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  • 约束优化问题

    千次阅读 2019-03-06 19:31:45
    Reference: https://blog.csdn.net/philthinker/article/details/78510361
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  • 若D=Rn,也就是所有元素都在这个可行域里面,那么就没有起约束作用的约束函数或者是根本就没有约束函数,此时最优化数学模型中的x叫做自由变量,此时的最优化问题叫做无约束优化问题。 若D真包含于Rn,也就是不是...

    设有一个可行域D:
    若D=Rn,也就是所有元素都在这个可行域里面,那么就没有起约束作用的约束函数或者是根本就没有约束函数,此时最优化数学模型中的x叫做自由变量,此时的最优化问题叫做无约束优化问题。
    若D真包含于Rn,也就是不是所有的元素都在这个可行域里面,也就是有元素x被限制在可行域外面了,此时的最优化问题叫做约束优化问题。

    约束优化问题转为为无约束优化问题的方法:Lagrange乘子化(拉格朗日乘子化)。然后得到多元函数,然后对各个变量求偏导数。

    曲线拟合问题:
    比如某个实验得出一系列数据,但是由于实验误差导致使每个点都在某个函数上的函数很难找到,而且就算找到了,由于数据有误差,这样子的函数也没有意义,所以我们就只需要找到一条最贴近这一系列点的函数(就是这个函数使整体误差最小)就可以了,这样子还有排除误差的作用,反而会更精确。
    在这里插入图片描述
    有的时候绝对值算不出来(听老师说是很多时候都是这样),所以可以用平方,因为反正绝对值越大,对应的的平方也就越大,并且,平方越大,也就意味着这个数越大,所以完全可以平方化来简化运算。

    曲线拟合基本思想:
    1.找基函数。
    基函数可以是x的n次幂(1,x,x2,x3…),可以是sinx,或者是指数e的nx次方。
    2.线性组合,在每个基函数前面乘上一系列系数,然后相加。
    3.用函数在xi点的函数值s(xi)-yi,然后平方,得到误差的平方,然后求和。
    4.求偏导数。

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  • 9.1 无约束优化问题 例子 强凸性及其含义 无约束优化问题 其中是二次可微凸函数(dom(f)是开集),假设该问题可解,存在最优点,这里用表示最优值。 由于f是二次可微凸函数,最优点应满足: 所以无约束优化问题...

    9.1 无约束优化问题

    1. 例子
    2. 强凸性及其含义

    无约束优化问题

    minimize \,\, f(x)其中f:R^n \rightarrow R是二次可微凸函数(dom(f)是开集),假设该问题可解,存在最优点x^*,这里用p^*表示最优值inf_xf(x)=f(x^*)

    由于f是二次可微凸函数,最优点x^*应满足:\bigtriangledown f(x^*)=0

    所以无约束优化问题的求解变成了求解上述方程的解。一般情况下,必须采用迭代算法求解此方程,即计算点列x^{(0)},x^{(1)}\cdots \in dom(f)使得k\rightarrow \infty时,f(x^{(k)})\rightarrow p^*,这样的点列被称为优化问题的极小化点列。当f(x^{(k)})-p^* \leq \varepsilon时,算法将终止,其中\varepsilon >0是设定的容许误差值。

    初始点和下水平集

    迭代的方法需要一个适当的初始点x^{(0)},该初始点必须满足两个条件:

    1. 初始点必须在dom(f)内
    2. 下水平集S=\left \{ x \in dom(f)|f(x)\leq f(x^{(0)}) \right \}必须是闭集。

    条件1很容易满足,条件2却不容易满足。除非在全部的下水平集都是闭集的时候,条件2才容易满足。

    全部下水平集都是闭集的情况:

    1. epi f (f的上境图)是闭集
    2. dom f=R^n
    3. x \rightarrow bd(dom(f)),即x趋于dom(f)的边界时,f(x)\rightarrow \infty

    下水平集的条件数

    对任意满足\begin{Vmatrix}q \end{Vmatrix}_2=1的方向向量q,我们定义凸集C\subseteq R^n的宽度如下:

    W(C,q)=sup_{z\in C}q^Tz-inf_{z \in C}q^Tz

    再定义C的最小宽度和最大宽度:

