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    Training Optimization for Hybrid MIMO Communication Systems 中LMMSE信道估计方法

    总论

    本文是北理工邢成文老师的一份工作,文章在HBF信道估计中基于互信息最大准则设计模拟权及导频方面填补了空白。主要针对massive MIMO的HBF架构,讨论非稀疏信道环境,在已知信道统计信息的基础上,提出了左右数字估计器的信道估计方法,在LMMSE(Linear minimum mean square error)准则下,得到了左右信道估计器以及接收端combing的最优结构,并在此基础上,基于合MSE最大化以及互信息最大化进行了发端模拟域权值以及导频序列设计。

    参考论文:C. Xing, D. Liu, S. Gong, W. Xu, S. Chen and L. Hanzo, “Training Optimization for Hybrid MIMO Communication Systems,” in IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 19, no. 8, pp. 5473-5487, Aug. 2020, doi: 10.1109/TWC.2020.2993694.

    算法内容

    系统模型

    对于HBF架构下的单时刻信道估计,我们有:
    Y D , 1 = G A , 1 H F A , 1 X 1 + G A , 1 N 1 \boldsymbol{Y}_{\mathrm{D}, 1}=\boldsymbol{G}_{\mathrm{A}, 1} \boldsymbol{H} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}, 1} \boldsymbol{X}_{1}+\boldsymbol{G}_{\mathrm{A}, 1} \boldsymbol{N}_{1} YD,1=GA,1HFA,1X1+GA,1N1
    如此信道估计无法实现,从数学角度来讲, G A , 1 \boldsymbol{G}_{\mathrm{A},1} GA,1列不满秩, F A , 1 X 1 \boldsymbol{F}_{\mathrm{A},1}\boldsymbol{X}_{1} FA,1X1行不满秩,信道矩阵 H \boldsymbol{H} H的信息在传输中会丢失,所以无法通过解方程组来进行信道估计;从物理角度来讲,一个 F A \boldsymbol{F}_\mathrm{A} FA对应一个方向的方向图,我们无法仅通过对信道一个方向的测量而求得整个空域的信道信息。虽然已经通过时刻 L L L对射频链缺失的自由度进行了补充,但是这仅是针对空域上一个方向,空域还需 K K K个时刻的自由度补充才行。 K N R F = N t KN_{RF}=N_{t} KNRF=Nt
    所以有: Y D = G A H F A X + G A N \boldsymbol{Y}_{\mathrm{D}}=\boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{H} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{N} YD=GAHFAX+GAN
    其中 G A = [ G A , 1 T ⋯ G A , K T ] T F A = [ F A , 1 ⋯ F A , K ] X = [ X 1 T ⋯ X K T ] T \begin{aligned} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} &=\left[\boldsymbol{G}_{\mathrm{A}, 1}^{\mathrm{T}} \cdots \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}, \mathrm{K}}^{\mathrm{T}}\right]^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} &=\left[\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}, 1} \cdots \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}, \mathrm{K}}\right] \\ \boldsymbol{X} &=\left[\boldsymbol{X}_{1}^{\mathrm{T}} \cdots \boldsymbol{X}_{K}^{\mathrm{T}}\right]^{\mathrm{T}} \end{aligned} GAFAX=[GA,1TGA,KT]T=[FA,1FA,K]=[X1TXKT]T
    该过程图示如下:在这里插入图片描述
    这里信道和噪声都用Kronecker模型: H = Σ H 1 2 H W Ψ H 1 2 N = Σ N 1 2 N W Ψ N 1 2 \boldsymbol{H}=\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{H}}^{\frac{1}{2}} \boldsymbol{H}_{\mathrm{W}} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}}^{\frac{1}{2}}\\ \boldsymbol{N}=\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{N}}^{\frac{1}{2}} \boldsymbol{N}_{\mathrm{W}} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}}^{\frac{1}{2}} H=ΣH21HWΨH21N=ΣN21NWΨN21
    其中 Σ H \boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{H}} ΣH Ψ H \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}} ΨH分别为发端及收端MIMO天线阵相关性矩阵。
    左右数字估计器的信道估计过程如下:
    H ^ = G D , L Y D G D , R \widehat{\boldsymbol{H}}=G_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{Y}_{\mathrm{D}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}} H =GD,LYDGD,R

