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  • 2022-01-15 00:10:00

    【写在前面的话】众所周知,线性代数在计算机应用方面也是比较广的(比如人工智能等前沿科技领域)。所以...在CSDN记录线性代数的知识不为过吧,哈哈(//狗头保命)。从这里开始我将详细记录线性代数知识点。想要学线性代数的小伙伴可以跟随我的脚步一起学习一下。(坚持每天至少发一篇)话不多说,我们直接开始。

    目录

    1.1矩阵及其运算

    一,矩阵的概念

    二,矩阵的线性运算

    三,矩阵的乘法

    四,矩阵的转置


    一,矩阵的概念

    我们先来看一下书上关于 矩阵的标准定义:由m×n个数排成的m行n列数表

     称为一个m行n列矩阵,简称为m×n矩阵,其中_{aij}表示第i行第j列处的元(或称元素),i称为_{aij}

    的行指标,j称为_{aij} 的列指标。

    元是实数的矩阵称为实矩阵,元为复数的矩阵称为复矩阵。一般未加特殊说明,都默认为是实矩阵。

     举个简单的例子:如果你看到了一个形如这样的东西

    \begin{pmatrix} 0 & 3&4 &7 &5 \\ 8&2 &3 &0 &2 \\ 5&4 &0 &6 &6 \end{pmatrix},那么我们可以称它是一个3×5的矩阵,其中“3”表示这个矩阵的行,“4”表示这个矩阵的列(基于此,我们可以利用下标表示矩阵里的任何一个元,如:_{a12}=3,_{a24=0},_{a35}=6)。

    以为矩阵的概念到此就介绍了吗?(哈哈,同学,你还是太单纯)请接收由矩阵的基础定义而拓展的一系列其他矩阵相关概念的“轰炸”。但是看的时候也不要有太多的心里负担,因为这些概念可以更好的帮助我们理解矩阵。(新增拓展矩阵概念已用“绿色”标记)

    系数矩阵

    n元线性方程组

     的系数可以组成一个m行n列矩阵

     称为方程组的系数矩阵

    增广矩阵:

    而系数及常数项可以组成一个m行n+1列矩阵

     称为方程组的增广矩阵

     零矩阵:

    元全为零的矩阵称为零矩阵,记作_{Omn}^{O}注意:m和n之间应该有个“×”,实在打不出来,呜呜呜┭┮﹏┭┮,之后类似的试子也是如此,比如下方的_{O22},_{O23},此后不再复述).如

    _{O22}=\begin{pmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}_{O23}=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&0 &0 \end{pmatrix}.

    当m=n时,称A为n阶矩阵(或n阶方程)。

    行矩阵和列矩阵:

    只有1行(1×n)或1列(m×1)的矩阵

    \begin{pmatrix} _{a11}, &_{a12}, &..., &_{a1n} \end{pmatrix}   ,\begin{pmatrix} _{a11}\\ _{a21}\\ ...\\ _{am1} \end{pmatrix}  分别称为行矩阵列矩阵

    对角矩阵:

    若矩阵的元_{aij}=0(i≠j),则称A为对角矩阵,_{aii}(i=1,2...,n)称为A的对角元,记作A=diag(_{a11},_{a22},...,_{ann})

    例如,A=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0&5 \end{pmatrix}=diag(-1,5)

    为二阶对角矩阵.

    单位矩阵:

    对角元全为1的对角矩阵称为单位矩阵,n阶单位矩阵记为_{In},在不致混淆时也记为_{I},即

    _{I}=diag(1,1,...,1)=\begin{pmatrix} 1 & & & \\ &1 & & \\ & &... & \\ & & &1 \end{pmatrix}

    要记住I的含义呦~之后会经常用到的

    上三角矩阵下三角矩阵:

    形如

    \begin{pmatrix} _{a11} &_{a12} &... &_{a1n} \\ 0 &_{a22} &... &_{a2n} \\ ... & ... & ... &... \\ 0& 0 & ... & _{ann} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} _{a11} & 0 & ... & 0\\ _{a21}& a22 & ... &0 \\ ...& ...& ... &... \\ _{an1}&_{an2} &... & _{ann} \end{pmatrix}

