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  • 2020-03-08 14:41:06

    对一个n元线性方程组来说,解的数目根据以下条件判断:
    1、方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且等于n时,该方程有唯一解;
    2、方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且小于n时,该方程有无穷多个解;
    3、 方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩时,该方程组无解。

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    定理一

    n n n齐次线性方程组 A m × n x = 0 A_{m\times n}x=0 Am×nx=0非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R ( A ) < n R(A)<n R(A)<n.当 R ( A ) = n R(A)=n R(A)=n时(即 A A A满秩),只有零解.

    定理二

    n n n非齐次线性方程组 A m × n x = b A_{m\times n}x=b Am×nx=b有解的充分必要条件是系数矩阵 A A A的秩等于增广矩阵 B = ( A , b ) B=(A,b) B=(A,b)的秩.

    小结

    R ( A ) < R ( B ) ⟺ A x = b 无 解 R ( A ) = R ( B ) = n ⟺ A x = b 有 唯 一 解 R ( A ) = R ( B ) < n ⟺ A x = b 有 无 穷 多 解 R(A)<R(B) \Longleftrightarrow Ax=b无解 \\ R(A)=R(B)=n\Longleftrightarrow Ax=b有唯一解 \\ R(A)=R(B)<n\Longleftrightarrow Ax=b有无穷多解 R(A)<R(B)Ax=bR(A)=R(B)=nAx=bR(A)=R(B)<nAx=b

    齐次线性方程组:系数矩阵化成行最简形矩阵,便可写出其通解;
    非齐次线性方程组:增广矩阵化成行阶梯形矩阵,便可判断其是否有解.若有解,化成行最简形矩阵,便可写出其通解;

    解法

    A x = b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b
    A = [ l a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] ,    x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] ,    b = [ b 1 b 2 ⋮ b n ] \boldsymbol{A}=\left[ \begin{matrix}{l} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right] ,\,\,\boldsymbol{x}=\left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\ \end{array} \right] ,\,\,\boldsymbol{b}=\left[ \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{array} \right] A=la11a21an1a12a22an2a1na2nann,x=x1x2xn,b=b1b2bn

    建立增广矩阵:

    A ˉ = [ A b ] = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n b n ] \boldsymbol{\bar{A}}=\left[ \begin{matrix} \boldsymbol{A}& \boldsymbol{b}\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}& b_2\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots& \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}& b_n\\ \end{matrix} \right] Aˉ=[Ab]=a11a21an1a12a22an2a1na2nannb1b2bn
    若能将增广矩阵 A ˉ \boldsymbol{\bar{A}} Aˉ做初等行变换化为如下形式的梯形矩阵:
    [ 1 ξ 1 1 ξ 2 ⋱ ⋮ 1 ξ n ] \left[ \begin{matrix} 1& & & & \xi _1\\ & 1& & & \xi _2\\ & & \ddots& & \vdots\\ & & & 1& \xi _n\\ \end{matrix} \right] 111ξ1ξ2ξn
    则 ξ 1 , ξ 2 , ⋯ ξ n 即为方程组的解 \text{则}\xi _1,\xi _2,\cdots \xi _n\text{即为方程组的解} ξ1,ξ2,ξn即为方程组的解

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  • 由于求解上三角或下三角线性方程组很容易所以在解线性方程组时,可将系数矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵。其中下三角矩阵的主对角线为1,上三角矩阵的对角线元素非零。有如下定理:如果非奇异矩阵A可表示为下三角...
  • 本篇笔记首先讨论如何将线性方程组写成矩阵或向量形式,并给出系数矩阵和增广系数矩阵的概念;然后通过判断系数矩阵的秩和增广系数矩阵的秩的关系,讨论方程组有唯一、有无穷多还是无的条件并给出了相关判定;...