    无信道统计信息的LS估计

    无信道统计信息的LS估计原理上类似于ZF,左右信道估计器既是接收信号的左伪逆及右伪逆,如下式:
    G D , L = ( G A H G A ) − 1 G A H G D , R = X H F A H ( F A X X H F A H ) − 1 \begin{array}{l} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}=\left(\boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}\right)^{-1} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \\ \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}}=\boldsymbol{X}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{X} \boldsymbol{X}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\right)^{-1} \end{array} GD,L=(GAHGA)1GAHGD,R=XHFAH(FAXXHFAH)1
    为了设计简单,这里让 G A \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} GA F A X \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{X} FAX正比于酉阵,即下式:
    G A H G A ∝ I , F A X X H F A H ∝ I \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} \propto \boldsymbol{I}, \quad \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{X} \boldsymbol{X}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \propto \boldsymbol{I} GAHGAI,FAXXHFAHI
    同理,令模拟权设计及导频设计正比于酉阵:
    F A F A H ∝ I X X A H ∝ I \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \propto \boldsymbol{I}\\ \boldsymbol{X} \boldsymbol{X}^{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}} \propto \boldsymbol{I} FAFAHIXXAHI
    故而 X \boldsymbol{X} X用单位阵, F A \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} FA G A \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} GA用DFT矩阵。

    基于统计信息的LMMSE估计

    由于 G A \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} GA的存在,我们无法对 H H H直接进行线性估计(由于 G A \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} GA的非线性恒模约束),而由于 Y D \boldsymbol{Y}_{\mathrm{D}} YD内部右侧的导频信息已知,所以右估计器的设计可以先一步进行,所以整体信道估计分为两步:首先估计 G D , L G A H \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{H} GD,LGAH并基于此设计 G D , R \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}} GD,R,之后基于 G D , L G A H \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{H} GD,LGAH估计 H \boldsymbol{H} H
    基于MSE,优化问题如下:
    Φ M S E ( F A , X , G A , G D , L , G D , R ) = E { ( G D , L Y D G D , R − G D , L G A H ) H ( G D , L Y D G D , R − G D , L G A H ) } = ( F A X G D , R − I ) H Ψ H Tr ⁡ ( Σ H G A H G D , L H G D , L G A ) ( F A X G D , R − I ) + G D , R H Ψ N G D , R Tr ⁡ ( G A H G D , L H G D , L G A Σ N ) \begin{aligned} \mathbf{\Phi}_{\mathrm{MSE}}\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}, \boldsymbol{X}, \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}, \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}, \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}}\right)=& \mathbb{E}\left\{\left(\boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{Y}_{\mathrm{D}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}}-\boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{H}\right)^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{Y}_{\mathrm{D}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}}-\boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{H}\right)\right\} \\ =&\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{X} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}}-\boldsymbol{I}\right)^{\mathrm{H}} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}} \operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}\right)\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{X} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}}-\boldsymbol{I}\right) \\ &+\boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}} \operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{N}}\right) \end{aligned} ΦMSE(FA,X,GA,GD,L,GD,R)==E{(GD,LYDGD,RGD,LGAH)H(GD,LYDGD,RGD,LGAH)}(FAXGD,RI)HΨHTr(ΣHGAHGD,LHGD,LGA)(FAXGD,RI)+GD,RHΨNGD,RTr(GAHGD,LHGD,LGAΣN)
    这是关于 G D , R \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}} GD,R的二次函数,所以通过矩阵求导可得最优的 G D , R \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}} GD,R结构:
