层次分析法的基本原理与步骤

人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：
（i）建立递阶层次结构模型；
（ii）构造出各层次中的所有判断矩阵；
（iii）层次单排序及一致性检验；
（iv）层次总排序及一致性检验。
下面分别说明这四个步骤的实现过程。
1.1 递阶层次结构的建立与特点
应用 AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类：
（i）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因            此也称为准则层。
（iii）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9 个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。
下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。
例1 假期旅游有 、 、 3 个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3 个侯选地点。可以建立如图1 的层次结构模型。

 

层次分析法的应用

在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：

（i）如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；

（ii）如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。

层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在：
（i）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。

（ii）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。AHP 至多只能算是一种半定
量（或定性与定量结合）的方法。
在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。现再分析一个实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。
例：挑选合适的工作。经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如图2 所示。

根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作 1。计算的 Matlab 程序如下：

clc,clear
fid=fopen('txt3.txt','r');
n1=6;n2=3;
a=[];
for i=1:n1
    tmp=str2num(fgetl(fid));
    a=[a;tmp]; %读准则层判断矩阵
end
for i=1:n1
    str1=char(['b',int2str(i),'=[];']);
    str2=char(['b',int2str(i),'=[b',int2str(i),';tmp];']);
    eval(str1);
    for j=1:n2
        tmp=str2num(fgetl(fid));
        eval(str2); %读方案层的判断矩阵
    end
end
ri=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45]; %一致性指标
[x,y]=eig(a);
lamda=max(diag(y));
num=find(diag(y)==lamda);
w0=x(:,num)/sum(x(:,num));
cr0=(lamda-n1)/(n1-1)/ri(n1)
for i=1:n1
    [x,y]=eig(eval(char(['b',int2str(i)])));
    lamda=max(diag(y));
    num=find(diag(y)==lamda);
    w1(:,i)=x(:,num)/sum(x(:,num));
    cr1(i)=(lamda-n2)/(n2-1)/ri(n2);
end
cr1, ts=w1*w0, cr=cr1*w0

 

本系列参考清风老师的数学建模课程

层次分析法模型

一、模型介绍

（一）模型引入

对于方案选择类问题，评价类问题采用层次分析法（The ayalytic hierarchy process / AHP）模型进行评分，之后评分高的就是最佳方案。

（二）模型详解

（1）建立层次结构
分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构。
该层次结构分为：
1.目标层（Objective）
回答问题：评价目标是什么？
2.准则层（Criterion）
回答问题：评价指标是什么？
3.方案层（Plan）
回答问题：可选方案是什么？
将其绘制成层次清晰的示意图。

（2）构造判断矩阵
针对于准则层构造一个判断矩阵。
若有n个可选方案，则可以构造n个判断矩阵。
参考填表的准则：

标度	含义
1	两个因素相比具有同等重要性
3	一个因素比另一个因素稍微重要
5	一个因素比另一个因素明显重要
7	一个因素比另一个因素强烈重要
9	一个因素比另一个因素极端重要
2、4、6、8	介于奇数之间重要性
倒数	与之对应

填写判断矩阵的数据一定要有材料支撑。

（3）一致性检验
原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大差别（定量角度）。
若正互反矩阵中的元素有性质：$a_{ij}\times a_{jk}=a_{ik}$则可以成为一致矩阵。（换句话说就是上下两行必须是成倍数的关系）
但在绝大多数情况下成为严格的一致矩阵不太可能，因此可以规定某个偏离范围，即使偏了一点也行，但不能偏太大，就有了一致性检验。（这块直接跑现成的程序出结果就行了，不介绍计算过程了）
一致性检验的通用步骤为：
1.计算一致性指标CI
$CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}$
2.查找对应的平均随机一致性指标RI
3.计算一致性比例CR
$CR=\frac{CI}{RI}$
4.判断CR是否<0.1，若是则认为一致性可以被接受，否则需要调整判断矩阵。

（4）求指标权重
求解指标权重时需要通过一致性检验，通过后就可以求出了，一共有三种求法。

1.算术平均法求权重
step1:将判断矩阵按照列归一化。
step2:将归一化的各列相加。
step3:将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量。

2.几何平均法求权重
step1:将判断矩阵元素按照行相乘得到一个新的列向量。
step2:将新的向量的每个分量开n次方。
step3:对该列向量进行归一化即可得到权重向量。