    的矩阵被称为上三角矩阵下三角矩阵


    二,矩阵的线性运算

    为了讨论矩阵的运算,我们首先给出矩阵相等的概念。

    如果A和B都是m×n矩阵,就称A和B为同型矩阵。

    两个矩阵A=(_{aij})和B=(^{bij})如果是同型矩阵,且对应元相等,即_{aij}=_{bij},就称A和B相等。

    现在我们介绍矩阵的加法

    定义2(矩阵的加法)设矩阵

    A=\begin{pmatrix} _{a11} &_{a12} &... &_{a1n} \\ _{a21}& _{a22} & ... &_{a2n} \\ ...& ...& ... &... \\ _{am1}& _{am2} &... & _{amn} \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} _{b11} &_{b12} & ...&_{b1n} \\ _{b12} & _{b22}& ... & _{b2n}\\ ...& ...&... & ...\\ _{bm1} &_{bm2} &... & _{bmn} \end{pmatrix}

    是两个m×n矩阵,将它们的对应元相加,得到一个新的m×n矩阵

    C=\begin{pmatrix} _{a11}+_{b11} &_{a12}+_{b12} &... & _{a1n}+_{b1n} \\ _{a21}+_{b21} &_{a22}+_{b22} & ... & _{a2n}+_{b2n} \\ ... & ...& ...&... \\ _{am1}+_{bm1} &_{am2}+_{bm2} &... & _{amn}+_{bmn} \end{pmatrix}

    则称矩阵C是矩阵A和B的和,记为C=A+B.

    举个栗子🌰:若A=\begin{pmatrix} 30 &125 &17 &0 \\ 20 & 0 & 14& 23\\ 0& 20 &20 &30 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 10 & 15 & 13 & 30\\ 0& 40&16 &17 \\ 50 & 10 & 0&10 \end{pmatrix},

     那么A+B=\begin{pmatrix} 40& 40& 30& 30\\ 20& 40& 30& 40\\ 50&30 &20 &40 \end{pmatrix}.

    值得注意的是,只有同型矩阵才能相加,且同型矩阵之和仍为同型矩阵。

    下面介绍矩阵与数的乘积 

    定义3(矩阵的乘数)设A=(_{aij})m×n是一个m×n矩阵,k是一个数,则称矩阵

    \begin{pmatrix} _{ka11} & _{ka12}& ...&_{ka1n} \\ _{ka21}&_{ka22} &... &_{ka2n} \\ ... &... &... &... \\ _{kam1}&_{kam2} &... &_{kamn} \end{pmatrix}

    为矩阵A和数k的乘积(简称矩阵的数乘),记为kA.

    也就是说,用数k乘矩阵A就是将A中每一元都乘k.

     矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算

    基于此,容易得出矩阵的线性运算满足下列八条性质。

    设A,B,C为同型矩阵,k,l为数.

    1^{0}   A+B=B+A

    2^{0}   (A+B)+C=A+(B+C)

    3^{0}   A+O=A

    4^{0}   A+(-A)=O

    5^{0}   1A=A

    6^{0}   k(lA)=(kl)A

    7^{0}   k(A+B)=kA+kB

    8^{0}   (k+l)A=kA+lA  


     三,矩阵的乘法 

    定义4 设m×p矩阵A=(_{aij})m×p,p×n矩阵B=(_{bij})p×n,则由元

             c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ip}b_{pj}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}(i=1,2...,n)

    构成的m×n矩阵C=(c_{ij]})m×n称为矩阵A和B的乘积,记为C=AB.

    举个例子:设

    A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 3 & 1\\ 2&2 \end{pmatrix},

    AB=\begin{pmatrix} 1*1+2*3+3*2 &1*3+2*1+3*2 \\ 3*1+2*3+1*2 &3*3+2*1+1*2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 13 & 11\\ 11& 13 \end{pmatrix}.

