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  • 牛顿法与梯度下降法数学公式推导过程 迭代更新数学公式推导过程 1、牛顿法 首先对于有n个变量的函数的一阶导数为:   其次对于其二阶导数为:   之后关于目标函数的包含二阶导数的泰勒展开式为:   这时...

     

    牛顿法与梯度下降法数学公式推导过程

    迭代更新数学公式推导过程

    1、牛顿法

    首先对于有n个变量的函数的一阶导数为

             

    其次对于其二阶导数为:

             

    之后关于目标函数的包含二阶导数的泰勒展开式为:

             

    这时将看成的函数,则根据函数的最小值性质,当偏导数等于0时出取得,从而得到,所以根据等式的特点得到,只有两者都取0时才能使等式等于0,所以得:  

        (最小值)

           

        

             

    故牛顿法的迭代公式为:

           

    2、梯度下降法

    在开始推导之前,来介绍一下一个概念:梯度(当前函数位置的导数),同时它也表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得较大值。

           梯度:

      之后这里给出一阶泰勒展开式

               

    由于都是矢量,则也是矢量,则根据矢量与向量的关系,这时我们可以用一个单位向量V(下一步将要变化的方向)与标量的乘积来表示:,而

    便是我们所说的步进长度。这时表达式为:

    又由我们的目的出发,所以可以我们希望通过这个迭代变化使小,以此达到最小值。所以由公式,当梯度方向成反方向时,能最大程度的朝着局部下降的方向变化,使取得最大值。根据的数学关系,这时可以得出的计算关系:(一般情况,单位向量都是正向的)

        

        (由于是标量,可以把它与步进长度合到一起)

         

    故梯度下降法的迭代公式为:

          

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  • I . 梯度下降 Gradient Descent 简介 ( 梯度下降过程 | 梯度下降方向 ) II . 梯度下降 示例说明 ( 单个参数 ) III . 梯度下降 示例说明 ( ...IV ....V ....VI . 批量梯度下降法 VII . 随机梯度下降法 VIII . 小批量梯度下降法



    I . 梯度下降 Gradient Descent 简介 ( 梯度下降过程 | 梯度下降方向 )



    1 . 后向传播算法 : 针对每个数据样本 , 从输入层到输出层传播输入 , 这是向前传播输入 , 然后从输出层向输入层传播误差 , 这是向后传播误差 ;


    ② 权重和偏置更新 : 传播误差过程中 , 对神经元网络中 , 单元连接的权重 , 和单元本身的偏置 , 进行更新 ;

    ③ 单元连接权重增量 : Δwij=(l)ErrjOi\Delta w_{ij} = (l) Err_j O_i

    ③ 单元偏置增量 : Δθj=(l)Errj\Delta \theta_j = (l) Err_j


    2 . 权重和偏置更新要求 : 更新的时候 , 涉及到 权重 和 偏置的增量 , 分别是 Δwij\Delta w_{ij}Δθj\Delta \theta_j , 这两个增量值要使损失函数取最小值 , 并且该最小值越来越小 ;


    3 . 权重和偏置更新方向 : 这两个增量的方向要求是 , 损失函数不仅要下降 , 并且损失函数下降的速度越快越好 , 这个损失函数下降最快的方向 , 就是梯度的反方向 , 梯度通常是对损失函数进行求导得到的 ;


    损失函数 下降最快的方向 , 是梯度的反方向 ;

    梯度通常是对损失函数进行求导得来的 ;

    在某一点求导 , 就是这一点的曲线的切线的方向 ;

    这里的方向只有两个 , 坐标轴正向 ( 从左到右 | 从负数到正数 | 增加 ) , 坐标轴反向 ( 从右到左 | 从负数到正数 | 减小 ) ;

    4 . 权重和偏置更新步长 : 有了梯度以后 , 对 单元连接权重 和 单元偏置 参数进行更新时 , 还涉及到学习率 ll , 这个学习率 ll 又叫做超参数 ;



    II . 梯度下降 示例说明 ( 单个参数 )



    1 . 坐标轴说明 : 下图是损失函数 f(θ)f(\theta) , 横轴 θ\theta 是指需要更新的 权重 或 偏置 参数 , 纵轴是损失函数 f(θ)f(\theta) 的计算结果 ;


    2 . 损失函数最小值 : 取一个合适的 θ\theta 值 , 使损失函数值 f(θ)f(\theta) 大小最小 , 此时是图中黄色的点对应的 θ^\hat{\theta} 值 ;


