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  • floyd算法求最短路

    2017-09-03 20:34:50
    //Floyd-Warshall算法核心语句 for (k= 1 ; k; k++) { for (i= 1 ; i; i++) { for (j= 1 ; j; j++) { if (e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] ) e[i][j]=e[i][k]+e[k][j]; } } } //输出最终的结果 for ...

      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能,1是直接从i到j,2是从i经过若干个节点k到j。所以,我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离,对于每一个节点k,我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立,如果成立,证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短,我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j),这样一来,当我们遍历完所有节点k,Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。三个for循环搞定。
      时间复杂度O(n^3)。
      

    #include <cstdio>
    using namespace std;
    int main()
    {
        int e[10][10],k,i,j,n,m,t1,t2,t3;
        int inf=99999999;
        //读入n和m,n表示顶点个数,m表示边的条数
        scanf("%d %d",&n,&m);
    
        //初始化
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            for(j=1; j<=n; j++)
            {
                if(i==j) e[i][j]=0;
                else e[i][j]=inf;
            }
        }
        //读入边
        for(i=1; i<=m; i++)
        {
            scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
            e[t1][t2]=t3;
        }
    
        //Floyd-Warshall算法核心语句
        for(k=1; k<=n; k++)
        {
            for(i=1; i<=n; i++)
            {
                for(j=1; j<=n; j++)
                {
                    if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] )
                        e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
                }
            }
        }
    
        //输出最终的结果
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            for(j=1; j<=n; j++)
            {
                printf("%10d",e[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
    
        return 0;
    }
    
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  • from queue import Queue # 邻接矩阵存储 ...# Floyd算法 def floyd(graph1, path): vnum = graph1.vertex_num() A = [[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0...
    from queue import Queue
    
    # 邻接矩阵存储
    class Graph:
        def __init__(self, mat, unconn=0):
            # mat = [[*, *, *, *], [*, *, *, *], [*, *, *, *], [*, *, *, *]]
            vnum = len(mat)
            for x in mat:
                if len(x) != vnum:
                    # 检查是否为方阵
                    raise ValueError("mat不是邻接矩阵的格式")
            self._mat = [mat[i][:] for i in range(vnum)]  # 矩阵的拷贝
            self._unconn = unconn
            self._vnum = vnum
    
        def vertex_num(self):
            # 计算顶点个数
            return self._vnum
    
        def add_edge(self, vi, vj, val=1):
            # 加边
            self._mat[vi][vj] = val
    
        def get_edge(self, vi, vj):
            # 获取某两个点之间的边
            if self._mat[vi][vj] == 0:
                return 100            #  如果不存在边, 存一个很大的数, 因为我底下求最短路的边长最长也就8
            return self._mat[vi][vj]
    
        # 一个点到其他点之间的边
        @staticmethod
        def _out_edges(row, unconn):
            edges = []
            for i in range(len(row)):
                if row[i] != unconn:
                    edges.append((i, row[i]))
            return edges   # 返回当前一个点到其他点的边
        def out_edges(self, vi):
            return self._out_edges(self._mat[vi], self._unconn)
    
    # 邻接表存储
    class GraphAL(Graph):
        # 直接将邻接矩阵转换为邻接表
        def __init__(self, mat=[], unconn=0):
            vnum = len(mat)
            for x in mat:
                if len(x) != vnum:  # 检查矩阵是否为方阵
                    raise ValueError("输错了")
            self._mat = [Graph._out_edges(mat[i], unconn)
                         for i in range(vnum)]   # 查每个定点到其他点的边,构成邻接表
            self._vnum = vnum
            self._unconn = unconn
            # [
            #     [(2, 1), (3, 1)]   # 代表0能直接到2长度1, 到3长度1
            #     [(0, 1)]      # 代表1能直接到0长度1
            #     [(1, 1), (3, 1)]   # 代表2能直接到1长度1, 到3长度1
            #     [(1, 1)]      # 代表3能直接到1长度1
            # ]
    
        def add_vertex(self):
            # 增加节点
            self._mat.append([])
            self._vnum += 1
            return self._vnum - 1
    
        def add_edge(self, vi, vj, val=1):
    
            row = self._mat[vi]
            i = 0
            while i < len(row):
                if row[i][0] == vj:   # 修改mat[vi][vj]值
                    self._mat[vi][i] = (vj, val)
                    return
                if row[i][0] > vj:   # 原来没有到vj的边, 退出循环加边
                    break
                i += 1
            self._mat[vi].insert(i, (vj, val))
    
        def get_edge(self, vi, vj):
            for i, val in self._mat[vi]:
                if i == vj:
                    return val
            return self._unconn
    
        def out_edges(self, vi):
            return self._mat[vi]
    
