精华内容
下载资源
问答
  • 叉乘 线性代数
    千次阅读
    2018-11-21 10:47:24

    一、向量的点积

    首先,我们知道向量的点积公式定义:

    \small x\cdot y=\sum x_{i}y_i                      (1)

    但是当学过内积之后,我们对其又有了新的表述形式

    \small <x,y>=x\cdot y=\sum x_{i}y_i=|x||y|cos\theta                (2)

    我们来看定义(2),一个那么美妙的式子。在图中去理解好像更容易一些:

    这不就是相当于x向量的长度乘以y向量在x方向上投影的长度吗。

    二、向量的叉积

    同样,我们来看下叉积的定义:

    \small \overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & x_{1} & y_{1}\\ \overrightarrow{j} & x_{2} & y_{3}\\ \overrightarrow{k} & x_{3}&y_{3} \end{vmatrix} =\overrightarrow{i}(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})+\overrightarrow{j}(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1})+\overrightarrow{k}(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})     (3)

    这是一个新的向量,并且这个向量垂直于原来两向量张成的空间。

    接下来,我们再用一个新的定义与之对比:

    \small |\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}| =|x||y|sin\theta  (4)

    用(4)和(2)对比一下,是不是很相似。但是我们来看,新向量的长度不就是等于原向量围成的面积吗。

    更多相关内容
  • 线性代数-向量叉乘意义

    千次阅读 2021-08-23 15:21:31
    **这里我们要解释向量之间叉乘的本质意义 首先来了解下 行列式 这是由基向量iii、jjj为边,形成的四边形区域,面积为S1 = 1 有一个矩阵m=[3002]\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}[30​02​]...

    这里我们要解释向量叉乘的本质意义
    首先来了解下 行列式
    在这里插入图片描述
    这是由基向量 i i i j j j为边,形成的四边形区域,面积为S1 = 1
    在这里插入图片描述
    有一个矩阵m= [ 3 0 0 2 ] \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} [3002], 将 i i i缩放3倍, j j j缩放2倍,面积缩放了6倍

    在这里插入图片描述
    现在有一个矩阵 m = [ x 1 x 2 y 1 y 2 ] \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{bmatrix} [x1y1x2y2] ,原单位为1的面积经过变化后应该是什么?
    由上图可以看出平行四边形面积:S = | b b b|*h
    将向量b旋转90度后得到向量 b 2 b_2 b2 = ( − y 2 , x 2 ) (-y_2,x_2) (y2,x2),这个很容易推导, b 2 b_2 b2的单位向量为 b 2 ∣ b 2 ∣ \dfrac{b_2}{|b_2|} b2b2
    向量 a a a b 2 b_2 b2上单位向量上的投影 h2 = a a a· b 2 ∣ b 2 ∣ \dfrac{b_2}{|b_2|} b2b2
    所以S = | b b b|h = | b b b| a a a· b 2 ∣ b 2 ∣ \dfrac{b_2}{|b_2|} b2b2 = a a a· b 2 b_2 b2 = ( x 1 , y 1 ) ⋅ ( − y 2 , x 2 ) (x_1,y_1)·(-y_2,x_2) (x1,y1)(y2,x2) = x 1 y 2 − x 2 y 1 x_1y_2-x_2y_1 x1y2x2y1
    这个缩放值就是矩阵m的行列式,它是个标量,记为: det ⁡ ( m ) = ∣ x 1 x 2 y 1 y 2 ∣ = x 1 y 2 − x 2 y 1 \det(m) = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix}= x_1y_2-x_2y_1 det(m)=x1y1x2y2=x1y2x2y1

    这个结果可能为负,遵守右手法则,这里表示为有向面积
    接下来看三维向量
    这是由三个基向量构成的立方体,体积为1
    在这里插入图片描述
    这是由 a , b , c a,b,c a,b,c三个向量构成的平行六面体
    在这里插入图片描述
    参照二维向量,那三维向量的行列式表示对基向量构成体积为1的立方体的缩放
    V = ∣ x a x b x c y a y b y c z a z b z c ∣ \begin{vmatrix} x_a & x_b & x_c\\ y_a & y_b & y_c\\ z_a & z_b & z_c \end{vmatrix} xayazaxbybzbxcyczc

    说了这么多,那向量叉乘跟这个有什么关系呢?

