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  • 从二叉树中删去所有结点

    千次阅读 热门讨论 2019-10-23 21:53:22
    删除所有叶子结点 void Del_0(BiTree T) //删除叶子结点 { BiTNode *p = T; if (p == NULL) return; else if (p->lchild == NULL && p->rchild == NULL) free(p); Del_0(T->lchild...

    删除所有叶子结点

    void Del_0(BiTree T)	//删除叶子结点
    {
    	BiTNode *p = T;
    	if ((p->lchild == NULL && p->rchild == NULL) || p == NULL)
    	{
    		free(p);
    		return;
    	}
    	else if (p->lchild->lchild == NULL && p->lchild->rchlid == NULL)
    	{
    		free(p->lchild);
    		p->lchild = NULL;	//父节点左孩子指针置空
    	}
    	else if (p->rchild->lchild == NULL && p->rchild->rchlid == NULL)
     	{
     		free(p->rchild);
      		p->rchild = NULL;	//父节点右孩子指针置空
     	}
    	Del_0(T->lchild);
    	Del_0(T->rchild);
    	//注意此代码为递归,只会向内层深入
    	//所以删除完叶子结点,使原分支结点变为叶子结点,但不会再继续删除
    }
    

    王道数据结构第四章归纳总结题

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  • 满二叉树有两个非空子树(二叉树中的每个结点恰好有两个孩子结点切所有叶子结点都在同一层)。也就是一个结点要么是叶结点,要么是有两个子结点的中间结点。深度为k且含有2^k-1个结点的二叉树。完全二叉树左到右依次...

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    二叉树

    1. 二叉数是每个节点最多有两个子树,或者是空树(n=0),或者是由一个根节点及两个互不相交的,分别称为左子树和右子树的二叉树组成。

    满二叉树

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    1. 有两个非空子树(二叉树中的每个结点恰好有两个孩子结点切所有叶子结点都在同一层)。
    2. 也就是一个结点要么是叶结点,要么是有两个子结点的中间结点。
    3. 深度为k且含有2^k-1个结点的二叉树。

    完全二叉树

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    1. 从左到右依次填充。
    2. 从根结点开始,依次从左到右填充树结点。
    3. 除最后一层外,每一层上的所有节点都有两个子节点,最后一层都是叶子节点。
    4. 完全二叉树是由满二叉树而引出来的,若设二叉树的深度为h,除第 h 层外,其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数(即1~h-1层为一个满二叉树),第 h 层所有的结点都连续集中在最左边,这就是完全二叉树。
    通过之前对二叉搜索树介绍可知,将集合构造为二叉搜索树结构,该结构下对树中节点的查询、删除和插入三种操作,时间复杂度均为
    。影响时间复杂度的因素即为二叉树的高,为了尽量避免树中每层上只有一个节点的情况,这里引入平衡二叉树。

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    图中第0层应为第一层

    树的深度:从根节点开始(其深度为0)自顶向下逐层累加的。上图中,13的深度是1,30的深度是2,28的深度是3。(图中第0层应为第一层)

    树的高度:从叶子节点开始(其高度为0)自底向上逐层累加的。54的高度是2,根节点23的高度是3。(图中第0层应为第一层)

    对于树中相同深度的每个节点来说,它们的高度不一定相同,这取决于每个节点下面的叶子节点的深度。上图中,13和54的深度都是1,但是13的高度是1,54的高度是2。

    定义

    平衡二叉树也叫自平衡二叉搜索树(Self-Balancing Binary Search Tree),所以其本质也是一颗二叉搜索树,不过为了限制左右子树的高度差,避免出现倾斜树等偏向于线性结构演化的情况,所以对二叉搜索树中每个节点的左右子树作了限制,左右子树的高度差称之为平衡因子,树中每个节点的平衡因子绝对值不大于

    ,此时二叉搜索树称之为平衡二叉树。

    自平衡是指,在对平衡二叉树执行插入或删除节点操作后,可能会导致树中某个节点的平衡因子绝对值超过

    ,即平衡二叉树变得“不平衡”,为了恢复该节点左右子树的平衡,此时需要对节点执行旋转操作。

    情景分析

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    当插入一个元素使平衡二叉树不平衡时,可能出现以下的四种情况:

    1. LL:称为"左左"。插入或删除一个节点后,根节点的左子树的左子树还有非空子节点,导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2,导致AVL树失去了平衡。

    例如,在上面LL情况中,由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点",而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点";导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。