    G D , R o p t = ( Tr ⁡ ( Σ H G A H G D , L H G D , L G A ) X H F A H Ψ H F A X + Ψ N Tr ⁡ ( G A H G D , L H G D , L G A Σ N ) ) − 1 X H F A H Ψ H × Tr ⁡ ( Σ H G A H G D , L H G D , L G A ) \begin{aligned} G_{\mathrm{D}, \mathrm{R}}^{\mathrm{opt}}=&\left(\operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}\right) \boldsymbol{X}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{X}\right.\\ &\left.+\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}} \operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{N}}\right)\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}} \\ & \times \operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}\right) \end{aligned} GD,Ropt=(Tr(ΣHGAHGD,LHGD,LGA)XHFAHΨHFAX+ΨNTr(GAHGD,LHGD,LGAΣN))1XHFAHΨH×Tr(ΣHGAHGD,LHGD,LGA)
    解出的最优 G D , R \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}} GD,R可以在半正定域使得MSE性能最优:
    Φ M S E ( F A , X , G A , G D , L , G D , R o p t ) ⪯ Φ M S E ( F A , X , G A , G D , L , G D , R ) \begin{aligned} \mathbf{\Phi}_{\mathrm{MSE}}\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}, \boldsymbol{X}, \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}},\right.&\left.\boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}, \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}}^{\mathrm{opt}}\right) \preceq \boldsymbol{\Phi}_{\mathrm{MSE}}\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}, \boldsymbol{X}, \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}, \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}, \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}}\right) \end{aligned} ΦMSE(FA,X,GA,GD,L,GD,Ropt)ΦMSE(FA,X,GA,GD,L,GD,R)
    将最优 G D , R \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}} GD,R带回原MSE,得:
    Φ M S E ( F A , X , G A , G D , L , G D , R o p t ) = Ψ H Tr ⁡ ( Σ H G A H G D , L H G D , L G A ) − Ψ H Tr ⁡ ( Σ H G A H G D , L H G D , L G A ) F A X × ( Tr ⁡ ( Σ H G A H G D , L H G D , L G A ) X H F A H Ψ H F A X + Ψ N Tr ⁡ ( G A H G D , L H G D , L G A Σ N ) ) − 1 X H F A H Ψ H Tr ⁡ ( Σ H G A H G D , L H G D , L G A ) . = Tr ⁡ ( Σ H G A H G D , L H G D , L G A ) ( Ψ H − 1 + Tr ⁡ ( Σ H G A H G D , L H G D , L G A ) F A X Ψ N − 1 X H F A H Tr ⁡ ( Σ N G A H G D , L H G D , L G A ) − 1 ) − 1 . \begin{array}{l} \mathbf{\Phi}_{\mathrm{MSE}}\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}, \boldsymbol{X}, \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}, \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}, \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}}^{\mathrm{opt}}\right) \\ =\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}} \operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}\right)-\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}} \operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}\right) \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{X} \\ \quad \times\left(\operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}\right) \boldsymbol{X}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}} \operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{N}}\right)\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}} \operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}\boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}\right). \\ =\operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}\right)\left(\Psi_{\mathrm{H}}^{-1}+\frac{\operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}\right) \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{X} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}}^{-1} \boldsymbol{X}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}}{\operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{N}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}\right)}^{-1}\right)^{-1}. \end{array} ΦMSE(FA,X,GA,GD,L,GD,Ropt)=ΨHTr(ΣHGAHGD,LHGD,LGA)ΨHTr(ΣHGAHGD,LHGD,LGA)FAX×(Tr(ΣHGAHGD,LHGD,LGA)XHFAHΨHFAX+ΨNTr(GAHGD,LHGD,LGAΣN))1XHFAHΨHTr(ΣHGAHGD,LHGD,LGA).=Tr(ΣHGAHGD,LHGD,LGA)(ΨH1+Tr(ΣNGAHGD,LHGD,LGA)Tr(ΣHGAHGD,LHGD,LGA)FAXΨN1XHFAH1)1.

