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  • 无源汇上下界可行流

    2018-02-28 14:49:04
    无源汇上下界可行流:没有源汇的上下界网络流。因为只需要满足每个点流量守恒,所以一般求可行流。 求解方法 令每条边的流量等于流量下界,得到一个初始流,然后建出这个流的残量网络。 因为初始流的流量不一定...

    %%%liu_runda

    前置技能

    最大流

    定义

    上下界网络流流:每条边的流量除了上界还有下界。
    无源汇上下界可行流:没有源汇的上下界网络流。因为只需要满足每个点流量守恒,所以一般求可行流。

    求解方法

    令每条边的流量等于流量下界,得到一个初始流,然后建出这个流的残量网络。

    因为初始流的流量不一定守恒,所以我们考虑建一个附加流,使得这个附加流加上初始流之后达到守恒。就像这样:
    如果某个点在初始流中满足流量守恒,那么这个点在附加流中也满足流量守恒。
    如果某个点在初始流中流入量比流出量多xx,那么这个点在附加流中的流出量比流入量少xx
    如果某个点在初始流中流入量比流出量少xx,那么这个店在附加流中的流出量比流入量多xx

    而实际上,我们只需要建一个源点ssss和汇点tttt。对于第二种情况,连一条ss>iss−>i的容量为xx的边。第三种情况,连一条i>tti−>tt的容量为x−x的边。如果存在一种可行流使得ss>ttss−>tt满流,那么说明存在可行流。而满流就是求解最大流。此时原网络中每条边的流量就是下界+这条边的流量。

    模板

    ZOJ2314

    #include<cctype>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #define N 205
    #define M ((N*(N+1))<<1)
    #define F inline
    #define inf 0x7fffffff
    using namespace std;
    struct edge{ int next,to,v,flow; }ed[M];
    int n,m,k,t,ss,tt,sum,ans; bool f[N];
    int h[N],l[M],cp[N],dis[N],que[N],A[N];
    F char readc(){
        static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
        if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
        if (l==r) return EOF; return *l++;
    }
    F int _read(){
        int x=0; char ch=readc();
        while (!isdigit(ch)) ch=readc();
        while (isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=readc();
        return x;
    }
    F void writec(int x){ if (x>9) writec(x/10); putchar(x%10+48); }
    F void _write(int x){ writec(x),putchar('\n'); }
    //以上为IO优化
    F void addedge(int x,int y,int z){
        ed[k]=(edge){h[x],y,z,0},h[x]=k++;
        ed[k]=(edge){h[y],x,0,0},h[y]=k++;
    }
    F bool bfs(){
        memset(f,false,sizeof(f));
        int r=0,w=1; dis[ss]=0,f[ss]=true,que[1]=ss;
        while (r<w)
            for (int x=que[++r],i=h[x],v;~i;i=ed[i].next)
                if (!f[v=ed[i].to]&&ed[i].v>ed[i].flow)
                    dis[v]=dis[x]+1,f[v]=true,que[++w]=v;
        return f[tt];
    }
    int dfs(int x,int rem){
        if (x==tt||!rem) return rem; int sum=0;
        for (int &i=cp[x];~i;i=ed[i].next)
            if (dis[ed[i].to]==dis[x]+1){
                int p=dfs(ed[i].to,min(rem,ed[i].v-ed[i].flow));
                if (p) sum+=p,ed[i].flow+=p,ed[i^1].flow-=p,rem-=p;
                if (!rem) break;
            }
        return sum;
    }
    F int mf(){
        int ans=0;
        while (bfs())
            memcpy(cp,h,sizeof(h)),ans+=dfs(ss,inf);
        return ans;
    }
    //以上为Dinic板子
    int main(){
        for (t=_read();t;t--){
            n=_read(),m=_read(),ss=0,tt=n+1;
            memset(h,-1,sizeof(h)),k=sum=0;
            memset(A,0,sizeof(A));//A[]存的就是x
            for (int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
                x=_read(),y=_read(),l[i]=_read(),z=_read();
                A[x]-=l[i],A[y]+=l[i],addedge(x,y,z-l[i]);//初始流
            }
            for (int i=1;i<=n;i++)//附加流
                if (A[i]>0) addedge(ss,i,A[i]),sum+=A[i];
                else if (A[i]<0) addedge(i,tt,-A[i]);
            if (mf()!=sum) puts("NO");//是否满流
            else{
                puts("YES");
                for (int i=0;i<(m<<1);i+=2)
                    _write(ed[i].flow+l[i/2+1]);
            }
            if (t>1) putchar('\n');
        }
    }
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  • 求一种可行方案使得在所有点满足流量平衡条件的前提下,所有边满足流量限制。 输入格式 第一行包含两个整数 n 和 m。 接下来 m 行,每行包含四个整数 a,b,c,d 表示点 a 和 b 之间存在一条有向边,该边的流量下界为 c...

