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  • 2016-04-26 09:18:19

    RSA算法是一种非对称加密算法,是现在广泛使用的公钥加密算法,主要应用是加密信息和数字签名。详情请看维基:http://zh.wikipedia.org/wiki/RSA%E5%8A%A0%E5%AF%86%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95

    算法基本思路:

    1.公钥与私钥的生成:

    (1)随机挑选两个大质数 p 和 q,构造N = p*q;

    (2)计算欧拉函数φ(N) = (p-1) * (q-1);

    (3)随机挑选e,使得gcd(e, φ(N)) = 1,即 e 与 φ(N) 互素;

    (4)计算d,使得 e*d ≡ 1 (mod φ(N)),即d 是e 的乘法逆元。

    此时,公钥为(e, N),私钥为(d, N),公钥公开,私钥自己保管。

    2.加密信息:

    (1)待加密信息(明文)为 M,M < N;(因为要做模运算,若M大于N,则后面的运算不会成立,因此当信息比N要大时,应该分块加密)

    (2)密文C = Me mod N

    (3)解密Cd mod N = (Me)d mod N = Md*e mod N ;

    要理解为什么能解密?要用到欧拉定理(其实是费马小定理的推广)aφ(n) ≡ 1 (mod n),再推广:aφ(n)*k ≡ 1 (mod n),得:aφ(n)*k+1 ≡ a (mod n)

    注意到 e*d ≡ 1 mod φ(N),即:e*d = 1 + k*φ(N)。

    因此,Md*e mod N = M1 + k*φ(N) mod N = M

    简单来说,别人用我的公钥加密信息发给我,然后我用私钥解密。

    3.数字签名:

    (1)密文C = Md mod N

    (2)解密M = Ce mod N = (Md)e mod N = Md*e mod N = M ;(原理同上)

    简单来说,我用自己的密钥加密签名,别人用我的公钥解密可以看到这是我的签名。注意,这个不具有隐私性,即任何人都可以解密此签名。

    算法的安全性:基于大整数N难以分解出p和q,构造φ(N);或由N直接构造φ(N)同样难。

    算法的实现:

    1.快速幂取模:http://www.cnblogs.com/7hat/p/3398394.html

    2.素性测试:http://www.cnblogs.com/7hat/p/3400831.html

    3.扩展欧几里得求乘法逆元和最大公约数:http://www.cnblogs.com/7hat/p/3406494.html

    实现代码:

    import random
    
    def fastExpMod(b, e, m):
        """
        e = e0*(2^0) + e1*(2^1) + e2*(2^2) + ... + en * (2^n)
    
        b^e = b^(e0*(2^0) + e1*(2^1) + e2*(2^2) + ... + en * (2^n))
            = b^(e0*(2^0)) * b^(e1*(2^1)) * b^(e2*(2^2)) * ... * b^(en*(2^n)) 
    
        b^e mod m = ((b^(e0*(2^0)) mod m) * (b^(e1*(2^1)) mod m) * (b^(e2*(2^2)) mod m) * ... * (b^(en*(2^n)) mod m) mod m
        """
        result = 1
        while e != 0:
            if (e&1) == 1:
                # ei = 1, then mul
                result = (result * b) % m
            e >>= 1
            # b, b^2, b^4, b^8, ... , b^(2^n)
            b = (b*b) % m
        return result
    
    def primeTest(n):
        q = n - 1
        k = 0
        #Find k, q, satisfied 2^k * q = n - 1
        while q % 2 == 0:
            k += 1;
            q /= 2
        a = random.randint(2, n-2);
        #If a^q mod n= 1, n maybe is a prime number
        if fastExpMod(a, q, n) == 1:
            return "inconclusive"
        #If there exists j satisfy a ^ ((2 ^ j) * q) mod n == n-1, n maybe is a prime number
        for j in range(0, k):
            if fastExpMod(a, (2**j)*q, n) == n - 1:
                return "inconclusive"
        #a is not a prime number
        return "composite"
    
    def findPrime(halfkeyLength):
        while True:
            #Select a random number n 
            n = random.randint(0, 1<<halfkeyLength)
            if n % 2 != 0:
                found = True
                #If n satisfy primeTest 10 times, then n should be a prime number
                for i in range(0, 10):
                    if primeTest(n) == "composite":
                        found = False
                        break
                if found:
                    return n
    