    该优化问题中, Tr ⁡ ( Σ H G A H G D , L H G D , L G A ) \operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}\right) Tr(ΣHGAHGD,LHGD,LGA)可以看作一个放缩系数。到这里文章用了一个目标函数替换:如果对于该优化问题,要严格最小化MSE,我们完全可以让 G D , L \boldsymbol{G}_{\mathrm{D},\mathrm{L}} GD,L为0矩阵,而这显然与实际不符,所以我们考虑换一个目标函数进行设计。我们想到,在设计右估计器时,最好的情况自然是将 H \boldsymbol{H} H左右项直接消掉,而右估计器得设计由上面的最优结构已经完全转化为左估计器及HBF发端RF precoding及combining得问题,所以我们在设计左估计器时,有如下目标函数
    min ⁡ E { ∥ G D , L G A H − H ∥ F 2 } \min \mathbb{E}\left\{\left\|\boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{H}-\boldsymbol{H}\right\|_{F}^{2}\right\} minE{GD,LGAHHF2}
    其中最优左估计器我们有:
    G D , L o p t = ( G A H G A ) − 1 G A H \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{opt}}=\left(\boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}\right)^{-1} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} GD,Lopt=(GAHGA)1GAH
    这里要求 G A \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}} GA列满秩,所以采用DFT矩阵,则:
    G A = [ U D F T ] : , N G D , L = [ U D F T ] : , N H \begin{array}{l} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}=\left[\boldsymbol{U}_{\mathrm{DFT}}\right]_{:, N} \\ \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}=\left[\boldsymbol{U}_{\mathrm{DFT}}\right]_{:, N}^{\mathrm{H}} \end{array} GA=[UDFT]:,NGD,L=[UDFT]:,NH
    至此,原MSE最小化设计,在最优左右估计器结构以及收端RF combining的参与下,设计任务集中在发端模拟域权值设计以及训练序列设计:
    Φ M S E ( F A , X , G A , G D , L o p t , G D , R o p t ) = β 1 ( Ψ H − 1 + α 1 F A X Ψ N − 1 X H F A H ) − 1 ≜ Φ M S E ( F A , X ) \begin{array}{l} \mathbf{\Phi}_{\mathrm{MSE}}\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}, \boldsymbol{X}, \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}, \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{opt}}, \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{R}}^{\mathrm{opt}}\right) \\ \quad=\beta_{1}\left(\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}}^{-1}+\alpha_{1} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{X} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}}^{-1} \boldsymbol{X}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\right)^{-1} \\ \triangleq \boldsymbol{\Phi}_{\mathrm{MSE}}\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}, \boldsymbol{X}\right) \end{array} ΦMSE(FA,X,GA,GD,Lopt,GD,Ropt)=β1(ΨH1+α1FAXΨN1XHFAH)1ΦMSE(FA,X)
    其中:
    β 1 = Tr ⁡ ( Σ H G A H G D , L H G D , L G A ) = Tr ⁡ ( Σ H ) α 1 = Tr ⁡ ( Σ H G A H G D , L H G D , L G A ) Tr ⁡ ( Σ N G A H G D , L H G D , L G A ) = Tr ⁡ ( Σ H ) Tr ⁡ ( Σ N ) \begin{aligned} \beta_{1} &=\operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}\right)=\operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{H}}\right) \\ \alpha_{1} &=\frac{\operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}\right)}{\operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{N}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{D}, \mathrm{L}} \boldsymbol{G}_{\mathrm{A}}\right)}=\frac{\operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{H}}\right)}{\operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{\Sigma}_{\mathrm{N}}\right)} \end{aligned} β1α1=Tr(ΣHGAHGD,LHGD,LGA)=Tr(ΣH)=Tr(ΣNGAHGD,LHGD,LGA)Tr(ΣHGAHGD,LHGD,LGA)=Tr(ΣN)Tr(ΣH)
    故而后续问题可表述为下式:
    min ⁡ F A , X f ( Φ M S E ( F A , X ) )  s.t.  Tr ⁡ ( F A X X H F A H ) ≤ P , F A ∈ F \begin{array}{l} \min _{F_{\mathrm{A}}, \boldsymbol{X}} f\left(\boldsymbol{\Phi}_{\mathrm{MSE}}\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}, \boldsymbol{X}\right)\right) \\ \text { s.t. } \operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{X} \boldsymbol{X}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\right) \leq P, \quad \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \in \mathcal{F} \end{array} minFA,Xf(ΦMSE(FA,X)) s.t. Tr(FAXXHFAH)P,FAF
    我们设计 F A \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} FA X \boldsymbol{X} X,使得MSE的对应单调增函数最小,限制条件是发端功率。
    下面在两种准则下设计 F A \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} FA X \boldsymbol{X} X

