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  • 基础矩阵和本质矩阵
    2021-03-02 16:20:42

    基础矩阵(Fundamental Matrix)
    F = K − T E K − 1 F=K^{-T}EK^{-1} F=KTEK1
    本质矩阵(Essential Matrix)
    E = t × R = [ 0 − t 3 t 2 t 3 0 − t 1 − t 2 t 1 0 ] ∗ R E=t×R= \left[ \begin{matrix} 0 & -t_3 & t_2 \\ t_3 & 0 & -t_1 \\ -t_2 & t_1 & 0 \end{matrix} \right] * R E=t×R=0t3t2t30t1t2t10R
    单应矩阵(Homography Matrix)
    H = K ( R − t n T d ) K − 1 H=K(R-{{tn^T}\over{d}})K^{-1} H=K(RdtnT)K1

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    基础矩阵和本质矩阵详述

    接上一篇文章中有关对极几何约束的知识,这里主要针对本质矩阵或基础矩阵的一些相关知识进行总结。

    概念

    在対极几何中  p 2 t K − T t ^ R K − 1 p − 1 = 0 p_{2}^tK^{-T}\hat tRK^{-1}p^{-1}=0 p2tKTt^RK1p1=0 通过构建俩帧图像中匹配的特征点在归一化平面坐标信息的等式约束关系将旋转矩阵 R R R和平移向量 t t t引入,其中 K − T t ^ R K − 1 K^{-T}\hat tRK^{-1} KTt^RK1就是基础矩阵 F F F t ^ R \hat tR t^R就是本质矩阵 E E E,俩者之间只相差了相机内参矩阵 K K K,一般情况下内参矩阵都视已知的,因此,可以认为基础矩阵和本质矩阵是一样的,为了方便起见,我们通常用本质矩阵求解相对位姿变换。 F = K − T t ^ R K − 1 F=K^{-T}\hat tRK^{-1} F=KTt^RK1 E = t ^ R E=\hat tR E=t^R

    功能

    通过配对成功的特征点对获取相对位姿变换信息( R , t R,t R,t)。

    步骤

    1. 构建本质矩阵和旋转矩阵、平移向量之间的等式关系: p 2 T K − T t ^ R K − 1 p − 1 = 0 p_{2}^TK^{-T}\hat tRK^{-1}p^{-1}=0 p2TKTt^RK1p1=0 x 2 T t ^ R x − 1 = 0 x_{2}^T\hat tRx^{-1}=0 x2Tt^Rx1=0 [ u 2 v 2 1 ] [ e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 ] [ u 1 v 1 1 ] = 0 \begin{bmatrix}u_{2} & v{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}e_1 & e_2 & e_3\\e_4 & e_5 & e_6\\e_7& e_8 & e_9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_{1} \\ v{1} \\ 1\end{bmatrix}=0 [u2v21]e1e4e7e2e5e8e3e6e9u1v11=0
    2. 上述等式可以写作下面的形式 [ u 2 u 1 u 2 v 1 u 2 v 2 u 1 v 2 v 1 v 2 u 1 v 1 1 ] [ e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 ] = 0 \begin{bmatrix}u_2u_1 & u_2v_1 & u_2 &v_2u_1 & v_2v_1 & v_2 & u_1&v_1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}e_1\\e_2\\e_3\\e_4\\e_5\\e_6\\e_7\\e_8\\e_9\end{bmatrix}=0 [u2u1u2v1u2v2u1v2v1v2u1v11]e1e2e3e4e5e6e7e8e9=0
      于是通过八点法,即通过引入8对匹配特征点即可构建出一个8*9的线性方程组,求解的 e 1 ⋯ e 9 e_1 \cdots e_9 e1e9(这里为什么可以通过8线性方程组获取9个未知变量的值,我觉得本质矩阵行列式等于0就是求解最后一个变量的条件)。
    3. 上述求解获取本质矩阵 E E E可以分解出4格解,通过带入其他的匹配点对进行验证,获取正确的位姿变换信息。 E = U Σ V T E=U\Sigma V^T E=UΣVT W = [ 0 − 1 0 1 0 0 0 0 1 ] W= \begin{bmatrix} 0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix} W=010100001 R 1 = U W V T R_1=UWV^T R1=UWVT t ^ 1 = U W U T \hat t_1=UWU^T t^1=UWUT R 2 = U W T V T R_2=UW^TV^T R2=UWTVT t ^ 2 = U W T U T \hat t_2=UW^TU^T t^2=UWTUT

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    求解本质矩阵 E E E
    在该文章中 S = k U Z U T S=kUZU^T S=kUZUT的等式关系是根据反对称矩阵性质获取的,即 S = − S T S=-S^T S=ST

    补充

    有关单位旋转矩阵的知识补充
    本质矩阵的内在一致性证明
    通过上述SVD分解求得的本质矩阵 E E E,没有考虑到其内在性质,需要进行调节。 E = U [ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ] V T E=U\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}V^T E=U100010000VT

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  • 本质矩阵和基础矩阵

    千次阅读 2020-05-15 20:04:45
    前面的相机矩阵,是针对单个相机的,可我们知道单个相机图片并不能告诉我们物体的深度信息,这时至少需要两个相机,这样在两视图间内在的射影几何关系就是对极几何,而基本矩阵就算对极几何的代数表示。 1.对极几何...