    3 . 初始值 : 图中最左侧的值 , 标注为 Radom initial value , 即 随机初始值 ;


    4 . 初始值变化趋势 : 每次对初始值进行一次变化 , 变化的方向是逐步使损失函数趋于最小 , 就是图中初始值开始到最小值的箭头方向 ;


    5 . 梯度下降算法 : 梯度下降算法的目的是为了使损失函数 f(θ)f(\theta) 达到最小值 ;


    6 . 梯度本质 : 梯度 或 求导 , 本质上是求某一点在曲线上的切线 , 切线的斜率表示的就是导数 ;


    7 . 初始值累加方向 : θ\theta 是初始值时 , 切线的斜率是负数 , θ\theta 是向右走 , 每次累加的 Δθ\Delta\theta 是正数 , 因此 θ\theta 值需要减去梯度的值 , 相当于加上了一个正数 , 因此说 θ\theta 的方向与斜率是反方向 ( 方向指的是符号的正负号方向 ) , 即与梯度是反向方的 ; 每次累加的 Δθ\Delta\theta 就是在 xx 轴上的两点之间的距离 ;


    8 . 方向说明 ( 重点 ) :


    损失函数 下降最快的方向 , 是梯度的反方向 ;

    梯度通常是对损失函数进行求导得来的 ;

    在某一点求导 , 就是这一点的曲线的切线的方向 ;

    这里的方向只有两个 , 坐标轴正向 ( 从左到右 | 从负数到正数 | 增加 ) , 坐标轴反向 ( 从右到左 | 从负数到正数 | 减小 ) ;


    9 . 学习步长 : 由初始值开始迭代 , 对 θ\theta 参数进行更新 , 最终取得使损失函数值最小 , 即横轴坐标轴参数等于 θ^\hat{\theta} ; 该步长代表了该操作的效率 , 步长越大 , 速度越快 ;


    10 . 梯度下降算法本质 : 对于当前的参数 θ\theta 值 , 计算 f(θ)f(\theta) 的梯度 , 即导数 / 斜率 ( 负的 ) , 在梯度的反方向 ( 正数方向 ) 走一个步长 , 然后继续向前传播输入 , 再次向后传播误差时 , 继续计算其 θ\theta 值对应的梯度值 , 迭代 NN 多次 , 即可得到使损失函数最小的参数值 ;

    在这里插入图片描述

    上图是一个凸函数 , 最小值只有一个 , 比较好分析 , 实际情况是 , 同时存在多个甚至无数个能使 损失函数 f(θ)f(\theta) 取到最小值的 θ\theta 值 ;



    III . 梯度下降 示例说明 ( 多个参数 )



    1 . 两个参数的损失函数 : 下图是有两个参数的情况下的损失函数情况 ;


    2 . 损失函数示例 :

    z=x2+2y2z = x^2 + 2y^2


    ① 分析基础 : 该损失函数 zz 有两个参数 , 该函数就不能再二维坐标轴中进行分析了 , 需要在三维坐标空间中进行分析 ;

    ② 坐标轴说明 : zz 轴是损失函数值 , xx 轴是 xx 参数的取值 , yy 轴是 yy 参数的取值 ;

    ③ 梯度下降要求 : 不仅要在 xx 轴损失函数下降最快 , yy 轴损失函数也要下降最快 ; 如下图中的蓝色箭头方向 ;


    3 . 参数说明 :


    如果有 11 个参数 , 就是在二维空间中进行分析 , 如在 xx 轴 和 yy 轴平面上分析 ;

    如果有 22 个参数 , 就是在 33 维空间中进行分析 , 如在 xx , yy 轴 和 zz 轴 三维空间上分析 ;

    \vdots

    如果有 nn 个参数 , 就是在 n+1n + 1 维空间中进行分析 ;

    在这里插入图片描述

    最终的效果可能不是这样的 , 实际可能会存在很多弯曲波折 , x,yx , y 参数数值 , 在各轴上 , 按照锯齿形状下降 , 但是大概的趋势是这样的 ;



    IV . 梯度下降 总结 ( 定义损失函数 | 损失函数求导 )



    1 . 单个参数的梯度下降算法公式表示 :


    θjnew=θjoldαθjoldJ(θ)\theta^{new}_j = \theta^{old}_j - \alpha \frac{ \partial }{ \partial \theta^{old}_j} J (\theta)