    
    # 深度优先遍历   这个是数据结构与算法给出的实例代码  我没怎么懂,自己写了一个DFS(下一个函数)
    # def DFS1(graph, v0):
    #     vnum = graph.vertex_num()  # 获取节点数
    #     visited = [0]*vnum   # visited=0 代表都没有被访问
    #     visited[v0] = 1  # 代表初始节点已经被访问
    #     dfs_list = [v0]   # 遍历的序列放这里面
    #     stack = []
    #     stack.append((0, graph.out_edges(v0)))  # 获取与v0点连接的
    #     while stack:
    #         i, edges = stack.pop()
    #         if i < len(edges):
    #             v, e = edges[i]
    #             stack.append((i+1, edges))
    #             if visited[v] == 0:
    #                 dfs_list.append(v)
    #                 visited[v] = 1
    #                 stack.append((0, graph.out_edges(v)))
    #     return dfs_list
    
    def DFS(graph, v0):
        # 自己实现的深度优先遍历
        vnum = graph.vertex_num()   # 获取当前的节点数
        visited = [0]*vnum    # visited=0  代表都没有被访问
        visited[v0] = 1
        dfs_list = [v0]
        stack = []
        member1 = graph.out_edges(v0)
        member1.reverse()
        for i in member1:
            stack.append(i)
        while stack:
            v, e = stack.pop()
            if visited[v] == 0:
                dfs_list.append(v)
                visited[v] = 1
                member = graph.out_edges(v)
                member.reverse()
                for e in member:
                    stack.append(e)
        return dfs_list
    
    def BFS(graph, v0):
        # 广度优先遍历
        vnum = graph.vertex_num()  # 获取当前的节点数
        visited = [0] * vnum  # visited=0  代表都没有被访问
        bfs_list = []
        que = Queue()
        que.put(v0)
        visited[v0[0]] = 1  # 当前出队的那个元素标记为访问
        while que.empty() == False:
            temp, v = que.get(block=False)   # 非阻塞获取
            bfs_list.append(temp)   # 将当前元素放在咱们等会输出的那个队列
            member = graph.out_edges(temp)   # 获取与当前点直接相连的点
            member.reverse()      # 逆转一下,这一步自己手动分析一下
            for (i, v) in member:
                if visited[i] == 0:
                    que.put((i, v))
                    visited[i] = 1
        return bfs_list
    
    
    # dijkstra求最短路的算法
    path = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]  # 存每个节点当前路径的前驱
    dist = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]  # 存走到当前每个点的最短路径
    visited = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]  # 标志当前点是否被访问
    def dijkstra(graph1, v0):
        vnum = graph1.vertex_num()
        # print(vnum)
        for i in range(vnum):
            dist[i] = graph1.get_edge(v0, i)
            visited[i] = 0  # 代表未被访问
            if graph1.get_edge(v0, i) < inf:
                path[i] = v0
            else:
                path[i] = -1
        visited[v0] = 1
        path[v0] = -1
    
        for i in range(vnum-1):
            min = inf
            # 这个循环每次从剩余顶点中选出一个顶点,通过这个顶点的路径是通往所有剩余顶点的路径中长度最短的
            for j in range(vnum):
                if visited[j] == 0 and dist[j] < min:
                    u = j
                    min = dist[j]
            visited[u] = 1  # 将选取的顶点加入到已确定的集合里
    
            for j in range(vnum):
                if visited[j] == 0 and dist[u] + graph1.get_edge(u, j) < dist[j]:
                    dist[j] = dist[u] + graph1.get_edge(u, j)
                    path[j] = u
        # dist[]数组存放着v点到其余顶点的最短路径, path[]数组存放v点到其余顶点的最短路径
    def print_path(path, a):
        # 想看一下0 到 a 的最短路径   打印路径
        short_path = []
        while path[a] != -1:
            short_path.append(a)
            a = path[a]
        short_path.append(a)
        short_path.reverse()
        return short_path
    
