二进制浮点数表示

阶码（指数）就是指数位存储的值，而偏阶（移码）则不同精度的浮点数的偏阶也各不相同，具体可以查看指数偏差。
$Bias=2^{k-1}-1$, 其中k是指数中的位数。

半精度浮点数

半精度浮点数 是一种被计算机使用的二进制浮点数据类型。半精度浮点数使用2个字节（16位）来存储。
在IEEE 754-2008中，它被称作binary16。这种数据类型只适合存储对精度要求不高的数字，不适合用来计算。

IEEE 754 标准指定了一个 binary16 要有如下的格式：
Sign bit（符号位）： 1 bit
Exponent width（指数位宽）： 5 bits
Significand precision（尾数精度）： 11 bits （有10位被显式存储）

按如下顺序排列：

除非指数位全是0，否则就会假定隐藏的起始位是1。因此只有10位尾数在内存中被显示出来，而总精度是11位。据IEEE 754的说法，虽然尾数只有10位，但是尾数精度是11位的(log10(211) ≈ 3.311 十进制数).

单精度浮点数

单精度浮点数 格式是一种数据类型，在计算机存储器中占用4个字节（32 bits），利用“浮点”（浮动小数点）的方法，可以表示一个范围很大的数值。

第1位表示正负，中间8位表示指数，后23位储存有效数位（有效数位是24位）。

第一位的正负号0代表正，1代表负。

中间八位共可表示$2^8=256$个数，指数可以是二补码；或0到255，0到126代表-127到-1，127代表零，128-255代表1-128。

有效数位最左手边的1并不会储存，因为它一定存在（二进制的第一个有效数字必定是1）。换言之，有效数位是24位，实际储存23位。

$sign=+1$
$exponent=(-127)+124=-3$
$fraction=1+2^{-2}=1.25$
$value=(+1)\times 1.25\times 2^{-3}=+0.15625$

双精度浮点数

双精度浮点数（double）是计算机使用的一种资料类型。比起单精度浮点数，双精度浮点数(double)使用 64 位（8字节） 来存储一个浮点数。 它可以表示二进位制的53位有效数字，其可以表示的数字的绝对值范围为$[2^{-1024},2^{1024}]$。

特殊情况

以双精度浮点数为例，说明一些特殊情况

当指数exponent全为0或者全为1时，有特殊含义，有以下四种情况，
1、$exponent=0,fraction=0\Rightarrow \pm 0$
2、$exponent=0,fraction\ne 0\Rightarrow 非正规形式的浮点数$
3、$exponent=2047,fraction=0\Rightarrow \pm \infty$
4、$exponent=2047,fraction\ne 0\Rightarrow NaN$

浮点数的运算步骤

浮点数的加减运算一般由以下五个步骤完成：对阶、尾数运算、规格化、舍入处理、溢出判断

一、对阶

所谓对阶是指将两个进行运算的浮点数的阶码对齐的操作。对阶的目的是为使两个浮点数的尾数能够进行加减运算。因为，当进行$M_x\cdot 2^{E_x}$与$M_y\cdot 2^{E_y}$加减运算时，只有使两浮点数的指数值部分相同，才能将相同的指数值作为公因数提出来，然后进行尾数的加减运算。对阶的具体方法是：首先求出两浮点数阶码的差，即$\Delta E=E_x-E_y$，将小阶码加上$\Delta E$，使之与大阶码相等，同时将小阶码对应的浮点数的尾数右移相应位数，以保证该浮点数的值不变。几点注意：

（1）对阶的原则是小阶对大阶，之所以这样做是因为若大阶对小阶，则尾数的数值部分的高位需移出，而小阶对大阶移出的是尾数的数值部分的低位，这样损失的精度更小。

（2）若$\Delta E$＝0，说明两浮点数的阶码已经相同，无需再做对阶操作了。

（3）采用补码表示的尾数右移时，符号位保持不变。

（4）由于尾数右移时是将最低位移出，会损失一定的精度，为减少误差，可先保留若干移出的位，供以后舍入处理用。

二、尾数运算

尾数运算就是进行完成对阶后的尾数相加减。这里采用的就是我们前面讲过的纯小数的定点数加减运算。

三、结果规格化

在机器中，为保证浮点数表示的唯一性，浮点数在机器中都是以规格化形式存储的。对于IEEE754标准的浮点数来说，就是尾数必须是1.M的形式。由于在进行上述两个定点小数的尾数相加减运算后，尾数有可能是非规格化形式，为此必须进行规格化操作。

