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  • Python假设检验的实现,python
    2021-01-14 02:28:09

    假设检验步骤

    建立原假设H0 和 备假设 H1

    确定检验统计量

    确定拒绝区域

    用样本计算z分数 or t分数 以及 p值

    接受原假设或者拒绝原假设

    利用sklearn里的iris数据做假设验证

    # 导入数据

    iris = datasets.load_iris()

    X = iris.data

    y = iris.target

    iris.target_names

    >> ['setosa', 'versicolor', 'virginica']

    iris.feature_names

    >> ['sepal length (cm)',

    'sepal width (cm)',

    'petal length (cm)',

    'petal width (cm)']

    setosa = X[:49] # 0:49 # set花的数据

    versicolor = X[49:99] # 49:99 # ver花的数据

    petal_len = X[:, 2] # 花瓣长度数据

    Ho: 花瓣平均长度为4.0

    H1: 花瓣平均长度不为4.0

    import scipy.stats

    # ttest_1samp: Calculate the T-test for the mean of ONE group of scores.

    t, pval = scipy.stats.ttest_1samp(petal_len, popmean=4.0)

    print(t, pval)

    if pval>0.05:

    print("p值大于0.05, 接受H0原假设: 花瓣平均长度为4.0")

    else:

    print("p值小于0.05, 拒绝H0原假设: 花瓣平均长度不为4.0")

    -1.67896989467615 0.09525380636130043

    p值大于0.05, 接受H0原假设: 花瓣平均长度为4.0

    H0: setosa 和 versicolor两种花的花瓣长度一样长

    H1: setosa 和 versicolor两种花的花瓣长度不一样

    # ttest_ind: Calculate the T-test for the means of two independent samples of scores.

    t, pval = scipy.stats.ttest_ind(setosa[:, 2], versicolor[:, 2])

    print(t,pval)

    if pval>0.05:

    print("p值大于0.05, 接受H0原假设: 两种花的花瓣长度一样")

    else:

    print('p 值小于0.05, 拒绝H0原假设: 两种花瓣长度明显不同')

    -29.82392997220894 1.1881282298705667e-50

    p 值小于0.05, 拒绝H0原假设: 两种花瓣长度明显不同

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    糖厂用自动打包机打包,每包标准重量是100千克。每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工后测得9包重量(单位:千克)如下:

    99.3  98.7  100.5  101.2  98.3  99.7   99.5  102.1  100.5

    已知包重服从正态分布,试检验该日打包机工作是否正常(a=0.05)?

    用这题演示python实现双边检验的几种方法

    import numpy as np

    from math import *

    array = [99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5]

    #需要对比样本与统计总体的平均值

    T_mean=100

    x_mean=np.mean(array)

    x_std=np.std(array,ddof=1)

    样本量较小,总体标准差未知,因此使用t检验量

    t=abs(x_mean-T_mean)/(x_std/sqrt(len(array)))

    这里检验统计量t值计算如下

    t = (样本均值 - 总体均值)/(样本标准差/sqrt(样本个数))【小样本且总体标准差未知的情况下】

    print("x_mean:{:.5} ,x_std:{:.5} ,t:{:.5}".format(x_mean,x_std,t))

    这里我得出的结果是

    x_mean:99.978 ,x_std:1.2122 ,t:0.054996

    接下来可以选择

    计算出标准t值进行比较

    计算出p值

    直接人工查表标准t

    计算标准t值

    计算临界值:

    scipy.stats.t.ppf(level_of_confidence, degree_of_freedom)

    计算p值

    计算p值:

    scipy.stats.t.sf(abs(t_score),df) 或scipy.stats.t.cdf(abs(t_score),df)

    左尾或右尾的检验分别用上述的sf和cdf方法,双尾检验需需要适时乘个2(如果t大于0那么就是2t.cdf(abs(t_score),df),如果是t小于零就得2t.sf(t_score,df)

    除了使用scipy的stats模块,还可以使用matplotlib.pyplot模块(相当于是用原理计算了

    import matplotlib.pyplot as plt

    s2 = np.random.standard_t(10, size=100000)

    h = plt.hist(s, bins=100, density=True)

