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  • 算法期望泛化误差算法期望泛化误差 (本文为个人学习总结笔记) 算法期望泛化误差 原公式: E(f;D)=ED[(f(x;D)−yD)2]=ED[(f(x;D)−fˉ(x)+fˉ(x)−yD)2]=ED[(f(x;D)−fˉ(x))2]+ED[(fˉ(x)−yD)2]+ED[+2(f(x;D)−f...

    算法期望泛化误差


    (本文为个人学习总结笔记)

    算法期望泛化误差

    原公式:

    E(f;D)=ED[(f(x;D)yD)2]=ED[(f(x;D)fˉ(x)+fˉ(x)yD)2]=ED[(f(x;D)fˉ(x))2]+ED[(fˉ(x)yD)2]+ED[+2(f(x;D)fˉ(x))(fˉ(x)yD)]=ED[(f(x;D)fˉ(x))2]+ED[(fˉ(x)yD)2]=ED[(f(x;D)fˉ(x))2]+ED[(fˉ(x)y+yyD)2]=ED[(f(x;D)fˉ(x))2]+ED[(fˉ(x)y+ED[(yyD)2]+2ED[(fˉ(x)y)(yyD)]=ED[(f(x;D)fˉ(x))2]+(fˉ(x)y)2+ED[(yDy)2]\begin{aligned} E(f ; D)=& \mathbb{E}_{D}\left[\left(f(\boldsymbol{x} ; D)-y_{D}\right)^{2}\right] \\ =& \mathbb{E}_{D}\left[\left(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x})+\bar{f}(\boldsymbol{x})-y_{D}\right)^{2}\right] \\ =& \mathbb{E}_{D}\left[(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))^{2}\right]+\mathbb{E}_{D}\left[\left(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y_{D}\right)^{2}\right] \\ &+\mathbb{E}_{D}\left[+2(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))\left(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y_{D}\right)\right] \\ =& \mathbb{E}_{D}\left[(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))^{2}\right]+\mathbb{E}_{D}\left[\left(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y_{D}\right)^{2}\right] \\ =& \mathbb{E}_{D}\left[(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))^{2}\right]+\mathbb{E}_{D}\left[\left(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y+y-y_{D}\right)^{2}\right] \\ =& \mathbb{E}_{D}\left[(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))^{2}\right]+\mathbb{E}_{D}\left[\left(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y+\mathbb{E}_{D}\left[\left(y-y_{D}\right)^{2}\right]\right.\right.\\ &+2 \mathbb{E}_{D}\left[(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y)\left(y-y_{D}\right)\right] \\ =& \mathbb{E}_{D}\left[(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))^{2}\right]+(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y)^{2}+\mathbb{E}_{D}\left[\left(y_{D}-y\right)^{2}\right] \end{aligned}

    1、第一步:减一个fˉ(x)\bar{f}(\boldsymbol{x})再加一个fˉ(x)\bar{f}(\boldsymbol{x}),属于简单的恒等变形。
    2、第二步:首先将中括号中的式子展开
    ED[(f(x;D)fˉ(x))2+(fˉ(x)yD)2+2(f(x;D)fˉ(x))(fˉ(x)yD)]\mathbb{E}_{D}\left[(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))^{2}+\left(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y_{D}\right)^{2}+2(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))\left(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y_{D}\right)\right]
    然后根据期望的运算性质,得:
    ED[(f(x;D)fˉ(x))2]+ED[(fˉ(x)yD)2]+ED[2(f(x;D)fˉ(x))(fˉ(x)yD)]\mathbb{E}_{D}\left[(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))^{2}\right]+\mathbb{E}_{D}\left[\left(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y_{D}\right)^{2}\right]+\mathbb{E}_{D}\left[2(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))\left(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y_{D}\right)\right]
    3、第三步:再次利用期望的运算性质将第3步得到的式子的最后一项展开
    ED[2(f(x;D)fˉ(x))(fˉ(x)yD)]=ED[2(f(x;D)fˉ(x))fˉ(x)]ED[2(f(x;D)fˉ(x))yD]=0+0\begin{aligned} &\mathbb{E}_{D}\left[2(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))\left(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y_{D}\right)\right]=\mathbb{E}_{D}[2(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x})) \cdot \bar{f}(\boldsymbol{x})]-\mathbb{E}_{D}\left[2(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x})) \cdot y_{D}\right]\\ &=0+0 \end{aligned}