    def extendedGCD(a, b):
        #a*xi + b*yi = ri
        if b == 0:
            return (1, 0, a)
        #a*x1 + b*y1 = a
        x1 = 1
        y1 = 0
        #a*x2 + b*y2 = b
        x2 = 0
        y2 = 1
        while b != 0:
            q = a / b
            #ri = r(i-2) % r(i-1)
            r = a % b
            a = b
            b = r
            #xi = x(i-2) - q*x(i-1)
            x = x1 - q*x2
            x1 = x2
            x2 = x
            #yi = y(i-2) - q*y(i-1)
            y = y1 - q*y2
            y1 = y2
            y2 = y
        return(x1, y1, a)
    
    def selectE(fn, halfkeyLength):
        while True:
            #e and fn are relatively prime
            e = random.randint(0, 1<<halfkeyLength)
            (x, y, r) = extendedGCD(e, fn)
            if r == 1:
                return e
    
    def computeD(fn, e):
        (x, y, r) = extendedGCD(fn, e)
        #y maybe < 0, so convert it 
        if y < 0:
            return fn + y
        return y
    
    def keyGeneration(keyLength):
        #generate public key and private key
        p = findPrime(keyLength/2)
        q = findPrime(keyLength/2)
        n = p * q
        fn = (p-1) * (q-1)
        e = selectE(fn, keyLength/2)
        d = computeD(fn, e)
        return (n, e, d)
    
    def encryption(M, e, n):
        #RSA C = M^e mod n
        return fastExpMod(M, e, n)
    
    def decryption(C, d, n):
        #RSA M = C^d mod n
        return fastExpMod(C, d, n)
    
    
    #Unit Testing
    (n, e, d) = keyGeneration(1024)
    #AES keyLength = 256
    X = random.randint(0, 1<<256)
    C = encryption(X, e, n)
    M = decryption(C, d, n)
    print "PlainText:", X
    print "Encryption of plainText:", C
    print "Decryption of cipherText:", M
    print "The algorithm is correct:", X == M
    

    转载自:http://www.cnblogs.com/7hat/p/3407897.html

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    2021-02-04 19:42:43
    算法基本思路:1.公钥与私钥的生成:(1)随机挑选两个大质数 p 和 q,构造N = p*q;(2)计算欧拉函数φ(N) = (p-1) * (q-1);(3)随机挑选e,使得gcd(e, φ(N)) = 1,即 e 与φ(N) 互素;(4)计算d,使得 e*d ≡ 1 (mod ...

    算法基本思路:

    1.公钥与私钥的生成:

    (1)随机挑选两个大质数 p 和 q,构造N = p*q;

    (2)计算欧拉函数φ(N) = (p-1) * (q-1);

    (3)随机挑选e,使得gcd(e, φ(N)) = 1,即 e 与 φ(N) 互素;

    (4)计算d,使得 e*d ≡ 1 (mod φ(N)),即d 是e 的乘法逆元。

    此时,公钥为(e, N),私钥为(d, N),公钥公开,私钥自己保管。

    2.加密信息:

    (1)待加密信息(明文)为 M,M < N;(因为要做模运算,若M大于N,则后面的运算不会成立,因此当信息比N要大时,应该分块加密)

    (2)密文C = Memod N

    (3)解密Cd mod N = (Me)d mod N = Md*e mod N ;

    要理解为什么能解密?要用到欧拉定理(其实是费马小定理的推广)aφ(n) ≡ 1 (mod n),再推广:aφ(n)*k ≡ 1 (mod n),得:aφ(n)*k+1 ≡ a (mod n)

    注意到 e*d ≡ 1 mod φ(N),即:e*d = 1 + k*φ(N)。

    因此,Md*e mod N = M1 + k*φ(N) mod N = M

    简单来说,别人用我的公钥加密信息发给我,然后我用私钥解密。

    3.数字签名:

    (1)密文C = Md mod N

    (2)解密M = Cemod N = (Md)e mod N = Md*e mod N  = M ;(原理同上)

    简单来说,我用自己的密钥加密签名,别人用我的公钥解密可以看到这是我的签名。注意,这个不具有隐私性,即任何人都可以解密此签名。

    算法的安全性:基于大整数N难以分解出p和q,构造φ(N);或由N直接构造φ(N)同样难。

    算法的实现:

    实现代码:

    8f900a89c6347c561fdf2122f13be562.png

    961ddebeb323a10fe0623af514929fc1.png

    importrandomdeffastExpMod(b, e, m):"""e = e0*(2^0) + e1*(2^1) + e2*(2^2) + ... + en * (2^n)

    b^e = b^(e0*(2^0) + e1*(2^1) + e2*(2^2) + ... + en * (2^n))