    W_{min}=\underset{\begin{Vmatrix} q\end{Vmatrix}_2=1}{inf}W(C,q), W_{max}=\underset{\begin{Vmatrix} q\end{Vmatrix}_2=1}{sup}W(C,q)

    于是凸集C的条件数可以表示成:

    cond(C)=\frac{W^2_{max}}{W^@_{min}}

    例子

    无约束几何规划

    minimize \, \, f(x)=log(\sum_{i=1}^m exp(a_i^Tx+b_i))

    其最优性条件为:

    \bigtriangledown f(x^*)=\frac{1}{\sum_{i=1}^mexp(a_i^Tx+b_i)}\sum_{i=1}^mexp(a_i^Tx+b_i)

    但一般情况下,此方程组没有解析解,于是采用迭代方法,这里dom(f)=R^n,所以人和店都可以是初始点。

    线性不等式的解析中心

    minimize \, \, f(x)=-\sum_{i=1}^m log(b_i-a_i^Tx)

    其中dom(f)=\left \{ x|a_i^Tx<b_i,i=1,\cdots m\right \}

    采用迭代的方法,也可以找到初始点,因为当a_i^Tx\rightarrow b_i时,f(x)\rightarrow \infty,满足下水平集为闭集的条件。

    强凸性及其含义

    假设目标函数在S上是强凸的,这是指存在m>0使得\bigtriangledown^2 f(x)\succeq mI,对任意的x \in S都成立。

    对于任意的x,y \in S都有f(y)=f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)+1/2(y-x)^T\bigtriangledown ^2f(z)(y-x),z \in [x,y]

    由强凸性可推出

    f(y) \geq f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)+\frac{1}{2}m(y-x)^T(y-x)

    f(y) \geq f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)+\frac{1}{2}m\begin{Vmatrix} y-x\end{Vmatrix}_2^2

    可知,对固定的x,不等式右边是y的二次凸函数,记为L,令其对y的一阶导数为0

    \bigtriangledown f(x)+ my-mx=0

    \hat{y}=x-\frac{1}{m}\bigtriangledown f(x)

    可知L的最小值为L(\hat{y}),所以可推出

    f(y) \geq f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)+\frac{1}{2}m\begin{Vmatrix} y-x\end{Vmatrix}_2^2\geq L(\hat{y})=f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(-\frac{1}{m}\bigtriangledown f(x))+\frac{1}{2}m\begin{Vmatrix}-\frac{1}{m}\bigtriangledown f(x)\end{Vmatrix}_2^2=f(x)-\frac{1}{2m}\begin{Vmatrix}\bigtriangledown f(x)\end{Vmatrix}_2^2

    由于y是任意的,又可推出p^*\geq f(x)-\frac{1}{2m}\begin{Vmatrix}\bigtriangledown f(x)\end{Vmatrix}_2^2f(x)-p^*\leq \frac{1}{2m}\begin{Vmatrix}\bigtriangledown f(x)\end{Vmatrix}_2^2

     

    来源:https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/87944620

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  • 介绍了深度学习中会用到的条件约束优化问题,主要是KKT法,实例讲解了等式约束、不等式约束优化时,KKT条件的来源和意义。最后简单说明了一下约束最优化问题的对偶问题。
  • 9.1无约束优化问题 例子 强凸性及其含义 无约束优化问题 其中是二次可微凸函数(dom(f)是开集),假设该问题可解,存在最优点,这里用表示最优值。 由于f是二次可微凸函数,最优点应满足: 所以无约束优化问题...

    9.1无约束优化问题

    1. 例子
    2. 强凸性及其含义

    无约束优化问题

    minimize \,\, f(x)其中f:R^n \rightarrow R是二次可微凸函数(dom(f)是开集),假设该问题可解,存在最优点x^*,这里用p^*表示最优值inf_xf(x)=f(x^*)

    由于f是二次可微凸函数,最优点x^*应满足:\bigtriangledown f(x^*)=0

    所以无约束优化问题的求解变成了求解上述方程的解。一般情况下,必须采用迭代算法求解此方程,即计算点列x^{(0)},x^{(1)}\cdots \in dom(f)使得k\rightarrow \infty时,f(x^{(k)})\rightarrow p^*,这样的点列被称为优化问题的极小化点列。当f(x^{(k)})-p^* \leq \varepsilon时,算法将终止,其中\varepsilon >0是设定的容许误差值。