3.特征值法求权重
step1:求出判断矩阵的最大特征值以及其对应的特征向量。
step2:对求出的特征向量进行归一化即可得到权重。

（5）计算得分
每一个方案的任意评价指标最终得分=该评价指标在准则层的权重×方案在方案层的权重。
因此任意一个方案的最终得分=各项评价指标之和。

（三）模型举例

（1）举例
从苏杭、北戴河和桂林三个中选择一个作为旅游目的地。

（2）思路
本题属于方案选择类问题，因此使用层次分析法进行分析，考虑以下重要问题：
1.评价目标（目标层）？选择最佳旅游目的地。
2.评价指标（准则层）？（查阅资料后）景点景色、旅游花费、居住环境、饮食情况、交通便利程度。
3.可选方案（方案层）？苏杭、北戴河、桂林。
由以上思路可以得出下图：

（3）整理
设计数据表格，参考层次分析法的通用表格：

	指标权重	方案1	方案2	…
指标1
指标2
指标3
…

将以上思路内容填入上述通用表格中：

	指标权重	苏杭	北戴河	桂林
景色
花费
居住
饮食
交通

解释：指标权重表示各个指标在准则层所占的权重大小值，而之后则代表该指标在方案层所占的权重大小值，因此若要最终评分，一定是准则层（Criterion）中指标权重×方案层（Plan）中指标权重得到最终得分。

（4）数据
之后就可以填写这张表格了。

step1:填写准则层判断矩阵：

	景色	花费	居住	饮食	交通
景色	1	$\frac{1}{2}$	4	3	3
花费	2	1	7	5	5
居住	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{7}$	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$
饮食	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{5}$	2	1	1
交通	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{5}$	3	1	1

解释：比如对于第三行第四列的单元格数据可以解释为花费比居住强烈重要。

step2:填写五个方案层判断矩阵：

（景色）	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	2	5
北戴河	$\frac{1}{2}$	1	2
桂林	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{2}$	1

（花费）	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{8}$
北戴河	3	1	$\frac{1}{3}$
桂林	8	3	1

（居住）	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	1	3
北戴河	1	1	3
桂林	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	1

（饮食）	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	3	4
北戴河	$\frac{1}{3}$	1	1
桂林	$\frac{1}{4}$	1	1

（交通）	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	1	$\frac{1}{4}$
北戴河	1	1	$\frac{1}{4}$
桂林	4	4	1

step3:填好表格后开始进行一致性检验。

1.检验准则层判断矩阵：

一致性指标CI=
0.0180
一致性比例CR=
0.0161
因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!

2.检验方案层判断矩阵：

一致性指标CI=0.0028
一致性比例CR=0.0053
因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!

一致性指标CI=7.7081e-04
一致性比例CR=0.0015
因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!

一致性指标CI=-4.4409e-16
一致性比例CR=-8.5402e-16
因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!

一致性指标CI=0.0046
一致性比例CR=0.0088
因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!

一致性指标CI=0
一致性比例CR=0
因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!
可以发现之前所有判断矩阵均通过了一致性检验。（若有没通过的判断矩阵需要对其中元素进行修改直到通过检验为止）

step4:计算各项指标对应的权重，有三种计算方法，最好三种方法取平均值，也可只采纳特征值法所算出的数据。（这块直接跑现成的程序出结果就行了，不介绍计算过程了）

填入数据：

	指标权重	苏杭	北戴河	桂林
景色	0.2636	0.5954	0.2764	0.1283
花费	0.4758	0.0819	0.2363	0.6817
居住	0.0538	0.4286	0.4286	0.1429
饮食	0.0981	0.6337	0.1919	0.1744
交通	0.1087	0.1667	0.1667	0.6667

（5）结论
计算各个方案的最终得分。（这块Excel拉表出结果）
苏杭：0.299
北戴河：0.245
桂林：0.455

结论：桂林得分最高，因此选择去桂林。

二、模型实现

本模型采用多种软件实现。

（1）层次分析模型示意图
采用Office自带的SmartArt绘图。

（2）判断矩阵一致性检验代码

A=input('判断矩阵：')
clc;
[n,n]=size(A);
[X,Y]=eig(A);
lambda_max=max(Y(:));
CI=(lambda_max-n)/(n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
CR=CI/RI(n);
disp('CI=');disp(CI);
disp('RI=');disp(CR);
if CR<0.1
    disp('可以接受！');
else
    disp('需要修改！');
end