    = b^(e0*(2^0)) * b^(e1*(2^1)) * b^(e2*(2^2)) * ... * b^(en*(2^n))

    b^e mod m = ((b^(e0*(2^0)) mod m) * (b^(e1*(2^1)) mod m) * (b^(e2*(2^2)) mod m) * ... * (b^(en*(2^n)) mod m) mod m"""result= 1

    while e !=0:if (e&1) == 1:#ei = 1, then mul

    result = (result * b) %m

    e>>= 1

    #b, b^2, b^4, b^8, ... , b^(2^n)

    b = (b*b) %mreturnresultdefprimeTest(n):

    q= n - 1k=0#Find k, q, satisfied 2^k * q = n - 1

    while q % 2 ==0:

    k+= 1;

    q/= 2a= random.randint(2, n-2);#If a^q mod n= 1, n maybe is a prime number

    if fastExpMod(a, q, n) == 1:return "inconclusive"

    #If there exists j satisfy a ^ ((2 ^ j) * q) mod n == n-1, n maybe is a prime number

    for j inrange(0, k):if fastExpMod(a, (2**j)*q, n) == n - 1:return "inconclusive"

    #a is not a prime number

    return "composite"

    deffindPrime(halfkeyLength):whileTrue:#Select a random number n

    n = random.randint(0, 1<

    found=True#If n satisfy primeTest 10 times, then n should be a prime number

    for i in range(0, 10):if primeTest(n) == "composite":

    found=Falsebreak

    iffound:returnndefextendedGCD(a, b):#a*xi + b*yi = ri

    if b ==0:return (1, 0, a)#a*x1 + b*y1 = a

    x1 = 1y1=0#a*x2 + b*y2 = b

    x2 =0

    y2= 1

    while b !=0:

    q= a /b#ri = r(i-2) % r(i-1)

    r = a %b

    a=b

    b=r#xi = x(i-2) - q*x(i-1)

    x = x1 - q*x2

    x1=x2

    x2=x#yi = y(i-2) - q*y(i-1)

    y = y1 - q*y2

    y1=y2

    y2=yreturn(x1, y1, a)defselectE(fn, halfkeyLength):whileTrue:#e and fn are relatively prime

    e = random.randint(0, 1<

    (x, y, r)=extendedGCD(e, fn)if r == 1:returnedefcomputeD(fn, e):

    (x, y, r)=extendedGCD(fn, e)#y maybe < 0, so convert it

    if y <0:return fn +yreturnydefkeyGeneration(keyLength):#generate public key and private key

    p = findPrime(keyLength/2)

    q= findPrime(keyLength/2)

    n= p *q

    fn= (p-1) * (q-1)

    e= selectE(fn, keyLength/2)

    d=computeD(fn, e)return(n, e, d)defencryption(M, e, n):#RSA C = M^e mod n

    returnfastExpMod(M, e, n)defdecryption(C, d, n):#RSA M = C^d mod n

    returnfastExpMod(C, d, n)#Unit Testing

    (n, e, d) = keyGeneration(1024)#AES keyLength = 256

    X = random.randint(0, 1<<256)

    C=encryption(X, e, n)

    M=decryption(C, d, n)print "PlainText:", Xprint "Encryption of plainText:", Cprint "Decryption of cipherText:", Mprint "The algorithm is correct:", X == M

    Python

    展开全文
  • RSA算法的纯Python实现,压缩包内共4个文件,分别是 1、大整数的运算库(当然不是算加减乘除的,这个python本身就有)。这个库是计算乘模运算,幂模运算(蒙哥马利算法),最大公约数算法及扩展最大公约数算法(扩展...
  • RSA加密算法Python实现

    千次阅读 多人点赞 2021-02-11 11:13:42
    RSA加密算法Python实现 RSA加密算法是目前使用最广泛的加密方式,具体流程见RSA加密算法 之前想过用C语言实现,但是由于C语言对整型的位宽有要求,RSA加密算法中需要使用的数字大小远远超出C语言中long long int 的...

    RSA加密算法Python实现

    RSA加密算法是目前使用最广泛的加密方式,具体流程见RSA加密算法
    之前想过用C语言实现,但是由于C语言对整型的位宽有要求,RSA加密算法中需要使用的数字大小远远超出C语言中long long int 的最大值,最近学习了Python之后,发现Python没有这一要求,可以较容易的实现。
    在这里插入图片描述

    from random import randint
    from datetime import datetime
    
    """判断是否是素数"""
    def is_sushu(sushu):
        for i in range(2,sushu):
            if sushu % i == 0:
                return False
        return True
    
    """随机生成指定范围的大素数"""
    def Create_Sushu():
        while True:
            sushu = randint(100,1000 )#下限越大,加密越安全,此处考虑计算时间,取值较小
            if is_sushu(sushu):
                return sushu
    