规格化操作包括左规和右规两种情况。

左规操作

将尾数左移，同时阶码减值，直至尾数成为$1.M$的形式。例如，浮点数$0.0011\ast 2^5$是非规格化的形式，需进行左规操作，将其尾数左移3位，同时阶码减3，就变成$1.1100\ast 2^2$规格化形式了。

右规操作

将尾数右移1位，同时阶码增1，便成为规格化的形式了。要注意的是，右规操作只需将尾数右移一位即可，这种情况出现在尾数的最高位（小数点前一位）运算时出现了进位，使尾数成为$10.xxxx$或$11.xxxx$的形式。例如，$10.0011\ast 2^5$右规一位后便成为$1.00011\ast 2^6$的规格化形式了。

四、 舍入处理

浮点运算在对阶或右规时，尾数需要右移，被右移出去的位会被丢掉，从而造成运算结果精度的损失。为了减少这种精度损失，可以将一定位数的移出位先保留起来，称为保护位，在规格化后用于舍入处理。

IEEE754标准列出了四种可选的舍入处理方法：

（1）就近舍入（round to nearest）这是标准列出的默认舍入方式，其含义相当于我们日常所说的“四舍五入”。例如，对于32位单精度浮点数来说，若超出可保存的23位的多余位大于等于$100\dots 01$，则多余位的值超过了最低可表示位值的一半，这种情况下，舍入的方法是在尾数的最低有效位上加1；若多余位小于等于$011\dots 11$，则直接舍去；若多余位为$100\dots 00$，此时再判断尾数的最低有效位的值，若为0则直接舍去，若为1则再加1。

（2）朝$+\infty$舍入（round toward $+\infty$）对正数来说，只要多余位不为全0，则向尾数最低有效位进1；对负数来说，则是简单地舍去。

（3）朝$-\infty$舍入（round toward $-\infty$）与朝$+\infty$舍入方法正好相反，对正数来说，只是简单地舍去；对负数来说，只要多余位不为全0，则向尾数最低有效位进1。

（4）朝0舍入（round toward 0）

即简单地截断舍去，而不管多余位是什么值。这种方法实现简单，但容易形成累积误差，且舍入处理后的值总是向下偏差。

五、 溢出判断

与定点数运算不同的是，浮点数的溢出是以其运算结果的阶码的值是否产生溢出来判断的。若阶码的值超过了阶码所能表示的最大正数，则为上溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正上溢，记为$+\infty$，若浮点数为负数，则为负上溢，记为$-\infty$；若阶码的值超过了阶码所能表示的最小负数，则为下溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正下溢，若浮点数为负数，则为负下溢。正下溢和负下溢都作为0处理。

要注意的是，浮点数的表示范围和补码表示的定点数的表示范围是有所不同的，定点数的表示范围是连续的，而浮点数的表示范围可能是不连续的。

六、例子

$floata=0.3;b=1.6$;

$a=(0.3{)}_{10}=(00111110100110011001100110011010{)}_2$
$S_a=0E_a=01111101M_a=1.00110011001100110011010$

$b=(1.6{)}_{10}=(00111111110011001100110011001101{)}_2$
$S_b=0E_b=01111111M_b=1.10011001100110011001101$

$a+b=?$

二进制浮点数加法

第一步：对阶

$\because E_a<E_b{E}_b-E_a=2$

$\therefore Ma要调整为0.0100110011001100110011010$

$E=01111111$

第二步：尾数运算

$0.01001100110011001100110$
$+1.10011001100110011001101$
$=1.11100110011001100110011$‬

第三步：规格化

$1.11100110011001100110011$‬已经是个规格化数据了

第四步：舍入处理

由于在对阶时，$M_a$有右移，且第一次最高为1，第二次为0，所以按"0舍1入"，尾数运算结果调整为 $1.11100110011001100110100$

第五步：溢出判断

没有溢出，阶码不调整，所以最后的结果为

$a+b=(00111111111100110011001100110100{)}_2=(00111111111100110011001100110100{)}_2=(3FF33334{)}_{16}$