    本篇笔记首先讨论如何将线性方程组写成矩阵或向量形式,并给出系数矩阵和增广矩阵的概念;然后通过判断系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的关系,讨论方程组有唯一解、有无穷多解还是无解的条件并给出了相关判定;最后总结了通过系数矩阵求解线性方程组的步骤,并通过例子进行了实践。

    1 系数矩阵和增广矩阵

    假如有如下方程组:
    { x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 − x 2 − x 3 = − 3 2 x 1 + 9 x 2 + 10 x 3 = 11 \begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1-x_2-x_3=-3\\2x_1+9x_2+10x_3=11\end{cases} x1+x2+x3=1x1x2x3=32x1+9x2+10x3=11

    但这样写太复杂了!所以引入了以下概念:

    系数矩阵:将上述方程组的未知数系数写成矩阵,
    A = [ 1 1 1 1 − 1 − 1 2 9 10 ] A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-1&-1\\2&9&10\end{bmatrix} A=1121191110

    增广矩阵:将方程组未知数系统和常数项写成矩阵,
    A ‾ = [ 1 1 1 1 1 − 1 − 1 − 3 2 9 10 11 ] \overline{A}=\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\1&-1&-1&-3\\2&9&10&11\end{array}\right] A=11211911101311

    也可以写成向量形式,
    x 1 ( 1 1 2 ) + x 2 ( 1 − 1 9 ) + x 3 ( 1 − 1 10 ) = ( 1 − 3 11 ) x_1\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\-1\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\11\end{pmatrix} x1112+x2119+x31110=1311,即
    x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 = β x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=\beta x1α1+x2α2+x3α3=β

    注意:
    在写方程时,系数写在前面,未知数写在后面;
    但写向量时,一般未知数写在前前,而向量写在后面。

    2 方程组有无解的判定

    前面已经知道,用消元法解方程组,其实相当于对矩阵做初等行变换。

    ① 假设化成了如下矩阵:
    [ 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3 ] \left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right] 100010001123

    所以, { x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 3 \begin{cases}x_1=1\\x_2=2\\x_3=3\end{cases} x1=1x2=2x3=3,即有唯一解,

    很显明: r ( A ) = r ( A ‾ ) = 3 ( 未 知 量 个 数 ) r(A)=r(\overline{A})=3(未知量个数) r(A)=r(A)=3

    ② 假设化成了如下矩阵:
    [ 1 0 1 5 0 1 1 9 0 0 0 0 ] \left[\begin{array}{ccc|c}1&0&1&5\\0&1&1&9\\0&0&0&0\end{array}\right] 100010110590

    所以, { x 1 = 5 − x 3 x 2 = 9 − x 3 \begin{cases}x_1=5-x_3\\x_2=9-x_3\end{cases} {x1=5x3x2=9x3
    此时,当 x 3 x_3 x3取不同的值时,得到不同的 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2,即有无穷多解,

    这种情况下, r ( A ) = r ( A ‾ ) = 2 < 3 ( 未 知 量 个 数 ) r(A)=r(\overline{A})=2<3(未知量个数) r(A)=r(A)=2<3

    ③ 假设化成了如下矩阵:
    [ 1 0 1 3 0 1 0 4 0 0 0 1 ] \left[\begin{array}{ccc|c}1&0&1&3\\0&1&0&4\\0&0&0&1\end{array}\right] 100010100341

    对应方程组为:
    { x 1 x 3 = 3 x 2 = 4 0 = 1 \begin{cases}x_1&&&&x_3&=&3\\&&x_2&&&=&4\\&&&&\color{red}{0}&=&1\end{cases} x1x2x30===341

    所以方程组无解,

    此时, r ( A ) = 2 ≠ r ( A ‾ ) = 3 r(A)=2\quad{\neq}{\quad}r(\overline{A})=3 r(A)=2=r(A)=3

    上述求秩用到以下两个结论:
    1)初等变换不改变矩阵的秩;
    2)阶梯型矩阵的秩等于非零行的行数。

    不难看出,方程组有解分两种情况,即有唯一解和有无穷多解,

    r ( A ) = r ( A ‾ ) r(A)=r(\overline{A}) r(A)=r(A)时,方程组有解
    r ( A ) = r ( A ‾ ) = n r(A)=r(\overline{A})=n r(A)=r(A)=n,有唯一解,
    r ( A ) = r ( A ‾ ) < n r(A)=r(\overline{A})<n r(A)=r(A)<n,有无穷多解。

    r ( A ) ≠ r ( A ‾ ) r(A)\quad{\neq}{\quad}r(\overline{A}) r(A)=r(A)时,方程组无解

    3 使用系数矩阵解方程组的步骤

    在本章中有两个符号比较重要,即 m m m n n n m m m表示方程的个数, n n n表示未知量的个数,
    例如, { x 1 + x 2 − x 3 = 5 x 1 − x 2 + x 3 = 7 \begin{cases}x_1+x_2-x_3=5\\x_1-x_2+x_3=7\end{cases} {x1+x2x3=5x1x2+x3=7
    则: m = 2 , n = 3 m=2,n=3 m=2,n=3