    """计算欧拉函数"""
    def Oula(sushu1 , sushu2):
        return (sushu1-1)*(sushu2-1)
    
    """判断是否互质"""
    def Is_Huzhi(int_min,int_max):
        for i in range(2,int_min+1):
            if int_min % i == 0 and int_max % i == 0:
                return False
        return True
    
    """计算公钥,直接计算编程较简单,此处考虑了计算效率的优化"""
    def Creat_E(oula):
        top = oula
        while True:
            i = randint(2,top)
            for e in range(i,top):
                if Is_Huzhi(e,oula):
                    return e     
            top = i    
    
    """计算私钥"""
    def Compute_D(oula,e):
        k = 1
        while ( k*oula+1 )% e != 0:
            k+=1
        return int((k*oula+1)/e)
    
    """
    将字符串转成ASCII
    """
    def Transfer_To_Ascii(messages):
        result = []
        for message in messages:
            result.append(  ord(message) ) 
        return result
    
    """
    将列表转化成字符串
    """
    def Transfer_To_String(string_list):
        string = ''.join(string_list)
        return string
    
    
    if __name__ == "__main__":
        """
        p、q为大素数
        n=p*q
        oula = (p-1)* (q-1)
        e 为公钥
        d 为私钥
        """
    
        print("通信开始,正在计算公钥与私钥...")
        time_start = datetime.now()
        p = Create_Sushu()
        q = p
        while p ==q :
            q = Create_Sushu()
        n = p * q
        oula = Oula(p, q)
        e = Creat_E(oula)
        d = Compute_D(oula,e)
        time_end = datetime.now()
        print(f"计算完成,用时{str(time_end -time_start)}秒 ")
        print(f"公钥:n = {str(n)} , e = {str(e)}")
        print(f"私钥:n = {str(n)} , d = {str(d)}")
        #print('p='+str(p)+'\n'+'q='+str(q)+'\n'+'n='+str(n)+'\n'+'oula='+str(oula)+'\n'+'d='+str(d)+'\n')
    
        m = input('待加密信息:')
        m_list = Transfer_To_Ascii(m)
    
        print("正在加密...")
        c_list = []
        for m in m_list:
            c = m**e%n
            c_list.append(c)
        print(f"密文:{c_list}")
    
        print("正在解密...")
        decode_messages=[]
        for c in c_list:
            decode_message = c**d%n
            decode_messages.append(chr(decode_message))
        print(f"解密信息:{Transfer_To_String(decode_messages)}")
    
    展开全文
  • python实现RSA算法

    2019-12-02 16:41:16
    基于Python实现RSA算法,包括的函数有:判断一个数是否为素数、判断两个数是否互为素数、欧几里得算法求最大公约数、产生公私钥、扩展欧几里得算法求模逆、加密明文、解密密文以及代码测试。
  • 本文实例讲述了Python实现rsa加密算法。分享给大家供大家参考,具体如下: 算法过程 1. 随意选择两个大的质数p和q,p不等于q,计算N=pq。 2. 根据欧拉函数,不大于N且与N互质的整数個数為(p-1)(q-1)。 3. 选择一个...
  • RSA-python编程简单实现

    千次阅读 2022-04-20 16:22:31
    RSA-python简单实现

    RSA_python简单编程实现

    一.RSA算法简述

    rsa算法是一种非对称加密算法,其安全性是建立在大素数难以分解的基础上的,即将两个大素数相乘十分容易,但想对其乘积进行分解却很困难,所以可以将其乘积公开作为加密密钥

    二. 密钥生成过程

    1.选择两个大素数p和q
    2.计算两素数的乘积 n =p*q,和Φ(n)=(p-1)(q-1)
    3.选择大于1并且小于Φ(n)的随机整数e,使得gcd(e,Φ(n))=1
    4.计算e在modΦ(n)下的乘法逆元d
    5.最后得出公钥为(e,n),私钥为(d,n)

    三. RSA加解密过程

    1. 加密
    对于明文M,则有密文C=M^e mod n
    2. 对于密文C,则有明文M=C^d mod n

    声明:以上理论来自该处

    四.python实现简易RSA算法

    - 在了解了RSA算法的基本的工作流程,那么就可以编写代码了

    - 话不多说看代码

    def encryption(m, e, n):
        s = m % n
        for i in range(1, e):
            s = (s * (m % n)) % n
        print('你所加密的密文是:', s)
    
    
    # 解密
    def decode(c, d, n):
        s = c % n
        for i in range(1, d):
            s = (s * (c % n)) % n
        print('你所解密的明文是:', s)
    
