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  • IEEE

    千次阅读 2013-10-25 23:13:41
    IEEE(全称the Institute of Electrical and Electronics Engineers,电气电子工程师学会),作为全球最大的专业技术组织,IEEE在全球160多个国家拥有40多万名会员。IEEE在电气电子工程、计算机、通信等领域技术文献占...

    IEEE(全称the Institute of Electrical and Electronics Engineers,电气电子工程师学会),作为全球最大的专业技术组织,IEEE在全球160多个国家拥有40多万名会员。IEEE在电气电子工程、计算机、通信等领域技术文献占到全球同类文献的30%,同时覆盖航空航天、纳米、图像科学、生物工程等多个领域。IEEE每年在全球举办1300多场学术会议,出版160多种国际顶尖科技期刊,并开发了1000多项行业标准。

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  • IEEE1394

    2006-11-29 14:40:00
    在工作站方面,IEEE1394是一个非常通用的接口,IEEE 1394的前身于1986年由苹果公司所草拟,苹果公司称之为FireWire,Sony公司则称之为i.Link,Texa Instruments公司称之为Lynx,实际上所有的商标名称都是指同一种...
    在工作站方面,IEEE1394是一个非常通用的接口,IEEE 1394的前身于1986年由苹果公司所草拟,苹果公司称之为FireWire,Sony公司则称之为i.Link,Texa Instruments公司称之为Lynx,实际上所有的商标名称都是指同一种技术——IEEE 1394。
        IEEE 1394是为了增强外部多媒体设备与电脑连接性能而设计的高速串行总线,传输速率可以达到400Mbps,利用IEE1394技术我们可以轻易地把电脑和摄像机,高速硬盘,音响设备等设备中存储的数据倒入到PC电脑中。它具有两种数据传输模式-同步(Isochonous)传输与非同步(Asynchronous)传输,同步传输模式会确保某一连线的频宽。对于即时影像而言这是相当重要的,因为影音数据都会有其时间上的限制,无法接受过久的延迟。
        IEEE 1394支持热插拔,可以自动侦测设备的加入与移出动作并对系统做重新整合,无须人工干预。IEEE 1394使用的线缆包括六根铜制导线,其中2条用于设备供电,提供8-30伏的电压,以及最大1.5安培的供电,另外4条用于数据信号传输。
        
        总体上说,IEEE-1394具有以下特点: 
        廉价 - 占用空间小 - 速度快 - 开放式标准 - 支持热插拔 - 可扩展的数据传输速率 - 拓扑结构灵活多样 - 完全数字兼容 - 可建立对等网络 - 同时支持同步和异步两种数据传输模式。


        上图为IEEE-1394串联线的切面示意图。从图中我们可以看出总共有6条铜质导线,其中2条用于设备供电,4条用于数据信号传输。  
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  • IEEE754 浮点数的表示方法

    万次阅读 多人点赞 2016-01-09 17:08:19
    IEEE754标准中规定float单精度浮点数在机器中表示用 1 位表示数字的符号,用 8 位来表示指数,用23 位来表示尾数,即小数部分。对于double双精度浮点数,用 1 位表示符号,用 11 位表示指数,52 位表示尾数,其中...

    在这里插入图片描述

    1.浮点数的存储格式

    浮点数(Floating-point Number)是对实数的一种近似表示,由一个有效数字(即尾数)加上幂数来表示,通常是乘以某个基数的整数次幂得到。以这种表示法表示的数值,称为浮点数。表示方法类似于基数为 10 的科学计数法。利用浮点进行运算,称为浮点计算,这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行近似或舍入。

    计算机对浮点数的表示规范遵循电气和电子工程师协会(IEEE)推出的 IEEE754 标准,浮点数在 C/C++ 中对应 float 和 double 类型,我们有必要知道浮点数在计算机中实际存储的内容。

    IEEE754 标准中规定 float 单精度浮点数在机器中表示用 1 位表示数字的符号,用 8 位表示指数,用 23 位表示尾数,即小数部分。对于 double 双精度浮点数,用 1 位表示符号,用 11 位表示指数,52 位表示尾数,其中指数域称为阶码。IEEE754 浮点数的格式如下图所示。
    这里写图片描述
    注意,IEE754 规定浮点数阶码 E 采用"指数e的移码-1"来表示,请记住这一点。为什么指数移码要减去 1,这是 IEEE754 对阶码的特殊要求,以满足特殊情况,比如对正无穷的表示。

    2.移码

    移码(又叫增码)是对真值补码的符号位取反,一般用作浮点数的阶码,引入的目的是便于浮点数运算时的对阶操作。

    对于定点整数,计算机一般采用补码的来存储。正整数的符号位为 0,反码和补码等同于原码。负整数符号位为1,原码、反码和补码的表示都不相同,由原码变成反码和补码有如下规则:
    (1)原码符号位为1不变,整数的每一位二进制数位求反得反码;
    (2)反码符号位为1不变,反码数值位最低位加1得补码。