    θj\theta_j 表示第 jj 个参数 ;

    θjnew\theta^{new}_j 表示新的第 jj 个参数 ;

    θjold\theta^{old}_j 表示旧的第 jj 个参数 ;

    α\alpha 指的是学习率 , 或梯度下降的步长 ;


    如果是单个参数值 , 是对 目标函数 / 损失函数 J(θ)J (\theta) 关于当前的第 jj 个参数 θj\theta_j 进行求导 , 只对一个参数进行求导 ;



    2 . 使用矩阵的形式表示多个参数的梯度下降算法 :


    θnew=θold=αθJ(θ)\theta^{new} = \theta^{old} = \alpha \nabla_\theta J (\theta)


    θ\theta 表示很多参数的矩阵 ;

    θnew\theta^{new} 表示新的参数的矩阵 ;

    θold\theta^{old} 表示旧的参数矩阵 ;

    α\alpha 指的是学习率 , 或梯度下降的步长 ;


    θJ(θ)\nabla_\theta J (\theta) 表示梯度的反向方 , 这是对 目标函数 / 损失函数 J(θ)J (\theta) 关于 θ\theta 进行求导 , 注意 θ\theta 是很多参数组成的矩阵 , 需要对每个参数进行求导 , 即偏导 , 然后将这些偏导整合起来 ;



    3 . 梯度下降算法实现 :


    ① 定义损失函数 : 先定义损失函数 , 一般是误差平方和 ;

    ② 求参数增量 : 对损失函数进行求导 , 使用导数 乘以 学习率 ( 步长 ) , 得到一个 参数增量 , 这里的参数指的是 权值 和 偏置 ;

    ③ 伪代码实现 :

    //迭代循环执行下面的代码 , 每循环一次 , 梯度下降一次 , 损失函数的值就会变小一次
    while true : 
    	//对损失函数进行求导 , 也就是评估梯度 , J 代表损失函数 , theta 代表参数值 
    	//	本质是 对损失函数 J 关于 theta 求导
    	theta_gradient = evaluate_gradient ( J , corpus , theta )
    	
    	//左侧的 theta 是新的 theta , 右侧的 theta 是旧的 theta 
    	//	alpha 是学习率 , 也是梯度的步长 , theta_gradient 是损失函数导数
    	theta = theta - alpha * theta_gradient 
    


    V . 梯度下降 方法



    1 . 常用的梯度下降方法 :


    ① 批量梯度下降法 : Batch Gradient Descent ;

    ② 随机梯度下降法 : Stochastic Gradient Descent ;

    ③ 小批量梯度下降法 : Mini-batch Gradient Descent ; 介于上述两者之间 ;



    VI . 批量梯度下降法



    批量梯度下降法 : 梯度下降的最常用方法 , 反向传播误差时 , 使用误差更新参数时 , 参考所有样本的误差更新 权值 和 偏置参数 , 如果有 nn 个样本 , 每次迭代时 , 将这 nn 个样本全部处理一遍 , 每次迭代都要使用所有的样本进行参数更新 ; 公式如下 :


    θ=θαj=1n(hθ(x0(j),x1(j),,xn(j))yj)xi(j)\theta' = \theta - \alpha \sum_{j=1}^n( h_\theta ( x_0^{(j)}, x_1^{(j)}, \cdots , x_n^{(j)} ) - y_j) x_i^{(j)}


    样本个数 : nn 代表样本个数 ;

    梯度计算 : 此处计算梯度 , 使用了所有的样本的梯度数据 ;



    VII . 随机梯度下降法



    随机梯度下降法 : 求梯度的时候 , 随机选择一个样本进行 , 使用该样本的误差更新参数 ; 公式如下 , 相对于批量梯度下降法的公式只是删除了 总和 符号 , 不再累加所有的样本误差数据 ;


    θ=θα(hθ(x0(j),x1(j),,xn(j))yj)xi(j)\theta' = \theta - \alpha ( h_\theta ( x_0^{(j)}, x_1^{(j)}, \cdots , x_n^{(j)} ) - y_j) x_i^{(j)}



    VIII . 小批量梯度下降法



    小批量梯度下降法 :