    
    # p,q,e质数判断
    def apnjudg(p, q, e):
        list = []
        list.append(p)
        list.append(q)
        list.append(e)
        for x in range(0, 3):
            if int(list[x]) > 1:
                # 查看因子
                for i in range(2, int(list[x])):
                    if (int(list[x]) % i) == 0:
                        print(int(list[x]), "不是质数")
                        print(i, "乘于", int(list[x]) / i, "是", int(list[x]))
                        break
                    else:
                        print(int(list[x]), "是质数")
                        break
            # 如果输入的数字小于或等于 1,不是质数
            else:
                print(int(list[x]), "不是质数")
    
    
    # 拆解获得素数p,q
    def broken(n):
        if n < 10000000:
            for i in range(1, 10000):
                for t in range(1, 10000):
                    if n == i * t:
                        print(i, t)
                        break
    
    
    if __name__ == '__main__':
        num = int(input('请输入你的选择的功能-RSA加密为0,RSA解密为1,分解查找P与Q为2:'))
        if num == 0:
            print('----------------加密----------------')
            print('---------请输入P,Q,E,M(明文)---------')
            p = int(input('输入P:'))
            q = int(input('输入Q:'))
            e = int(input('输入E:'))
            apnjudg(p, q, e)
            m = int(input('请输入M:'))
            encryption(m, e, p * q)
    
        elif num == 1:
            print('----------------解密----------------')
            print('---------请输入P,Q,E,C(密文)---------')
            p = int(input('输入P:'))
            q = int(input('输入Q:'))
            e = int(input('输入E:'))
            fi = (p - 1) * (q - 1)
            for i in range(fi):  #求逆元d
                if e * i % fi == 1:
                    d = i
                    break
            apnjudg(p, q, d)
            c = int(input('请输入C:'))
            decode(c, d,p * q)
    
        elif num == 2:
            print('----------------拆解素数乘积----------------')
            n = int(input('输入乘积N:'))
            broken(n)
    

    - 效果图看这

    加密

    加密

    解密解密
    乘积拆解

    在这里插入图片描述

    五.代码不足之处说明及汇总

    不足之处

    1.素数位数过短
    相信各位童鞋已经看出来了,我选的两个素数都不是特别大,都是四位数,那是因为我的设备不太行,跑五位数的素数要跑比较长的时间,而且我代码中所用实现算法的方法也很随意,是在上课时随意打的😂😂😂,if,else语句比较多…大佬勿喷!!!,没有用上什么高大上的语法,各位童鞋有什么好的建议,能够优化一下该算法的,可以在评论区留言,我看看我能够改成什么样。
    我选的素数乘积是在10000000以下,这样所采用的两个素数也很容易猜解,两个循环就能找到,而RSA算法的核心就在于,大素数乘积难以分解,所以我写的代码,各位童鞋就当作是个简单测验吧
    2.加密类型转换过于直接
    我是直接将用户输入强制转换为整形数据的,因为我加密的文本类型就是整型数据,所以我就没考虑如何转换其它类型的数据,如字符型数据等等

    汇总

    我在想这个实现加解密算法的方法可不可以用一个简易的图形化窗口来实现,并且能够在优化之后运算出更大位数的素数,嗯…这个等待后续吧

    代码功能详解

    (一)

    咱们先看第一个加密函数里的参数m(你所要加密的明文)e(大于1并且小于Φ(n)的随机整数e使得gcd(e,Φ(n)))=1,Φ(n)=(p-1)*(q-1) #p和q均为大素数gcd(e,Φ(n)))=1 这是什么意思呢,意思就是你选取的e与Φ(n)的公约数为一,简单的来说e与Φ(n)互素,所以e为素数---->我用了一个素数判断函数

    apnjudg(p, q, e)n=p * q

    (二)

    接着咱们来看加密函数对于明文M,则有密文C=M^e mod n,我们可以根据这个公式加密得出密文,M^e的结果,也就是e个M相乘(MMM*M…)----->这里我们可以用for循环做到for i in range(1,e),然后有该幂次的结果模N------>(%n)就得到了密文C功能代码如下

    s = m % n
    for i in range(1, e):
    s = (s * (m % n)) % n

    (三)

    解密密钥d,在讲解解密函数之前,我们先讲讲如何得到d
    由一个函数de=1 mod Φ(n)---->即满足条件(de)%Φ(n)=1, 我们可以将d求出来(这个公式用到了欧拉定理)
    根据公式我们就好求d了,d即e的逆元

    功能代码如下:

    for i in range(fi): #求逆元d
    if e * i % fi == 1:
    d = i
    break

    最后搞点好玩的…bye~~~~~

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    展开全文
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