    合MSE最小化

    基于上述将 G D , R o p t \boldsymbol{G}_{\mathrm{D,R}}^{\mathrm{opt}} GD,Ropt代入原MSE目标函数得到的新目标函数表达式,我们设计 F A \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} FA X \boldsymbol{X} X可将目标函数定为其去掉放缩系数的剩余项。则有如下式:
    min ⁡ F A , X Tr ⁡ ( ( Ψ H − 1 + α 1 F A X Ψ N − 1 X H F A H ) − 1 )  s.t.  Tr ⁡ ( F A X X H F A H ) ≤ P , F A ∈ F \begin{array}{l} \min _{F_{\mathrm{A}}, \boldsymbol{X}} \operatorname{Tr}\left(\left(\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}}^{-1}+\alpha_{1} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{X} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}}^{-1} \boldsymbol{X}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\right)^{-1}\right) \\ \text { s.t. } \operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{X} \boldsymbol{X}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\right) \leq P, \quad \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \in \mathcal{F} \end{array} minFA,XTr((ΨH1+α1FAXΨN1XHFAH)1) s.t. Tr(FAXXHFAH)P,FAF
    F A \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} FA是模拟域权值矩阵,则行满秩,故而 F A F A H \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}} FAFAH满秩,这里用 X ~ \widetilde{\boldsymbol{X}} X 代替 X \boldsymbol{X} X,有:
    X ~ = ( F A F A H ) 1 2 X \widetilde{\boldsymbol{X}}=\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\right)^{\frac{1}{2}} \boldsymbol{X} X =(FAFAH)21X
    代入上式目标函数可以转化为:
    min ⁡ F A , X Tr ⁡ ( ( Ψ H − 1 + α 1 F A ( F A F A H ) − 1 2 X ~ Ψ N − 1 X ~ H ( F A F A H ) − 1 2 F A H ) − 1 )  s.t.  Tr ⁡ ( F A ( F A F A H ) − 1 2 X ~ X ~ H ( F A F A H ) − 1 2 F A H ) ≤ P , F A ∈ F \begin{array}{l} \min _{\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}, \boldsymbol{X}} \operatorname{Tr}\left(\left(\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}}^{-1}+\alpha_{1} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\right)^{-\frac{1}{2}} \widetilde{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}}^{-1} \widetilde{\boldsymbol{X}}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\right)^{-\frac{1}{2}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\right)^{-1}\right) \\ \text { s.t. } \operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\right)^{-\frac{1}{2}} \widetilde{\boldsymbol{X}} \widetilde{\boldsymbol{X}}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\right)^{-\frac{1}{2}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\right) \leq P, \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \in \mathcal{F} \end{array} minFA,XTr((ΨH1+α1FA(FAFAH)21X ΨN1X H(FAFAH)21FAH)1) s.t. Tr(FA(FAFAH)21X X H(FAFAH)21FAH)P,FAF
    我们将 F A \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} FA Ψ H \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}} ΨH Ψ N \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}} ΨN用SVD拆开并代入原目标函数,如下式:
    F A = U F A Λ F A V F A H  with  Λ F A ↘ Ψ H = U Ψ H Λ Ψ H U Ψ H H  with  Λ Ψ H ↘ Ψ N = U ‾ Ψ N Λ ‾ Ψ N U ‾ Ψ N H  with  Λ ‾ Ψ N ↗ \begin{array}{l} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}=\boldsymbol{U}_{\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}} \boldsymbol{\Lambda}_{\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}} \boldsymbol{V}_{\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}}^{\mathrm{H}} \quad \text { with } \boldsymbol{\Lambda}_{\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}} \searrow\\ \Psi_{\mathrm{H}} =\boldsymbol{U}_{\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}}} \boldsymbol{\Lambda}_{\Psi_{\mathrm{H}}} \boldsymbol{U}_{\Psi_{\mathrm{H}}}^{\mathrm{H}} \text { with } \boldsymbol{\Lambda}_{\Psi_{\mathrm{H}}} \searrow \\ \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}} =\overline{\boldsymbol{U}}_{\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}}} \overline{\boldsymbol{\Lambda}}_{\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}}} \overline{\boldsymbol{U}}_{\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}}}^{\mathrm{H}} \text { with } \overline{\boldsymbol{\Lambda}}_{\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}}} \nearrow \end{array} FA=UFAΛFAVFAH with ΛFAΨH=UΨHΛΨHUΨHH with ΛΨHΨN=UΨNΛΨNUΨNH with ΛΨN
    目标函数被转化为:
    min ⁡ F A , X Tr ⁡ ( ( Ψ H − 1 + α 1 U F A [ V F A H X ~ Ψ N − 1 X ~ H V F A ] [ 1 : N R ; 1 : N R ] U F A H ) − 1 )  s.t.  Tr ⁡ ( [ V F A H X ~ X ~ H V F A ] [ 1 : N R ; 1 : N R ] ) ≤ P , F A ∈ F \begin{array}{l} \min _{F_{\mathrm{A}}, \boldsymbol{X}} \operatorname{Tr}\left(\left(\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}}^{-1}+\alpha_{1} \boldsymbol{U}_{\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}}\left[\boldsymbol{V}_{\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}}^{\mathrm{H}} \widetilde{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}}^{-1} \widetilde{\boldsymbol{X}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{V}_{\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}}\right]_{\left[1: N_{R} ; 1: N_{R}\right]} \boldsymbol{U}_{\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}}^{\mathrm{H}}\right)^{-1}\right) \\ \text { s.t. } \operatorname{Tr}\left(\left[\boldsymbol{V}_{\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}}^{\mathrm{H}} \widetilde{\boldsymbol{X}} \widetilde{\boldsymbol{X}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{V}_{\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}}\right]_{\left[1: N_{R} ; 1: N_{R}\right]}\right) \leq P, \quad \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \in \mathcal{F} \end{array} minFA,XTr((ΨH1+α1UFA[VFAHX ΨN1X HVFA][1:NR;1:NR]UFAH)1) s.t. Tr([VFAHX X HVFA][1:NR;1:NR])P,FAF
    这里这样处理是为了凑如下形式:
    Tr ⁡ ( A + B ) − 1 ≥ ∑ i 1 / ( λ A , i + λ B , N − i + 1 ) \operatorname{Tr}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1} \geq \sum_{i} 1 /\left(\lambda_{\boldsymbol{A}, i}+\lambda_{\boldsymbol{B}, N-i+1}\right) Tr(A+B)1i1/(λA,i+λB,Ni+1)
    去等条件为:
    U A = U ‾ B \boldsymbol{U}_{\boldsymbol{A}}=\overline{\boldsymbol{U}}_\boldsymbol{B} UA=UB
    其中:
    A = U A Λ A U A H  with  Λ A ↘ B = U ‾ B Λ ‾ B U ‾ B H  with  Λ ‾ B ↗ . \begin{array}{ll} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{U}_{\boldsymbol{A}} \boldsymbol{\Lambda}_{\boldsymbol{A}} \boldsymbol{U}_{\boldsymbol{A}}^{\mathrm{H}} & \text { with } \boldsymbol{\Lambda}_{\boldsymbol{A}} \searrow \\ \boldsymbol{B}=\overline{\boldsymbol{U}}_{\boldsymbol{B}} \overline{\boldsymbol{\Lambda}}_{\boldsymbol{B}} \overline{\boldsymbol{U}}_{\boldsymbol{B}}^{\mathrm{H}} & \text { with } \overline{\boldsymbol{\Lambda}}_{\boldsymbol{B}} \nearrow . \end{array} A=UAΛAUAHB=UBΛBUBH with ΛA with ΛB.
    这样的形式可以用矩阵单调优化框架来解,详情见C. Xing, S. Ma and Y. Zhou, “Matrix-Monotonic Optimization for MIMO Systems,” in IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 63, no. 2, pp. 334-348, Jan.15, 2015, doi: 10.1109/TSP.2014.2373332.
    由此有两个结论:
    1、最优 X ~ \widetilde{\boldsymbol{X}} X 为:
    X ~ = V F A diag ⁡ { U F A H U Ψ H Λ X , 0 } U ‾ Ψ N H \widetilde{\boldsymbol{X}}=\boldsymbol{V}_{\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}} \operatorname{diag}\left\{\boldsymbol{U}_{\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{U}_{\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}}} \boldsymbol{\Lambda}_{\boldsymbol{X}}, \boldsymbol{0}\right\} \overline{\boldsymbol{U}}_{\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}}}^{\mathrm{H}} X =VFAdiag{UFAHUΨHΛX,0}UΨNH
    2、将结论1代入目标函数, F A \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} FA被消掉了,证明 F A \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} FA的选取并不影响目标函数,只要满足其行满秩及恒模约束的要求即可,故而可以取DFT矩阵。
    基于结论1,原目标函数可以被化简为如下的优化问题:
    min ⁡ { f i 2 } ∑ i 1 1 λ Ψ H , i + α 1 f i 2 λ Ψ N , i s . t . ∑ i f i 2 ≤ P \begin{array}{l} \min _{\left\{f_{i}^{2}\right\}} \sum_{i} \frac{1}{\frac{1}{\lambda_{\Psi_{\mathrm{H}, i}}}+\frac{\alpha_{1} f_{i}^{2}}{\lambda_{\Psi_{\mathrm{N}, i}}}} \\ s.t. \sum_{i} f_{i}^{2} \leq P \end{array} min{fi2}iλΨH,i1+λΨN,iα1fi21s.t.ifi2P
    其中 f i = [ Λ X ] i , i , λ Ψ H , i = [ Λ Ψ H ] i , i , λ Ψ N , i = [ Λ Ψ N ] i , i f_{i}=\left[\boldsymbol{\Lambda}_{\boldsymbol{X}}\right]_{i, i}, \lambda_{\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H},i}}=\left[\boldsymbol{\Lambda}_{\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}}}\right]_{i, i},\lambda_{\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N},i}}=\left[\boldsymbol{\Lambda}_{\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}}}\right]_{i, i} fi=[ΛX]i,i,λΨH,i=[ΛΨH]i,iλΨN,i=[ΛΨN]i,i该问题可用标准注水法求解,最优解为:
    f i 2 = ( λ Ψ N , i α 1 μ − λ Ψ N , i α 1 λ Ψ H , i ) + f_{i}^{2}=\left(\sqrt{\frac{\lambda_{\Psi_{\mathrm{N}}, i}}{\alpha_{1} \mu}}-\frac{\lambda_{\Psi_{\mathrm{N}}, i}}{\alpha_{1} \lambda_{\Psi_{\mathrm{H}}, i}}\right)^{+} fi2=(α1μλΨN,i α1λΨH,iλΨN,i)+