    比如,以一个字节 8bits 来表示 -3,那么[−3]原=10000011[-3]_原=10000011[3]=10000011[−3]反=11111100[-3]_反=11111100[3]=11111100[−3]补=11111101[-3]_补=11111101[3]=11111101,那么 -3 的移码就是[−3]移=01111101[-3]_移=01111101[3]=01111101

    如何将移码转换为真值 -3 呢?先将移码转换为补码,再求值。

    3.浮点数的规格化

    若不对浮点数的表示作出明确规定,同一个浮点数的表示就不是唯一的。例如(1.75)10(1.75)_{10}(1.75)10可以表示成 1.11×201.11\times 2^01.11×200.111×210.111\times2^10.111×210.0111×220.0111\times2^20.0111×22 等多种形式。当尾数不为 0 时,尾数域的最高有效位为1,这称为浮点数的规格化。否则,以修改阶码同时左右移动小数点位置的办法,使其成为规格化数的形式。

    3.1 单精度浮点数真值

    IEEE754 标准中,一个规格化的 32 位浮点数 x 的真值表示为:
    x=(−1)S×(1.M)×2ex=(-1)^S\times(1.M)\times2^ex=(1)S×(1.M)×2e
    e=E−127e=E-127e=E127
    其中尾数域值是 1.M。因为规格化的浮点数的尾数域最左位总是 1,故这一位不予存储,而认为隐藏在小数点的左边。

    在计算指数 e 时,对阶码E的计算采用原码的计算方式,因此 32 位浮点数的 8bits 的阶码 E 的取值范围是 0 到 255。其中当E为全 0 或者全 1 时,是 IEEE754 规定的特殊情况,下文会另外说明。

    3.2 双精度浮点数真值

    64 位的浮点数中符号为 1 位,阶码域为 11 位,尾数域为 52 位,指数偏移值是 1023。因此规格化的 64 位浮点数 x 的真值是:
    x=(−1)S×(1.M)×2ex=(-1)^S\times(1.M)\times2^ex=(1)S×(1.M)×2e
    e=E−1023e=E-1023e=E1023

    4.浮点数的具体表示

    4.1 十进制到机器码

    (1)0.5
    0.5=(0.1)20.5=(0.1)_20.5=(0.1)2,符号位S为0,指数为e=−1e=-1e=1,规格化后尾数为1.0。

    单精度浮点数尾数域共23位,右侧以0补全,尾数域:
    M=[000 0000 0000 0000 0000 0000]2M=[000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2M=[000 0000 0000 0000 0000 0000]2

    阶码E:
    E=[−1]移−1=[0111 1111]2−1=[0111 1110]2E=[-1]_移-1=[0111\ 1111]_2-1=[0111\ 1110]_2E=[1]1=[0111 1111]21=[0111 1110]2

    对照单精度浮点数的存储格式,将符号位S,阶码E和尾数域M存放到指定位置,得0.5的机器码:
    0.5=[0011 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000]20.5=[0011\ 1111\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_20.5=[0011 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000]2

    十六进制表示为0.5=0x3f000000。

    (2)1.5
    1.5=[1.1]21.5=[1.1]_21.5=[1.1]2,符号位为0,指数e=0e=0e=0,规格化后尾数为1.1。

    尾数域M右侧以0补全,得尾数域:
    M=[100 0000 0000 0000 0000 0000]2M=[100\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2M=[100 0000 0000 0000 0000 0000]2

    阶码E:
    E=[0]移−1=[10000000]2−1=[01111111]2E=[0]_移-1=[1000 0000]_2-1=[0111 1111]_2E=[]1=[10000000]21=[01111111]2

    得1.5的机器码:
    1.5=[0011 1111 1100 0000 0000 0000 0000 0000]21.5=[0011\ 1111\ 1100\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_21.5=[0011 1111 1100 0000 0000 0000 0000 0000]2

    十六进制表示为1.5=0x3fc00000。

    (3)-12.5
    −12.5=[−1100.1]2-12.5=[-1100.1]_212.5=[1100.1]2,符号位S为1,指数e为3,规格化后尾数为1.1001,

    尾数域M右侧以0补全,得尾数域:
    M=[100 1000 0000 0000 0000 0000]2M=[100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2M=[100 1000 0000 0000 0000 0000]2

    阶码E:
    E=[3]移−1=[1000 0011]2−1=[1000 0010]2E=[3]_移-1=[1000\ 0011]_2-1=[1000\ 0010]_2E=[3]1=[1000 0011]21=[1000 0010]2

    即-12.5的机器码:
    −12.5=[1100 0001 0100 1000 0000 0000 0000 0000]2-12.5=[1100\ 0001\ 0100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_212.5=[1100 0001 0100 1000 0000 0000 0000 0000]2