（3）算术平均法求权重代码

A=input('判断矩阵：');
Sum=sum(A);
[n,n]=size(A);
Sum=repmat(Sum,n,1);
clc;
res=A./Sum;
disp('结果1：');
disp(sum(res,2)/n);

（4）几何平均法求权重代码

A=input('判断矩阵：');
Pro=prod(A,2);
Res=Pro.^(1/n);
disp('结果2：');
disp(Res/sum(Res));

（5）特征值法求权重代码

A=input('判断矩阵：');
[X,Y]=eig(A);
lambda_max=max(Y(:));
Y==lambda_max;
[x,y]=find(Y==lambda_max,1);
X(:,y);
disp('结果3：');
disp(X(:,y)./sum(X(:,y)));

（6）为方案评分
此处将数据导入到Excel表中，按F4锁定第一行作为乘数拉表计算。

三、模型应用

（一）题目描述

近年来，电动汽车在世界各国的生产和销售发展势头猛烈。这一方面与各国政府的大力扶持有关系，另一方面也与电动汽车本身的一些特定优势有关，比如充电而非耗油、运行耗能低等。不考虑牌照限制等问题，建立数学模型解决如下问题：

1. 从用户的角度出发，比较电动汽车和燃油汽车的总体拥有成本。
2. 一对年龄在 25 岁左右的年轻夫妇，参加工作不久，都在一家杭州软件公司工作，目前家庭年收入 20 万元，没有房产。考虑日常通勤、周末和假期出游等需求，他们准备
   买一辆 15 万元左右的车。帮他们决定该买电动车还是燃油车。

（二）模型实战

第一问是有一个对应的总体拥有成本的公式，通过查阅各大网站或者书籍资料可得到公式中对应的参数值，从而计算出对应的总体拥有成本。（可能会用到Excel）没有模型。

第二问给了一个具体的场景，并且属于评价决策类问题，使用AHP层次分析法再合适不过了。于是按照AHP流程走。

参考一等奖论文思路

（1）建立层次结构（考虑五种准则，在这块可以变）

（2）构造判断矩阵（忽略计算与检验过程）
支撑材料1：
一对年龄在 25 岁左右的年轻夫妇，参加工作不久，都在一家杭州软件公司工作，目前家庭年收入 20 万元，没有房产。考虑日常通勤、周末和假期出游等需求，他们准备买一辆 15 万元左右的车。帮他们决定该买电动车还是燃油车。

总结信息：收入中等，工作频繁，闲暇时间不多。
1、使用成本时第一个要考虑的因素，不能负担不起。
2、通勤时使用车辆的第一理由。
3、很少有假期，因此驾车远游不重要。

目标层-准则层判断矩阵：

准则层-方案层判断矩阵：
支撑材料2：
通过查阅资料可得出年使用成本公式
$AAC=PT+CI+M+F_i+MVI+VV$
根据具体情况查阅对应指标的值可得到：

如果有一个年使用成本占总生活支出比例就更加直观了，因此也可以查阅资料求出对应比例。

总结信息：年使用成本上，与燃油车相比，电动车具有明显的令人满意程度。


支撑材料3：
通过查阅资料可以得到通勤主要成本

同时根据常识可知在路上不开车等候更费油。

总结信息：通勤上，与燃油车相比，电动车具有强烈的令人满意程度。

支撑材料4：
与通勤情况类似。满足“短距离低速”特点。


支撑材料5：
电动车长距离开车要充电，然而查阅资料（摆上地图之类的）可知充电桩都在繁华地带，造成充电不方便。

总结信息：可知在燃料费上，与燃油车相比，电动车具有强烈的令人满意程度。

支撑材料6：
通过查阅资料将两种类型的车（一定注意控制变量，比如价格不能相差太远）的性能指标罗列出来逐一对比，可以自己设定一套定量评分规则，进而最终确定性能判断矩阵。

总结信息：在车身性能上，与电动车相比，燃油车具有明显的令人满意程度。

（3）评价方案
逐一填入对应权重：

由此得出最终结论：

1、方案E1权重为0.4155
2、方案E2权重为0.5845
故购买电动车（E2）更合适。

（三）总结思考

1、分析由层次分析法得到各项评价指标权重，并从实际意义进行评价。比如说：通过层次分析法得出的权重值，XXX的权重最大，这也符合XXX的实际功能/实际意义…

2、模型评价：利用层次分析法决定XXX使得评价具有一定的客观性、准确性，避免了过于偏重某个需求而忽略其他的需求。但在给予各个准则相应的权重以及比较XXX的各个指标时不可避免地带有一定的主观性，使得评价结果的客观性及准确性降低。