    互信息最大

    互信息最大的设计思路与上述合MSE最小完全相同,即:设计目标函数,改写 X \boldsymbol{X} X代入,凑出矩阵单调优化框架的形式,最后用注水法求解,具体如下:
    优化问题:
    max ⁡ F A , X log ⁡ ∣ Ψ H − 1 + α 1 F A X Ψ N − 1 X H F A H ∣  s.t.  Tr ⁡ ( F A X X H F A H ) ≤ P , F A ∈ F \begin{array}{l} \max _{\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}, \boldsymbol{X}} \log \left|\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}}^{-1}+\alpha_{1} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{X} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}}^{-1} \boldsymbol{X}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\right| \\ \text { s.t. } \operatorname{Tr}\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{X} \boldsymbol{X}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\right) \leq P, \quad \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \in \mathcal{F} \end{array} maxFA,XlogΨH1+α1FAXΨN1XHFAH s.t. Tr(FAXXHFAH)P,FAF
    利用 X ~ = ( F A F A H ) 1 2 X \widetilde{\boldsymbol{X}}=\left(\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\right)^{\frac{1}{2}} \boldsymbol{X} X =(FAFAH)21X
    凑出矩阵单调优化框架,最终得到 F A \boldsymbol{F}_{\mathrm{A}} FA可以设计为DFT矩阵,且 X ~ \widetilde{\boldsymbol{X}} X 的最优结构为: X ~ = V F A diag ⁡ { U F A H U Ψ H Λ X , 0 } U Ψ N H \widetilde{\boldsymbol{X}}=\boldsymbol{V}_{\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}} \operatorname{diag}\left\{\boldsymbol{U}_{\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{U}_{\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}}} \boldsymbol{\Lambda}_{\boldsymbol{X}}, \boldsymbol{0}\right\} \boldsymbol{U}_{\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}}}^{\mathrm{H}} X =VFAdiag{UFAHUΨHΛX,0}UΨNH。简化后的优化问题为:
    max ⁡ { f i 2 } ∑ i log ⁡ ( 1 λ Ψ H , i + α 1 f i 2 λ Ψ N , i )  s.t.  ∑ i f i 2 ≤ P \begin{array}{l} \max _{\left\{f_{i}^{2}\right\}} \sum_{i} \log \left(\frac{1}{\lambda_{\Psi_{\mathrm{H}, i}}}+\frac{\alpha_{1} f_{i}^{2}}{\lambda_{\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}, i}}}\right) \\ \text { s.t. } \sum_{i} f_{i}^{2} \leq P \end{array} max{fi2}ilog(λΨH,i1+λΨN,iα1fi2) s.t. ifi2P
    最优解可由标准注水法得到:
    f i 2 = ( 1 μ − λ Ψ N , i α 1 λ Ψ H , i ) + f_{i}^{2}=\left(\frac{1}{\mu}-\frac{\lambda_{\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{N}}, i}}{\alpha_{1} \lambda_{\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{H}}, i}}\right)^{+} fi2=(μ1α1λΨH,iλΨN,i)+

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  • OFDM中LMMSE信道估计

    千次阅读 2021-02-25 11:07:41
    receiver_lmmse(signal_tx, signal_rx, input_symbols, FFTLen, CPLen, M, w, SNRdB); store_output(sym,:) = signal_recovered; store_error(sym,:) = error_sym.'; end %=============== Simulation End ========...

     
    clear all;
    close all;
    %=============== Some standard Hyperlan Params ==================
    T = 50e-9; % System sampling period 
    fs = 1/T; % System sampling freq = 20MHz 
    Tcp = 16*T; % CP period
    Tu = 64*T; % Useful symbol period
    Ts = Tu+Tcp; % OFDM Symbol period 80 samples
    delta_f = 0.3125e6; % Frequency spacing

    FFTLen = 64; % Length of FFT.
    CPLen = 16;  % Length of Cyclic Prefix
    M = 4;       % Bits encoded in a QAM symbol.
    Ns = 10;      % Number of Symbols/Carrier
    %F = 3;        % Order of the filter
    w = ones(FFTLen, 1);   % Filter coefficients, initialised to zero order 10 by default.
    SNRdB = 0;   % SNR of AWGN in channel in dB

    store_input = zeros(Ns, FFTLen*M); % Used to calculate BER at the end.
    store_output = zeros(Ns, FFTLen*M);
    store_error = zeros(Ns, FFTLen);
    %=================== Simulation ===============================
    for sym=1:Ns
        %----------- Data genration ------------------
        input = rand(1,FFTLen*M) > 0.5; %transmits one symbol
        store_input(sym,:) = input;
        %----------- Transmit Data -------------------
        [signal_tx, input_symbols] = transmitter(input, FFTLen, CPLen, M);
        %----------- Channel the data ----------------
        signal_rx = channel(signal_tx, SNRdB);
        %-------------- Receiver ---------------------
        [signal_recovered, w, error_sym] = ...
            receiver_lmmse(signal_tx, signal_rx, input_symbols, FFTLen, CPLen, M, w, SNRdB);
        store_output(sym,:) = signal_recovered;
        store_error(sym,:) = error_sym.';
    end
    %=============== Simulation End ============================

    %==================== BER Calculation =========================
    errors = abs(store_input - store_output);
    num_errors = sum(sum(errors));
    BER = num_errors/(FFTLen*M*Ns)