    (np.sum(s2>abs(t))+np.sum(s2

    #算出的p值等于方法二用函数算出的p值相同

    >p: 0.95745#因为这里调用了random库,所以这里p值算出来不是固定的,会随着数组内容的随机变化而变化

    综合1、2就可以有如下代码

    print("critical t value:{}\np_value(calculated by function):{}".format(stats.t.ppf(0.95,9),2*stats.t.cdf(t,df=len(array)-1)))

    >critical t value:1.8331129326536335

    p_value(calculated by function):0.9574902045208937

    人工查表

    t分布临界值表如下:axis=0 level of freedom; axis =1 df

    d15ebd07001d82504dd31fcc6f12bd75.png

    或者可以使用在线查表工具,查看各种分布的临界值表

    value calculator 临界值查表工具 t检验临界值表

    参考以及延伸阅读推荐:

    最后可以用这篇里的示例训练一下:假设检验的Python实现

    原文链接:https://blog.csdn.net/weixin_44115606/article/details/108887962

    展开全文
  • 假设检验是在已知总体分布某个参数的先验值后,通过抽样来对这个先验值进行验证是否接受的问题。判断的方法大致分为两类:临界值法和P值方法;相对来说p值法更方便计算机处理,因此下面的讨论都是基于p值法。 总体...

    假设检验是在已知总体分布某个参数的先验值后,通过抽样来对这个先验值进行验证是否接受的问题。判断的方法大致分为两类:临界值法P值方法;相对来说p值法更方便计算机处理,因此下面的讨论都是基于p值法。
    总体均值的假设检验就是已知了一个均值的先验值,然后根据实验获取的数据对这个值进行验证是否接受它。根据是否已知总体的方差,又可细分为两种类型:方差已知和方差未知。

    1. 方差已知的

    在方差已知的情况下,检验统计量为:
    X ‾ − μ 0 σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{\overline X - \mu_0}{\sigma/ \sqrt{n}}\sim N(0,1) σ/n Xμ0N(0,1)

    1.1. P值计算:

    1. 双边检验
      P ( ∣ Z ∣ ≥ ∣ z 0 ∣ ) P(|Z|\ge |z_0|) P(Zz0)
    2. 左侧检验
      P ( Z ≤ z 0 ) P(Z\le z_0) P(Zz0)
    3. 右侧检验
      P ( Z ≥ z 0 ) P(Z\ge z_0) P(Zz0)

    1.2. Python计算代码

    import numpy as np
    from scipy import stats
    
    def ztest_simple(xb, sigma,sample_num, mu0, side='both'):
        """
        参数:
            xb- 样本均值
            sigma- 样本的标准差
            sample_num- 样本容量
            mu0- H0假设的均值
            side取值
                'both'- 双边检验
                'left'- 左侧检验
        返回值: 字典形式的p_val
        """
        Z = stats.norm(loc=0, scale=1)
        z0=(xb-mu0)/(sigma/np.sqrt(sample_num))
        if side=='both':
            z0=np.abs(z0)
            tmp = Z.sf(z0)+Z.cdf(-z0)
            return {"p_val": tmp}
        elif side=='left':
            tmp = Z.cdf(z0)
            return {"p_val": tmp}
        else:
            tmp = Z.sf(z0)
            return {"p_val": tmp}
    

    1.3 应用实例

    例1: 为了了解A高校学生的消费水平,随机抽取了225位学生调查其月消费(近6个月的消费平均值),得到该225位学生的平均月消费1530元. 假设学生月消费服从正态分布, 标准差为 σ = 120 \sigma=120 σ=120.
    已知B高校学生的月平均消费为1550元.是否可以认为A高校学生的消费水平要低于B高校?
    解:
    H 0 : μ = μ 0 = 1550 H 1 : μ ≤ μ 0 H_0: \mu = \mu_0=1550 \quad H_1: \mu \le \mu_0 H0:μ=μ0=1550H1:μμ0
    所以该假设检验为左边检验,使用python代码计算时,要注意side参数设置为left.

    ztest_simple(1530, 120, 225, 1550, side='left')
    # 结果:
    {'p_val': 0.0062096653257761323}
    

    因此在显著性水平 α = 0.05 \alpha = 0.05 α=0.05下,拒绝原假设,即认为A高校学生的生活水平低于B高校.

