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  • MFC用B样条绘制分段Bezier曲线 将几何连续的分段多项式曲线统一采用B样条表示,是实现数据的统一管理。实现方式为将端节点重复度设置为K+1,内节点重复度设置为K,且控制点点个数减1的值为K的整数倍。 修改绘制代码...

    MFC用B样条绘制分段Bezier曲线

    在这里插入图片描述
    将几何连续的分段多项式曲线统一采用B样条表示,是实现数据的统一管理。实现方式为将端节点重复度设置为K+1,内节点重复度设置为K,且控制点点个数减1的值为K的整数倍。
    修改绘制代码的控制点与节点为:

    n=6, k=3;
    
    	//节点初始化
    	knot[0]=0.0, knot[1]=0.0, knot[2]=0.0;
    	knot[3]=0.0, knot[4]=0.5, knot[5]=0.5;
    	knot[6]=0.5, knot[7]=1.0, knot[8]=1.0;
    	knot[9]=1.0, knot[10]=1.0;
    
    	//控制点初始化
    	P[0].x=-319, P[0].y=-14;
    	P[1].x=-269, P[1].y=202;
    	P[2].x= -61, P[2].y=198;
    	P[3].x= -32, P[3].y=13;
    	P[4].x= 54,  P[4].y=-116;
    	P[5].x= 253, P[5].y=-76;
    	P[6].x= 296, P[6].y=66;
    

    完成绘制。

    参考《计算几何算法与实现》–孔令德

    展开全文
  • 本程序是在VS2013下用C#开发的B样条绘制程序,包括均匀B样条,准均匀B样条,分段Bezier曲线,非均匀B样条
  • matlab绘制B样条曲面的代码,包括均匀、准均匀、分段Bezier以及非均匀四种类型。main.m是入口函数,输入控制网格的顶点坐标,曲面的类型以及次数。
  • B样条曲线曲面 Mfc

    热门讨论 2012-02-26 11:08:27
    本程序利用MFC实现了B样条曲线曲面的绘制:均匀B样条曲线 准均匀B样条曲线 分段Bezier曲线 非均匀B样条曲线 曲面
  • B样条曲线 B-spline

    2009-04-01 12:37:32
    B样条曲线和B样条基函数的生成算法和显示 包括均匀、准均匀、分段Bezier和两种非均匀B样条曲线的算法,采用C++和MFC编写,算法效率较低,请自行改进。
  • 比如我的项目中,使用了分段bezier,每段bezier至多为二次。 每段bezier我都保存了其3个或者2个control point 于是我构造path的时候,每次都先moveTo到bezier的起点,然后quadTo或者lineTo 封闭曲线...

    主要针对QGraphicsPathItem


    一般一个复杂的封闭曲线可能是由多条简单曲线拼接而成


    比如我的项目中,使用了分段bezier,每段bezier至多为二次。


    每段bezier我都保存了其3个或者2个control point


    于是我构造path的时候,每次都先moveTo到bezier的起点,然后quadTo或者lineTo


    封闭曲线是构造完成了,但是却无法点击封闭曲线内部区域来drag曲线,找原因还找了挺久。


    最后想起,moveTo函数将当前起始点移动到新的位置,然后会结束上一条subpath,开始一条新的subpath


    官方说明如下:


    void QPainterPath::moveTo ( const QPointF & point )

    Moves the current point to the given point, implicitly starting a new subpath and closing the previous one.


    这样就导致我的封闭曲线在QPainterPath中并不被认为是封闭的。于是自然也无法drag。


    最后我将moveTo都去掉,问题解决。

    展开全文
  • 2223232 2 2 2 3 2 3 2 计算机图形学实验报告 实验名称 Bezier 曲线和样条曲线的生成算法 评分 实验...Bezier 曲线绘制 编程实现用三次 Bezier 曲线绘制和分段光滑 Bezier 曲线图形的绘制 用三次 B 样条函数绘制曲线 二
  • bezier曲线拟合

    2009-08-24 15:59:55
    获取到地图上的点,然后将地图上的点分段,然后将分段以后的点进行拟合
  • 均匀B样条和准均匀B样条

    千次阅读 多人点赞 2019-03-20 11:14:06
    均匀B样条拟合和准均匀B样条拟合 在CAGD中最为重要的无非就是B样条曲线,B样条在保留Bezier曲线优点的同时,克服了其由于整体表示带来不具有...©分段Bezier曲线; (d)一般非均匀B样条曲线。 (1) 对于均匀B样条曲...