    解题步骤:
    写出增广矩阵 A ‾ \overline{A} A

    只做初等行变换化为阶梯型

    r ( A ) r(A) r(A) r ( A ‾ ) r(\overline{A}) r(A)是否相等
    阶梯型矩阵中,竖线左边非零行的行数 ? = ?= ?=带竖线右边非零行的行数。
    若相等且等于未知量个数,有唯一解;
    若相等且小于未知量个数,有无穷多解;
    若不相等,则无解。

    化为行简化阶梯型矩阵

    例如化为以下矩阵:
    [ 1 0 3 4 5 0 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] \left[\begin{array}{cccc|c}1&0&3&4&5\\0&1&1&1&2\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right] 10000100310041005200

    写出一般解

    首先不用管零行,把非零行的首非零元 1 1 1留在左边,常数项留在右边;
    对于第一行的第一个元素 1 1 1对应该 x 1 x_1 x1,其余列元素移到右边;
    同理,对于第二列第二个元素 1 1 1对应 x 2 x_2 x2,其余元素移动右边。

    即该方程组的一般解为:
    { x 1 = 5 − 3 x 3 − 4 x 4 x 2 = 2 − x 3 − x 4 \begin{cases}x_1=5-3x_3-4x_4\\x_2=2-x_3-x_4\end{cases} {x1=53x34x4x2=2x3x4

    注意:移到右边记得变号。

    4 求解方程组举例

    例1
    1) A ‾ ⟶ ⋯ ⟶ [ 1 − 1 2 − 1 3 0 0 − 5 2 − 6 0 0 0 0 4 ] \overline{A}\longrightarrow\cdots\longrightarrow\left[\begin{array}{cccc|c}1&-1&2&-1&3\\0&0&-5&2&-6\\0&0&0&0&4\end{array}\right] A100100250120364

    因为 r ( A ) = 2 ≠ r ( A ‾ ) = 3 r(A)=2\quad{\color{red}{\neq}}{\quad}r(\overline{A})=3 r(A)=2=r(A)=3,故无解。

    2) A ‾ ⟶ ⋯ ⟶ [ 1 3 − 7 − 8 0 1 − 5 − 7 0 0 1 1 0 0 0 0 ] \overline{A}\longrightarrow\cdots\longrightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1&3&-7&-8\\0&1&-5&-7\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{array}\right] A1000310075108710

    因为, r ( A ) = r ( A ‾ ) = 3 ( 未 知 量 个 数 ) r(A)=r(\overline{A})=3(未知量个数) r(A)=r(A)=3,故有唯一解,

    继续化为行简化阶梯型矩阵,
    ⋯ ⟶ [ 1 0 0 5 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 ] \cdots\longrightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&5\\0&1&0&2\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{array}\right] 1000010000105210

    所以, { x 1 = 5 x 2 = 2 x 3 = 1 \begin{cases}x_1=5\\x_2=2\\x_3=1\end{cases} x1=5x2=2x3=1

    注意:上述方程只有三个未知量,别写出 x 4 x_4 x4来了!