    1. LR:称为"左右"。插入或删除一个节点后,根节点的左子树的右子树还有非空子节点,导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2,导致AVL树失去了平衡。

    例如,在上面LR情况中,由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点",而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点";导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。

    1. RL:称为"右左"。插入或删除一个节点后,根节点的右子树的左子树还有非空子节点,导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2,导致AVL树失去了平衡。

    例如,在上面RL情况中,由于"根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点",而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点";导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。

    1. RR:称为"右右"。插入或删除一个节点后,根节点的右子树的右子树还有非空子节点,导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2,导致AVL树失去了平衡。

    例如,在上面RR情况中,由于"根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点",而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点";导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。

    下面根据上面的四种情况来具体看修复的办法。

    LL旋转

    当平衡二叉树失去平衡,显示出上面LL的情况时,可以用下面的一次调整使其恢复平衡。

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    从上图看出,只需要将高度较大的左子树的根节点作为其父节点,然后,将其父节点作为右子树的根节点;这时,原来左子树的右子树需要移动到现在的右子树下,作为其左子树。

    RR旋转

    当平衡二叉树失去平衡,显示出上面RR的情况时,可以用下面的一次调整使其恢复平衡。

    47b5e9909559458564cedc9b04b9dec1.png

    从上图看出,只需要将高度较大的右子树的根节点作为其父节点,然后,将其父节点作为左子树的根节点;这时,原来右子树的左子树需要移动到现在的左子树下,作为其右子树。

    LR旋转

    当平衡二叉树失去平衡,显示出上面LR的情况时,可以用下面的两次调整使其恢复平衡。

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    如上图,先将k1为树根的子树向左旋转,即和前面的RR调整的方向类似,然后在将以k3为树根的子树向右旋转。

    RL旋转

    当平衡二叉树失去平衡,显示出上面RL的情况时,可以用下面的两次调整使其恢复平衡。

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    如上图,先将k3为树根的子树向右旋转,即和前面的LL调整的方向类似,然后在将以k1为树根的子树向左旋转。

    性能分析

    因为平衡二叉树也是二叉搜索树,回顾二叉搜索树中的操作复杂度,查询、插入和删除复杂度均为
    。平衡二叉树中查询复杂度影响因素自然为树的高度;插入节点操作可以拆分为两个步骤:查询节点位置,插入节点后平衡操作;删除节点操作同理可以拆分为两个步骤:查询节点位置,删除节点后平衡操作。 平衡调节过程中可能存在旋转操作,递归执行的次数则依赖于树的高度(可以优化为当前节点平衡因子不发生变化,则取消向上递归)。所以平衡二叉树中查询、插入和删除节点操作的复杂度依赖于树高。

    代码

    给定一个二叉树,判断它是否是高度平衡的二叉树。

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  • 二叉树:在一棵树,如果所有的分支结点都有左孩子和右孩子结点,并且叶子结点都集中在二叉树的最下层 完全二叉树:一棵满二叉树从左到右上至下。挨个删除结点所得到的树(如果跳着删除则得到的就不是完全...

    有序树:树中结点的子树从左到右是有序的,不能交换的
    无序树:书中结点的子树没有次序,可以任意交换
    丰满二叉树即理想平衡树:要求除最低层外,其余层都是满的。
    二叉树:

    • 每个结点最多只有两棵子树,即二叉树中结点的度只能为0,1,2
    • 子树有左右之分,不能颠倒

    满二叉树:在一棵树中,如果所有的分支结点都有左孩子和右孩子结点,并且叶子结点都集中在二叉树的最下层

    完全二叉树:一棵满二叉树从左到右从上至下。挨个删除结点所得到的树(如果跳着删除则得到的就不是完全二叉树)

    线索二叉树:是二叉树的非递归遍历方法。一棵二叉树中所有结点的空指针按照某种遍历方式加线索的过程叫做线索化,被线索化的二叉树称为线索二叉树,一般采用二叉链表存储结构。
    赫夫曼树也叫最优二叉树:特点是带权路径最短。(由于压缩文件)
    正则二叉树(严格二叉树):树中没有度为1的结点称为正则二叉树
    赫夫曼树不一定是二叉树(有赫夫曼N叉树)
    二叉排序树:或者是空树,或者是以下定义的树(通常采用二叉链表存储结构)

    • 若它的左子树不空,则左子树上所有关键字的值均不大于(不小于)根关键字的值
    • 若它的右子树不空,则右子树上所有关键字的值均不小于(不大于)根关键字的值
    • 左右子树又是一棵平衡二叉树。