    均匀B样条拟合和准均匀B样条拟合

    在CAGD中最为重要的无非就是B样条曲线,B样条在保留Bezier曲线优点的同时,克服了其由于整体表示带来不具有局部性质的缺点,以及解决了在描述复杂形状时带来的连接问题。B样条曲线按照节点矢量中节点的分布情况不同,可划分为如下4种类型:(a)均匀B样条曲线;
    (b)准均匀B样条曲线;
    ©分段Bezier曲线;
    (d)一般非均匀B样条曲线。

    均匀B样条

    (1) 对于均匀B样条曲线,其方程的矩阵表达形式为:

    在这里插入图片描述
    其中系数Mk(k=1,2,3)分别为:
    在这里插入图片描述

    使用系数矩阵能大大的简化参数曲线基函数的计算。带入不同的阶数的矩阵即可得到相应的次数的均匀B样条曲线。关于系数矩阵的推导,更为直观的是一种基于几何特性的三次均匀B样条曲线构造描述,该方法更为直观的描述了三次均匀B样条曲线构造的原理和过程,给出了不同曲线段情况下曲线特征构造和插值构造的相关公式。
    在这里插入图片描述
    图(a)是常见的三次均匀B样条曲线段的几何表示方法,图(b)是通过分析a所表达的曲线的性质得到的与图a等价的几何表示。在图b中,将定义该线段的4个特征点所构成的特征多边形的3条边均3等分,Q1-Q6即为对应的等分点,连接Q2Q3、Q4Q5则此连线的中点分别为曲线段的起点Pi(0)和终点Pi(1),且曲线段首末端点切矢分别为Q2Q3、Q4Q5。由特征点Vi、Vi+1、Vi+2、Vi+3定义的一段三次均匀B样条曲线段等价于由点Pi(0)、Q3、Q4、Pi(1)所定义的一段三次Bezier曲线。
    在这里插入图片描述

    由上式可以看出,只要得到对应的Bezier点,即可方便的得出各段曲线的数学表达式。另一种数学方式可以将系数基矩阵M显式表达即为:
    在这里插入图片描述
    其中mij可以依照下式计算得出:
    在这里插入图片描述
    例如在k=4时,求得三次均匀B样条基的系数矩阵为:
    在这里插入图片描述

    准均匀B样条曲线拟合

    对于准均匀B样条,其原理也是利用特征控制点对应的Bezier曲线分段,基于对推定义和四重节点端点条件,准均匀B样条曲线矩阵形式数学表达式课变换如下形式:
    在这里插入图片描述
    由式(22)可以看出,三次准均匀B样条曲线的求取关键是基的系数矩阵M的求取,相较于均匀B样条曲线,区别在于首末两段Bezier曲线。下面进行Mk的推导:由给定的控制点可知曲线段数n>6,则对于前两段和末尾两段曲线均存在四重节点。对于中间段的系数矩阵MK与三次均匀B样条的基系数矩阵相同即为
    在这里插入图片描述
    该矩阵也可以通过几何特性得到,结果一致,如下图
    在这里插入图片描述
    对于矩阵的推导在这里就不赘述了,我们只需要了解是怎么推导出来的,并且了解如何使用即可,准均匀B样条曲线与均匀B样条曲线所存在的区别,只要在与首末攻4段曲线,当曲线段数大于6时,要注意基的系数矩阵的使用,下面给出准均匀B样条基的系数矩阵:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    将上述矩阵带入即可前两段曲线的表达式,同理末尾两端曲线的基的系数矩阵为:

    在这里插入图片描述

    利用Matlab对上述矩阵进行验证,已知在AUTOCAD电子图板依据几何作图的方式16个特征控制点所得的三次准均匀B样条曲线如下图所示:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    为了验证算法准确性,取得点较为简单,旨在验证数值方法和几何作图法做准均匀B样条。

    对比分析可知,所得结果一致。通过不同的方式能够的到相同的结果,这正是B样条曲线令人着迷的地方,B样条曲线的产生与发展是工程实际与数学理论高度写作融合所得的结晶。
    一下代码为上述过程的实现,代码较为粗糙,目的为了验证,未作修改由18个控制点求B样条曲线