    给定一个包含 n 个点 m 条边的有向图,每条边都有一个流量下界和流量上界。

    求一种可行方案使得在所有点满足流量平衡条件的前提下,所有边满足流量限制。

    输入格式
    第一行包含两个整数 n 和 m。

    接下来 m 行,每行包含四个整数 a,b,c,d 表示点 a 和 b 之间存在一条有向边,该边的流量下界为 c,流量上界为 d。

    点编号从 1 到 n。

    输出格式
    如果存在可行方案,则第一行输出 YES,接下来 m 行,每行输出一个整数,其中第 i 行的整数表示输入的第 i 条边的流量。

    如果不存在可行方案,直接输出一行 NO。

    如果可行方案不唯一,则输出任意一种方案即可。

    数据范围
    1≤n≤200,
    1≤m≤10200,
    1≤a,b≤n,
    0≤c≤d≤10000

    输入样例1:
    4 6
    1 2 1 3
    2 3 1 3
    3 4 1 3
    4 1 1 3
    1 3 1 3
    4 2 1 3
    输出样例1:
    YES
    1
    2
    3
    2
    1
    1
    输入样例2:
    4 6
    1 2 1 2
    2 3 1 2
    3 4 1 2
    4 1 1 2
    1 3 1 2
    4 2 1 2
    输出样例2:
    NO
    
    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N = 210;
    const int M = (N + 10200) * 2;
    const int INF = 0x3f3f3f3f;
    struct Edge{
        int v,next,low,high,w;
    }edge[M];
    int A[N];
    int head[N],cnt;
    void add(int u,int v,int l,int h){
        //正向边
        edge[cnt].v = v;
        edge[cnt].low = l;
        edge[cnt].high = h;
        edge[cnt].w = h - l;
        edge[cnt].next = head[u];
        head[u] = cnt ++;
    }
    int n,m,s,e;
    int d[N],cur[N],q[N],tt = 0,hh = 0;
    bool bfs(){
        memset(d,-1,sizeof d);
        hh = 0,tt = 0;
        d[s] = 0,q[tt ++] = s,cur[s] = head[s];
        while(hh < tt){
            int t = q[hh ++];
            for(int i = head[t];~i;i = edge[i].next){
                int v = edge[i].v,w = edge[i].w;
                if(d[v] == -1 && w){
                    d[v] = d[t] + 1;
                    cur[v] = head[v];
                    if(v == e)return true;
                    q[tt ++] = v;
                }
            }
        }
        return false;
    }
    int dfs(int u,int limit){
        if(u == e)return limit;
        int flow = 0;
        for(int i = cur[u];~i && flow < limit;i = edge[i].next){
            int v = edge[i].v,w = edge[i].w;
            cur[u] = i;
            if(d[v] == d[u] + 1 && w > 0){
                int t = dfs(v,min(limit - flow,w));
                if(!t)d[v] = -1;
                flow += t,edge[i].w -= t,edge[i ^ 1].w += t;
            }
        }
        return flow;
    }
    int dinic(){
        int maxflow = 0,flow;
        while(bfs())while(flow = dfs(s,INF))maxflow += flow;
        return maxflow;
    }
    int main(){
        memset(head,-1,sizeof head);
        cin>>n>>m;
        int x,y,l,h;
        s = 0,e = n + 1;
        for(int i = 1;i <= m;i ++){
            cin>>x>>y>>l>>h;
            add(x,y,l,h);
            add(y,x,0,0);               
            A[y] += l,A[x] -= l;        //如果一个点流入流量需要减去的流量大于流出流量需要减去的值,那么需要从S连一个边到这个点
        }                               //如果一个点流入流量需要减去的流量小于流出流量需要减去的值,那么需要从这个点连一个边到E
        int tot = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i ++){
            if(A[i] > 0)add(s,i,0,A[i]),add(i,s,0,0),tot += A[i];       //
            else if(A[i] < 0)add(i,e,0,-A[i]),add(e,i,0,0);
        }
        if(tot != dinic())cout<<"NO"<<endl;     //跑一遍Dinic之后S的出流全满,E的流入流也全满。因为需要满足流量守恒
        else{
            cout<<"YES"<<endl;
            for(int i = 0;i < 2 * m;i += 2){
                cout<<edge[i ^ 1].w + edge[i].low<<endl;    //当前边的流量等于残差网络反向边的流量
            }
        }
        return 0;
    }
    