    假设bc所在平面的单位法向量是 n n n

    bc构成的平行四边形面积为S_bc
    那么这个平行六面体的体积也可以表示为 V = S_bc * h = S_bc* a ⋅ n a·n an
    现在假设有一向量p = k n kn kn, p·a = |p|* a ⋅ n a·n an
    那么如果|p|刚好等于S_bc时,V = p ⋅ a p·a pa,那么这个p的坐标应该是什么呢?

    p ⋅ a p·a pa = x p x a + y p y a + z p z a x_px_a + y_py_a + z_pz_a xpxa+ypya+zpza
    ∣ x a x b x c y a y b y c z a z b z c ∣ \begin{vmatrix} x_a & x_b & x_c\\ y_a & y_b & y_c\\ z_a & z_b & z_c \end{vmatrix} xayazaxbybzbxcyczc = x a x_a xa ∣ y b y c z b z c ∣ \begin{vmatrix} y_b & y_c\\ z_b & z_c \end{vmatrix} ybzbyczc+ y a y_a ya ∣ x b x c z b z c ∣ \begin{vmatrix} x_b & x_c\\ z_b & z_c \end{vmatrix} xbzbxczc+ z a z_a za ∣ x b x c y b y c ∣ \begin{vmatrix} x_b & x_c\\ y_b & y_c \end{vmatrix} xbybxcyc = x a ( y b z c − y c z b ) x_a(y_bz_c-y_cz_b) xa(ybzcyczb) + y a ( x b z c − x c z b ) y_a(x_bz_c-x_cz_b) ya(xbzcxczb) + z a ( x b y c − x c y b ) z_a(x_by_c-x_cy_b) za(xbycxcyb)

    得出:
    p x = y b z c − y c z b p_x = y_bz_c-y_cz_b px=ybzcyczb
    p y = x b z c − x c z b p_y =x_bz_c-x_cz_b py=xbzcxczb
    p z = x b y c − x c y b p_z =x_by_c-x_cy_b pz=xbycxcyb

    a当做一个变量,随便a如何变化,a和p点乘的结果都等于a、b、c三个向量组成的行列式
    这个向量p就是叉乘的结果,它的方向和大小等于bc构成平行四边形的有向面积

    将上面的二维扩展到三维,同样适用

    ∣ x b x c y b y c 0 0 ∣ \begin{vmatrix} x_b & x_c\\ y_b & y_c\\ 0 & 0 \end{vmatrix} xbyb0xcyc0 = x b y c − x c y b x_by_c-x_cy_b xbycxcyb, p向量为:(0,0, x b y c − x c y b x_by_c-x_cy_b xbycxcyb)

    总结:
    a、b两个向量的叉乘,结果是一个向量p,该向量的长度是a、b围成的平行四边形有向面积的绝对值,方向遵守右手法则

    任意一个向量 u, u·p = ∣ u a b ∣ \begin{vmatrix} u& a&b \end{vmatrix} uab
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 什么是叉积向量的叉积也叫外积、向量积、叉乘或矢量积。两个向量的叉积是这样表示的: ,这种乘法的计算结果是另一个矢量 ,这个矢量 的大小等于原来两个矢量的大小的乘积再乘以两个矢量夹角 (小于180度)的「正弦」...

    什么是叉积

    向量的叉积也叫外积、向量积、叉乘或矢量积。两个向量的叉积是这样表示的:

    equation?tex=%5Cvec%7Bc%7D%3D%5Cvec%7Ba%7D%5Ctimes%5Cvec%7Bb%7D ,这种乘法的计算结果是另一个矢量

    equation?tex=%5Cvec%7Bc%7D ,这个矢量

    equation?tex=%5Cvec%7Bc%7D 的大小等于原来两个矢量的大小的乘积再乘以两个矢量夹角

    equation?tex=%5Ctheta (小于180度)的「正弦」:

    equation?tex=%7C%5Cvec%7Bc%7D%7C%3D%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C%5Csin%5Ctheta