    clear;
    flag=1;
    for t=0:0.05:1;
    % t=1;
    hold on
    d0=[0 0 ];
    d1=[10 10];
    d2=[20 10];
    d3=[30 0];
    d4=[40 0];d5=[50 10];d6=[60 10];d7=[70 0];d8=[80 0];d9=[90 10];
    d10=[100 -10];d11=[90 -20];d12=[80 -20];d13=[70 -10];d14=[60 -10];
    d15=[50 -20];d16=[40 -20];d17=[30 -10];
    m=[0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 90 80 70 60 50 40 30];
    n=[0 10 10 0 0 10 10 0 0 10 -10 -20 -20 -10 -10 -20 -20 -10];
    D=[d0;d1;d2;d3];
    D2=[d1;d2;d3;d4];
    D3=[d2;d3;d4;d5];
    D4=[d3;d4;d5;d6];
    D5=[d4;d5;d6;d7];
    D6=[d5;d6;d7;d8];
    D7=[d6;d7;d8;d9];
    D8=[d7;d8;d9;d10];
    D9=[d8;d9;d10;d11];
    D10=[d9;d10;d11;d12];
    D11=[d10;d11;d12;d13];
    D12=[d11;d12;d13;d14];
    D13=[d12;d13;d14;d15];
    D14=[d13;d14;d15;d16];
    D15=[d14;d15;d16;d17];
    M1=[-1,7/4,-11/12,1/6;3,-9/2,3/2,0;-3,3,0,0;1,0,0,0];
    M2=[-1/4,7/12,-1/2,1/6;3/4,-5/4,1/2,0;-3/4,1/4,1/2,0;1/4,7/12,1/6,0];
    M3=[-1/6,1/2,-1/2,1/6;1/2,-1,1/2,0;-1/2,0,1/2,0;1/6,2/3,1/6,0];
    M4=[-1/6,1/2,-1/2,1/6;1/2,-1,1/2,0;-1/2,0,1/2,0;1/6,2/3,1/6,0];
    M5=[-1/6,1/2,-1/2,1/6;1/2,-1,1/2,0;-1/2,0,1/2,0;1/6,2/3,1/6,0];
    M6=[-1/6 1/2 -7/12 1/4;1/2 -1 1/2 0;-1/2 0 1/2 0;1/6 2/3 1/6 0];
    M7=[-1/6 11/12 -7/4 1;1/2 -5/4 3/4 0;-1/2 -1/4 3/4 0;1/6 7/12 1/4 0];
    pt1=[t.^3,t.^2,t,1]*M1*D;
    pt2=[t.^3,t.^2,t,1]*M2*D2;
    pt3=[t.^3,t.^2,t,1]*M3*D3;
    pt4=[t.^3,t.^2,t,1]*M4*D4;
    pt5=[t.^3,t.^2,t,1]*M5*D5;
    pt6=[t.^3,t.^2,t,1]*M5*D6;
    pt7=[t.^3,t.^2,t,1]*M5*D7;
    pt8=[t.^3,t.^2,t,1]*M5*D8;
    pt9=[t.^3,t.^2,t,1]*M5*D9;
    pt10=[t.^3,t.^2,t,1]*M5*D10;
    pt11=[t.^3,t.^2,t,1]*M5*D11;
    pt12=[t.^3,t.^2,t,1]*M5*D12;
    pt13=[t.^3,t.^2,t,1]*M5*D13;
    pt14=[t.^3,t.^2,t,1]*M6*D14;
    pt15=[t.^3,t.^2,t,1]*M7*D15;
    px(flag)=pt1(1);py(flag)=pt1(2);
    px2(flag)=pt2(1);py2(flag)=pt2(2);
    px3(flag)=pt3(1);py3(flag)=pt3(2);
    px4(flag)=pt4(1);py4(flag)=pt4(2);
    px5(flag)=pt5(1);py5(flag)=pt5(2);
    px6(flag)=pt6(1);py6(flag)=pt6(2);
    px7(flag)=pt7(1);py7(flag)=pt7(2);
    px8(flag)=pt8(1);py8(flag)=pt8(2);
    px9(flag)=pt9(1);py9(flag)=pt9(2);
    px10(flag)=pt10(1);py10(flag)=pt10(2);
    px11(flag)=pt11(1);py11(flag)=pt11(2);
    px12(flag)=pt12(1);py12(flag)=pt12(2);
    px13(flag)=pt13(1);py13(flag)=pt13(2);
    px14(flag)=pt14(1);py14(flag)=pt14(2);
    px15(flag)=pt15(1);py15(flag)=pt15(2);
    flag=flag+1;
    x2=px2;y2=py2;
    x3=px3;y3=py3;
    x4=px4;y4=py4;
    x5=px5;y5=py5;
    x6=px6;y6=py6;
    x7=px7;y7=py7;
    x8=px8;y8=py8;
    x9=px9;y9=py9;
    x10=px10;y10=py10;
    x11=px11;y11=py11;
    x12=px12;y12=py12;
    x13=px13;y13=py13;
    x14=px14;y14=py14;
    x15=px15;y15=py15;
    x=px;y=py;
    plot (x,y,'r.');
    plot (x2,y2,'r.');
    plot (x3,y3,'r.');
    plot (x4,y4,'r.');
    plot (x5,y5,'r.');
    plot (x6,y6,'r.');
    plot (x7,y7,'r.');
    plot (x8,y8,'r.');
    plot (x9,y9,'r.');
    plot (x10,y10,'r.');
    plot (x11,y11,'r.');
    plot (x12,y12,'r.');
    plot (x13,y13,'r.');
    plot (x14,y14,'r.');
    plot (x15,y15,'r.');
    plot (m,n,'b--');
    axis equal;
    xlabel('X(mm)');
    ylabel('Y(mm)');
    end
    