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  • 无源汇上下界可行流建图:

    无源汇上下界可行流建图:

    1、对于每一条边(u,v,x,y)建边add(u,v,y-x)

    2、新建源点S,汇点T,对于in[i]>0,add(S,i,in[i]),对于in[i]<0,add(i,T,-in[i])

    3、跑一遍最大流看ans是否等于sum即可


    代码:

    //Isap算法,复杂度O(n^2m)
    #pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
    #include <iostream>
    #include <string.h>
    #include <stdio.h>
    #include <algorithm>
    #include <vector>
    #include <string>
    #include <math.h>
    #include <queue>
    #include <stack>
    #include <map>
    #include <set>
    using namespace std;
    typedef long long ll;   //记得必要的时候改成无符号
    const int maxn=505;
    const int maxm=1000005;
    const int INF=1000000000;
    struct EdgeNode
    {
        int from;
        int to;
        int cap;
        int cost;
        int next;
    }edge[maxm];
    int head[maxn],cnt;
    void add(int x,int y,int z)
    {
        edge[cnt].from=x;edge[cnt].to=y;edge[cnt].cap=z;edge[cnt].cost=z;edge[cnt].next=head[x];head[x]=cnt++;
        edge[cnt].from=y;edge[cnt].to=x;edge[cnt].cap=0;edge[cnt].cost=0;edge[cnt].next=head[y];head[y]=cnt++;
    }
    
    void init()
    {
        cnt=0;
        memset(head,-1,sizeof(head));
    }
    
    int S,T,n,m;
    int d[maxn],gap[maxn],curedge[maxn],pre[maxn];
    //curedge[]为当前弧数组,pre为前驱数组
    
    int sap(int S,int T,int n)
    {
        int cur_flow,flow_ans=0,u,tmp,neck,i;
        memset(d,0,sizeof(d));
        memset(gap,0,sizeof(gap));
        memset(pre,-1,sizeof(pre));
        for(i=0;i<=n;i++)curedge[i]=head[i]; //初始化当前弧为第一条邻接表
        gap[0]=n;
        u=S;
        while(d[S]<n)             //当d[S]>=n时,网络中肯定出现了断层
        {
            if(u==T)
            {
                cur_flow=INF;
                for(i=S;i!=T;i=edge[curedge[i]].to)
                {                           //增广成功,寻找瓶颈边
                    if(cur_flow>edge[curedge[i]].cost)
                    {
                        neck=i;
                        cur_flow=edge[curedge[i]].cost;
                    }
                }
                for(i=S;i!=T;i=edge[curedge[i]].to)
                {                             //修改路径上的边容量
                    tmp=curedge[i];
                    edge[tmp].cost-=cur_flow;
                    edge[tmp^1].cost+=cur_flow;
                }
                flow_ans+=cur_flow;
                u=neck;                     //下次增广从瓶颈边开始
            }
            for(i=curedge[u];i!=-1;i=edge[i].next)
                if(edge[i].cost&&d[u]==d[edge[i].to]+1)
                   break;
            if(i!=-1)
            {
                curedge[u]=i;
                pre[edge[i].to]=u;
                u=edge[i].to;
            }
            else
            {
                if(0==--gap[d[u]])break;    //gap优化
                curedge[u]=head[u];
                for(tmp=n,i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
                    if(edge[i].cost)
                       tmp=min(tmp,d[edge[i].to]);
                d[u]=tmp+1;
                ++gap[d[u]];
                if(u!=S)u=pre[u];           //重标号并且从当前点前驱重新增广
            }
        }
        return flow_ans;
    }
    