    ① 方法引入 : 上述的批量梯度下降法 , 使用所有的样本 , 训练时间很长 , 但是预测准确度很高 ; 随机梯度下降法 , 训练速度很快 , 准确度无法保证 ; 这里引入一种介于上述两个方法之间的一种方法 , 即小批量梯度下降方法 ;

    ② 参数更新方式 : 数据集有 nn 个样本 , 采用其中的 mm 个样本的子数据集 进行迭代更新参数 ;

    ③ 公式 :

    θ=θαj=1m(hθ(x0(j),x1(j),,xn(j))yj)xi(j)\theta' = \theta - \alpha \sum_{j=1}^m( h_\theta ( x_0^{(j)}, x_1^{(j)}, \cdots , x_n^{(j)} ) - y_j) x_i^{(j)}

    注意上述 求和的是 子数据集的 11mm 索引 ;

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  • 前言梯度下降法是深度学习领域用于最优化的常见方法,根据使用的batch大小,可分为随机梯度下降法(SGD)和批量梯度下降法(BGD)和小批量梯度下降法(MBGD),这里简单介绍下并且提供Python代码演示。 如有谬误,...

    前言

    梯度下降法是深度学习领域用于最优化的常见方法,根据使用的batch大小,可分为随机梯度下降法(SGD)和批量梯度下降法(BGD)和小批量梯度下降法(MBGD),这里简单介绍下并且提供Python代码演示。
    如有谬误,请联系指正。转载请注明出处。
    联系方式:
    e-mail: FesianXu@163.com
    QQ: 973926198
    github: https://github.com/FesianXu
    代码开源:click

    梯度下降法

    其基本思想就是使得网络的各个参数朝着优化函数的梯度的反方向更新,因为梯度的方向是增长最速方向,所以梯度的反方向就是减少的最速方向,因此只要设定一个步进η\etaη,然后朝着梯度的反方向下降减小即可将优化函数最小化。公式表达如:
    wijl:=wijl−η∂C∂wijl w^l_{ij} := w^l_{ij}-\eta \frac{\partial{C}}{\partial{w^l_{ij}}} wijl:=wijlηwijlC

    以下讨论都假设使用的损失函数是MSE损失函数,模型为线性回归模型。
    L=12m∑i=1m(y−h(x(i)))2,m是样本总数 L = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m (y-h(x^{(i)}))^2,m是样本总数 L=2m1i=1m(yh(x(i)))2m
    h(xi)=θTx(i)+b,其中x(i)为第i个样本,x(i)∈Rn h(x_i) = \theta^Tx^{(i)}+b,其中x^{(i)}为第i个样本,x^{(i)} \in R^n h(xi)=θTx(i)+bx(i)ix(i)Rn

    批量梯度下降法(BGD)

    批量梯度下降法(Batch Gradient Descent, BGD)是梯度下降法的最原始的形式,其特点就是每一次训练迭代都需要利用所有的训练样本,其表达式为:
    ∂L∂θj=−1m∑i=1m[(y−h(x(i)))xj(i)],xj(i)是第i个样本的第j个输入分量 \frac{\partial{L}}{\partial{\theta_j}} = -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m [(y-h(x^{(i)}))x^{(i)}_j],x^{(i)}_j是第i个样本的第j个输入分量 θjL=m1i=1m[(yh(x(i)))xj(i)]xj(i)ij
    θj:=θj+η1m∑i=1m[(y−h(x(i)))xj(i)] \theta_j := \theta_j+\eta \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m [(y-h(x^{(i)}))x^{(i)}_j] θj:=θj+ηm1i=1m[(yh(x(i)))xj(i)]
      可以发现,对于每一个参数的更新都需要利用到所有的m个样本,这样会导致训练速度随着训练样本的增大产生极大地减慢,不适合于大规模训练样本的场景,但是,其解是全局最优解,精度高。

    随机梯度下降法(SGD)

    随机梯度下降法(Stochastic Gradient Descent, SGD)是梯度下降法的改进形式之一,其特点就是每一次训练迭代只需要训练样本集中的一个样本,其表达式为:
    ∂L∂θj=−(y−h(x))xj,xj是选定样本的第j个输入分量 \frac{\partial{L}}{\partial{\theta_j}} = -(y-h(x))x_j, x_j是选定样本的第j个输入分量 θjL=(yh(x))xjxjj
    θj:=θj+η(y−h(x))xj \theta_j := \theta_j+\eta (y-h(x))x_j θj:=θj+η(yh(x))xj
      和BGD进行对比可以发现,其参数更新过程中,只需要选取训练集中的一个训练样本,因此训练速度快,但是因为其只是利用了训练集的一部分知识,因此其解为局部最优解,精度较低。