转为10进制

$a+b=1.90000010$

二进制浮点数减法

$b-a=?$
第一步：对阶

跟上面加法一样

第二步：尾数运算

$1.10011001100110011001101$

$-0.01001100110011001100110$

$=1.01001100110011001100111$

第三步：规格化

$1.01001100110011001100111$已经是个规格化数据了

第四步：舍入处理

由于在对阶时，$M_a$有右移，且第一次最高为1，第二次为0，所以按"0舍1入"，尾数运算结果调整为 $1.01001100110011001100110$

第五步：溢出判断

没有溢出，阶码不调整，所以最后的结果为

$a-b=(00111111101001100110011001100110)2=(00111111101001100110011001100110{)}_2=(3FA66666{)}_{16}$

转为10进制

$a-b=1.29999995$

二进制浮点数乘法

浮点数的乘法分为以下几个步骤：

计算符号位：通过异或操作计算符号位，若两个操作数符号位相同，则结果符号位为0，否则结果符号为1
计算原始尾数：两个操作数的尾数相乘（注意，这里是1.M * 1.M），得到原始尾数
计算原始指数：将两个操作数的指数（这里指的是指数幂次方，也就是阶码-移码后得到的数）相加，得到原始指数
规格化与舍入：对原始尾数和原始指数进行规格化，获得结果的指数，再对尾数进行舍入，获得结果的尾数

$floatX=-0.3;Y=500.25$;

$X=(-0.3{)}_{10}=(0.010011001100110011...循环{)}_2=(1.00110011...循环{)}_2\ast 2^{-2}=(10111110100110011001100110011010{)}_2(这里对无限循环小数有舍入处理)$
$Y=(500.25{)}_{10}=(111110100.01{)}_2=(1.1111010001{)}_2\ast 2^8=(01000011111110100010000000000000{)}_2$

$X\ast Y=(X_s\ast Y_s)\ast 2^{X_E+Y_E}$
$X_E=-2X_s=1.00110011001100110011010$
$Y_E=8Y_s=1.1111010001$
$X_{s}1.0011001100110011001101$
$\ast Y_s\ast 1.1111010001$
$=10.01011000010011001100111001011101$

$X\ast Y=10.01011000010011001100111001011101\ast 2^6$
$=1.001011000010011001100111001011101\ast 2^7(右规操作)$

结果二进制就为(注意，上面的指数7要加上移码才是存在指数位中的阶码，即7+127=134)
$(11000011000101100001001100110100{)}_2$
至于最后的尾数是怎么得到，是由原始尾数（X和Y的尾数相乘后得到）经过舍入得到

二进制浮点数除法

除法与乘法相差不大，变更为指数相减，尾数相除。

$floatX=91.34375;Y=0.14453125$;

$X=(91.34375{)}_{10}=(1011011.01011{)}_2=(1.01101101011{)}_2\ast 2^6=(01000010101101101011000000000000{)}_2$
$Y=(0.14453125{)}_{10}=(0.00100101{)}_2=(1.00101{)}_2\ast 2^8=(00111110000101000000000000000000{)}_2$

$X/Y=(X_s/Y_s)\ast 2^{X_E-Y_E}=(X_s/Y_s)\ast 2^{6-(-3)}$
$X_E=6X_s=1.01101101011$
$Y_E=-3Y_s=1.00101$
$X_{s}1.01101101011$
$/Y_s/1.00101$
$=1.001111$

$9+127=136$

$(01000100000111100000000000000000{)}_2$

浮点运算逻辑电路

Reference

https://zhuanlan.zhihu.com/p/58731780
https://www.yuejianzun.xyz/2019/05/28/%E6%B5%AE%E7%82%B9%E6%95%B0%E5%A4%84%E7%90%86/
https://www.cnblogs.com/yilang/
https://www.youtube.com/watch?v=MiOtePebraQ
https://www.youtube.com/watch?v=27JjUa-eu_E&t=11s
https://www.youtube.com/watch?v=fi8A4zz1d-s

二进制浮点数的规格化表示形式定义为$$N=2^E\cdot M$$其中$M$称为尾数，$E$称为阶码

例如二进制浮点数11.011011的规格化表示形式为：$$2^{+0010}\times 0.11011011$$该浮点数在计算机中存储为：

00100011011011

各个二进制位代表的含义为：
阶符E | 阶码E | 尾符M | 尾码M
00      010    00      11011011

现假设有两浮点数$X$、$Y$：
$$X:2^{+010}\times 0.11011011$$$$Y：2^{+100}\times -0.10101100$$
则$X$、$Y$在计算机中表示为：