    例2
    A ‾ → 只 做 初 等 行 变 换 化 为 阶 梯 型 [ 1 2 3 1 2 0 3 7 − 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] \overline{A}\xrightarrow[]{只做初等行变换化为阶梯型}\left[\begin{array}{cccc|c}1&2&3&1&2\\0&3&7&-1&3\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right] A 10002300370011002300

    很明显, r ( A ) = r ( A ‾ ) = 2 < 4 ( 未 知 量 个 数 ) r(A)=r(\overline{A})=2<4(未知量个数) r(A)=r(A)=2<4,故有无穷多解,

    → 继 续 化 为 行 简 化 阶 梯 型 [ 1 0 − 5 3 5 5 0 0 1 7 3 − 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] \xrightarrow[]{继续化为行简化阶梯型}\left[\begin{array}{cccc|c}1&0&-\frac{5}{3}&\frac{5}{5}&0\\0&1&\frac{7}{3}&-\frac{1}{3}&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right] 100001003537005531000100

    所以, { x 1 = 5 3 x 3 − 5 3 x 4 x 2 = 1 − 7 3 x 3 + 1 3 x 4 \begin{cases}x_1=\frac{5}{3}x_3-\frac{5}{3}x_4\\x_2=1-\frac{7}{3}x_3+\frac{1}{3}x_4\end{cases} {x1=35x335x4x2=137x3+31x4,其中 x 3 , x 4 x_3,x_4 x3,x4为自由未知量。

    上述解称为一般解,后续还要写出基础解系。该解的方程组称为同解方程组

    使用判断阶梯型矩阵时所用的划折线法判断方程组有无解:若经过竖线时拐弯,则无解,若穿过竖线,则有解。

    有时方程组会感觉比较“别扭”,例如:
    写出 [ 1 0 0 3 4 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] \left[\begin{array}{cccc|c}1&0&0&3&4\\0&1&0&1&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right] 10000100000031004100的同解方程组。
    解: r ( A ) = r ( A ‾ ) = 2 < 4 ( 未 知 量 个 数 ) r(A)=r(\overline{A})=2<4(未知量个数) r(A)=r(A)=2<4,故有无穷多解,
    所以, { x 1 = 4 − 3 x 4 x 2 = 1 − x 4 \begin{cases}x_1=4-3x_4\\x_2=1-x_4\end{cases} {x1=43x4x2=1x4

    x 3 x_3 x3在哪里? x 3 x_3 x3是否是自由未知量? x 3 x_3 x3发生了什么?

    其实上述方程组可以写成:
    { x 1 = 4 + 0 x 3 − 3 x 4 x 2 = 1 + 0 x 3 − x 4 \begin{cases}x_1=4+{\color{red}{0x_3}}-3x_4\\x_2=1+{\color{red}{0x_3}}-x_4\end{cases} {x1=4+0x33x4x2=1+0x3x4

    所以 x 3 , x 4 x_3,x_4 x3,x4都是自由未知量。

    ★ ★ ★ \color{red}{★★★} 例3:当 λ \lambda λ取何值时,线性方程组
    { ( 1 + λ ) x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + ( 1 + λ ) x 2 + x 3 = 3 x 1 + x 2 + ( 1 + λ ) x 3 = λ \begin{cases}(1+\lambda)x_1+x_2+x_3=0\\x_1+(1+\lambda)x_2+x_3=3\\x_1+x_2+(1+\lambda)x_3=\lambda\end{cases} (1+λ)x1+x2+x3=0x1+(1+λ)x2+x3=3x1+x2+(1+λ)x3=λ
    有解?并求其解。

    分析:该类带参数的方程组比较重要!
    在化为阶梯型或行简化阶梯型矩阵时,未讨论 λ \lambda λ是否为 0 0 0前,
    一定不能放在分母上

    解: A ‾ = [ 1 + λ 1 1 0 1 1 + λ 1 3 1 1 1 + λ λ ] \overline{A}=\left[\begin{array}{ccc|c}1+\lambda&1&1&0\\1&1+\lambda&1&3\\1&1&1+\lambda&\lambda\end{array}\right] A=1+λ1111+λ1111+λ03λ

    ⋯ ⟶ [ 1 1 1 + λ λ 0 λ − λ 3 − λ 0 0 − λ ( 3 + λ ) ( 1 − λ ) ( 3 + λ ) ] \cdots\longrightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1+\lambda&\lambda\\0&\lambda&-\lambda&3-\lambda\\0&0&-\lambda(3+\lambda)&(1-\lambda)(3+\lambda)\end{array}\right] 1001λ01+λλλ(3+λ)λ3λ(1λ)(3+λ)

