int(f)

    多变量被积函数表达式,f(x,y) v为积分变量,是x或y
    例2:syms x y;
    int(f(x), v)

    tips:ln(x)在matlab中输入:log(x)
    二次根号下f在matlab中输入:f^0.5
    e的x次方在在matlab中输入:exp(x)

    展开全文
  • %参数方程求导的递归实现 % 调用格式: % y1 = paradiff(y, x, t, n) % 其中:y=f(t), x=g(t), t为参数, n为导数阶次 % % Examples: % 已知参数方程 y=sin(t)/(t+1)^3; x=cos(t)/(t+1)^3 % 求d3y/dx3 % MATLAB求解...

    总述

    在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

    函数说明

    function result=paradiff(y, x, t, n) 
    %paradiff
    %参数方程求导的递归实现
    %  调用格式:
    %    y1 = paradiff(y, x, t, n)
    %  其中:y=f(t), x=g(t), t为参数, n为导数阶次
    %
    % Examples:
    %  已知参数方程 y=sin(t)/(t+1)^3; x=cos(t)/(t+1)^3
    %  求d3y/dx3
    % MATLAB求解语句:
    %  syms t; y=sin(t)/(t+1)^3; x=cos(t)/(t+1)^3;
    %  f = paradiff(y,x,t,3); 
    %  [n,d]=numden(f);   %分离分子分母
    %  F=simplify(n)/simplify(d)  %分子分母各自化简
    

    应用举例

    问题: 已知参数方程
    y=sint(t+1)3,x=cost(t+1)3y=\frac{sint}{(t+1)^3}, x=\frac{cost}{(t+1)^3}
    d3y/dx3d^3y/dx^3

    代码如下:

    syms t 
    y=sin(t)/(t+1)^3; x=cos(t)/(t+1)^3; 
    f=paradiff(y,x,t,3); 
    [n,d]=numden(f);              % //分离分子分母
    F=simplify(n)/simplify(d)     % //分子分母各自化简
    

    最终结果为:
    在这里插入图片描述

    函数实现

    function result=paradiff(y, x, t, n) 
    if mod(n,1)~=0
        error('n should positive integer, please correct') 
    else 
        if n==1
            result = diff(y,t)/diff(x,t); 
        else
            result = diff(paradiff(y,x,t,n-1),t)/diff(x,t); 
        end
    end
    

    此函数源文件可前往下面网址下载:

    paradiff.m下载通道

    展开全文
  • 另一方面,阿基米德螺旋线参数方程求导: 所以,可以看到,换算至笛卡尔坐标导数不是常数,而和角度有关系,这个很好理解, 切线斜率一直在变化。那么,我们看看一般意义下的推导,极坐标所有曲线一定...

    5e37ad40cb041ffd027426d76073cf8a.png

    阿基米德螺旋线的极坐标方程

    那么求导

    等于神马呢?

    我们看看a=2的图像,

    转过一圈(2
    )螺距是4
    ,所以目测求导就直接求,即

    3a169c3c88be5e61a0863f33b9b1328e.png

    改写成具有物理意义的方程,

    ,所以有

    式中,

    是矢量。

    另一方面,阿基米德螺旋线参数方程为

    求导:

    所以,可以看到,换算至笛卡尔坐标导数不是常数,而和角度有关系,这个很好理解, 切线斜率一直在变化。

    那么,我们看看一般意义下的推导,极坐标所有曲线一定有

    9fc2f3b425206b6cd28743266c767876.png

    如果要求

    ,那么当然是在笛卡尔坐标系下求解方便

    根据三角函数公式:

    代入化简得

    有一个著名的例子即等角螺旋线,向径与切线夹角不变。

    飞蛾在自然界飞行时采用星光导航,即和平行光保持固定的夹角,然后遇上点光源时,就飞出等角螺旋线。

    7adc19af265c6a1186e74326631cbabb.png

    e93e376068775641c1838b06743f9287.png

    那么,怎么证明?

    对数螺旋线极坐标方程为:

    So,对数螺旋线任一点的切线和向径的夹角等于

    注意上式就用了极坐标求导,符号运算的角度,和笛卡尔系一样。

    现在,让我们忘记极坐标,看看一些熟悉的笛卡尔参数方程

    以下均为

    t = linspace(0, 2*pi, 100)
    
    x = cos(t)
    y = sin(2*t)
    
    plot(x,y)
    plot(x[0],y[0],'o')
    axis('equal')

    37be08d8a277cc2958acf5cc79ecaedd.png

    心型线

    008858427d72bf80cb13f1a76f9c52a8.png

    双曲线

    双曲线由于极点的存在,只能分段画

    t1 = linspace(-pi/2 + 0.1, pi/2 - 0.1, 100)
    t2 = linspace(pi/2+0.1, 3*pi/2-0.1, 100)
    
    x1 = 2/cos(t1)
    y1 = tan(t1)
    
    x2 = 2/cos(t2)
    y2 = tan(t2)

    7f35eb2c23b364e0723b98115e9ce697.png

    运动学与参数方程

    椭圆的参数方程:

    004469ec01a6e9267f8a1b5659b99b79.png

    速度的参数方程为

    加速度的参数方程为

    那么,分量合成速度的标量为

    740c70131a8dd74dc5ea689904d32580.png

    用参数方程计算

    e3ca60166cd31b82b5a1d5861373bfc8.png

    画图代码请移步我的CSDN:未名方略

    展开全文
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  • paradiff.m

    2020-08-07 15:52:54
    matlab实现参数方程求导 具体描述见下面网址: https://blog.csdn.net/weixin_43964993/article/details/107863569
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