    例2:根据健康中心报告35至44岁的男性平均心脏收缩压为128, 标准差为15. 现根据某公司在35至44岁年龄段的72位员工的体检记录,计算得平均收缩压为126.07(mm/hg). 问该公司员工的收缩压与一般人群是否存在差异?(假设该公司员工与一般男子的心脏收缩压具有相同的标准差). ( α = 0.05 \alpha = 0.05 α=0.05
    解:
    H 0 : μ = μ 0 = 128 H 1 : μ ≠ μ 0 = 128 H_0: \mu=\mu_0=128 \quad H_1: \mu \neq \mu_0=128 H0:μ=μ0=128H1:μ=μ0=128
    所以该问题为双边检验问题。使用Python计算如下:

    ztest_simple(126.07, 15, 72, 128, side='both')
    # 结果:
    {'p_val': 0.27493294653328959}
    

    因为 0.27493294653328959>0.05, 因此接受原假设.

    2. 方差未知

    在方差未知的情况下, 检验统计量为:
    X ‾ − μ 0 S / n ∼ t ( n − 1 ) \frac{\overline X - \mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) S/n Xμ0t(n1)

    2.1. P值计算

    1. 双边检验
      P ( ∣ T ∣ ≥ ∣ t 0 ∣ ) P(|T|\ge |t_0|) P(Tt0)
    2. 左侧检验
      P ( T ≤ t 0 ) P(T\le t_0) P(Tt0)
    3. 右侧检验
      P ( T ≥ t 0 ) P(T\ge t_0) P(Tt0)

    2.2 python计算代码

    scipy库中,有一个专门用来进行t检验的函数:
    stats.ttest_1samp(a, popmean, axis=0, nan_policy='propagate')
    使用该函数时一定要注意,默认计算的是双边检验

    2.3 应用实例

    例1: 可乐制造商为了检验可乐在贮藏过程中其甜度是否有损失,请专业品尝师对可乐贮藏前后的甜度进行评分.10位品尝师对可乐贮藏前后甜度评分之差为:
    2.0, 0.4, 0.7, 2.0, -0.4, 2.2, -1.3, 1.2, 1.1, 2.3
    问:这些数据是否提供了足够的证据来说明可乐贮藏之后的甜度有损失呢?设总体服从正态分布,标准差未知.
    解:
    H 0 : μ = 0 H 1 : μ > 0 H_0: \mu=0 \quad H_1: \mu\gt 0 H0:μ=0H1:μ>0
    该问题为右侧检验,使用python计算如下:

    import numpy as np
    from scipy import stats
    
    data = np.array([2.0, 0.4, 0.7, 2.0, -0.4, 2.2, -1.3, 1.2, 1.1, 2.3])
    _, pval = stats.ttest_1samp(data, 0)
    # 结果为
    pval = 0.024526312420683691 # 这是双边检验的结果
    pval = pval/2 = 0.012263156210341845
    
    • 如果显著水平取α=0.05,则有充分的理由拒绝原假设。
    • 如果显著水平取α=0.01, 则还没有充分的理由拒绝原假设.

    例 2:某批次矿砂的5个样品的镍含量,经测定为(%):
    3.25 3.27 3.24 3.25 3.24
    假设测定值服从正态分布,但是参数均未知。问在 α = 0.01 \alpha=0.01 α=0.01下能否接受假设:这批矿砂的镍含量的均值为3.25.
    解:
    H 0 : μ = μ 0 = 3.25 H 1 : μ ≠ 3.25 H_0: \mu= \mu_0=3.25\quad H_1: \mu \neq3.25 H0:μ=μ0=3.25H1:μ=3.25
    该问题为左双边检验, python计算如下:

    import numpy as np
    from scipy import stats 
    
    data = np.array([3.25, 3.27, 3.24, 3.25, 3.24])
    stats.ttest_1samp(data, 3.25)
    # 结果
    pval = 1.0 
    

    因为 p v a l = 0.1 > α = 0.01 pval=0.1 \gt \alpha=0.01 pval=0.1>α=0.01, 所以可以接受该批矿砂镍含量均值为3.25

    3. 成对数据的t检验

    配对研究的数据是一对一对地收集得到的, 所以也称为成对数据的研究. 由于配对研究采用了比较的思想, 比通常的单个样本推断更让人信服. 这种方法在医学和生物研究领域中广泛存在, 成对数据检验的基本思想是将两样本问题转为单样本问题.