    小批量梯度下降法(MBGD)

    小批量梯度下降法(Mini-Batch Gradient Descent, MBGD)是结合了SGD和BGD的一种改进版本,既有训练速度快,也有精度较高的特点,其基本特点就是每一次训练迭代在训练集中随机采样batch_size个样本,其表达式为:
    ∂L∂θj=−1M∑i=1M[(y−h(x(i)))xj(i)],其中M为batch_size \frac{\partial{L}}{\partial{\theta_j}} = -\frac{1}{M}\sum_{i=1}^M [(y-h(x^{(i)}))x^{(i)}_j],其中M为batch\_size θjL=M1i=1M[(yh(x(i)))xj(i)]Mbatch_size
    θj:=θj+η1M∑i=1M[(y−h(x(i)))xj(i)] \theta_j := \theta_j+\eta \frac{1}{M}\sum_{i=1}^M [(y-h(x^{(i)}))x^{(i)}_j] θj:=θj+ηM1i=1M[(yh(x(i)))xj(i)]
      这个改进版本在深度学习的网络训练中有着广泛地应用,因为其既有较高的精度,也有较快的训练速度。

    代码实现

    这里以线性回归模型作为演示,实现梯度下降。代码实现基于python和numpy,matplotlib绘图,matlab生成数据集。代码由github托管。

    数据描述

    目标直线为y=2.5x+3.5y=2.5x+3.5y=2.5x+3.5,加上了一个高斯噪声,代码如:

    x = -20:0.01:20;
    line = 2.5*x+3.5;
    x_rand = randn(1, length(line))*10;
    line = line+x_rand;
    x = x';
    line = line';
    samples = [x, line];
    

    图像如:
    dataset
    主要代码如:

    import numpy as np
    import scipy.io as sio
    import random
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    path = u'./samples.mat'
    mat = sio.loadmat(path)
    dataset = mat['samples']
    batch_size = 1
    
    def random_get_samples(mat, batch_size):
        batch_id = random.sample(range(mat.shape[0]), batch_size)
        ret_batch = mat[batch_id, 0]
        ret_line = mat[batch_id, 1]
        return ret_batch, ret_line
    
    
    params = {
        'w1': np.random.normal(size=(1)),
        'b': np.random.normal(size=(1))
    }
    
    def predict(x):
        return params['w1']*x+params['b']
    
    learning_rate = 0.001
    for i in range(3000):
        batch, line = random_get_samples(dataset, batch_size)
        y_pred = predict(batch)
        y_pred = np.reshape(y_pred, (batch_size, 1))
        line = np.reshape(line, (batch_size, 1))
        batch = np.reshape(batch, (batch_size, 1))
        delta = line-y_pred
        params['w1'] = params['w1']+learning_rate*np.sum(delta*batch)/batch_size
        params['b'] = params['b']+learning_rate*np.sum(delta)/batch_size
        if i % 100 == 0:
            print(np.sum(np.abs(line-y_pred))/batch_size)
    
    print(params['w1'])
    print(params['b'])
    x = dataset[:, 0]
    line = dataset[:, 1]
    y = params['w1']*x+params['b']
    plt.figure(1)
    plt.plot(x, line, 'b--')
    plt.plot(x, y, 'r--')
    plt.show()
    

    其中调整batch_size可以分别实现SGD,BGD和MBGD,当其为1时为SGD,当其为dataset.shape[0]时为BGD,当其为其他固定常数时如128,为MBGD。通过实验可以明显发现,当batch_size为1时,训练速度最快,但是精度欠佳,当batch_size=dataset.shape[0]时,训练速度最慢,但是精度较高,当batch_size=128或其他常数时,速度和精度兼有顾及。最后的结果图像如:
    regression
    可见红线成功拟合了原数据。

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  • 1 梯度下降法 2 坐标下降法 1.首先给定一个初始点,如 X_0=(x1,x2,…,xn);  2.for x_i=1:n  固定除x_i以外的其他维度  以x_i为自变量,求取使得f取得最小值的x_i;  end  3. 循环执行步骤...

