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  • 矩阵的范数 之 常用不等式(一)向量和矩阵的大小都可以用...今天开始简单讲一下自己对几个常用矩阵范数不等式的理解,抛砖引玉,请大家指正。-------------------------------------------------------------------...

    矩阵的范数 之 常用不等式(一)

    向量和矩阵的大小都可以用范数(norm)来衡量。 自己在学习过程中,向量的范数理解的比较快,而矩阵的范数一直觉得比较复杂, 理解也感觉不是特别深入。今天开始简单讲一下自己对几个常用矩阵范数不等式的理解,抛砖引玉,请大家指正。

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    百度百科直接有矩阵范数定义

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    上边等式或不等式是定义,可直接应用,不需要讲。我们平时经常用的,还有下边两个不等式:

    0229df94c08d0c821ab3a8f856b154c1.png   

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    A和B是矩阵,x是向量。 这两个公式在做放缩时经常用到, 学名叫做范数的相容性。 但是你知道为什么成立吗?

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    答疑时间。

    其实很简单,也是由范数的定义自然保证的。 矩阵常用范数为诱导范数(induced norm),定义为

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    P代表是什么范数(1-,2-等范数啦)。 对他因为们都适用,下边不带 p.

    由定义, 显然可见(其实我读文献每次见到显然都很紧张,作者理解的显然和我往往不在一个频道。你有被显然支配的时候么?有请在评论+1。不过我们这里真的很显然)

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    有了上式, 同理可得

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    就是这么简单,主要是理解定义

    下篇介绍: 矩阵常用的二范数,怎么就等于它的奇异特征值呢?

    展开全文
  • 定理 对于所有x,y∈Rn,∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥x, y \in \Bbb R^n, \|x+y\| \leq \|x\|+\|y\|x,y∈Rn,∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥,其中对于x∈Rnx \in \Bbb R^nx∈Rn, ∥x∥2=∑i=1nxi2\|x\|_2 = \sqrt...柯西不等式: (∑k=...

    定理

    对于所有x,yRn,x+yx+yx, y \in \Bbb R^n, \|x+y\| \leq \|x\|+\|y\|,其中对于xRnx \in \Bbb R^n, x2=i=1nxi2\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x^2_i}

    证明

    柯西不等式:
    (k=1nakbk)2k=1nak2k=1nbk2\left(\sum_{k=1}^na_kb_k\right)^2 \leq \sum_{k=1}^na_k^2\sum_{k=1}^nb_k^2
    利用柯西不等式,证明过程如下:
    x+y=i=1n(xi+yi)2=i=1n(xi2+yi2+2xiyi)\|x+y\| = \sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i+y_i)^2} = \sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i^2+y_i^2+2x_iy_i})i=1n(xi2+yi2)+2i=1nxi2i=1nyi2\leq\sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i^2+y_i^2)+2\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2\sum^n_{i=1}y_i^2}}=i=1nxi2+i=1nyi2+2i=1nxi2i=1nyi2=\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2+\sum^n_{i=1}y_i^2+2\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2}\sqrt{\sum^n_{i=1}y_i^2}}=i=1nxi2+i=1nyi2=\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2}+\sqrt{\sum^n_{i=1}y_i^2}=x+y=\|x\|+\|y\|
    证毕

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  • 霍尔德(Hölder)不等式 参考来源: 对偶范数: 霍尔德(Hölder)不等式 范数的共轭函数 对偶范数

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    霍尔德(Hölder)不等式
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    参考来源:
    对偶范数:
    霍尔德(Hölder)不等式
    范数的共轭函数
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    对偶范数
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  • UA MATH567 高维统计I 概率不等式8 亚指数范数 类似亚高斯范数,我们也可以定义随机变量的亚指数范数(sub-exponential norm): ∥X∥ψ1=inf⁡{t>0:Ee∣X∣/t≤2}\left\|X \right\|_{\psi_1} = \inf\{t>0:Ee...
  • 范数

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