    int in[maxn];
    int low[maxm],id[maxm];
    
    int main()
    {
        int t,i,x,y,l,r,sum,ans;
        scanf("%d",&t);
        while(t--){
            scanf("%d%d",&n,&m);
            memset(in,0,sizeof(in));
            init(); sum=0;
            S=0; T=n+1;
            for(i=1;i<=m;i++){
                scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&l,&r);
                add(x,y,r-l);
                in[y]+=l;
                in[x]-=l;
                id[i]=cnt-2;
                low[cnt-2]=l;
            }
            for(i=1;i<=n;i++){
                if(in[i]>0)add(S,i,in[i]),sum+=in[i];
                if(in[i]<0)add(i,T,-in[i]);
            }
            n=T+1;
            ans=sap(S,T,n);
            if(ans!=sum)printf("NO\n");
            else{
                printf("YES\n");
                for(i=1;i<=m;i++)
                {
                    printf("%d\n",edge[id[i]].cap-edge[id[i]].cost+low[id[i]]);
                }
            }
        }
        return 0;
    }
    



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  • 题目链接:https://loj.ac/problem/116无源汇上下界可行流模板题。具体讲解见:http://blog.csdn.net/winter2121/article/details/79430071下面有dinic算法和sap算法。SAP算法中,每条边的流量就是反向边的cap原图中...

    题目链接:https://loj.ac/problem/116

    无源汇上下界可行流模板题。具体讲解见:http://blog.csdn.net/winter2121/article/details/79430071

    下面有dinic算法和sap算法。SAP算法中,每条边的流量就是反向边的cap

    原图中每条边的真实流量 = 自由流+下界流。 自由流就是dinic所得最大流,原图是将下界分离出来的,故+下界流

    【dinic算法】

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int INF=0x3f3f3f3f;
    const int N=220;
    struct node{
        int t,cap,flow,next;    //cap容量,flow流量
    }e[N*N];
    int head[N],vish[N],cnt;
    void add(int u,int v,int cap)   //u->v容量为cap
    {
        e[cnt]=node{v,cap,0,head[u]};
        head[u]=cnt++;
        e[cnt]=node{u,0,0,head[v]};   //容量为0的反向边
        head[v]=cnt++;
    }
    int d[N];    //bfs深度
    bool bfs(int s,int t)   //O(n+m)
    {
        memset(d,0,sizeof(d));
        queue<int>q;
        q.push(s);
        d[s]=1;
        while(!q.empty())
        {
            int u=q.front();q.pop();
            for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)
            {
                int v=e[i].t;
                if(d[v]==0&&e[i].cap-e[i].flow>0)
                {
                    d[v]=d[u]+1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
        return d[t]>0;     //存在增广路
    }
    int dfs(int s,int t,int minedge)
    {
        if(s==t)return minedge;
        int flow=0;    //从当前s点流出的流量
        for(int &i=vish[s];~i;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].t;
            if(d[v]==d[s]+1&&e[i].cap-e[i].flow>0)   //层次关系&&有剩余流量
            {
                int temp=dfs(v,t,min(minedge-flow,e[i].cap-e[i].flow));
                e[i].flow+=temp;    //流量增加
                e[i^1].flow-=temp;    //反向边流量减少
                flow+=temp;    //flow已分配的流量
                if(flow==minedge)return flow;  //已达到祖先的最大流,无法再大,剪枝
            }
        }
        if(flow==0)d[s]=0;   //此点已无流,标记掉
        return flow;
    }
    int dinic(int s,int t)   //一定要建立反向边cap=0
    {
        int maxflow=0;
        while(bfs(s,t))   //有增广路
        {
            memcpy(vish,head,sizeof(vish));
            maxflow+=dfs(s,t,INF);
        }
        return maxflow;
    }
    
