• 1. 一阶差分： 2. 二阶偏导数的推导近似： 3. 上式以点（i+1，j）为中心，用i代换i+1可得以（i,j）为中心的二阶偏导数则有： 4. 同理： 5. 进而可推导： 6. 这样我们就可以很好的运用...
1. 一阶差分：

2. 二阶偏导数的推导和近似：

3. 上式以点（i+1，j）为中心，用i代换i+1可得以（i,j）为中心的二阶偏导数则有：

4. 同理：

5. 进而可推导：

6. 这样我们就可以很好的运用其他的一阶偏导的定义，如SIFT特征OpenCV实现版本中的一阶以及二阶偏导：

[cpp]
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/* Computes the partial derivatives in x, y, and scale of a pixel in the DoG
scale space pyramid. @param dog_pyr DoG scale space pyramid
@param octv pixel's octave in dog_pyr
@param intvl pixel's interval in octv
@param r pixel's image row @param c pixel's image col
@return Returns the vector of partial derivatives for pixel I
{ dI/dx, dI/dy, dI/ds }^T as a CvMat*
*/  static CvMat* deriv_3D( IplImage*** dog_pyr,
int octv, int intvl,
int r, int c )
{      CvMat* dI;      double dx, dy, ds;
dx = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c+1 ) -
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c-1 ) ) / 2.0;      dy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c ) -
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c ) ) / 2.0;      ds = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c ) -
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c ) ) / 2.0;        dI = cvCreateMat( 3, 1, CV_64FC1 );      cvmSet( dI, 0, 0, dx );      cvmSet( dI, 1, 0, dy );      cvmSet( dI, 2, 0, ds );        return dI;  }        /* Computes the 3D Hessian matrix for a pixel in the DoG scale space pyramid.
@param dog_pyr DoG scale space pyramid
@param octv pixel's octave in dog_pyr
@param intvl pixel's interval in octv
@param r pixel's image row @param c pixel's image col
@return Returns the Hessian matrix (below) for pixel I as a CvMat*
/ Ixx  Ixy  Ixs / <BR>
| Ixy  Iyy  Iys | <BR>     / Ixs  Iys  Iss / */  static CvMat* hessian_3D( IplImage*** dog_pyr,
int octv, int intvl,
int r, int c )
{      CvMat* H;      double v, dxx, dyy, dss, dxy, dxs, dys;
v = pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c );      dxx = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c+1 ) +
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c-1 ) - 2 * v );
dyy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c ) +
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c ) - 2 * v );
dss = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c ) +
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c ) - 2 * v );
dxy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c+1 ) -
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c-1 ) -              pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c+1 ) +
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c-1 ) ) / 4.0;
dxs = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c+1 ) -
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c-1 ) -              pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c+1 ) +
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c-1 ) ) / 4.0;
dys = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r+1, c ) -
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r-1, c ) -              pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r+1, c ) +
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r-1, c ) ) / 4.0;
H = cvCreateMat( 3, 3, CV_64FC1 );      cvmSet( H, 0, 0, dxx );      cvmSet( H, 0, 1, dxy );      cvmSet( H, 0, 2, dxs );      cvmSet( H, 1, 0, dxy );      cvmSet( H, 1, 1, dyy );      cvmSet( H, 1, 2, dys );      cvmSet( H, 2, 0, dxs );      cvmSet( H, 2, 1, dys );      cvmSet( H, 2, 2, dss );        return H;  }


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• 下面我来不用这些函数，介绍简单的函数求一阶导数二阶导数的差分方法以及其MATLAB实现。 工具/原料 matlab软件 一组数据，程序中已经准备好了 方法/步骤 求解一阶导数的公式：y'=[y(x0+h)-y(x0-h)]...


matlab在计算数值求导方面有很多函数。下面我来不用这些函数，介绍简单的函数求一阶导数二阶导数的差分方法以及其MATLAB实现。

工具/原料

matlab软件

一组数据，程序中已经准备好了

方法/步骤

求解一阶导数的公式：y'=[y(x0+h)-y(x0-h)]/(2h);
求解二阶导数的公式：y''=[y(x0+h)-2*y(x0)+y(x0-h)]/h²;
这里的自变量是x，因变量是y，步长是h

再进行编程。以下是我的求解程序：
clc;clear all
h=0.01;
%x属于【a,b】
a=-5;b=5;
x=a:h:b;
n=length(x);
%定义y
y=sin(0.3*x).*cos(3*x);
hold on
grid on
yx=zeros(1,n);
yxx=zeros(1,n);
for i=2:n-1
yx(i-1)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h);
yxx(i-1)=(y(i+1)+y(i-1)-2*y(i))/h^2;
end
plot(x,y,'r','linewidth',2)
plot(x(2:n-1),yx(1:n-2),'g','linewidth',2);
plot(x(2:n-1),yxx(1:n-2),'b','linewidth',2);
legend('原函数','差分一阶导数','差分二阶导数')
xlabel('$$x$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);
ylabel('$$y$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);

复制以上程序到*.m文件中去，保存并运行，可以得到函数图像确实十分接近理论上的解答。以下是运行以后作出的图。

4

最后就大功告成啦！对于任意一组数据（间距相等）这个程序都可以很好滴求解一阶导数、二阶导数哟；还有你可以加以改进，不管是间距相等还是不相等都好做。

END

注意事项

间距h自己输入；ab范围自己定义

仅仅适用于等间隔差分


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• 一阶差分二阶偏导数的推导近似： 上式以点（i+1，j）为中心，用i代换i+1可得以（i,j）为中心的二阶偏导数则有： 同理： 进而可推导： 这样我们就可以很好的运用其他的一阶偏导的定义，如SIFT特征OpenCV实现版本...
http://blog.csdn.net/xiaofengsheng/article/details/6023368
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• 再进行编程。... legend('原函数','差分一阶导数','差分二阶导数') xlabel('$$x$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28); ylabel('$$y$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);
再进行编程。以下是我的求解程序：clc;clear allh=0.01;%x属于【a,b】a=-5;b=5;x=a:h:b;n=length(x);%定义yy=sin(0.3*x).*cos(3*x);hold ongrid onyx=zeros(1,n);yxx=zeros(1,n);for i=2:n-1yx(i-1)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h);yxx(i-1)=(y(i+1)+y(i-1)-2*y(i))/h^2;endplot(x,y,'r','linewidth',2)plot(x(2:n-1),yx(1:n-2),'g','linewidth',2);plot(x(2:n-1),yxx(1:n-2),'b','linewidth',2);legend('原函数','差分一阶导数','差分二阶导数')xlabel('$$x$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);ylabel('$$y$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);
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