    • 假设成对数据 ( X 1 , Y 1 ) , . . . , ( X n , Y n ) (X_1, Y_1), ..., (X_n, Y_n) (X1,Y1),...,(Xn,Yn)
    • 设差值 D i = X i − Y i , i = 1 , . . . , n D_i = X_i - Y_i, i=1,...,n Di=XiYi,i=1,...,n
    • 差值可以看成来自正态总体 N ( μ D , σ D 2 ) N(\mu_D, \sigma_D^2) N(μD,σD2)的样本
      基于上述处理,我们可以把成对数据均值的检验,使用方差未知的t检验完成。

    3.1 实例

    例1: 为了试验两种不同谷物种子的优劣,选取了十块土质不同的土地,并将每块土地分为面积相同的两部分,分别种植这两种种子。设在每块土地的两部分人工管理等条件完全一样。下面给出各块土地上的产量。
    • 种子A(xi) 23 35 29 42 39 29 37 34 35 28
    • 种子B(yi) 26 39 35 40 38 24 36 27 41 27
    问:这两种种子种植的谷物产量是否有显著的差异(取显著性水平为0.05)?
    解: H 0 : μ D = 0 H 1 : μ D ≠ 0 H_0: \mu_D=0 \quad H_1:\mu_D \neq 0 H0:μD=0H1:μD=0
    这样该问题即转换为方差未知的情况下,对均值的双边检验。Python计算如下:

    import numpy as np
    from scipy import stats
    
    data1 = np.array([23, 35, 29, 42, 39, 29, 37, 34, 35, 28])
    data2 = np.array([26, 39, 35, 40, 38, 24, 36, 27, 41, 27])
    delta = data1-data2
    _, pval = stats.ttest_1samp(delta, 0)
    # 结果
    pval = 0.88992115341674716
    

    因为 p v a l > α = 0.05 pval\gt\alpha=0.05 pval>α=0.05, 所以接受原假设。

    4. 参考文献

    • 《概率论与数理统计》浙大
    • numpy and scipy documents

    5. 交流联系

    • email: hflag@163.com
    • qq: 532843488
      本人一直从事《概率论与数理统计》的教学,欢迎遇到问题的童靴们联系我。
    展开全文
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    假设两个正态总体分别为: X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) X\sim N(\mu_1, \sigma_1^2) XN(μ1,σ12) Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) Y\sim N(\mu_2, \sigma_2^2) YN(μ2,σ22). X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn为来自正态总体X的样本; Y 1 , . . . , Y n Y_1,...,Y_n Y1,...,Yn为来自正态总体Y的样本。两个样本相互独立。并记 X ‾ , Y ‾ , S 1 2 , S 2 2 \overline X, \overline Y, S_1^2, S_2^2 X,Y,S12,S22分别为两样本的均值和方差。

    1. σ 1 2 , σ 2 2 \sigma_1^2, \sigma_2^2 σ12σ22已知

    该情形下的检验统计量为:
    X ‾ − Y ‾ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{\overline X - \overline Y}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0, 1) n1σ12+n2σ22 XYN(0,1)

    1.1. 双边假设检验

    假设形式: H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ 0 H_0: \mu_1-\mu_2 =0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\neq 0 H0:μ1μ2=0H1:μ1μ2=0
    p值为:
    p v a l = P { ∣ Z ∣ ≥ ∣ z 0 ∣ } pval=P\{|Z| \ge |z_0|\} pval=P{Zz0}

    1.2. 左侧检验

    假设形式: H 0 : μ 1 − μ 2 ≥ 0 H 1 : μ 1 − μ 2 < 0 H_0: \mu_1-\mu_2\ge0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\lt0 H0:μ1μ20H1:μ1μ2<0
    p值为:
    p v a l = P { Z ≤ z 0 } pval=P\{Z \le z_0\} pval=P{Zz0}

    1.3. 右侧检验

    假设形式: H 0 : μ 1 − μ 2 ≤ 0 H 1 : μ 1 − μ 2 > 0 H_0: \mu_1-\mu_2\le0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\gt0 H0:μ1μ20H1:μ1μ2>0
    p值为:
    p v a l = P { Z ≥ z 0 } pval=P\{Z \ge z_0\} pval=P{Zz0}