    
    # Floyd算法
    def floyd(graph1, path):
        vnum = graph1.vertex_num()
        A = [[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
             [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
             [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
             [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
             [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
             [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
             [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]]    # 等会存任意两点之间的最短的路径
        for i in range(vnum):
            for j in range(vnum):
                A[i][j] = graph1.get_edge(i, j)
                path[i][j] = -1      #  双重for循环是为了初始化
        for k in range(vnum):
            for i in range(vnum):
                for j in range(vnum):
                    if A[i][j] > A[i][k] + A[k][j]:
                        A[i][j] = A[i][k] + A[k][j]
                        path[i][j] = k
        # A[0][4] 代表的是0到4的最短路径    A[i][j]代表i到j的最短路径
        return A, path
    short_floyd_path = []
    def print_floyd_path(u, v, path):
    
        if path[u][v] == -1:
            return
        short_floyd_path.append(path[u][v])
        # 这个路径打印出来不包括u, v,  我们最后输出的时候把u v记得插进来
        mid = path[u][v]
        print_floyd_path(mid, v, path)  # 处理mid的后半段
        print_floyd_path(u, mid, path)  # 处理mid的前半段
    
    
    if __name__ == '__main__':
    
        # 输入的邻接矩阵  无向图
        a = [[0, 1, 0, 0, 1, 0],
             [0, 0, 0, 0, 0, 0],
             [0, 0, 0, 1, 0, 1],
             [1, 1, 0, 0, 1, 0],
             [0, 0, 0, 0, 0, 1],
             [0, 0, 0, 0, 0, 0]]
    
    
        g = [[0, 0, 6, 3, 0, 0, 0],
             [11, 0, 4, 0, 0, 7, 0],
             [0, 3, 0, 0, 5, 0, 0],
             [0, 0, 0, 0, 5, 0, 0],
             [0, 0, 0, 0, 0, 0, 9],
             [0, 0, 0, 0, 0, 0, 10],
             [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]]
    
    
        # c邻接矩阵是等会求最短路径的图
        inf = float('inf')   # inf表示最大,代表没有边
        c = [[0, 4, 6, 6, inf, inf, inf],
             [inf, 0, 1, inf, 7, inf, inf],
             [inf, inf, 0, inf, 6, 4, inf],
             [inf, inf, 2, 0, inf, 5, inf],
             [inf, inf, inf, inf, 0, inf, 6],
             [inf, inf, inf, inf, 1, 0, 8],
             [inf, inf, inf, inf, inf, inf, 0]]
    
    
        # 建立大家执行代码之前,先根据邻接矩阵画出对应的图.
        graph = GraphAL(g)
    
        # dfs_list = DFS1(graph, 2)
        # print("深度优先遍历:", dfs_list)
    
        dfs_list1 = DFS(graph, 2)
        print("深度优先遍历:", dfs_list1)
    
        bfs_list1 = BFS(graph, (2, 0))
        print("广度优先遍历:", bfs_list1)
    
        graph1 = Graph(c)
    
        # dijkstra算法求最短路算法
        dijkstra(graph1, 0)    # 调用dijkstra算法   算出0到任意点的最短路径
        short_path = print_path(path, 4)    # 从0点开始,到6终结
        print("Dijlstra算法求得最短路径:", short_path)
    
        # floyd算法求最短路
        path = [[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
                [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
                [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
                [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
                [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
                [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
                [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]]
        u = 0; v = 4
        A, path = floyd(graph1, path)
        print_floyd_path(u, v, path)
        short_floyd_path.reverse()
        short_floyd_path.append(v)
        short_floyd_path.insert(u, 0)
        print("Floyd算法求得最短路径:", short_floyd_path)
    
    
    # 输出结果:
    # 深度优先遍历: [2, 1, 0, 3, 4, 6, 5]
    # 广度优先遍历: [2, 1, 4, 0, 5, 6, 3]
    # Dijlstra算法求得最短路径: [0, 1, 2, 5, 4]
    # Floyd算法求得最短路径: [0, 1, 2, 5, 4]
    
    

     

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  • 最短路问题(short-path problem)是网络理论解决的典型问题之一,可用来解决管路铺设、...解决最短路问题的Floyd算法Floyd算法:又称为插点法,是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的...

