1.算法效率

算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间

2.时间复杂度

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间

大O渐近表示法

计算时间复杂度和空间复杂度时，为了估算一个算法的耗时情况，不需要计算出精确的执行次数，只需要计算到一个大概的计算次数次数即可，我们使用大O渐近表示法
O（）->是一个函数渐近的数学符号
1.常数1表示所有的加法常数 1000或者10000只保留1
2.最后的大O函数只保留最高项，N^ 2+N+100只保留N^2
3.若最高阶还有系数，去除系数，3N^ 2或者2N^ 2只保留N^2

此时一共执行次数为：N^2+2N+10
时间复杂度：O（N^2）

此时执行次数:N+M,由于无法判断N和M的大小，所以时间复杂度：O（N+M）

此时执行次数100次，时间复杂度：O（1）

千万看到有N就是O（N）

这个算法在下一次循环时起始位置或者末位置就变成了区间的一半，每次变为原先的一半，执行次数：O(logN)
任意算法，如果不断/任意数字，最终等于1或者0，这个算法的时间复杂度就是O（logN）
一个算法能做到对数级别那么一定是一个优秀的算法

一个递归函数的时间复杂度，要展开这个递归函数，看递归了多少次

int fun6(int n) {
return n<2?n:fun6(n-1)*n;
}

一共递归了n-1次，这个算法的时间复杂度O（n）

斐波那契函数的递归

int fun7(int n) {
return n<2?1:fun7(n-1)+fun7(n-2);
}

计算这个递归函数的时间复杂度比较特殊，递归次数是二叉树的结点个数2^n -1
时间复杂度为O（2^n）

重点掌握O（1）O（n）O（n^2）O（logn）O（nlogn）

最坏情况的时间复杂度：这个算法的最大运行时间
最好情况的时间复杂度：这个算法的最小运行时间
平均情况的时间复杂度：这个算法的平均运行时间
当前数组的个数为n，从头开始遍历，如果所需的元素在末尾就是最坏情况的时间复杂度O（n），如果所需的元素在第一个就是最好情况的时间复杂度O（1），如果所需的元素在中间就是O（n/2）

3.空间复杂度

所谓空间复杂度指的是算法中”额外”开辟的内存空间
计算空间复杂度也使用大O渐近法
一般来说空间复杂度就看算法中有没有开辟”数组”空间

像这种没有额外开辟内存的就是O（1）

long[] fun8(int n) {
long[] arr = new long[n+1];//在堆开辟了一个长度为n+1的数组就是O（n）
arr[0] =0;
arr[1] = 1;
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        arr[i] = arr[i-1]+arr[2];

        
    }
    return arr;
}

开辟了一个长度为n+1的数组就是O（n）

当只定义了几个临时变量，O（1）
定义了一些变量，而且这些变量的个数与N有关
int[] data = new int[n] => O(n)

递归函数每次函数调用过程，就对应一个函数的”栈帧”在栈中的入栈过程，递归函数调用几次，就需要开辟多少个栈帧空间

这个递归函数递归了n-1次，空间复杂度：O（n）

void fun9(int n) {
if(n==1) {
    return;
}
int[] arr = new int[n];
fun9(n-1);
} 

这个递归函数会调用n次，每次调用开辟一个长度为n的数组
空间复杂度：O（n^2）

1. 算法效率

2. 时间复杂度

    2.1 时间复杂度的概念

    2.2 大 O 的渐进表示法

3. 空间复杂度

1. 算法效率

    算法效率分为两种，一种是时间效率，一种是空间效率，时间效率又称时间复杂度，空间效率又称空间复杂度。时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量的是算法额外需要的运行空间。在计算机才初步发展的年代，计算机的存储容量非常小，人们对算法空间复杂度的重视程度远远大于时间复杂度，但随着计算机技术的迅速发展，计算机的内存容量已经有了非常大的提高，所以现在我们对算法的时间复杂度的关注程度更高。

2. 时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

    在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了算法的运行时间。从理论上来说，一个算法的运行时间是不能算出来的，只有将程序运行起来才能知道运行时间，而且同一个程序在不同的环境内运行时间也有可能不同，何况如果我们每个程序通过上机测试来查找运行时间，那也太麻烦了一些，于是，我们引入了时间复杂度这个概念。
    一个算法的时间复杂度指的是算法中基本操作的执行次数。

2.2 大 O 的渐进表示法

分析一下func1()方法中循环操作执行了多少次

void func1(int N){
   int count = 0;
   for (int i = 0; i < N ; i++) {		//双重循环共执行n*n次
       for (int j = 0; j < N ; j++) {
           count++;
       }
   }
   for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {	//单重循环共执行2*n次
       count++;
   }
   int M = 10;
   while ((M--) > 0) {		//单重循环共执行10次
       count++;
   }
       System.out.println(count);
}

func1()共执行的基本操作次数:
    F(N) = N^2 + 2*N + 10
当 N=10时，F(N)=130
当 N=100时，F(N)=10210
当 N=1000时，F(N)=1002010

实际中我们计算时间复杂度时，其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么就可以采用大 O 的渐进表示法。

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大 O 的渐进表示法后，func1()的时间复杂度为: O(N^2)

当N = 10时，F(N) = 100
当N = 100时， F(N) = 10000
当N = 1000时， F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

3. 空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，这样计算并无意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则与时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

实例一:

// 计算bubbleSort的空间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
for (int end = array.length; end > 0; end--) {
     boolean sorted = true;
     for (int i = 1; i < end; i++) {
         if (array[i - 1] > array[i]) {
             Swap(array, i - 1, i);
             sorted = false;
         }
     }
     if (sorted == true) {
         break;
     }
 }
}

使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

实例二:

// 计算fibonacci的空间复杂度？
int[] fibonacci(int n) {
long[] fibArray = new long[n + 1];
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; i++) {
  fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
return fibArray;
}

动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)

实例三:

// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
 return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
}

递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)