    1)当 λ = 0 \lambda=0 λ=0时, r ( A ) = 1 ≠ r ( A ‾ ) = 2 r(A)=1\quad{\neq}{\quad}r(\overline{A})=2 r(A)=1=r(A)=2,这时原方程组无解;

    2)当 λ ≠ 0 \lambda{\neq}0 λ=0时,且 λ ≠ − 3 \lambda{\neq}-3 λ=3时, r ( A ) = r ( A ‾ ) = 3 r(A)=r(\overline{A})=3 r(A)=r(A)=3,原方程组有唯一解,
    继续化为行简化阶梯型,
    ⋯ ⟶ [ 1 0 0 − 1 λ 0 1 0 2 λ 0 0 1 λ − 1 λ ] \cdots\longrightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&-\frac{1}{\lambda}\\0&1&0&\frac{2}{\lambda}\\0&0&1&\frac{\lambda-1}{\lambda}\end{array}\right] 100010001λ1λ2λλ1

    所以, { x 1 = − 1 λ x 2 = 2 λ x 3 = λ − 1 λ \begin{cases}x_1=-\frac{1}{\lambda}\\x_2=\frac{2}{\lambda}\\x_3=\frac{\lambda-1}{\lambda}\end{cases} x1=λ1x2=λ2x3=λλ1

    3)当 λ = − 3 \lambda=-3 λ=3时, r ( A ) = r ( A ‾ ) = 2 < 3 r(A)=r(\overline{A})=2<3 r(A)=r(A)=2<3,原方程有无穷多解,
    继续化为行简化阶梯型,
    ⋯ ⟶ [ 1 0 − 1 − 1 0 1 − 1 − 2 0 0 0 0 ] \cdots\longrightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&-1\\0&1&-1&-2\\0&0&0&0\end{array}\right] 100010110120

    所以,方程的一般解为, { x 1 = x 3 − 1 x 2 = x 3 − 2 \begin{cases}x_1=x_3-1\\x_2=x_3-2\end{cases} {x1=x31x2=x32,其中 x 3 x_3 x3为自由未知量。

    例4:略。
    例5:带参数的题,也很重要!略。

    5 引用

    《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_4.2 线性方程组有解判定

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  • 线性方程组解的结构与判别

    千次阅读 2019-05-01 19:30:48
    如果线性方程组(齐次的存在非零),则的结构总结如下: 齐次方程组: 使用消元法后,分别对每一个自由变量对应的未知数取1,其他自由变量取对应的未知数0,可以获得齐次方程组的线性无关的特,构成齐次方程...

    在这里插入图片描述
    如果线性方程组有解(齐次的存在非零解),则解的结构总结如下:
    齐次方程组: 使用消元法后,分别对每一个自由变量对应的未知数取1,其他自由变量取对应的未知数0,可以获得齐次方程组的线性无关的特解,构成齐次方程组的基础解系。齐次方程组解的线性组合仍然是齐次方程组的解。
    非齐次方程组: 使用消元法后,令所有的自由变量对应的未知数取0,求解主元变量对应的未知数的值,可以获得一个特解。非齐次方程组的通解是特解加上齐次方程组的线性组合。

    3 解的判定

    齐次线性方程组:
    a11 x1 + a12 x2 + … + a1n x n = 0 ,
    a21 x1 + a22 x2 + … + a2n x n = 0 ,


    as1 x1 + as2 x2 + … + asn x n = 0
    首先需要说明的是齐次线性方程组的解只有两种情况,只有零解和有非零解。 不存在没有解的情况。
    有非零解的充分必要条件是: 它的系数矩阵的秩 r 小于未知量个数 n . 矩阵中的最大的不相关的向量的个数,就叫
    上面的有非零解的条件有很多等价的条件:

    1. 系数矩阵A是非奇异矩阵。有关奇异矩阵的内容参考博客奇异矩阵与非奇异矩阵
    2. 系数矩阵存在线性相关的列。
    3. 使用消元法之后主元的数目小于未知数的数目。