    由于笔者刚开始接触Matlab时,还不熟练,又因点数较少,因此用枚举法写的程序哈哈哈哈哈,见笑了,当然后面已经有了很大改善。
    例如由插值点反求控制点如下:
    在这里插入图片描述
    红色点为插值点,由曲线上的插值点,反求出控制点,与上述控制点求取插值点结果重合,表明正确。
    具体知识理论以及代码,后续更新。

    展开全文
  • 文章目录简介一、介绍二、原理飞行走廊...使用伯恩斯坦多项式将轨迹表示为分段Bezier曲线,并将整个轨迹生成问题转换成凸问题。通过使用Bezier曲线,可以确保轨迹的安全性和高阶动力学可行性,可以将轨迹完全限制在安全


    简介

    Btraj是一个在线的四旋翼无人机的运动规划框架,主要用于未知环境中的自主导航。基于机载状态估计和环境感知,采用基于快速行进(FM *)的路径搜索方法,从基于构建的欧氏距离场(ESDF)中寻找路径,以实现更好的时间分配。通过对环境进行膨胀生成四旋翼无人机的飞行走廊。使用伯恩斯坦多项式将轨迹表示为分段Bezier曲线,并将整个轨迹生成问题转换成凸问题。通过使用Bezier曲线,可以确保轨迹的安全性和高阶动力学可行性,可以将轨迹完全限制在安全区域内。


    一、介绍

    运动规划问题可分为前端的路径查找和后端的轨迹优化。对于前端来说,搜索出的路径通常是不够光滑或者受机器人本身的动力学约束限制而无法执行。因此,后端的优化模块生成平滑轨迹是必不可少的。

    有许多方法可以帮助优化路径以生成光滑的轨迹。基于梯度的方法(如CHOMP)将轨迹优化问题表述为对安全性和平滑性的不利影响的非线性优化。Minimum Snap算法将轨迹用分段多项式函数表示,轨迹生成问题被表述为一个二次规划(QP)问题。

    安全性和动力学可行性是通过迭代地添加对违禁极值的约束并重新求解凸问题来实现的,但以这种方式需要经过多次迭代之后才能获得可行解。另一种方案是沿轨迹采样时不断添加额外的约束,随着四旋翼无人机速度的增加,添加的约束也就越多。在本文中使用伯恩斯坦多项式来表示分段轨迹,是利用了伯恩斯坦多项式的属性,确保轨迹执行上受到安全性和动力学可行性约束。

    在这里插入图片描述


    二、原理

    飞行走廊生成

    在获取到路径规划出的原始路径后,提取环境中的自由空间构建用于后端优化的飞行走廊。充分利用好自由空间来找到解空间并获得最优解对于生成轨迹来说是同样重要的。因此,我们的方法是初始化飞行走廊并进行膨胀。对于路径中的每个节点,可以通过查询ESDF轻易获得从节点位置到最近障碍物的距离。在每个节点处,我们获得了一个安全空间的球体以抵御最近的障碍物,并将飞行走廊初始化为该球体的内接立方体。接着通过查询沿轴方向x,y,z的相邻网格来扩大每个多维数据集,直到它到达最大的自由体积为止(如图3所示)。由于我们将飞行走廊初始化为一系列密集节点,因此某些节点可能包含相同的放大立方体,这是不必要的,但会增加后端优化的复杂性。因此,需要修剪掉走廊中所有重复的立方体。路径搜索、初始的飞行走廊生成和膨胀后的飞行走廊生成过程如图4所示。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述


    三、项目演示

    [运动规划算法]基于飞行走廊的轨迹优化


    参考

    [1] F Gao, W Wu, Y Lin, S Shen,Online safe trajectory generation for quadrotors using fast marching method and bernstein basis polynomial


    展开全文
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  • vc++实现的bezier曲线绘制和分割程序
  • 分段插值

空空如也

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分段bezier