定理一

$n$元齐次线性方程组$A_{m\times n}x=0$有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩$R(A)<n$.当$R(A)=n$时(即$A$满秩)，只有零解.

定理二

$n$元非齐次线性方程组$A_{m\times n}x=b$有解的充分必要条件是系数矩阵$A$的秩等于增广矩阵$B=(A,b)$的秩.

小结

$$\begin{gathered} R(A)<R(B)⟺Ax=b无解 \\ R(A)=R(B)=n⟺Ax=b有唯一解 \\ R(A)=R(B)<n⟺Ax=b有无穷多解 \end{gathered}$$

齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；

解法

$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$$
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}l{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]$$

建立增广矩阵：

$$\bar{\mathbf{A}}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{b}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}& b_n\end{array}\right]$$
若能将增广矩阵$\bar{\mathbf{A}}$做初等行变换化为如下形式的梯形矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& & & & {\xi }_1\\ & 1& & & {\xi }_2\\ & & \ddots & & ⋮\\ & & & 1& {\xi }_n\end{array}\right]$$
$$\text{则}{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots {\xi }_n\text{即为方程组的解}$$

本篇笔记首先讨论如何将线性方程组写成矩阵或向量形式，并给出系数矩阵和增广矩阵的概念；然后通过判断系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的关系，讨论方程组有唯一解、有无穷多解还是无解的条件并给出了相关判定；最后总结了通过系数矩阵求解线性方程组的步骤，并通过例子进行了实践。

1 系数矩阵和增广矩阵

假如有如下方程组：
$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=1\\ x_1-x_2-x_3=-3\\ 2x_1+9x_2+10x_3=11\end{array}$，

但这样写太复杂了！所以引入了以下概念：

系数矩阵：将上述方程组的未知数系数写成矩阵，
$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& -1\\ 2& 9& 10\end{array}\right]$，

增广矩阵：将方程组未知数系统和常数项写成矩阵，
$\overline{A}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& -1& -3\\ 2& 9& 10& 11\end{array}\right]$，

也可以写成向量形式，
$x_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 9\end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 11\end{array}\right)$，即
$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3=\beta$，

注意：
在写方程时，系数写在前面，未知数写在后面；
但写向量时，一般未知数写在前前，而向量写在后面。

2 方程组有无解的判定

前面已经知道，用消元法解方程组，其实相当于对矩阵做初等行变换。

① 假设化成了如下矩阵：
$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right]$，

所以，$\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_2=2\\ x_3=3\end{array}$，即有唯一解，

很显明：$r(A)=r(\overline{A})=3（未知量个数）$。

② 假设化成了如下矩阵：
$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 5\\ 0& 1& 1& 9\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$，

所以，$\{\begin{array}{l}{x}_1=5-x_3\\ x_2=9-x_3\end{array}$，
此时，当$x_3$取不同的值时，得到不同的$x_1$和$x_2$，即有无穷多解，

这种情况下，$r(A)=r(\overline{A})=2<3（未知量个数）$。

③ 假设化成了如下矩阵：
$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 3\\ 0& 1& 0& 4\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$，

对应方程组为：
$\{\begin{array}{llccccc}{x}_1& & & & x_3& =& 3\\ & & x_2& & & =& 4\\ & & & & 0& =& 1\end{array}$，

所以方程组无解，

此时，$r(A)=2\ne r(\overline{A})=3$。

上述求秩用到以下两个结论：
1）初等变换不改变矩阵的秩；
2）阶梯型矩阵的秩等于非零行的行数。

不难看出，方程组有解分两种情况，即有唯一解和有无穷多解，

① 当$r(A)=r(\overline{A})$时，方程组有解；
$r(A)=r(\overline{A})=n$，有唯一解，
$r(A)=r(\overline{A})<n$，有无穷多解。

② 当$r(A)\ne r(\overline{A})$时，方程组无解。

3 使用系数矩阵解方程组的步骤

在本章中有两个符号比较重要，即$m$和$n$，$m$表示方程的个数，$n$表示未知量的个数，
例如，$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-x_3=5\\ x_1-x_2+x_3=7\end{array}$，
则：$m=2,n=3$。