3、模型贡献：通过层次分析法计算各项指标权重，总结出了XXX控制的重点因素，为XXX提供了明确的数据指导，为XXX指明了未来发展的重点方向与道路。

1.实现步骤

1. 根据问题中对象的关系，建立目标层、准则层、方案层

将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和底层，绘出层次结构图。 最高层是指决策的目的、要解决的问题。 底层是指决策时的备选方案。 中间层是指考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。

2. 构造比较矩阵

3. 层次单排序（计算权向量）与检验（一致性检验）

对应于判断矩阵最大特征根λ的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。能否确认层次单排序，则需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。其中，n阶一致阵的唯一非零特征根为n；n 阶正互反阵A的最大特征根λ≥n，当且仅当λ=n时，A为一直矩阵，由于λ的连续依赖于aij,则λ 比n 大的越多，A的不一致性越严重，一致性指标用CI计算，CI越小，说明一致性越大。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量A 的不一致程度。定义一致性指标为：

CI=0，有完全的一致性；CI 接近于0，有满意的一致性；CI 越大，不一致越严重。

为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI：

其中，随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关，一般情况下，矩阵阶数越大，则出现一致性随机偏离的可能性也越大，其对应关系如表2：

考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的，因此在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时，还需将CI和随机一致性指标RI进行比较，得出检验系数CR，公式如下：

一般的，如果CR<0.1 ，则认为该判断矩阵通过一致性检验，否则就不具有满意一致性。

4. 层次总排序（组合权向量）与检验（一致性检验）

计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值，称为层次总排序。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。

5. 结果分析

2.matlab的代码实现

根据比较矩阵，得到权值向量

function w=AHPfindweight(A)
[~,n]=size(A);%求阶数
%% 求解最大特征值与特征向量
[V,D]=eig(A);%V是特征向量矩阵，D是特征值的对角矩阵
rvs=max(D);%特征值向量
r=max(rvs);%最大特征值
cl=find(D==r);%最大特征值所在列
rv=V(:,cl);%特征向量
%% 致性检验
CI=(r-n)/(n-1);
RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
CR=CI/RI(n);
if CR<0.10
    CR_Result='通过';
else
    CR_Result='不通过';
end
%% 权值向量
w=V(:,cl)/sum(V(:,cl));
%% 结果输出
disp('判断矩阵A的权向量计算报告：');
disp(['一致性指标CI:' num2str(CI)]);
disp(['一致性比例CR:' num2str(CR)]);
disp(['一致性检验结果:' CR_Result]);
disp(['特征值r:' num2str(r)]);
disp(['权向量w:' num2str(w')]);

3.实例：职员晋升

4.总结

优点：

它完全依靠主观评价做出方案的优劣排序，所需数据量少，决策花费的时间很短。从整体上看，AHP在复杂决策过程中引入定量分析，并充分利用决策者在两两比较中给出的偏好信息进行分析与决策支持，既有效地吸收了定性分析的结果，又发挥了定量分析的优势，从而使决策过程具有很强的条理性和科学性，特别适合在社会经济系统的决策分析中使用。

缺点：

用AHP进行决策主观成分很大。当决策者的判断过多地受其主观偏好影响，而产生某种对客观规律的歪曲时，AHP的结果显然就靠不住了。

适用范围：

尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。要使AHP的决策结论尽可能符合客观规律，决策者必须对所面临的问题有比较深入和全面的认识。另外，当遇到因素众多，规模较大的评价问题时，该模型容易出现问题，它要求评价者对问题的本质、包含的要素及其相互之间的逻辑关系能掌握得十分透彻，否则评价结果就不可靠和准确。

对一些定性因素的评价有较好的效果；但如果某一层的因素超过9个，将会给计算过程带来较大负担，不宜使用本方法，而且比较矩阵的确定过于强调主观性，在实际问题中，应优先使用客观的方法。

改进

(1) 成对比较矩阵可以采用德尔菲法获得。
(2) 如果评价指标个数过多（一般超过9个），利用层次分析法所得到的权重就有一定的偏差，继而组合评价模型的结果就不再可靠。可以根据评价对象的实际情况和特点，利用一定的方法，将各原始指标分层和归类，使得每层各类中的指标数少于9个。