    2. σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2 \sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2 σ12=σ22=σ2但未知

    该情形下的检验统计量为:
    X ‾ − Y ‾ S w 1 n 1 + 1 n 2 ∼ t ( n 1 + n 2 − 2 ) \frac{\overline X - \overline Y}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2) Swn11+n21 XYt(n1+n22)
    上式中 s w 2 = ( n 1 − 1 ) s 1 2 + ( n 2 − 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 − 2 s_w^2=\frac{(n_1-1)s_1^2 +(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} sw2=n1+n22(n11)s12+(n21)s22

    2.1. 双边假设检验

    假设形式: H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ 0 H_0: \mu_1-\mu_2 =0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\neq 0 H0:μ1μ2=0H1:μ1μ2=0
    p值为:
    p v a l = P { ∣ T ∣ ≥ ∣ t 0 ∣ } pval=P\{|T| \ge |t_0|\} pval=P{Tt0}

    2.2. 左侧检验

    假设形式: H 0 : μ 1 − μ 2 ≥ 0 H 1 : μ 1 − μ 2 < 0 H_0: \mu_1-\mu_2\ge0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\lt0 H0:μ1μ20H1:μ1μ2<0
    p值为:
    p v a l = P { T ≤ t 0 } pval=P\{T \le t_0\} pval=P{Tt0}

    2.3. 右侧检验

    假设形式: H 0 : μ 1 − μ 2 ≤ 0 H 1 : μ 1 − μ 2 > 0 H_0: \mu_1-\mu_2\le0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\gt0 H0:μ1μ20H1:μ1μ2>0
    p值为:
    p v a l = P { T ≥ t 0 } pval=P\{T \ge t_0\} pval=P{Tt0}

    3. σ 1 2 ≠ σ 2 2 \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2 σ12=σ22且未知

    此时以样本方差 S 1 2 , S 2 2 S_1^2, S_2^2 S12,S22分别代替 σ 1 2 , σ 2 2 \sigma_1^2, \sigma_2^2 σ12,σ22. 取检验统计量为:
    T = X ‾ − Y ‾ S 1 2 n 1 + S 2 2 n 2 T = \frac{\overline X - \overline Y}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}} T=n1S12+n2S22 XY

    3.1. 当样本容量很大时,利用中心极限定理统计量T近似服从标准正态分布

    这种情形下,可以利用1.中的算法求解

    3.2. 当样本容量较小时,统计量T服从自由度为k的t分布

    这种情形下,自由度k可以粗略计算得:
    k = m i n ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) k=min(n_1-1, n_2-1) k=min(n11,n21)
    然后参照2.进行计算求解。

    4. Python代码实现

    scipy.stats包含两个正态总体均值的检验函数, 其函数原型:
    stats.ttest_ind(a, b, axis=0, equal_var=True, nan_policy='propagate')

    5. 实例验证

    例1:随机地抽取年龄都是25岁的16位男子和13位女子, 测得:他们的脉搏率如下:
    男: 61, 73, 58, 64, 70, 64, 72, 60, 65, 80, 55,72, 56, 56, 74, 65,
    女: 83, 58, 70, 56, 76, 64, 80, 68, 78, 108,76, 70, 97.
    为题:假设男女脉搏率都是服从正态分布,这些数据能否认为男女脉搏率的均值相同?
    解: H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\neq 0 H0:μ1μ2=0H1:μ1μ2=0
    该问题问双边检验。Python计算如下:

    import numpy as np
    from scipy import stats
    
    data1 = np.array([61, 73, 58, 64, 70, 64, 72, 60, 65, 80, 55, 72, 56, 56, 74, 65])
    data2 = np.array([83, 58, 70, 56, 76, 64, 80, 68, 78, 108, 76, 70, 97])
    equal_var = True
    if np.var(data1, ddof=1) > np.var(data2,ddof=1)*2 or np.var(data2,ddof=1) >np.var(data1, ddof=1)*2:
    	equal_var = False
    -, pval = stats.ttest_ind(data1, data2, equal_var=equal_var)
    # 结果:
    pval = 0.03205611305825045
    

    由于pval = 0.03205611305825045 < 0.05, 拒绝原假设,可以认为男女的脉搏率不相同。

    6. 联系交流

    -email: hflag@163.com
    -qq:532843488

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