    在二维空间内,向量

    equation?tex=A+%3D+%3Ca_1%2C+a_2%3E%EF%BC%8CB+%3D+%3Cb_1%2C+b_2%3E

    其几何意义就是以两个向量为边的平行四边形的面积,这在上篇文章中给出了详细说明。

    此外,叉积也适用于两个在三维空间内的向量。在三维空间内,向量

    equation?tex=A+%3D+%3Ca_1%2C+a_2%2C+a_3%3E%EF%BC%8CB+%3D+%3Cb_1%2C+b_2%2C+b_3%3E%EF%BC%8CC+%3D+%3Cc_1%2C+c_2%2C+c_3%3E

    i, j, k是三个维度中每个维度的单位向量,有点像三阶行列式,但并不是常理上的行列式,因为行列式不会出现向量,这里仅仅是为了便于表达和记忆。

      从上面的描述中可以看出,叉积得到的是一个向量,而不是一个数字,也因此,A×B和B×A并不等同,实际上,

    叉积的几何意义

    向量的两个要素是模长和方向,让我们从这两个角度考虑叉积的几何意义。

      在模长上,叉积的几何意义是以两个向量为边的平行四边形的面积:

    两个相同向量的叉积是0,

    如果用几何意义解释,二者构成一条线段,线段的面积是0。

      在方向上,叉积垂直于平行四边形所在的平面:

    由于叉积存在负值,所以垂直的方向可能向上或向下,具体方向根据右手法则判断。

    右手法则很有意思,首先要保持拇指朝上,然后其他四指指向叉积的第一个向量

    equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D,向内弯曲(以小于180度的角度)四指指向另一个向量

    equation?tex=%5Cvec%7Bb%7D。如果两个向量的方向能符合这个手势,此时拇指的方向就是叉积

    equation?tex=%5Cvec%7Bc%7D 的方向;如果必须向外弯曲四指,拇指的反方向是叉积的方向。总之,最终能够以一个舒服的方向竖起拇指就对了。

    叉积的作用

    计算平行六面体的体积

    所谓平行六面体,就是六面体的每个面都是平行四边形,如下图所示:

    向量H是垂直于底面的向量,|H|是六面体的高,可看作向量A在H方向上的分量,分量可以用点积表示,这在上一篇中叙述过。如果令u是H方向的单位向量:

    判断点是否在同一平面

    空间内的三点可以确定一个平面,

    equation?tex=P_1%EF%BC%8CP_2%EF%BC%8CP_3 是空间中的三个点,另有一点P,如何判断P是否在平面内?P是否在P1,P2,P3组成的平面内?

    可以借助向量通过上一节中平行六面体体积的知识判断,如下图所示:

    这样形成了三个向量,

    equation?tex=%7CP_1P_3%C3%97P_1P_2%7C+ 是这两个向量围成的平行四边形的面积,

    equation?tex=P_1P%C2%B7%7CP_1P_3%C3%97P_1P_2%7C+ 表示平行六面体的体积,如果体积是0,那么P就在平面内。

    计算法向量

    也可以用另一种方法求解上面的问题,这需要法向量的帮助。一个与平面垂直的向量称为该平面的法向量,一个平面有无数条法向量,法向量与一个常数的乘积还是法向量。

    N是平面的法向量,如果

    equation?tex=N%E2%8A%A5P_1P ,则P在平面内。根据点积的知识,

    equation?tex=N%C2%B7P_1P+%3D+0 ,则

    equation?tex=N%E2%8A%A5P_1P 。如何计算N呢?实际上,N就是

    equation?tex=P_1P_3%E4%B8%8EP_1P_2 的叉积。

    如果P在平面内,则体积 =

    equation?tex=+P_1P%C2%B7%EF%BC%88P_1P_3%C3%97P_1P_2%EF%BC%89%3D+0 ;由于

    equation?tex=N%E2%8A%A5P_1P

    equation?tex=N%C2%B7P_1P+%3D+0 ,结合二者:

    equation?tex=P_1P%C2%B7%EF%BC%88P_1P_3%C3%97P_1P_2%EF%BC%89%3D+P_1P%C2%B7+N+%3D+0%5C%5C+%5CRightarrow+N+%3D+P_1P_3%C3%97P_1P_2%5C%5C