    1 梯度下降法


    2 坐标下降法

    1.首先给定一个初始点,如 X_0=(x1,x2,…,xn); 
    2.for x_i=1:n 
    固定除x_i以外的其他维度 
    以x_i为自变量,求取使得f取得最小值的x_i; 
    end 
    3. 循环执行步骤2,直到f的值不再变化或变化很小.

    3 牛顿迭代法


    牛顿迭代法(Newton’s method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphson method),它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式,因此求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 
    把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x-x0)f’(x0)+(x-x0)^2*f”(x0)/2! +… 取其线性部分,作为非线性方程f(x) = 0的近似方程,即泰勒展开的前两项,则有f(x0)+f’(x0)(x-x0)=0 设f’(x0)≠0则其解为x1=x0-f(x0)/f’(x0) 这样,得到牛顿法的一个迭代序列:x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f’(x(n))。

    4 最小二乘法与梯度下降法区别

    最小二乘是构建目标函数中的一种方法; 
    梯度下降是求解最优目标函数中的一种方法。

    对于变量个数为2-3个的目标函数,可以直接用方程组的方式求解出来,这也就是我们常见的狭义上的最小二乘法。 
    对于变量个数多个的目标函数,这时,狭义的最小二乘法就难以胜任,而用梯度下降法求解就容易多了。

    附录

    梯度下降法matlab示例: 

    function [k ender]=steepest(f,x,e)
        %梯度下降法,f为目标函数(两变量x1和x2),x为初始点,如[0;0]
        syms x1 x2 m; %m为学习率
        d=-[diff(f,x1);diff(f,x2)];  %分别求x1和x2的偏导数,即下降的方向
        flag=1;  %循环标志
        k=0; %迭代次数
        while(flag)
            d_temp=subs(d,x1,x(1));      %将起始点代入,求得当次下降x1梯度值
            d_temp=subs(d_temp,x2,x(2)); %将起始点代入,求得当次下降x2梯度值
            nor=norm(d_temp); %范数
            if(nor>=e) %梯度为0,说明达到极小点
                x_temp=x+m*d_temp;            %改变初始点x的值
                f_temp=subs(f,x1,x_temp(1));  %将改变后的x1和x2代入目标函数
                f_temp=subs(f_temp,x2,x_temp(2));
                h=diff(f_temp,m);  %对m求导,找出最佳学习率
                m_temp=solve(h);   %求方程,得到当次m
                x=x+m_temp*d_temp; %更新起始点x
                k=k+1;
            else
                flag=0;
            end
        end
        ender=double(x);  %终点
    end
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    调用函数:

    syms x1 x2;
    f=(x1-1)^2+2*(x2-2)^2+x1;
    x=[3;0];
    e=10^(-20);
    [k ender]=steepest(f,x,e)

    原文地址:http://blog.csdn.net/zkq_1986/article/details/52317258

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  • 梯度下降法的三种形式BGD、SGD以及MBGD   梯度下降法的三种形式BGD、SGD以及MBGD 阅读目录 1. 批量梯度下降法BGD 2. 随机梯度下降法SGD 3. 小批量梯度下降法MBGD 4. 总结 在应用机器学习...
  • 梯度下降法

    2018-06-30 19:35:43
    采用梯度下降法求解方程最小值的实验,代码中包括梯度下降法迭代方式
  • 梯度下降法公式推导

    千次阅读 2019-07-28 15:52:22
    梯度下降法是求解无约束最优化问题的一种最常用的方法,是一种迭代算法,每一步需要求解目标函数的梯度向量。 梯度的定义: 某一函数沿着某点处的方向导数可以以最快速度到达极大值,该方向导数我们定义为该函数的...
  • 无论是机器学习(Machine Learning)...下面我们逐个介绍梯度下降法(GD)、随机梯度下降法(SGD)和随机平均梯度下降法(SAGD)。先来看梯度下降法的基本思想。 基本原理 如果抛开具体场景,从数学抽象角度来看...
  • 梯度下降法作为机器学习中较常使用的优化算法,其有着三种不同的形式:批量梯度下降(Batch Gradient Descent)、随机梯度下降(Stochastic Gradient Descent)以及小批量梯度下降(Mini-Batch Gradient Descent)。...
  • 梯度下降法、牛顿迭代法和坐标下降法  最优化方法是一种数学方法,它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量),以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。大部分的机器学习算法的本质都是建立优化模型,...
  • 梯度下降法和泰勒公式