    非齐次线性方程组:
    a11 x1 + a12 x2 + … + a1n x n = 0 ,
    a21 x1 + a22 x2 + … + a2n x n = 0 ,


    as1 x1 + as2 x2 + … + asn x n = 0
    非齐次线性方程组解的情况有三种:无解,唯一解和无穷多解。
    有解的充分必要条件是 : 它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩 . 这有解包含了有无穷多解和唯一解。
    如果系数矩阵与增广矩阵的值相同且等于未知量的个数n则存在唯一解。
    如果系数矩阵与增广矩阵的值相同且小于未知量的个数n则存在无穷多解。
    说明几点可以方便我们理解上面解的情况:
    非齐次线性方程组的形式为:
    A x = b Ax=b Ax=b
    上面式子的意思是求系数x,使得A的各列按照系数线性组合获得b。
    系数矩阵与增广矩阵有相同的秩说明b与A的各列线性相关,b可以由A的各列线性表示,所以存在存在解。
    系数矩阵与增广矩阵的秩不同说明b与A的各列线性无关,b不可以由A的各列线性表示,所以不存在存在解。
    如果系数矩阵与增广矩阵的值相同且等于未知量的个数n 说明A是满秩的(列满秩),A的所有的列线性无关,就是不存在自由变量,b可以由A的各列按照唯一的系数表示,所有存在唯一解。
    如果系数矩阵与增广矩阵的值相同且小于未知量的个数n说明A不是满秩的,就是A的有些列可以用其他列线性表示,就是存在自由变量,自由变量的取值是任意的,所以存在无穷多解。

    参考博客:

    1. 【数学基础】线性方程组解情况整理
    2. 第四节 线性方程组解的结构
    3. 线性方程组 解的判别 与解的结构
    展开全文
  • 线性方程组解的分析:唯一解,无穷多解以及无解

    万次阅读 多人点赞 2018-06-03 16:50:20
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  • 线性方程组解个数的判定和求解

    千次阅读 2021-08-30 16:37:49
    线性方程组解个数的判定和求解 线性方程组解判定 含有 mmm 个方程, nnn 个未知数(unknowns)的线性方程组的一般形式如下: {a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn \left\{ \...
  • n元线性方程组解的情况及判别准则

    千次阅读 2020-10-03 11:51:42
    解线性方程组: {x1+3x2+x3=23x1+4x2+2x3=9−x1−5x2+4x3=102x1+7x2+x3=1 \begin{cases} x_1+3x_2+x_3=2 \\ 3x_1+4x_2+2x_3=9 \\ -x_1-5x_2+4x_3=10\\ 2x_1+7x_2+x_3=1 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​x1​+3x2​+...
  • 4.4非齐次线性方程组解的结构 导出组 首先 Ax = b是一个非齐次线性方程组,若Ax = 0,则叫这个齐次方程组为导出组 性质 若a1,a2是Ax = b的解,则a1 - a2 是Ax = 0的解,即非齐次方程组的解相减得到齐次方程组的解 ...
  • 线性方程组方程组解的结构1 线性方程组2 方程组有解的判定2.1 方程组的向量和矩阵表示2.2 方程组解判定 1 线性方程组 最熟悉的鸡兔同笼的问题,假使鸡兔共八只,腿共20条,请问有多少鸡和兔子? 古人思路: 1)...
  • 有快速做法 只需要判断什么时候有唯一,什么时候无,...=1时,方程有唯一。 当lamda =5时,R(A)= 2时 当lamda=1时,R(A)=1, 显然当lamda=1时,矩阵有无穷多,2x1+2x2+2x3 = 1 ...
  • 【数学基础】线性方程组解情况整理

    万次阅读 多人点赞 2018-08-29 12:15:03
    一、非齐次线性方程组,无,多,唯一 非齐次线性方程组,就是方程组的等式右边不为0的方程组,系数加上方程等式右边的矩阵,叫做增广矩阵。 【例1】求解下列线性方程组 化简后的有效方程组个数小于未知数个...
  • 矩阵知识:线性方程组解的情况

    万次阅读 2020-06-16 07:52:16
    一、线性方程组解的情况 1.1 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组,就是方程组的等式右边不为0的方程组,系数加上方程等式右边的矩阵,叫做增广矩阵 假定对于一个含有n个未知数m个方程的非齐次线性方程组而言,若n<...
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  • 4.1线性方程组 以鸡兔同笼问题为例,对方程组的的过程其实就对应了对矩阵初等行变换的过程,所以我们可以用矩阵记录方程组的信息来简化 4.2 有判定 系数矩阵 方程未知数前的系数拿出来构成矩阵,叫系数矩阵 ...
  • 4.2 线性方程组判断