    前面的相机矩阵,是针对单个相机的,可我们知道单个相机图片并不能告诉我们物体的深度信息,这时至少需要两个相机,这样在两视图间内在的射影几何关系就是对极几何,而基本矩阵就算对极几何的代数表示。

    1.对极几何

    如果仅看一个相机,我们并不能知道深度信息,可如果有两个相机的话(就像人有两只眼睛)我们就能得到深度的信息,

    上图O和O'是两个相机中心,P点是物体所在,如果我们只看左边图像 \pi上的点p,我们不能知道物体到底是在哪,点P1、P2或其他地方,可有了右边图像 \pi{}'上的p'我们就能得到物体点P

    在上图,我们把两相机中心的连线OO'成为基线,把他们与观测物体的平面OO'P成为对极平面,对极平面与两相机图像的交线l和l'称为对极线,而OO'与两图像的交点e,e'就是对极点。

    随着观测点P的上下移动,对极平面也会围绕基线旋转

    我们可以看到在左图对极平面旋转时对极点是不变的,而在相机图像上所有对极线都会交于对极点,这个对极点就是另一个相机中心在其图像上的像,当然正如右图所示,对极点可以在图像外。

    2.本质矩阵和基础矩阵

    (1)不同人眼中的哈姆雷特——P及其副本不同坐标系下的表示

    (2)横看成岭侧成峰——多个角度看点P

    本质矩阵E(Essential Matrix):反映【空间一点P的像点】在【不同视角摄像机】下【摄像机坐标系】中的表示之间的关系。

     

    3.本质矩阵、基础矩阵的推导

    第一步:

    第二步:

    第三步:

    4.另一种表述

    原文链接1:https://zhuanlan.zhihu.com/p/33458436

    原文链接2:https://www.zhihu.com/question/27581884

    可参考文章:1:https://blog.csdn.net/xjtuse123/article/details/90312056

    可参考文章2:https://www.cnblogs.com/youzx/p/6385513.html#wiz_toc_9

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  • 基础矩阵本质矩阵

    2014-08-21 21:23:46
    基础矩阵是立体视觉中至关重要的矩阵,描述了双镜头的空间位置关系
  • 秋招准备(立体视觉基础——基础矩阵本质矩阵

    立体视觉之基础矩阵与本质矩阵

    本质矩阵和基础矩阵

    设空间点P在左相机坐标系坐标的坐标为P PP,则在右相机坐标系中的坐标为R P + t RP + tRP+t,其在左右相机视图中的投影点分别为p 1 , p 2
    在这里插入图片描述
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    https://blog.csdn.net/rs_lys/article/details/113854675?ops_request_misc=&request_id=&biz_id=102&utm_term=%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B8%8E%E6%9C%AC%E8%B4%A8%E7%9F%A9%E9%98%B5%E5%8C%BA%E5%88%AB&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2allsobaiduweb~default-4-113854675.142v30pc_search_v2,185v2control&spm=1018.2226.3001.4187
    (图源链接博客)
    上式描述了相平面坐标x1,x2的联系 ——空间点在两个相平面的成像点通过外参矩阵R,T建立关系,即对极约束

    注:此处x1,x2为左乘内参矩阵后的坐标,原始坐标为
    在这里插入图片描述
    几何意义如下图所示,两个坐标点中间部分即为本质矩阵与基础矩阵
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    两者区别: 本质矩阵和x建立关系,x主要是内参及像素坐标求得,所以本质矩阵的前提是内参K已知。 而基础矩阵直接与像素坐标建立联系

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    本质矩阵的分解

    本质矩阵可通过SVD分解得到R和T,但是存在四种结果
    在这里插入图片描述
    其中,在这里插入图片描述
    (证明见《Multiple View Geometry in Computer Vision(Second Edition)》chapter 9.6.2, page 258)

    在这里插入图片描述
    其中只有一组正解(a),应用本质矩阵的前提是已知内参矩阵K,而基础矩阵不需要内参,但是未知数太多,很难分解得到准确的内外参,我们需要做一些假设,比如具有初始的焦距值,比如像主点在图像中心等。而无论是估计本质矩阵还是估计基础矩阵,分解得到的相机参数都只能作为初值,要得到精确的参数,还需要通过非线性迭代优化求解精确值。
    在这里插入图片描述

    矩阵求解

    本质矩阵求解(五点法,八点法)

    本质矩阵的自由度就是5,一个点可以列一个方程,这表明至少需要5对点来求解,但是这5个自由度是非线性相关的,要用非线性方法进行解算,所以一般考虑尺度等价性,把E当作8个自由度来解,即八点法

    设一对匹配点在左右视图的像素坐标为p1=[u1,v1,1]T,p2=[u2,v2,1]T,左乘内参矩阵后x1=[x1,y1,1]T,x2 = [x2,y2,1]T 根据对极约束x2TEx1=0,有
    在这里插入图片描述
    其中,未知数e1,e2…e9是本质矩阵的9个元素,对上式进行展开
    在这里插入图片描述
    这是一个线性方程组,而8对匹配点可以得到一个线性方程组
    在这里插入图片描述
    解线性方程Ae=0得到矢量e,即可得到本质矩阵E,

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  • 文章详细介绍了本质矩阵和基础矩阵的推导过程
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    2018-05-04 11:39:38
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    千次阅读 2015-09-09 14:28:02
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