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  • 此PDF详细介绍了信号系统中门函数卷积的求法,值得一看!
  • 门函数卷积_卷积及其应用

    千次阅读 2020-11-20 13:49:13
    卷积公式的由来卷积公式最开始来自于古典概型。如题,掷两次公平的骰子,点数之和等于8的概率。设随机变量 为第一次掷得的点数,随机变量 为第二次掷得的点数。因此不考虑点数之和等于8的条件,则有 种样本空间。...

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    卷积公式的由来

    卷积公式最开始来自于古典概型。

    如题,掷两次公平的骰子,点数之和等于8的概率。

    设随机变量

    为第一次掷得的点数,随机变量
    为第二次掷得的点数。因此不考虑点数之和等于8的条件,则有
    种样本空间。根据条件
    , 相当于给随机变量的取值限定了范围。设掷骰子的概率密度函数为
    , 则该事件的概率为

    将该例子拓展到连续型随机变量。

    是二维连续型随机变量,它具有概率密度
    .
    , 求
    的概率。

    同理

    由此可得卷积公式:

    离散随机变量的卷积公式

    连续随机变量的卷积公式

    可得随机变量和的概率密度函数等于随机变量概率密度函数的卷积

    卷积公式在信号系统中的应用

    卷积公式在信号处理领域最重要的应用来自于,两个信号时域上的卷积运算的傅立叶变换等于两个信号在频域上的相乘。

    我们可以利用这个性质进行信号滤波。比如在频域中我们将任意信号与门信号相乘,相当于将高次谐波分量给剔除掉了,这也叫做低通滤波 平滑了信号。

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    图片来自互联网

    而保留曲线边缘的滤波又称高通滤波,这一特征可以用来边缘检测 [1]。

    中心极限定理的证明

    在生活中,许多随机变量由许多随机因素综合影响,那么随机变量和的分布服从高斯分布 [2]。

    首先,设随机变量

    相互独立,
    ,
    并服从同一概率密度函数

    因为随机变量和的概率密度等于随机变量概率密度的卷积 [2]。

    , 则
    的均值为
    ,标准差为

    将随机变量标准化

    ,得

    将概率密度函数求傅立叶变换得

    傅立叶逆变换求的随机变量和的概率密度函数

    可见,大量独立同分布的随机变量之和服从高斯分布。

    此外,证明中心极限定理的过程可以用来引出随机变量的特征函数或矩量母函数。

    特征函数与矩量母函数

    由定义得

    由定义可以看出随机变量的特征函数是随机变量的共轭傅立叶变换。

    并且特征函数的第

    项是随机变量
    的第
    中心矩
    。拓展下随机变量的中心矩代表了随机变量的数字特征。从母函数可以看出随机变量的概率密度函数可以有中心矩的组合来表示。

    另外特征函数还有一个重要的性质

    这个性质同样可以用来证明中心极限定理(独立同分布)。

    证明过程同上中心极限定理证明。

    此外提一下矩量母函数。

    因和特征函数差不多,故不详细介绍。

    卷积与卷积核

    在图像处理中,用的最多的是卷积核。从名字上就能看出与卷积公式有必然联系。

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    从上面的动图看卷积核的运算,好像和之前推导的公式有出入

    因为,一般

    卷积核运算只需要加权求和就行

    而卷积公式是倒过来加权求和。

    其实很简单,一般卷积核是已经将卷积核处理过,即已翻转

    。所以本质上,图像处理中的卷积核运算也是卷积公式的应用,卷积公式的另一层意义也在于两个函数的加权求和。

    参考文献

    [1] TaigaComplex. 2015. [傅立叶变换及其应用学习笔记] 十. 卷积与中心极限定理. Retrieved September 23, 2019 from https://www.cnblogs.com/TaigaCon/p/5014957.html.

    [2] 盛骤, 谢式千, 潘承毅. 2008. 概率论与数理统计.

    [3] Yuval Filmus. 2010. Two Proofs of the Central Limit Theorem. Retrieved September 23, 2019 from http://www.cs.toronto.edu/~yuvalf/CLT.pdf.