    千次阅读 2019-05-22 19:24:21
    第一部分:泰勒公式 在高数中,引出相关需求,其描述如下: 对于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达。由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次的加,减,乘三种算数运算...
  • 梯度下降法与随机梯度下降法

    千次阅读 2017-05-10 15:12:44
    梯度下降法与随机梯度下降法
  • 梯度下降、随机梯度下降、小批量梯度下降、动量梯度下降、Nesterov加速梯度下降法前言梯度下降法(Gradient Descent / GD)单变量线性回归模型(Univariate Linear Regression)批梯度下降法(Batch Gradient ...
  • SGD(Stochastic Gradient Descent,随机梯度下降法)和New-ton Method(牛顿迭代法) 梯度下降法,牛顿法,高斯-牛顿迭代法,附代码实现:https://blog.csdn.net/piaoxuezhong/article/details/60135153 梯度下...
  • 这篇文章主要讲述在多变量线性回归模型中运用梯度下降法与随机梯度下降法解决问题的方法。有关于梯度下降法的数学推导不做讲述的重点。在这篇文章里,我们将对一个包含50个样本的数据集使用多变量回归模型进行处理,...
  • 梯度下降法 所以logistic回归算法实现为logistic回归是分类问题。前面我们讲的分类问题的输出都是 “yes”或者“no”。但是在现实生活中,我们并不是总是希望结果那么肯定,而是概率(发生的可能性)。比如,我们...
  • 对批量梯度下降法和随机梯度下降法的总结: 批量梯度下降—最小化所有训练样本的损失函数,使得最终求解的是全局的最优解,即求解的参数是使得风险函数最小,但是对于大规模样本问题效率低下。 随机梯度下降—...
  • 随机梯度下降法和批量梯度下降法

    千次阅读 2017-09-27 13:45:36
     在机器学习中,基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降方法,分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。  比如对一个线性回归(Linear Logistics)模型,假设下面的h(x)是要拟合的函数,J(theta)为损失函数,...
  • 梯度下降法的关键点

    2018-08-21 17:03:24
    梯度下降法迭代公式为:   根据函数的一阶泰勒展开,在负梯度方向,函数值是下降的。只要学习率设置的足够小,并且没有到达梯度为0的点处,每次迭代时函数值一定会下降。需要设置学习率为一个非常小的正数的...
  • 梯度下降法(Gradient Descent)优化函数的详解(1)梯度下降法(Gradient Descent) 梯度下降法(Gradient Descent)优化函数的详解(2)随机梯度下降法(SGD Stochastic Gradient Descent) 梯度下降法(Gradient ...
  • 引言: 在深度学习的任务目标中,通常我们希望我们的学习结果能够在损失函数上得到一个较好的...首先我们知道梯度方向是函数增长最快的方向,梯度的反方向是函数减少最快的方向,而梯度下降法就是往梯度反方向前进...
  • 梯度下降法Vs牛顿下降法

    千次阅读 2018-03-09 19:40:23
    牛顿下降法的递推公式: 梯度下降算法的递推公式: xn+1=xn−μ∗f′(xn)方法比较:一般称 梯度下降法用平面去拟合当前的局部曲面,牛顿法用二次曲面来拟合。下图中红色的收敛轨迹代表牛顿法,另一条为梯...
  • 梯度下降法(Gradient Descent)优化函数的详解(1)梯度下降法(Gradient Descent) 梯度下降法(Gradient Descent)优化函数的详解(2)随机梯度下降法(SGD Stochastic Gradient Descent) 梯度下降法(Gradient ...
  • 梯度下降法复杂度计算与公式推导

    千次阅读 2019-05-26 19:39:00
    梯度下降法的好坏的评估与公式推导 如何评估一个梯度下降法的好坏 通过自己的数据进行实际代码运行测试,看看时间性能如何。但是这样子不能直观看出类似于:quick sort(nlogn)这样的复杂度 通过公式进行复杂度评估 ...
  • 梯度下降法和随机梯度下降法的区别 转载自:http://www.cnblogs.com/boqun1991/p/4063575.html 这几天在看《统计学习方法》这本书,发现 梯度下降法 在 感知机 等机器学习算法中有很重要的...
  • 如何理解梯度下降法

    千次阅读 多人点赞 2018-09-02 10:36:57
    从感性认识入手,由浅及深理解清楚梯度下降法,并举例说明梯度下降法的应用。

空空如也

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梯度下降法迭代公式