    阶符E | 阶码E | 尾符M | 尾码M
X   00      010    00      11011011
Y   00      100    11      01010100

要在计算机中实现加减法运算要执行5个步骤：

1. 对阶

对阶的目的是为了使两个阶数不同的浮点数变换到为可以直接相加，例如在十进制中$1.2\times 10^2$和$2.3\times 10^3$的尾数是不能直接相加的，必须转换成相同的阶数才可以相加
$$\begin{array}{rl}& 1.2\times 10^2\\ & \underline{+2.3\times 10^3}\\ & 3.3\times 10^{?}\end{array}⟹\begin{array}{rl}& 0.12\times 10^3\\ & \underline{+2.3\times 10^3}\\ & 2.42\times 10^3\end{array}$$

1.1 取大阶

保留两个浮点数中阶码较大的那一个浮点数的阶数，较小阶码的浮点数的阶数在之后需要对齐大阶，取大阶的公式为：$$E_{max}=\max (E_X,E_Y)$$之所以是取大阶而不是取小阶是因为，浮点数往小阶对其后，小数点会进入尾数之中，与上面举的例子不同，这种浮点数形式是无法在计算机中存储的。

取大阶举例，对$X$、$Y$取大阶：
$$E_{max}=\max (E_X,E_Y)=E_Y$$

1.2 求阶差

求出阶差后可以根据阶差对阶码小的浮点数的尾数进行调整，求阶差公式：$$\Delta E=|E_X-E_Y{|}_{补}$$

求阶差举例，对$X$、$Y$求阶差：
$$\begin{array}{rl}\Delta E=& |E_X-E_Y{|}_{补}\\ =& |E_{X补}-E_{Y补}|\\ =& |E_{X补}+(-E_Y{)}_{补}|\\ =& |00010+11100|\\ =& |11110|=2\end{array}$$

1.3 对阶

若1.2求阶差中$\Delta E\ne 0$，则执行对阶操作，将阶码值较小的浮点数尾数右移$\Delta E$位，使得两个浮点数的阶码值相等。

由于进行了右移，对阶操作往往会损失阶码值较小的浮点数的一部分精度从而产生计算误差，若要减小计算误差，则要将右移过程中损失的尾数值保留下了以供后面3.2.2左规格化和4.2舍入步骤使用，这里不细说。

对阶举例，对$X$、$Y$对阶：
已知$X$、$Y$的大阶阶码$E_{max}=E_Y$，阶差$\Delta E=2$。即$E_X$位向$E_Y$对齐，且$M_X$右移$\Delta E$位：
$$\underline{00010}00\underline{11011011}⟹\underline{00100}00\underline{00110110}$$对阶后的$X$、$Y$:

    阶符E | 阶码E | 尾符M | 尾码M
X   00      100    00      00110110
Y   00      100    11      01010100

对阶前的$X$、$Y$:

    阶符E | 阶码E | 尾符M | 尾码M
X   00      010    00      11011011
Y   00      100    11      01010100

2. 尾数运算

2.1 尾数运算

对阶操作完成之后浮点数的尾数就可以进行运算了，公式可以表示为：$$M=[(M_X)\pm (M_Y){]}_{补}$$

尾数运算举例，对$X$、$Y$的尾数进行运算：
$$M=[(M_X)+(M_Y){]}_{补}=(M_X{)}_{补}+(M_Y{)}_{补}$$
$$\begin{array}{rl}& 00100\underline{0000110110}\\ & \underline{+00100\underline{1101010100}}\\ & 00100\underline{1110001010}\end{array}$$

3. 规格化

3.1 判断尾数溢出

双符号位的判断溢出方法：二进制数的符号一定为00(正)或11(负)，运算后若符号位变为01则是正溢出，变为10则是负溢出，二进制数相加结果符号位溢出判断如下表所示：