    4、第四步:同第1步一样,减一个y再加一个y,属于简单的恒等变形;
    5、第五步:同第2步一样,将最后一项利用期望的运算性质进行展开;
    6、第六步:因为fˉ(x)\bar{f}(\boldsymbol{x})和y均为常量,所以根据期望的运算性质可知,第6步中的第2项可化为
    ED[(fˉ(x)y)2]=(fˉ(x)y)2\mathbb{E}_{D}\left[(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y)^{2}\right]=(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y)^{2}
    同理,第6步中的最后一项可化为:
    2ED[(fˉ(x)y)(yyD)]=2(fˉ(x)y)ED[(yyD)]2 \mathbb{E}_{D}\left[(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y)\left(y-y_{D}\right)\right]=2(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y) \mathbb{E}_{D}\left[\left(y-y_{D}\right)\right]
    由于此时假设噪声的期望为零,故:
    2ED[(fˉ(x)y)(yyD)]=2(fˉ(x)y)0=02 \mathbb{E}_{D}\left[(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y)\left(y-y_{D}\right)\right]=2(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y) \cdot 0=0

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  • 一、期望泛化误差的偏差-方差分解 偏差-方差分解试图对机器学习算法的期望泛化误差率进行拆解。 记为测试样本,为训练集D上学习得到的模型在上的预测输出,为在数据集中的标记,为的真实标记。 对算法的期望泛化...

    一、期望泛化误差的偏差-方差分解

    偏差-方差分解试图对机器学习算法的期望泛化误差率进行拆解。

    \boldsymbol{x}为测试样本,f(\mathbf{x};D)为训练集D上学习得到的模型f\mathbf{x}上的预测输出,y_D\boldsymbol{x}在数据集中的标记,y\boldsymbol{x}的真实标记。

    对算法的期望泛化误差进行分解:

    得到:

    E(f;D)=bias^{2}(\boldsymbol{x})+var(\boldsymbol{x})+\varepsilon ^2

    即泛化误差可分解为偏差、方差与噪声之和。其中偏差度量了学习算法的期望预测与真实结果的偏离程度,即刻画了学习算法本身的拟合能力;方差度量了同样大小的训练集的变动所导致的学习性能的变化,即刻画了数据扰动所造成的影响;噪声表达了在当前任务上任何学习算法所能达到的期望泛化误差的下界,即刻画了学习问题本身的难度。偏差-方差分解说明,泛化性能是由学习算法的能力、数据的充分性以及学习任务本身的难度共同决定的。

     

    二、偏差-方差窘境(bias-variance dilemma)

    给定学习任务,如果我们能控制学习算法的训练程度,则在训练程度不足的时候,学习器的拟合能力不够,训练数据的扰动不足以使学习器产生显著变化,此时偏差主导了泛化错误率;随着训练程度的加深,学习器的拟合能力逐渐加强,训练数据的扰动渐渐能被学习器学到,方差逐渐住到了泛化错误率;在训练程度充足后,学习器的拟合能力已经非常强,训练数据的轻微扰动都能导致学习器的显著变化。若训练数据自身的,非全局的特性被学习器学到了,则将发生过拟合。

    泛化误差与偏差、方差的关系示意图如下所示:

     

     

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  • 偏差度量了学习算法的期望预测与真实结果的偏离程度,即刻画了学习...噪声则表达了在当前任务上任何学习算法所能达到的期望泛化误差的下界,即刻画了学习问题本身的难度 泛化误差可分解为偏差、方差与噪声之和. ...

    偏差度量了学习算法的期望预测与真实结果的偏离程度,即刻画了学习算法本身的拟合能力
    方差度量了同样大小的训练集的变动所导致的学习性能的变化,即刻画了数据扰动所造成的影响
    噪声则表达了在当前任务上任何学习算法所能达到的期望泛化误差的下界,即刻画了学习问题本身的难度
    泛化误差可分解为偏差、方差与噪声之和.