    千次阅读 2020-01-08 22:38:31
    文章目录系数矩阵、增广系数矩阵、方程组的矩阵与向量表示形式结论判断方程组有无的步骤求线性方程组的一般思路例题参考 系数矩阵、增广系数矩阵、方程组的矩阵与向量表示形式 求解方程组就是对增广矩阵做初等行...
  • 通过若干实例讨论了用线性方程组解决矩阵秩问题的思路与方法。
  • 齐次线性方程组的常数项全部为零,非齐次方程组的常数项不全为零。 2、表达式不同: 齐次线性方程组表达式:Ax=0;非齐次方程组程度常数项不全为零:Ax=b。 齐次线性方程组求解步骤: 1、对系数矩阵A进行初等行...
  • 文章目录两个概念线性方程组解判定用矩阵的初等变换解线性方程组齐次线性方程组的解矩阵与向量向量 线性方程组求解方法1:行列式 线性方程组求解方法2:矩阵的初等变换 线性方程组求解方法3:向量 两个概念 线性...
  • 本文针对传统方法求解模糊方程和模糊线性系统在模糊数运算、隶属函数解析表示、模糊解判定等方面存在的困难,借助模糊结构元理论,相应地提出了一套模糊方程和模糊线性系统的求解方法。首先,利用两个单调函数的自反...
  • 上一篇文章介绍了关于矩阵的秩与线性方程组之间的关系。现在我们可以探究另一个非常重要的概念(行列式)与线性方程组的情况之间的关系。 1 行列式 首先,我们需要了解什么是行列式。 行列式,是一个相对于...
  • 迭代求解线性方程组

    千次阅读 2019-11-18 10:13:26
    对于迭代方法求解线性方程组: 首先系数矩阵A应当是非奇异方阵,这样能够保证AX=b不是超定方程组,且有唯一的非零; 常用的方法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法,超松弛迭代法和共轭梯度迭代法; 对于迭代...
  • 其实,根据线性系统(目前可以理解为多元一次方程组)的特性:加保留,乘保留,可以推导出来若有两个,则经过变换可以得到无数个 下面是向量组的独立与依赖的定义: 若向量组中向量的个数不止一个,那么依赖的...
  • 编写用SOR 方法求解线性方程组Ax=B 的标准程序,并求下列方程组的,并比较松弛因子取 1.0、1.25、1.5时所需迭代的次数。 可取初始向量 (0)(1,1,1)T=x,迭代终止条件(1)()8||||10k k +--≤xx123430243413001424x x ...
  • NumPy线性方程组求解

    千次阅读 2020-12-03 19:46:24
    使用这个模块,我们可以计算逆矩阵、求特征值、解线性方程组以及求解行列式等。9.1 数学概念根据矩阵的乘法,可以将线性方程组写成矩阵形式。1). n元齐次线性方程组 $A_{m\times n}x_n = 0$2). n元非齐次线性方程组 ...
  • 解判定方程步骤:一直化到行简化阶梯型一道题目: 注意:
  • 文章目录MATLAB求解非线性方程组(牛顿拉夫逊方法)Equation.m 函数牛顿拉夫逊方法迭代求解 MATLAB求解非线性方程组(牛顿拉夫逊方法) Equation.m 函数 这个函数用来写非线性方程组,注意整理成标准形式 function ...
  • python实现高斯消元法求线性方程组

    千次阅读 多人点赞 2020-04-17 22:29:33
      数学上,高斯消元法(或译:高斯消去法),是线性代数规划中的一个算法,可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂,不常用于加减消元法,求出矩阵的秩,以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过,如果有过百万条等式时...
  • 迭代法 求解线性方程组 (MATLAB) 统筹了 李庆扬《数值分析》第五版中关于求解Ax=b的四种常用迭代法 一码多用 Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、SSOR四种迭代法 可以自行选择迭代方法,自定义精度,选择收敛判定方案 ...

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线性方程组解的判定

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