    初始点和下水平集

    迭代的方法需要一个适当的初始点x^{(0)},该初始点必须满足两个条件:

    1. 初始点必须在dom(f)内
    2. 下水平集S=\left \{ x \in dom(f)|f(x)\leq f(x^{(0)}) \right \}必须是闭集。

    条件1很容易满足,条件2却不容易满足。除非在全部的下水平集都是闭集的时候,条件2才容易满足。

    全部下水平集都是闭集的情况:

    1. epi f (f的上境图)是闭集
    2. dom f=R^n
    3. x \rightarrow bd(dom(f)),即x趋于dom(f)的边界时,f(x)\rightarrow \infty

    下水平集的条件数

    对任意满足\begin{Vmatrix}q \end{Vmatrix}_2=1的方向向量q,我们定义凸集C\subseteq R^n的宽度如下:

    W(C,q)=sup_{z\in C}q^Tz-inf_{z \in C}q^Tz

    再定义C的最小宽度和最大宽度:

    W_{min}=\underset{\begin{Vmatrix} q\end{Vmatrix}_2=1}{inf}W(C,q), W_{max}=\underset{\begin{Vmatrix} q\end{Vmatrix}_2=1}{sup}W(C,q)

    于是凸集C的条件数可以表示成:

    cond(C)=\frac{W^2_{max}}{W^@_{min}}​​​​​​​

    例子

    无约束几何规划

    minimize \, \, f(x)=log(\sum_{i=1}^m exp(a_i^Tx+b_i))

    其最优性条件为:

    \bigtriangledown f(x^*)=\frac{1}{\sum_{i=1}^mexp(a_i^Tx+b_i)}\sum_{i=1}^mexp(a_i^Tx+b_i)

    但一般情况下,此方程组没有解析解,于是采用迭代方法,这里dom(f)=R^n,所以人和店都可以是初始点。

    线性不等式的解析中心

    minimize \, \, f(x)=-\sum_{i=1}^m log(b_i-a_i^Tx)

    其中dom(f)=\left \{ x|a_i^Tx<b_i,i=1,\cdots m\right \}

    采用迭代的方法,也可以找到初始点,因为当a_i^Tx\rightarrow b_i时,f(x)\rightarrow \infty,满足下水平集为闭集的条件。

    强凸性及其含义

    假设目标函数在S上是强凸的,这是指存在m>0使得\bigtriangledown^2 f(x)\succeq mI,对任意的x \in S都成立。

    对于任意的x,y \in S都有f(y)=f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)+1/2(y-x)^T\bigtriangledown ^2f(z)(y-x),z \in [x,y]

    由强凸性可推出

    f(y) \geq f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)+\frac{1}{2}m(y-x)^T(y-x)

    f(y) \geq f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)+\frac{1}{2}m\begin{Vmatrix} y-x\end{Vmatrix}_2^2

    可知,对固定的x,不等式右边是y的二次凸函数,记为L,令其对y的一阶导数为0

    \bigtriangledown f(x)+ my-mx=0

    \hat{y}=x-\frac{1}{m}\bigtriangledown f(x)

    可知L的最小值为L(\hat{y}),所以可推出

    f(y) \geq f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)+\frac{1}{2}m\begin{Vmatrix} y-x\end{Vmatrix}_2^2\geq L(\hat{y})=f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(-\frac{1}{m}\bigtriangledown f(x))+\frac{1}{2}m\begin{Vmatrix}-\frac{1}{m}\bigtriangledown f(x)\end{Vmatrix}_2^2=f(x)-\frac{1}{2m}\begin{Vmatrix}\bigtriangledown f(x)\end{Vmatrix}_2^2

    由于y是任意的,又可推出p^*\geq f(x)-\frac{1}{2m}\begin{Vmatrix}\bigtriangledown f(x)\end{Vmatrix}_2^2f(x)-p^*\leq \frac{1}{2m}\begin{Vmatrix}\bigtriangledown f(x)\end{Vmatrix}_2^2​​​​​​​

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  • matlab解决无约束优化问题

    千次阅读 2020-06-06 21:01:21
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