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  • 经验误差,泛化误差

    千次阅读 2017-12-07 22:16:41
    经验误差,泛化误差 前言我们在上篇博文 《机器学习模型的容量,过拟合与欠拟合》 中曾经提到过模型的泛化问题,指的就是描述一个模型在未见过的数据中的表现能力。这里再提出了,用于比较经验误差。 联系方式: ...
    经验误差,泛化误差

    前言

    我们在上篇博文 《机器学习模型的容量,过拟合与欠拟合》 中曾经提到过模型的泛化问题,指的就是描述一个模型在未见过的数据中的表现能力。这里再提出了,用于比较经验误差。
    联系方式:
    e-mail: FesianXu@163.com
    QQ: 973926198
    github: https://github.com/FesianXu


    假设我们现在有数据集D={(x1,y1),(x2,y2),⋯ ,(xi,yi)},i=ND=\{(x_1,y_1), (x_2,y_2),\cdots,(x_i,y_i)\}, i=ND={(x1,y1),(x2,y2),,(xi,yi)},i=N,其中NNN是数据集的大小,xix_ixi为数据的属性1yiy_iyi为标签。假设有yi∈Yy_i \in \mathcal{Y}yiYxi∈X,i=1,2,⋯ ,Nx_i \in \mathcal{X}, \rm i =1,2,\cdots,NxiX,i=1,2,,N,假设X\mathcal{X}X中的所有样本都满足一个隐含的,未知的分布D\mathcal{D}D,也就是说DDD中的所有样本都是从D\mathcal{D}D独立同分布(i.i.d) 地采样的。
    然后假设hhh是算法L\mathcal{L}L学习到的从X\mathcal{X}XY\mathcal{Y}Y的映射,y=h(x)y=h(x)y=h(x),并且有h∈Hh \in\mathcal{H}hH,其中H\mathcal{H}H为算法L\mathcal{L}L的假设空间。我们可以定义映射 hhh泛化误差(generalization error):

    E(h;D)=Px∼D(h(x)≠y)(1.1) E(h; \mathcal{D}) = \rm P_{x \sim \mathcal{D}} \rm(h(x) \neq y) \tag{1.1} E(h;D)=PxD(h(x)=y)(1.1)
    因为我们无法观察到整个分布D\mathcal{D}D,只能观察到独立同分布采样后的DDD,因此我们需要定义 经验误差(empirical error):
    E^(h;D)=1N∑i=1N1(h(xi)≠yi),xi∈D(1.2) \hat E(h;\mathcal{D}) = \rm \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N 1(h(x_i) \neq y_i),x_i \in D \tag{1.2} E^(h;D)=N1i=1N1(h(xi)=yi),xiD(1.2)
    其中的1(⋅)1(\cdot)1()表示当条件符合时输出1,否则输出0。由于DDDD\mathcal{D}D的独立同分布采样,因此hhh的经验误差的期望等于泛化误差。


    引用:

    1. 《机器学习模型的容量,过拟合与欠拟合》 CSDN
    2. 《机器学习(四)经验风险与结构风险》 CSDN
    3. 《机器学习》 周志华著

    1. 数据的属性指的是数据的最原始的特征,比如图片的原始像素点,而数据的特征大多指的是属性经过特定的操作的数据,如图片的像素点经过CNN卷积之后得到的特征。广义来说,数据的属性和特征没有区别。 ↩︎

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  • 经验误差与泛化误差

    2020-01-23 12:11:24
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  • 谈谈对泛化误差的理解

    千次阅读 2018-08-17 13:09:01
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  • 训练误差和泛化误差、K折交叉验证

    千次阅读 2020-05-29 08:42:59
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  • 名词解析之泛化误差

    2019-10-02 22:16:27
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  • 泛化误差(generalization error):模型在任意一个测试数据样本上表现出的误差的期望,并常常通过测试数据集上的误差来近似 总结 一味地降低训练误差并不意味着泛化误差一定会降低。机器学习模型应关注降低泛化误差...
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  • 关于Hoeffding不等式及泛化误差上界

    千次阅读 2018-03-12 15:11:02
    一般而言,我们将考虑训练集上的训练误差和测试集上的泛化误差,事实上,训练误差的持续降低并不是那么令人愉快,因为这可能是“过拟合”在背后操纵着一切。总的来说,只有泛化误差的降低才能真的让人感觉美滋滋。 ...
  • 说明方差、偏差、噪声、泛化误差之间的关系
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  • 本文主要参考书籍为《统计学习方法》(李辉),第一章 统计学习方法概论。1.6 泛化能力1.6.1 泛化误差评价模型对未知数据的预测能力。现实中采用最多的办法是依赖...泛化误差就是模型的期望风险。1.6.2 泛化误差上届...
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  • 证明二类分类问题的泛化误差上界

    千次阅读 2018-09-18 19:58:37
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空空如也

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期望泛化误差