解题步骤：
① 写出增广矩阵$\overline{A}$；

② 只做初等行变换化为阶梯型；

③ 看$r(A)$和$r(\overline{A})$是否相等；
阶梯型矩阵中，竖线左边非零行的行数$?=$带竖线右边非零行的行数。
若相等且等于未知量个数，有唯一解；
若相等且小于未知量个数，有无穷多解；
若不相等，则无解。

④ 化为行简化阶梯型矩阵。

例如化为以下矩阵：
$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& 4& 5\\ 0& 1& 1& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$，

⑤ 写出一般解

首先不用管零行，把非零行的首非零元$1$留在左边，常数项留在右边；
对于第一行的第一个元素$1$对应该$x_1$，其余列元素移到右边；
同理，对于第二列第二个元素$1$对应$x_2$，其余元素移动右边。

即该方程组的一般解为：
$\{\begin{array}{l}{x}_1=5-3x_3-4x_4\\ x_2=2-x_3-x_4\end{array}$，

注意：移到右边记得变号。

4 求解方程组举例

例1：
1）$\overline{A}⟶\cdots ⟶\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& -1& 3\\ 0& 0& -5& 2& -6\\ 0& 0& 0& 0& 4\end{array}\right]$，

因为$r(A)=2\ne r(\overline{A})=3$，故无解。

2）$\overline{A}⟶\cdots ⟶\left[\begin{array}{cccc}1& 3& -7& -8\\ 0& 1& -5& -7\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$，

因为，$r(A)=r(\overline{A})=3（未知量个数）$，故有唯一解，

继续化为行简化阶梯型矩阵，
$\cdots ⟶\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 5\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$，

所以，$\{\begin{array}{l}{x}_1=5\\ x_2=2\\ x_3=1\end{array}$，

注意：上述方程只有三个未知量，别写出$x_4$来了！

例2：
$\overline{A}\stackrel{只做初等行变换化为阶梯型}{\to }\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 1& 2\\ 0& 3& 7& -1& 3\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$，

很明显，$r(A)=r(\overline{A})=2<4（未知量个数）$，故有无穷多解，

$\stackrel{继续化为行简化阶梯型}{\to }\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& -\frac{5}{3}& \frac{5}{5}& 0\\ 0& 1& \frac{7}{3}& -\frac{1}{3}& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$，

所以，$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{5}{3}{x}_3-\frac{5}{3}{x}_4\\ x_2=1-\frac{7}{3}{x}_3+\frac{1}{3}{x}_4\end{array}$，其中$x_3,x_4$为自由未知量。

上述解称为一般解，后续还要写出基础解系。该解的方程组称为同解方程组。

使用判断阶梯型矩阵时所用的划折线法判断方程组有无解：若经过竖线时拐弯，则无解，若穿过竖线，则有解。

有时方程组会感觉比较“别扭”，例如：
写出$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 3& 4\\ 0& 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$的同解方程组。
解：$r(A)=r(\overline{A})=2<4（未知量个数）$，故有无穷多解，
所以，$\{\begin{array}{l}{x}_1=4-3x_4\\ x_2=1-x_4\end{array}$

$x_3$在哪里？$x_3$是否是自由未知量？$x_3$发生了什么？

其实上述方程组可以写成：
$\{\begin{array}{l}{x}_1=4+0x_3-3x_4\\ x_2=1+0x_3-x_4\end{array}$，

所以$x_3,x_4$都是自由未知量。

$★★★$ 例3：当$\lambda$取何值时，线性方程组
$\{\begin{array}{l}(1+\lambda )x_1+x_2+x_3=0\\ x_1+(1+\lambda )x_2+x_3=3\\ x_1+x_2+(1+\lambda )x_3=\lambda \end{array}$，
有解？并求其解。

分析：该类带参数的方程组比较重要！
在化为阶梯型或行简化阶梯型矩阵时，未讨论$\lambda$是否为$0$前，
一定不能放在分母上！

解：$\overline{A}=\left[\begin{array}{cccc}1+\lambda & 1& 1& 0\\ 1& 1+\lambda & 1& 3\\ 1& 1& 1+\lambda & \lambda \end{array}\right]$，

$\cdots ⟶\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1+\lambda & \lambda \\ 0& \lambda & -\lambda & 3-\lambda \\ 0& 0& -\lambda (3+\lambda )& (1-\lambda )(3+\lambda )\end{array}\right]$