    平衡二叉树:又称为AVL树,是一种特殊的二叉排序树。其左右子树都是二叉排序树,且左右子树的高度之差的绝对值不超过1.(即树中所有结点为根的树的左右子树高度之差绝对值不超过1)

    深度优先搜索生成树:是对图的深度遍历产生的,把图的深度优先搜素遍历过程中所经历的边保留,其余的边删掉,就会生成一棵深度优先搜索生成树

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  • 二叉树总结

    2019-08-04 13:04:59
    完全二叉树:在满二叉树的基础上,右至左,连续删除(不能跳着),在这个过程生成的所有二叉树都是完全二叉树。 1.二叉树的主要性质: 1. 非空二叉树上的叶子结点数等于双分支结点数加1 2. 二叉树的第i层上最多...

    二叉树:

    满二叉树:所有分支结点都有左右孩子,并且叶子结点都集中在二叉树的最下一层。即每一层一个都不缺。
    完全二叉树:在满二叉树的基础上,从右至左,连续删除(不能跳着),在这个过程中生成的所有二叉树都是完全二叉树。

    1.二叉树的主要性质:

    1. 非空二叉树上的叶子结点数等于双分支结点数加1
    2. 二叉树的第i层上最多有2i-1(i>=1)个结点
    3. 高度为k的二叉树最多有2k-1(k>=1)个结点。换句话说,满二叉树中前K层的结点个数为2k-1.
    4. 具有n个结点的完全二叉树的高度
    \lceil log_2 (n+1) \rceil 
    

    \lfloor log_2 n \rfloor +1 
    

    (先加1再向上取整 或 先向下取整再加1)

    2.二叉排序数

    定义:

    二叉排序数或者是空树,或者是满足以下性质的二叉树
    (1)若它左子树不为空,则左子树上的所有关键字小于根关键字的值
    (2)若它右子树不为空,则右子树上的所有关键字值大于根关键字的值
    (3)左右子树又各是一颗二叉排序数

    平衡二叉树(AVL树)

    其左右子树都是都是平衡二叉树,且左右子树高度之差的绝对值不超过1。即以树中所有结点为根的树的左右子树高度之差绝对值不超过1.
    一个结点的平衡因子:是其左子树高度减去右子树高度的差。
    所以,平衡二叉树中,所有结点平衡因子的取值只能是-1,0,1

    红黑树

    红黑树
    红黑树参考
    红黑树(Red Black Tree) 是一种自平衡二叉查找树
    红黑树和AVL树类似,都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡,从而获得较高的查找性能。
    二叉平衡树的严格平衡策略以牺牲建立查找结构(插入,删除操作)的代价,换来了稳定的O(logN) 的查找时间复杂度
    它虽然是复杂的,但它的最坏情况运行时间也是非常良好的,并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找,插入和删除,这里的n 是树中元素的数目。

    (1) 每个节点或者是黑色,或者是红色。
    (2) 根节点是黑色。
    (3) 每个叶子节点是黑色。 [注意:这里叶子节点,是指为空的叶子节点!]
    (4) 如果一个节点是红色的,则它的子节点必须是黑色的。
    (5) 从一个节点到该节点的子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点。

    RBT 的操作代价分析:
    (1) 查找代价:由于红黑树的性质(最长路径长度不超过最短路径长度的2倍),可以说明红黑树虽然不像AVL一样是严格平衡的,但平衡性能还是要比BST要好。其查找代价基本维持在O(logN)左右,但在最差情况下(最长路径是最短路径的2倍少1),比AVL要略逊色一点。
    (2) 插入代价:RBT插入结点时,需要旋转操作和变色操作。但由于只需要保证RBT基本平衡就可以了。因此插入结点最多只需要2次旋转,这一点和AVL的插入操作一样。虽然变色操作需要O(logN),但是变色操作十分简单,代价很小。
    (3) 删除代价:RBT的删除操作代价要比AVL要好的多,删除一个结点最多只需要3次旋转操作。
    RBT 效率总结 : 查找 效率最好情况下时间复杂度为O(logN),但在最坏情况下比AVL要差一些,但也远远好于BST。
    插入和删除操作改变树的平衡性的概率要远远小于AVL(RBT不是高度平衡的)。因此需要的旋转操作的可能性要小,而且一旦需要旋转,插入一个结点最多只需要旋转2次,删除最多只需要旋转3次(小于AVL的删除操作所需要的旋转次数)。虽然变色操作的时间复杂度在O(logN),但是实际上,这种操作由于简单所需要的代价很小。