    最短路问题(short-path problem)是网络理论解决的典型问题之一,可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。基本内容是:若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等),则找出两节点(通常是源节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。

    解决最短路问题的Floyd算法:

    Floyd算法:

    又称为插点法,是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。

    算法步骤:

    (1)从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权,如果两点之间没有边相连,则权为无穷大。

    (2)对于每一对顶点 u 和 v,看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比已知的路径更短。如果是,更新它。把图用邻接矩阵G表示出来,如果从Vi到Vj有路可达,则G[i][j]=d,d表示该路的长度;否则G[i][j]=无穷大。定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息,D[i][j]表示从Vi到Vj需要经过的点,初始化D[i][j]=j。把各个顶点插入图中,比较插点后的距离与原来的距离,G[i][j] = min( G[i][j], G[i][k]+G[k][j] ),如果G[i][j]的值变小,则D[i][j]=k。在G中包含有两点之间最短道路的信息,而在D中则包含了最短通路径的信息。

    例:已知有6个村子,相互间道路如图所示。欲合建一所小学,已知A处有小学生50人,B处40人,C处60人,D处20人,E处70人,F处90人,问学校应建在哪个村子,使得学生上学最方便。

    54688f949a9157ce5bbb729e015149e0.png

    程序代码:

    (1)road函数的m文件:

    functionminroad=road(u,s,begin_node,end_node)

    minroad=[];

    S=s;

    k=S(begin_node,end_node);

    if(k~=begin_node)&&(k~=end_node)

    minroad=[begin_node,k];

    end

    if(k==begin_node)||(k==end_node)

    fprintf('输入错误!');

    end

    while(k~=end_node)

    k=S(k,end_node);

    minroad=[minroad,k];

    end

    end

    (2)Floyd算法的m文件:

    d=[0    2    7    Inf  Inf  Inf

    2    0    4    6    8    Inf

    7    4    0    1    3    Inf

    Inf  6    1    0    1    6

    Inf  8    3    1    0    3

    Inf  Inf  Inf  6    3    0];

    n=length(d);

    U=d;

    S=zeros(n,n);

    fori=1:n

    forj=1:n

    S(i,j)=j;

    end

    end

    fori=1:n

    forj=1:n

    form=1:n

    ifU(i,j)>U(i,m)+U(m,j)

    S(i,j)=S(i,m);

    U(i,j)=U(i,m)+U(m,j);

    end

    end

    end

    end

    people=[50 40 60 20 70 90];

    distance=[inf inf inf inf inf inf];

    fori=1:n

    distance(i)=U(i,:)*people';

    end

    S

    U

    people

    distance

    [min_distance,village]=min(distance)

    begin_node=input('输入起始节点:begin=')

    end_node=input('输入终止节点:end=')

    minroad=road(U,S,begin_node,end_node)

    运行结果:

    >> Floyd

    S =

    1     2     2     2     2     2

    1     2     3     3     3     3

    2     2     3     4     4     4

    3     3     3     4     5     5

    4     4     4     4     5     6

    5     5     5     5     5     6

    U =

    0     2     6     7     8    11

    2     0     4     5     6     9

    6     4     0     1     2     5

    7     5     1     0     1     4

    8     6     2     1     0     3

    11     9     5     4     3     0

    people =

    50    40    60    20    70    90

    distance =

    2130        1670        1070        1040        1050        1500

    min_distance =

    1040

    village =

    4

    输入起始节点:begin=1

    begin_node =

    1

    输入终止节点:end=6

    end_node =

    6

    minroad =

    1     2     3     4     5     6

    综上所述,学校应建在D村,最短路为1040。

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  • Floyd算法求最短路问题

    千次阅读 2016-02-26 01:14:25
    Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths,多源最短路径),是一种动态规划算法,稠密图效果最佳,边权可正可负。此算法简单有效,由于三重循环结构紧凑,对于稠密图,效率要高于执行|V|次Dijkstra算法,也要...

    Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths,多源最短路径),是一种动态规划算法,稠密图效果最佳,边权可正可负。此算法简单有效,由于三重循环结构紧凑,对于稠密图,效率要高于执行|V|次Dijkstra算法,也要高于执行V次SPFA算法。

    优点:容易理解,可以算出任意两个节点之间的最短距离,代码编写简单。
    缺点:时间复杂度比较高,不适合计算大量数据。

    给出两个通用的程序

    • 程序1
    %floyd算法通用程序,输入a为赋权邻接矩阵
    %输出为距离矩阵D,和最短路径矩阵path
    clc
    clear
    a=[Inf,Inf,10,Inf,30,100;Inf,Inf,5,Inf,Inf,Inf;Inf,Inf,Inf,50,Inf,Inf;Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,10;Inf,Inf,Inf,20,Inf,60;Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf];%邻接矩阵
    s=1;
    t=6;%这里设置哪到哪的最短路
    
    n=size(a,1);
    D=a;
    path=zeros(n,n);
    for i=1:n
        for j=1:n
            if D(i,j)~=inf
                path(i,j)=j;
            end
        end
    end
    for k=1:n
        for i=1:n
            for j=1:n
                if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
                    D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
                    path(i,j)=path(i,k);
                end
            end
        end
    end
    %% 配合floyd算法的后续程序,s为源点,t为宿点
    %L为长度,R为路由
    %若出现提示形如“试图访问 D(0,2);索引必须为正整数或逻辑值”提示说明不存在最短路
    