正数	负数	正溢	负溢
00	11	01	10

可以简记为，符号位异或的结果为0则溢出，为1则不溢出。

3.2 左右规格化

3.2.1 右规格化

若尾数加减后的结果$M$溢出则执行右规格化操作，即尾数右移一位且阶码加1，表示为$$M\gg 1,E+1$$

3.2.2 左规格化

若尾数加减后的结果$M$不溢出则执行左规格化操作，即尾数左移K位且阶码减K，表示为$$M\ll K,E-K$$其中$K$表示将尾数数值最高位变为与尾数符号位不同值需要执行左移的次数。注意此处的左移要包括1.3对阶时被移出低位的尾数值。

左规格化的目的是为了提高尾数的精度，例如，$M=001001110001010$转为真值表示为$2^4\times -0.01110110$，由于在计算机中尾数的存储位数有限，这种表示方法就会造成精度的下降，改为$2^3\times -0.11101100$就可以多存一个位的数据

尾数运算举例，对$M$的尾数进行左规格化：
尾数左移1位(括号中为对阶时被移出低位的尾数值)：$$1\underline{11}0001010(11)⟹1\underline{10}0010101(1)$$阶码减1：$$00100-00001=00011$$

4. 舍入

4.1 判断阶码溢出

如果在上一步执行的是右规格化，则要判断阶码是否上溢，若执行的是左规格化，则要判断阶码是否下溢。

判断方法与3.1一致，符号位异或的结果为0则溢出，为1则不溢出。右规格化若上溢则置上溢标志并且报运算结果溢出错误，左规格化若下溢则置机器零到5.4输出结果

4.2 舍入

若左右规格化的步骤执行后结果不溢出，则进行舍入处理。

在执行3.2.1右规格化和1.3对阶时，尾数低位上的数值会被移除掉使得浮点数精度下降。舍入就是用来弥补被移除掉的精度，当移除掉的低位数值最高位为1时，在规格化后的尾数末尾加1，若加1后使得尾数溢出，则需再执行一次右规格化。

舍入举例，对规格化后的$M$的尾数进行舍入：
在1.3对阶时被移除掉的两个低位数是11，则移除掉的低位数值最高位为1，应在规格化后的尾数末尾加1，得到：$$M=M+1=1100010101+000000001=1100010110$$

5. 判溢出

5.1 判断尾数溢出

执行完舍入之后，要判断舍入之后的尾数是否溢出，判断方法与3.1一致，符号位异或的结果为0则溢出，为1则不溢出。若不溢出则输出结果。

若溢出则需要在执行一次右规格化，然后判断是否上溢，若上溢则置上溢标志并且报运算结果溢出错误，若不上溢则输出运算结果

5.4 输出结果

最终结果可以用$X\pm Y$来表示，其值就是EM的真值$$X\pm Y=E_{真}\times M_{真}$$

结果举例，对规格化后的$M$的尾数进行舍入：
$$M=1100010110⟹X+Y=E_{真}\times M_{真}=2^{011}\times -0.11101010$$

十进制浮点数转二进制浮点数计算规则

   （1）单精度二进制浮点数存储格式如下图：

       那么一个单精度十进制浮点数转二进制浮点数的规则是如何的呢？假设这里有一个小数为3.625，那么该小数对应的整数部分就是11，小数部分就是101，那么该数表示成二进制就是11.101，由于我们需要表示成浮点二进制数，那么小数点要向左移动一位，那么变为1.1101，那么对应的浮点二进制整数部分就是127+1=128=0x80,小数部分为1101，由于该数是整数，所以符号位为0，将上述数字如图对号入座，其余空余的地方补1，可得转换后的数据是：0100 0000 0110 1000 0000 0000 0000 0000，对应的十六进制表示就是0x40680000，即3.625的单精度浮点二进制数表示就是0x40680000。

  （2）双精度二进制浮点数存储格式如下图：

      那么一个双精度浮点数的转换规则是怎样的呢？其实和单精度浮点数的转换机制类似，由（1）3.625对应的二进制数为11.101，小数点左移一位后为1.1101，整数部分就为1023+1=1024=0x800，小数部分为1101，符号位为0，按如图格式对号入座，其余部分补0，得到转换后的的数为0100 0000 0000 1101 000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000=0x400D000000000000，即3.625的双精度浮点二进制数表示就是0x400D000000000000。

   （3）便捷计算软件

      网上可以找到浮点数转换的便捷计算软件，非常方便，如下图这个软件：

       下载链接为:http://www.greenxf.com/soft/210343.html