    红黑树能够以O(log2(N))的时间复杂度进行搜索、插入、删除操作。此外,任何不平衡都会在3次旋转之内解决。这一点是AVL所不具备的。

    插入https://blog.csdn.net/jjc120074203/article/details/78780221

    删除https://www.cnblogs.com/fornever/archive/2011/12/02/2270692.html

    删除所进行的所有旋转和变色操作都是为了,是要删除的结点N(黑色,因为如果是红色,不需要做任何调整,不会影响深度平衡)这边的所有通路多一个黑色结点以维持删除后的深度平衡,并且不影响N结点兄弟结点所在通路的深度
    

    B树

    ** B树实质上是多叉平衡查找树,但限制性更强,要求所有叶节点在同一层。
    B树中所有结点孩子结点个数最大值为B树的阶,用m表示。
    B树满足以下性质:

    1、根结点至少有两个子女;
    2、每个非根节点所包含的关键字个数 j 满足:m/2 - 1 <= j <= m - 1;
    3、除根结点以外的所有结点(不包括叶子结点)的度数正好是关键字总数加1,故内部子树个数 k 满足:m/2<= k <= m ;
    4、所有的叶子结点都位于同一层。**

    B-树

    参考:https://blog.csdn.net/qq_17612199/article/details/50944413

    在这里插入图片描述
    有以下性质
    1.每个结点最多有m个分支,根节点最少有m个分支,非根结点最少有m/2 \lceil m/2 \rceil 个分支
    2. 有n个分支的结点有n-1个关键字,他们按递增顺序排序。
    3. 结点内各关键字互不相等且按从小到大排列。
    4. 3各个底层结点是叶节点,他们处于同一层。

    B+树:

    在这里插入图片描述
    B+ 树是一种树数据结构,是一个n叉树,每个节点通常有多个孩子,一颗B+树包含根节点、内部节点和叶子节点。根节点可能是一个叶子节点,也可能是一个包含两个或两个以上孩子节点的节点。
    B+ 树通常用于数据库和操作系统的文件系统中。
    NTFS, ReiserFS, NSS, XFS, JFS, ReFS 和BFS等文件系统都在使用B+树作为元数据索引。
    B+ 树的特点是能够保持数据稳定有序,其插入与修改拥有较稳定的对数时间复杂度。
    B+ 树元素自底向上插入。

    B+树与B-树的比较:

    1.如图,在B+树中,具有n个关键字的结点含有n个分支,而B-树中,具有n个关键字的结点含有n-1个分支;
    2.在B+树中,每个结点的关键字个数n的取值范围为m/2&lt;=n&lt;=m \lceil m/2 \rceil &lt;= n &lt;=m,根节点的取值范围是1<=n<=m;
    B-树中,他们的取值范围分别是m/21&lt;=n&lt;=m1 \lceil m/2 \rceil-1 &lt;= n &lt;=m-1和1<=n<=m-1;
    3.在B+树中,叶子结点包含信息,并且包含了全部关键字,叶子结点引出的指针指向记录;而在B-树中不包含信息,和其它非叶子结点一样只包含关键字;
    4.B+树中所有的非叶子结点仅仅起到一个索引的作用,不含有该关键字对应记录的存储地址;而在,B-树中,每个关键字对应一个记录的存储地址;
    5.为所有叶子结点增加一个链指针;

    总结:

    1.红黑树与平衡树:

    1)红黑树放弃了追求完全平衡,追求大致平衡,在与平衡二叉树的时间复杂度相差不大的情况下,保证每次插入最多只需要三次旋转就能达到平衡,实现起来也更为简单。

    2)平衡二叉树追求绝对平衡,条件比较苛刻,实现起来比较麻烦,每次插入新节点之后需要旋转的次数不能预知。

    2.B树

    B-树:多路搜索树,每个结点存储M/2到M个关键字,非叶子结点存储指向关键字范围的子结点;所有关键字在整颗树中出现,且只出现一次,非叶子结点可以命中;B+树:在B-树基础上,为叶子结点增加链表指针,所有关键字都在叶子结点中出现,非叶子结点作为叶子结点的索引;B+树总是到叶子结点才命中;B*树:在B+树基础上,为非叶子结点也增加链表指针,将结点的最低利用率从1/2提高到2/3;

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空空如也

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从二叉树中删除所有叶子结点