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  • 通过验证两个例题,发现如下规律: ...(2)得到的三角形面积等于单个门函数面积的平方。 由上述规律便可以在得到部分已知条件下,求出两种函数分别与横轴、纵轴的交点。 #信号与系统 (如有错误请指正) ...

    通过验证两个例题,发现如下规律:
    (1)得到的三角形脉冲的脉宽是矩形脉宽的两倍。
    (2)得到的三角形面积等于单个门函数面积的平方。
    由上述规律便可以在得到部分已知条件下,求出两种函数分别与横轴、纵轴的交点。
    #信号与系统
    (如有错误请指正)

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  • 脉冲函数卷积

    千次阅读 2020-01-22 01:47:41
    记忆中这课对脉冲函数的响应和对卷积的研究很多,当初也不知道为什么要研究脉冲函数卷积,直到最近看了公开课才有一些渐渐明白了,以下是自己的一些理解,如果有不正确的地方欢迎指正与探讨。 线性系统的可加性...

    前言

    近来为准备考研复试,又拾起了大三学的懵懵懂懂的《信号与系统》,看的是MIT的公开课(公开课链接),感觉受益匪浅。

    记忆中这门课对脉冲函数的响应和对卷积的研究很多,当初也不知道为什么要研究脉冲函数和卷积,直到最近看了公开课才有一些渐渐明白了,以下是自己的一些理解,如果有不正确的地方欢迎指正与探讨。

    L T I LTI LTI系统的性质

    对于离散系统,若 y 1 [ n ] y_1[n] y1[n]是对输入 x 1 [ n ] x_1[n] x1[n]的响应, y 2 [ n ] y_2[n] y2[n]是对输入 x 2 [ n ] x_2[n] x2[n]的响应,那么一个 L T I LTI LTI系统应当满足:

    1. 可加性: y 1 [ n ] + y 2 [ n ] y_1[n]+y_2[n] y1[n]+y2[n]是对输入 x 1 [ n ] + x 2 [ n ] x_1[n]+x_2[n] x1[n]+x2[n]的响应;
    2. 齐次性: a y 1 [ n ] ay_1[n] ay1[n]是对输入 a x 1 [ n ] ax_1[n] ax1[n]的响应,此处 a a a为任意复常数;
    3. 时不变: y 1 [ n − k ] y_1[n-k] y1[nk]是对输入 x 1 [ n − k ] x_1[n-k] x1[nk]的响应。

    则易证明出:如果 x k [ n ] , k = 1 , 2 , 3 , ⋯ x_k[n], k=1,2,3,\cdots xk[n],k=1,2,3,,是某一个离散时间线性系统的一组输入,其相应的输出为 y k [ n ] , k = 1 , 2 , 3 , ⋯ y_k[n], k=1,2,3,\cdots yk[n],k=1,2,3,,那么这一组输入的线性组合
    x [ n ] = ∑ k a k x k [ n ] = a 1 x 1 [ n ] + a 2 x 2 [ n ] + ⋯ x[n]=\sum_ka_kx_k[n]=a_1x_1[n]+a_2x_2[n]+\cdots x[n]=kakxk[n]=a1x1[n]+a2x2[n]+
    的响应就是
    y [ n ] = ∑ k a k y k [ n ] = a 1 y 1 [ n ] + a 2 y 2 [ n ] + ⋯ y[n]=\sum_ka_ky_k[n]=a_1y_1[n]+a_2y_2[n]+\cdots y[n]=kakyk[n]=a1y1[n]+a2y2[n]+

    脉冲函数与卷积

    为了方便研究,我们想要把复杂输入信号 x [ n ] x[n] x[n]给分解成简单的信号的加权和,这样,根据线性系统的可加性和齐次性,系统的响应就是这些简单信号的加权和。在《信号与系统》中,对于离散函数,我们主要有两种方法进行分解:

    1. 卷积:将 x [ n ] x[n] x[n]分解为脉冲函数 δ [ n ] \delta[n] δ[n]的加权和;
    2. 离散傅里叶变换(其变体如拉普拉斯变换等):将 x [ n ] x[n] x[n]分解为 e − j k w 0 n e^{-jkw_0n} ejkw0n的加权和。

    我们此处仅讨论卷积的分解方法。在理解卷积之前,要先了解一下脉冲函数 δ [ n ] \delta[n] δ[n]

    离散的脉冲函数的定义如下

    脉冲函数

    注意到,函数 δ [ n − k ] \delta[n-k] δ[nk](其中 k k k为正整数)可由函数 δ [ n ] \delta[n] δ[n]向右平移 k k k个单位而得到,例如:

    脉冲函数的平移
    δ [ n + k ] \delta[n+k] δ[n+k]可以由 δ [ n ] \delta[n] δ[n]向左平移相应 k k k个单位长度得到,也就是“左加右减”。

    那么,对于一个任意一个离散函数 x [ n ] x[n] x[n],我们就可以把它分解为
    x [ n ] = x [ 0 ] δ [ n ] + x [ 1 ] δ [ n − 1 ] + x [ − 1 ] δ [ n + 1 ] + ⋯ ​ x[n]=x[0]\delta[n]+x[1]\delta[n-1]+x[-1]\delta[n+1]+\cdots​ x[n]=x[0]δ[n]+x[1]δ[n1]+x[1]δ[n+1]+
    如果想要理解卷积函数的意义,一定要对照下面的分解图理解上式。

    输入函数的分解

    通过观察我们可以将式子
    x [ n ] = x [ 0 ] δ [ n ] + x [ 1 ] δ [ n − 1 ] + x [ − 1 ] δ [ n + 1 ] + ⋯ x[n]=x[0]\delta[n]+x[1]\delta[n-1]+x[-1]\delta[n+1]+\cdots x[n]=x[0]δ[n]+x[1]δ[n1]+x[1]δ[n+1]+
    写为
    x [ n ] = ∑ k = − ∞ + ∞ x [ k ] δ [ n − k ] x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k] x[n]=k=+x[k]δ[nk]
    如果我们将离散函数 f [ n ] f[n] f[n] g [ n ] g[n] g[n]的卷积 p [ n ] p[n] p[n]记为 p [ n ] = f [ n ] ∗ g [ n ] p[n]=f[n]*g[n] p[n]=f[n]g[n],其定义为:
    p [ n ] = ∑ k = − ∞ + ∞ f [ k ] g [ n − k ] p[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}f[k]g[n-k] p[n]=k=+f[k]g[nk]
    对照输入 x [ n ] x[n] x[n]的分解式就可以看出,我们将 x [ n ] x[n] x[n]进行分解,最终写为了 x [ n ] x[n] x[n] δ [ n ] \delta[n] δ[n]卷积的形式。要理解此处这一卷积的含义,也就是对输入 x [ n ] x[n] x[n]的分解。

    再回忆起上面所讲到的 L T I LTI LTI系统的性质。若系统对输入 δ [ n ] \delta[n] δ[n]的响应为 h [ n ] h[n] h[n],那么我们就可以得到系统对 x [ n ] x[n] x[n]的响应 y [ n ] y[n] y[n]为:
    y [ n ] = ∑ k = − ∞ + ∞ x [ k ] h [ n − k ] y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k] y[n]=k=+x[k]h[nk]
    可以看出,系统对 x [ n ] x[n] x[n]的响应 y [ n ] y[n] y[n]也就是输入 x [ n ] x[n] x[n]与对脉冲函数响应 h [ n ] h[n] h[n]的卷积。换句话说,只要确定了 L T I LTI LTI系统对脉冲函数 δ [ n ] \delta[n] δ[n]的响应,我们就能直接由卷积求得系统对任意输入 x [ n ] x[n] x[n]的响应 y [ n ] y[n] y[n]。这便是《信号与系统》研究脉冲函数和卷积的意义。

    结语

    以上是对最近学习内容的粗浅理解,并且仅以离散系统举例说明,有时间我会补上对连续系统的解释。如果有不对的地方,欢迎您的指正。

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