    %=================== Plot Equlaizer Convergence ==================
    figure(10);
    error_samples = reshape(store_error.',1,(FFTLen)*Ns);
    semilogy(abs(error_samples.^2)), ...
        title('Zero Force Equalizer Error Over 10 Symbols') ...
        ,ylabel('Error Squared'), xlabel('OFDM Symbol');

    %==================== END FILE ===================================

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  • #资源达人分享计划#
  • lmmse算法现在研究已经十分完善了,改进的算法减小了其复杂度
  • LS_LMMSE_lr_LMMSE_信道估计.zip
  • LS_LMMSE_lr_LMMSE_信道估计_源码.zip
  • 常用的两种信道估计算法,基于matlab,可以正常运行
  • 具有多个天线的中继网络上的迭代LMMSE信道估计
  • 使用 LS、LMMMSE 和计算效率高的 LMMMSE 方法。 % Ref:JJ Van de Beek,“OFDM 系统中的同步和信道估计”,博士论文,九月。 1998年
  • 参考文献:O. Edfors, M. Sandell, J. -。 van de Beek、SK Wilson 和 P... Ola Borjesson,“通过奇异值分解进行 OFDM 信道估计”,车辆技术会议论文集 - VTC,美国佐治亚州亚特兰大,1996 年,第 923-927 卷第 2 卷。
  • OFDM信道估计,实现了LMMSE算法,对于初学者又很大帮助
  • LMMSE估计信道均衡中的应用,主要包括两个代码及一份实验文档
  • 基于matlab的lmmse信道均衡算法仿真,很好用,适用于初学者学习探讨
  • 传统频域LMMSE维纳滤波插值算法性能优异,但其计算复杂度太高而难以实现,针对该问题,提出了一种基于LMMSE的分块滑窗信道估计算法,通过对信道自相关矩阵实行分块确定维纳滤波抽头数,降低了计算复杂度,通过滑窗...
  • 为了提高MIMO OFDM系统在信道信息估计不准确时的译码性能,提出了一种基于SAGE(空间交替...经过仿真验证,该算法的性能优于LMMSE信道估计+ML译码算法的性能,运算复杂度低于EM算法。基于SAGE算法的信道估计和检测联
  • CR中导频模式对信道估计性能的影响,章蔚,,针对认知无线电(CR)中频段不连续的特点,文章首先介绍了认知无线电OFDM系统中联合LMMSE信道估计算法的原理.然后比较了这种算法在不
  • 尽管现有的所提出的技术在计算复杂度和它们的均方误差(MSE)性能方面不同,但已经观察到许多信道估计技术确实是LMMSE信道估计技术的子集。因此,基于给定系统的资源和规范,可以应用所呈现的技术中的合适方法。
  • LTE学习-信道估计(MMSE算法/LMMSE算法)

    万次阅读 多人点赞 2019-11-07 07:45:43
    上一篇对LS算法做了一个简单...其中H为信道响应的真实值,H ̃为信道响应的估值。MMSE的目的就是找一个矩阵W,来让WY更加接近于x。令 进而得到 进而得到: 接下来对R_hy和R_yy单独做分析。 最后得...

    上一篇对LS算法做了一个简单的学习,现在再学习 MMSE算法。
    MMSE是最小均方误差算法,性能方面优于LS算法,但复杂度过高。MMSE算法是在LS算法的基础上发展的,主要目的是为了消除噪声的影响,公式为:
    在这里插入图片描述
    其中H为信道响应的真实值,H ̃为信道响应的估值。MMSE的目的就是找一个矩阵W,来让WY更加接近于x。令
    在这里插入图片描述
    进而得到
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    进而得到:
    在这里插入图片描述
    R_hy是参考信号处信道频率响应和接收信号之间的互相关矩阵,R_yy是参考信号处接收信号之间的自相关矩阵,接下来对R_hy和R_yy单独做分析。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    最后得到:
    在这里插入图片描述
    上式为MMSE的公式, MMSE信道估计算法是以LS估计算法为基础的,同时又考虑了噪声的影响,估计的性能要远远好于LS估计算法。MMSE算法的缺点是计算量大,特别是矩阵的求逆过程是相当的复杂,这在实际应用中很难实现的。
    LMMSE算法在MMSE算法上进行了简单的改进,用平均功率
    在这里插入图片描述
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    QPSK时,β=1;16QAM时,β=17/9;64QAM时,β=2.6857。虽然LMMSE计算较MMSE少了一个求逆,但是即使这样,计算量还是很大,所以一般也不采用。

    展开全文
  • OFDM信道估计算法仿真

    2012-05-16 14:50:09
    OFDM基于块状导频的信道估计算法仿真,包括LS LMMSE估计算法

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lmmse信道估计