    十六进制表示为-12.5=0xc1480000。

    用如下程序验证上面的推算,代码编译运行平台 Win32+VC++ 2012:

    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    int main() {
    	float a=0.5;
    	float b=1.5;
    	float c=-12.5;
    
    	unsigned int* pa=NULL;
    	pa=(unsigned int*)&a;
    	unsigned int* pb=NULL;
    	pb=(unsigned int*)&b;
    	unsigned int* pc=NULL;
    	pc=(unsigned int*)&c;
    	
    	cout<<hex<<"a=0x"<<*pa<<endl;
    	cout<<hex<<"b=0x"<<*pb<<endl;
    	cout<<hex<<"c=0x"<<*pc<<endl;
    	
    	return 0;
    }
    

    输出结果:

    a=0x3f000000
    b=0x3fc00000
    c=0xc1480000
    

    验证正确。

    4.2 机器码到十进制

    (1)若浮点数 x 的 IEEE754 标准存储格式为 0x41360000,那么其浮点数的十进制数值的推演过程如下:

    0x41360000=[0 10000010 011 0110 0000 0000 0000 0000]0x41360000=[0\ 10000010\ 011\ 0110\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]0x41360000=[0 10000010 011 0110 0000 0000 0000 0000]

    根据该浮点数的机器码得到符号位 S=0,指数 e=阶码-127=1000 0010-127=130-127=3

    注意,根据阶码求指数时,可以像上面直接通过 "阶码-127"求得指数e,也可以将阶码+1=移码阶码+1=移码+1=,再通过移码求其真值便是指数 e。比如上面阶码 10000010+1=10000011[移码]=>00000011[补]=3(指数e)10000010+1=10000011_{[移码]}=>00000011_{[补]}=3(指数e)10000010+1=10000011[]=>00000011[]=3(e)

    包括尾数域最左边的隐藏位 1,那么尾数 1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011。

    于是有:
    x=(−1)S×1.M×2e=+(1.011011)×23=+1011.011=(11.375)10x=(-1)^S\times1.M\times2^e=+(1.011011)\times2^3=+1011.011=(11.375)_{10}x=(1)S×1.M×2e=+(1.011011)×23=+1011.011=(11.375)10

    通过代码同样可以验证上面的推算:

    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    int main() {
    	unsigned int hex=0x41360000;
    	float* fp=(float*)&hex;
    	cout<<"x="<<*fp<<endl;
    	return 0;
    }
    

    输出结果:

    x=11.375
    

    验证正确。

    5.浮点数的几种特殊情况

    (1)0 的表示
    对于阶码为 0 或 255 的情况,IEEE754 标准有特别的规定:
    如果 阶码 E=0 并且尾数 M 是 0,则这个数的真值为 ±0(正负号和数符位有关)。

    因此 +0 的机器码为:0 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000。
    -0 的机器码为:1 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000。

    需要注意一点,浮点数不能精确表示 0,而是以很小的数来近似表示 0,因为浮点数的真值等于(以32bits单精度浮点数为例):
    x=(−1)S×(1.M)×2ex=(-1)^S\times(1.M)\times2^ex=(1)S×(1.M)×2e
    e=E−127e=E-127e=E127
    那么 +0 的机器码对应的真值为1.0×2−1271.0\times2^{-127}1.0×2127。同理,-0 机器码真值为−1.0×2−127-1.0\times2^{-127}1.0×2127

    (2)+∞+\infty+−∞-\infty 的表示
    如果阶码 E=255 并且尾数 M 全是0,则这个数的真值为 ±∞(同样和符号位有关)。因此+∞+\infty+的机器码为:0 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000。−∞-\infty的机器吗为:1 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000。

    (3)NaN(Not a Number)
    如果 E = 255 并且 M 不是0,则这不是一个数(NaN)。

    6.浮点数的精度和数值范围

    6.1 浮点数的数值范围

    根据上面的探讨,浮点数可以表示-∞到+∞,这只是一种特殊情况,显然不是我们想要的数值范围。

    以 32 位单精度浮点数为例,阶码 E 由 8 位表示,取值范围为 0-255,去除 0 和 255 这两种特殊情况,那么指数 e 的取值范围就是 1-127=-126 到 254-127=127。

    (1)最大正数
    因此单精度浮点数最大正数值的符号位S=0,阶码 E=254,指数e=254-127=127,尾数M=111 1111 1111 1111 1111 1111,其机器码为:0 11111110 111 1111 1111 1111 1111 1111。

    那么最大正数值:
    PosMax=(−1)S×1.M×2e=+(1.11111111111111111111111)×2127≈3.402823e+38PosMax=(-1)^S\times1.M\times2^e=+(1.111 1111 1111 1111 1111 1111)\times2^{127}\approx3.402823e+38PosMax=(1)S×1.M×2e=+(1.11111111111111111111111)×21273.402823e+38
    这是一个很大的数。