    
    L=zeros(0,0);
    R=s;
    while 1
        if s==t
            L=fliplr(L);
            L=[0,L];
            return
        end
        if D(s,t)==Inf 
            L=Inf;break;
        else 
        L=[L,D(s,t)];
        R=[R,path(s,t)];
        s=path(s,t);
    
        end
    end
    a;%a为输入的邻接矩阵
    D;%输出两点间的最短路长
    path;%输出路由矩阵,即最短路径矩阵,虽然我也不懂是啥
    L=L(length(L))%L的最后一位即为s到t的最短路长   key
    R%这里输出最短路的路径   key
    
    • 程序2
    clear;
    clc;
    n=6; 
    a=zeros(n);
    a(1,2)=50;
    a(1,4)=40;
    a(1,5)=25;
    a(1,6)=10; 
    a(2,3)=15;
    a(2,4)=20;
    a(2,6)=25;
    a(3,4)=10;
    a(3,5)=20; 
    a(4,5)=10;
    a(4,6)=25; 
    a(5,6)=55;
    a=a+a';
    M=max(max(a))*n^2; 
    %M为充分大的正实数 
    a=a+((a==0)-eye(n))*M;
    path=zeros(n); 
    for k=1:n    
        for i=1:n       
            for j=1:n          
                if a(i,j)>a(i,k)+a(k,j)
                    a(i,j)=a(i,k)+a(k,j); 
                    path(i,j)=k;         
                end
            end
        end
    end
    a, path
    • 另外,求一个城市到另一个城市的最短路还可以用如下方法:
    %求第一个城市到其它城市的短路径的 Matlab 程序如下:
    clc,clear
    a=zeros(6); 
    a(1,2)=50;
    a(1,4)=40;
    a(1,5)=25;
    a(1,6)=10; 
    a(2,3)=15;
    a(2,4)=20;
    a(2,6)=25; 
    a(3,4)=10;
    a(3,5)=20; 
    a(4,5)=10;
    a(4,6)=25;
    a(5,6)=55;
    a=a+a'; 
    a(find(a==0))=inf;
    pb(1:length(a))=0;
    pb(1)=1;index1=1;
    index2=ones(1,length(a)); 
    d(1:length(a))=inf;
    d(1)=0;temp=1; 
    while sum(pb)<length(a)   
        tb=find(pb==0);    
        d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));
        tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));   
        temp=tb(tmpb(1));   
        pb(temp)=1;    
        index1=[index1,temp];  
        temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));
        index2(temp)=index1(temp2(1)); 
    end
    d, index1, index2
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  • MATLAB Floyd算法求最短路

    万次阅读 2016-01-26 17:14:56
    在该算法中,我们用邻接矩阵的形式来存储该图。 因为在本次建模过程中,我们已经把数据输入到excel中, 而matlab是可以编程来读取excel和写入excel的。若你的图的 邻接矩阵在txt中,也可以直接将txt拖入excel中读取...
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  • 网络图论中floyd算法的matlab实现
  • Floyd最短路算法

    2018-03-27 10:38:55
    算法由Robert W. Floyd(罗伯特·弗洛伊德)于1962年发表在“Communications of the ACM”上。同年Stephen Warshall(史蒂芬·沃舍尔)也独立发表了这个算法。Robert W.Floyd这个牛人是朵奇葩,他原本在芝加哥...
  • Floyd算法最短路;例题UVA10048)

    千次阅读 2018-06-05 23:57:16
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  • Floyd算法用于多源汇最短路,时间复杂度O(n^3)。 首先用邻接矩阵里的d[i,j]d[i, j]d[i,j]存储所有的边(重边的时候取minminmin),然后就是三重循环,思路也是如果从iii到kkk,再从kkk到jjj,这个距离能比d[i,j]d...
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    2014-04-04 13:32:51
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空空如也

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