    int bout[N],low[N*N*10];
    int main()
    {
        int n,m,u,v,b,c;
        while(cin>>n>>m)
        {
            memset(head,-1,sizeof(head));
            cnt=0;
            memset(bout,0,sizeof(bout));
            for(int i=0;i<m;i++)
            {
                scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&b,&c);
                add(u,v,c-b);
                bout[u]+=b;
                bout[v]-=b;
                low[i]=b;
            }
            int ss=n+1,tt=n+2;
            int sum=0;
            for(int i=1;i<=n;i++){
                if(bout[i]>0)sum+=bout[i],add(i,tt,bout[i]);
                if(bout[i]<0)add(ss,i,-bout[i]);
            }
            if(sum==dinic(ss,tt))
            {
                printf("YES\n");
                for(int i=0;i<m;i++)
                    printf("%d\n",e[(i*2)].flow+low[i]);
            }
            else printf("NO\n");
        }
    }

    【SAP算法】

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int INF=0x3f3f3f3f;
    const int N=220;
    struct node{
           int s,t,cap,next;
    }edge[N*N];
    int head[N],cnt;
    void add(int s,int t,int cap)
    {
        edge[cnt]={s,t,cap,head[s]};
        head[s]=cnt++;
        edge[cnt]={t,s,0,head[t]};  //反向边便于反悔
        head[t]=cnt++;
    }
    int pre[N];   //前驱边
    int dep[N];   //节点的标号
    int gap[N];   //gap[i]表示编号i出现的次数
    int sap(int s,int t)
    {
        memset(pre,-1,sizeof(pre));
        memset(dep,0,sizeof(dep));
        memset(gap,0,sizeof(gap));
        gap[0]=t;    //所有标号预设为0,故有t个点
        int u=s, v, i, flow=INF, ansflow=0;
        while(1)    //起点u为s
        {
            int mindep=t;
            for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)  //找一个允许弧
            {
                node &e=edge[i];
                if(e.cap&&mindep>dep[e.t])
                    mindep=dep[e.t];    //顺便记下与u相连的最小编号
                if(e.cap&&dep[u]==dep[e.t]+1){
                    flow=min(flow,e.cap);
                    break;
                }
            }
            if(i!=-1)   //找到了允许弧edge[i]
            {
                v=edge[i].t;
                pre[v]=i;   //记下前驱边
                u=v;    //前进
                if(u==t)   //到达汇点
                {
                    ansflow+=flow;
                    while(u!=s)
                    {
                        int e=pre[u];
                        edge[e].cap-=flow;
                        edge[e^1].cap+=flow;
                        u=edge[e].s;
                    }
                    flow=INF;
                }
            }
            else   //找不到允许弧
            {
                gap[dep[u]]--;
                if(gap[dep[u]]==0)return ansflow;
                dep[u]=mindep+1;
                gap[dep[u]]++;
                if(u!=s)
                    u=edge[pre[u]].s;   //往源点方向退
            }
        }
    }
    
    
    int bout[N],low[N*N*10];
    int main()
    {
        int n,m,u,v,b,c;
        while(cin>>n>>m)
        {
            memset(head,-1,sizeof(head));
            cnt=0;
            memset(bout,0,sizeof(bout));
            for(int i=0;i<m;i++)
            {
                scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&b,&c);
                add(u,v,c-b);
                bout[u]+=b;
                bout[v]-=b;
                low[i]=b;
            }
            int ss=n+1,tt=n+2;
            int sum=0;
            for(int i=1;i<=n;i++){
                if(bout[i]>0)sum+=bout[i],add(i,tt,bout[i]);
                if(bout[i]<0)add(ss,i,-bout[i]);
            }
            if(sum==sap(ss,tt))
            {
                printf("YES\n");
                for(int i=0;i<m;i++)
                    printf("%d\n",edge[(i*2)^1].cap+low[i]);
            }
            else printf("NO\n");
        }
    }
    


    展开全文
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空空如也

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无源汇上下界可行流