前文已经介绍了经典的 KMP 算法,本文继续介绍 KMP 算法的扩展,即扩展 KMP 算法。

问题定义:给定两个字符串 S 和 T(长度分别为 n 和 m),下标从 0 开始,定义extend[i]等于S[i]...S[n-1]与 T 的最长相同前缀的长度,求出所有的extend[i]。举个例子,看下表:

i 0 1 2 3 4 5 6 7
S a a a a a b b b
extend[i] 5 4 3 2 1 0 0 0
T a a a a a c    

为什么说这是 KMP 算法的扩展呢?显然,如果在 S 的某个位置 i 有extend[i]等于 m,则可知在 S 中找到了匹配串 T,并且匹配的首位置是 i。而且,扩展 KMP 算法可以找到 S 中所有 T 的匹配。接下来具体介绍下这个算法。

一:算法流程展开目录

(1)

如上图,假设当前遍历到 S 串位置 i,即extend[0]...extend[i - 1]这 i 个位置的值已经计算得到。设置两个变量,a 和 p。p 代表以 a 为起始位置的字符匹配成功的最右边界,也就是 “p = 最后一个匹配成功位置 + 1”。相较于字符串 T 得出,S[a...p) 等于 T[0...p-a)

再定义一个辅助数组int next[],其中next[i]含义为:T[i]...T[m - 1]与 T 的最长相同前缀长度,m 为串 T 的长度。举个例子:

i 0 1 2 3 4 5
T a a a a a c
next[i] 6 4 3 2 1 0

(2)

椭圆的长度为next[i - a],对比 S 和 T,很容易发现,三个椭圆完全相同。如上图,此时i + next[i - a] < p,根据 next 数组的定义,此时extend[i] = next[i - a]

(3)

如果i + next[i - a] == p呢?如上图,三个椭圆都是完全相同的,此时我们可以直接从S[p]T[p - i]开始往后匹配,加快了速度。

(4)

如果i + next[i - a] > p呢?那说明S[i...p)T[i-a...p-a)相同,这和i + next[i - a] == p的情况一样,我们直接从S[p]T[p - i]开始往后匹配。(在以 a 为始的匹配中,S[p]T[p-a]已经失配)

(5)最后,就是求解 next 数组。我们再来看下next[i]extend[i]的定义:
next[i]: T[i]...T[m - 1]与 T 的最长相同前缀长度;
extend[i]: S[i]...S[n - 1]与 T 的最长相同前缀长度。

恍然大悟,求解next[i]的过程不就是 T 自己和自己的一个匹配过程嘛,下面直接看代码。

二:代码展开目录

/**
 *
 * author 刘毅(Limer)
 * date   2017-03-12
 * mode   C++
 */
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

/* 求解 T 中 next[],注释参考 GetExtend() */
void GetNext(string & T, int & m, int next[])
{
    int a = 0, p = 0;
    next[0] = m;

    for (int i = 1; i < m; i++)
    {
        if (i >= p || i + next[i - a] >= p)
        {
            if (i >= p)
                p = i;

            while (p < m && T[p] == T[p - i])
                p++;

            next[i] = p - i;
            a = i;
        }
        else
            next[i] = next[i - a];
    }
}

/* 求解 extend[] */
void GetExtend(string & S, int & n, string & T, int & m, int extend[], int next[])
{
    int a = 0, p = 0;
    GetNext(T, m, next);

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (i >= p || i + next[i - a] >= p) // i >= p 的作用:举个典型例子,S 和 T 无一字符相同
        {
            if (i >= p)
                p = i;

            while (p < n && p - i < m && S[p] == T[p - i])
                p++;

            extend[i] = p - i;
            a = i;
        }
        else
            extend[i] = next[i - a];
    }
}

int main()
{
    int next[100];
    int extend[100];
    string S, T;
    int n, m;

    while (cin >> S >> T)
    {
        n = S.size();
        m = T.size();
        GetExtend(S, n, T, m, extend, next);

        // 打印 next 和 extend
        cout << "next:   ";
        for (int i = 0; i < m; i++)
            cout << next[i] << " ";

        cout << "\nextend: ";
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cout << extend[i] << " ";

        cout << endl << endl;
    }
    return 0;
}

数据测试如下:

三:时间复杂度展开目录

对比 KMP 算法,很容易发现时间复杂度为Θ(n+m) Θ(n+m)

四:参考文献展开目录