    (2)最小正数
    最小正数符号位 S=0,阶码 E=1,指数 e=1-127=-126,尾数 M=0,其机器码为 0 00000001 000 0000 0000 0000 0000 0000。

    那么最小正数为:
    PosMin=(−1)S×1.M×2e=+(1.0)×2−126≈1.175494e−38PosMin=(-1)^S\times1.M\times2^e=+(1.0)\times2^{-126} \approx1.175494e-38PosMin=(1)S×1.M×2e=+(1.0)×21261.175494e38

    这是一个相当小的数。几乎可以近似等于 0。当阶码 E=0,指数为 -127 时,IEEE754 就是这么规定1.0×2−1271.0\times2^{-127}1.0×2127近似为0的,事实上,它并不等于 0。

    (3)最大负数
    最大负数符号位S=1,阶码E=1,指数e=1-127==-126,尾数M=0,机器码与最小正数的符号位相反,其他均相同,为:1 00000001 000 0000 0000 0000 0000 0000。

    最大负数等于:
    NegMax=(−1)S×1.M×2e=−(1.0)×2−126≈−1.175494e−38NegMax=(-1)^S\times1.M\times2^e=-(1.0)\times2^{-126} \approx-1.175494e-38NegMax=(1)S×1.M×2e=(1.0)×21261.175494e38

    (4)最小负数
    符号位S=0,阶码E=254,指数e=254-127=127,尾数M=111 1111 1111 1111 1111 1111,其机器码为:1 11111110 111 1111 1111 1111 1111 1111。

    计算得:
    NegMin=(−1)S×1.M×2e=+(1.11111111111111111111111)×2127=−3.402823e+38NegMin=(-1)^S\times1.M\times2^e=+(1.111 1111 1111 1111 1111 1111)\times2^{127}=-3.402823e+38NegMin=(1)S×1.M×2e=+(1.11111111111111111111111)×2127=3.402823e+38

    6.2 浮点数的精度

    说到浮点数的精度,先给精度下一个定义。浮点数的精度是指浮点数的有效数字的最大位数,从左边第一个不为 0 的数字开始的个数。

    阶码的二进制位数决定浮点数的表示范围,尾数的二进制位数决定浮点数的精度。以 32 位浮点数为例,尾数域有 23 位,加上规格化后小数点前隐藏的一位 1,那么浮点数以二进制表示的话精度是 24 位,24 位所能表示的最大数是224−1=16,777,2152^{24}-1=16,777,2152241=16,777,215,共 8 位,所以 float 最多能表示十进制有效数字 8 位,但绝对能保证的为 7 位,即 float 的十进制精度为 7~8 位。

    下面代码验证一下:

    #include <iostream>
    #include <iomanip>
    using namespace std;
    
    int main() {
    	float a = 16777215; // 二进制源码 1111111 11111111 11111111 有效数字 24 位 => 机器码为 0 10010110 111111 11111111 11111111 = 0x4b7fffff
        float b = 16777215.5; // 二进制源码 1111111 11111111 11111111.1 有效数字超过 24 位,无法精确表示
        
    	unsigned int* pa=NULL;
    	pa=(unsigned int*)&a;
    	unsigned int* pb=NULL;
    	pb=(unsigned int*)&b;
    	
    	cout<<hex<<"a=0x"<<*pa<<endl;
    	cout<<hex<<"b=0x"<<*pb<<endl;
    	
    	cout<<setprecision(8)<<a<<endl;
    	cout<<setprecision(8)<<b<<endl;
    	
    	return 0;
    }
    

    运行输出:

    a=0x4b7fffff
    b=0x4b800000
    16777215
    16777216
    

    因为 16777215.5 转换为二进制后,有效数字超过了 24 位,所以进行了四舍五入,变成了 16777216。

    64 位双精度浮点数的尾数域 52 位,加上规格化后小数点前的 1 位 共 53 位,因 253−1=9,007,199,254,740,9912^{53}-1=9,007,199,254,740,9912531=9,007,199,254,740,991,共 16 位,所以双精度浮点数的十进制精度最高为 16 位,绝对保证 15 位,所以 double 的十进制精度为 15~16 位。

    7.小结

    本文操之过急,难免出现编辑错误和不当说法,请网友批评指正。不明之处,欢迎留言交流。对浮点数的加减乘除运算还未涉及,后续可能会去学习并记录学习所得,与大家分享。


    参考文献

    [1] 百度百科.移码
    [2] 百度知道.关于IEEE754标准浮点数阶码的移码
    [3] 白中英.计算机组成原理第四版[M].科学出版社:P16-30
    [4] 维基百科.浮点数

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    千次阅读 2019-05-13 17:24:00
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