1）当$\lambda =0$时，$r(A)=1\ne r(\overline{A})=2$，这时原方程组无解；

2）当$\lambda \ne 0$时，且$\lambda \ne -3$时，$r(A)=r(\overline{A})=3$，原方程组有唯一解，
继续化为行简化阶梯型，
$\cdots ⟶\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{1}{\lambda }\\ 0& 1& 0& \frac{2}{\lambda }\\ 0& 0& 1& \frac{\lambda -1}{\lambda }\end{array}\right]$，

所以，$\{\begin{array}{l}{x}_1=-\frac{1}{\lambda }\\ x_2=\frac{2}{\lambda }\\ x_3=\frac{\lambda -1}{\lambda }\end{array}$，

3）当$\lambda =-3$时，$r(A)=r(\overline{A})=2<3$，原方程有无穷多解，
继续化为行简化阶梯型，
$\cdots ⟶\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& -1\\ 0& 1& -1& -2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$，

所以，方程的一般解为，$\{\begin{array}{l}{x}_1=x_3-1\\ x_2=x_3-2\end{array}$，其中$x_3$为自由未知量。

例4：略。
例5：带参数的题，也很重要！略。

5 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_4.2 线性方程组有解判定

如果线性方程组有解(齐次的存在非零解),则解的结构总结如下：
齐次方程组： 使用消元法后，分别对每一个自由变量对应的未知数取1，其他自由变量取对应的未知数0，可以获得齐次方程组的线性无关的特解，构成齐次方程组的基础解系。齐次方程组解的线性组合仍然是齐次方程组的解。
非齐次方程组： 使用消元法后，令所有的自由变量对应的未知数取0，求解主元变量对应的未知数的值，可以获得一个特解。非齐次方程组的通解是特解加上齐次方程组的线性组合。

3 解的判定

齐次线性方程组：
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n x n = 0 ,
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n x n = 0 ,

…
as1 x1 + as2 x2 + … + asn x n = 0
首先需要说明的是齐次线性方程组的解只有两种情况，只有零解和有非零解。 不存在没有解的情况。
有非零解的充分必要条件是: 它的系数矩阵的秩 r 小于未知量个数 n . 矩阵中的最大的不相关的向量的个数，就叫秩。
上面的有非零解的条件有很多等价的条件：

1. 系数矩阵A是非奇异矩阵。有关奇异矩阵的内容参考博客奇异矩阵与非奇异矩阵。
2. 系数矩阵存在线性相关的列。
3. 使用消元法之后主元的数目小于未知数的数目。

非齐次线性方程组：
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n x n = 0 ,
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n x n = 0 ,

…
as1 x1 + as2 x2 + … + asn x n = 0
非齐次线性方程组解的情况有三种：无解，唯一解和无穷多解。
有解的充分必要条件是 : 它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩 . 这有解包含了有无穷多解和唯一解。
如果系数矩阵与增广矩阵的值相同且等于未知量的个数n则存在唯一解。
如果系数矩阵与增广矩阵的值相同且小于未知量的个数n则存在无穷多解。
说明几点可以方便我们理解上面解的情况：
非齐次线性方程组的形式为：
$$Ax=b$$
上面式子的意思是求系数x，使得A的各列按照系数线性组合获得b。
系数矩阵与增广矩阵有相同的秩说明b与A的各列线性相关，b可以由A的各列线性表示，所以存在存在解。
系数矩阵与增广矩阵的秩不同说明b与A的各列线性无关，b不可以由A的各列线性表示，所以不存在存在解。
如果系数矩阵与增广矩阵的值相同且等于未知量的个数n 说明A是满秩的（列满秩），A的所有的列线性无关，就是不存在自由变量，b可以由A的各列按照唯一的系数表示，所有存在唯一解。
如果系数矩阵与增广矩阵的值相同且小于未知量的个数n说明A不是满秩的，就是A的有些列可以用其他列线性表示，就是存在自由变量，自由变量的取值是任意的，所以存在无穷多解。

参考博客：

1. 【数学基础】线性方程组解情况整理
2. 第四节 线性方程组解的结构
3. 线性方程组 解的判别 与解的结构