    有定义可知:

    (1)A的列数必须等于B的行数,A与B才能相乘;

    (2)乘积C的行数等于A的行数,C的列数等于B的列数;

    (3) 乘积C中第i行第j列元c_{ij}等于A的第i行元与B的第j列元对应乘积之和,即c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ip}b_{pj}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}(i=1,2...,n) 

    矩阵乘法满足下列运算规律:

    1^{0}   结合律  (AB)C=A(BC);

    2^{0}   数乘结合律  k(AB)=(kA)B=A(kB),k为数;

    3^{0}   分配律  A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA.

     请看下面的例子:设A=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1& 1 \end{pmatrix},求AB和BA.

    显然

    AB=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix},BA=\begin{pmatrix} 2 & 2\\ -2 & -2 \end{pmatrix}.

    在上述例子中我们可以看出矩阵的乘法一般不满足交换律即一般AB≠BA。

    当AB≠BA时,称A与B不可交换;当AB=BA时,称A与B可交换。

     由例子还可见,A,B都是非零矩阵,但AB=O.由此可知,矩阵的乘法不满足消去律,即A≠0时,由AB=AC不能推出B=C.

     矩阵乘法一般不满足交换律,但是,容易得到如下常用结果:

    I_{m}Am×n=Am×n,A_{m}×nI_{n}=Am×n.   我们称

    kI=diag(k,k,...,k)=\begin{pmatrix} k & & & \\ & k& & \\ & & ...& \\ & & & k \end{pmatrix}            (k≠0)

    数量矩阵

    n阶数量矩阵kI与任意n阶矩阵A也是可交换的,这是因为(kI)A=k(IA)=kA,A(kI)=k(AI)=kA.

    我们还可定义方阵的幂和方阵的多项式.

    定义 5 设A是n阶方阵,k为正整数,定义

    \left\{\begin{matrix} A^{1}=A & \\ A^{k+1}=A^{k}A&,k=1,2,.... \end{matrix}\right.

    由定义可证明:当m,k为正整数时,

    A^{m}A^{k}=A^{m+k},(A^{m})^{k}=A^{mk}

    但需注意,一般(AB)^{k}A^{k}B^{k}.

    当AB=BA时,(AB)^{k}=A^{k}B^{k}=B^{k}A^{k},但其逆不真。

    定义 6 设f(x)=a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0}是x的k次多项式,A是n阶方阵,则

     f(A)=a_{k}A^{k}+a_{k-1}A^{k-1}+...+a_{1}A+a_{0}

     称为方阵A的k次多项式.

    由定义容易证明:若f(x),g(x)为多项式,A,B均为n阶方阵,则

    f(A)g(A)=f(B)g(B).

     但是一般情况下

    f(A)g(B)≠g(B)f(A)

     这里要注意,一般来说

    (A+B)^{2}\neq A^{2}+2AB+B^{2},

    (A+B)(A-B)\neq (A-B)(A+B)\neq A^{2}-B^{2},

    等等 。但是,由于AI=IA,(当B=I时)因而 

    (A+B)^{2}= A^{2}+2AB+B^{2},

    (A+B)(A-B)= (A-B)(A+B)= A^{2}-B^{2},


     四,矩阵的转置

    把一个矩阵A的行列互换,所得到的矩阵称为A的转置,记为A^{T}.确切的定义如下

    定义 7 设

    A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... &a_{2n} \\ ...&... & ...&... \\ a_{m1}&a_{m2} &... &a_{mn} \end{pmatrix},

    则称

    A^{T}=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{21} &... &a_{m1} \\ a_{12}&a_{22} &... &a_{m2} \\ ... &.... &... &... \\ a_{1n}&a_{2n} &... &a_{mn} \end{pmatrix}

     为A的转置。

    显然,m×n矩阵的转置是n×m矩阵.

    矩阵的转置满足以下规律:

    1^{0}   (A^{T})^{T}=A;

    2^{0}   (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T};

    3^{0}   (kA)^{T}=kA^{T},k为数

    4^{0}   (AB)^{T}=B^{T}A^{T}.

    定义 8 若 A^{T}=A,则称A为对称矩阵;若A^{T}=-A,则称A为反称矩阵.

    不积跬步无以至千里,不积小流无以成江海

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