    示例

    示例1

    平行六面体是三条边是三个向量<2, 2, 0>,<1, 0, 1>,<0, 1, 1>,求该六面体的体积。

      很明显是相交于<0, 0, 0>的三个向量,设三个向量分别是A,B,C

    体积是4

    示例2

    计算三个点围成的三角形的面积,

    equation?tex=P_1%28-1%2C+0+%2C+1%29%EF%BC%8CP_2%280%2C+2%2C+2%29%EF%BC%8CP_3%280%2C+-1%2C+2%29

      使用叉积很容易计算,需要注意的是,点积和叉乘仅对向量有意义,对点来说则毫无用处,所以首先需要将点转换为向量。

    展开全文
  • 原文https://blog.csdn.net/hc14519/article/details/50716299 其实这篇文章主要讨论为何向量叉积这样定义,标题是为了吸引人,让更多有同样疑惑的人搜到。 记得上大学时的第一节课是《空间解析几何...

    原文

    https://blog.csdn.net/hc14519/article/details/50716299

    其实这篇文章主要讨论为何向量叉积这样定义,标题是为了吸引人,让更多有同样疑惑的人搜到。
    记得上大学时的第一节课是《空间解析几何》,和大多数的教材一样,开篇就是向量点积和叉积的定义。点积的定义很好理解 ,a·b(为了讨论方便,之后都假设b为单位向量)可以看成向量a在向量b方向上的投影长度。
    图1
    (图1)

    叉积的定义就比较奇怪了,按理说a·b是a在平行于b方向上的分量上的长度,相应的a×b应该是a在垂直b方向上的分量的长度,也就是上图中虚线部分。然而a×b被定义成了一个向量,方向垂直于oab平面(在这里,如果用右手法则的话,垂直纸面向里)。将叉积定义为向量还好理解,这个奇怪的方向是什么鬼?

    闲话少说,先上结论:为了满足乘法交换律
    乘法的三大运算定律:
    1.乘法分配律
    两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,和不变。
    (a+b)×c =a×c+b×c
    2.乘法结合律
    三个数相乘,先把前两个数相乘,再和另外一个数相乘,或先把后两个数相乘,再和另外一个数相乘,积不变。
    a×b×c=a×(b×c)
    3.乘法交换律
    乘法交换律是两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。
    a×b=b×a
    点积和叉积作为我们定义的乘法,要尽量满足这三个运算定律。所谓尽量满足,就是说不做强制要求,三个满足不了就先满足两个,两个满足不了就先满足一个,一个都满足不了还是不要叫他乘法了,换个名字吧。当然满足得越多越好,实在满足不了,近似满足也可以接受。

    下面分别来检验点积和叉积是否满足乘法运算定律。由于结合律作用不大,应用的也比较少,这里暂时不做检验,只检验分配律和交换律。

    点积a·b

    这里写图片描述
    (图2)

    向量a分解成了两个向量a1和a2,a=a1+a2
    a·b=OX2的长度(假设b为单位向量)
    a1·b=OX1的长度
    a2·b=X1X2的长度
    明显 OX2的长度 = OX1的长度+X1X2的长度
    亦即 a·b=a1·b+a2·b 分配律成立
    再来看看交换律
    按点积的定义a·b = a的长度×b的长度×cos(a和b的夹角)
    b·a = b的长度×a的长度×cos(b和a的夹角)
    都是数值的运算 所以a·b=b·a 交换律成立
    然而点积也有一点不合理之处,两个向量的点积结果是一个标量,方向丢掉了。假如我们把点积的结果定义为一个向量是不是可以呢?反正定义都是人为的,我们重新定义点积也未尝不可。好,我们就把a·b 定义为一个向量,大小和之前一样,是a的长度×b的长度×cos(a和b的夹角),方向是b的方向,也就是a在b方向上的水平分量,对应上图中的向量OX2。
    按照新定义的点积
    a·b=向量OX2
    a1·b =向量OX1
    a2·b =向量X1X2
    向量OX2=向量OX1+向量X1X2,
    所以按新定义的点积,分配律是成立的
    我们再来看看交换律
    这里写图片描述
    (图3)

    按我们定义的点积a·b的朝向是b方向,b·a的朝向是a方向,两个点积的方向不同,交换律不成立。这就是将点积定义为标量而不是向量的原因,也可以说点积为了满足交换律放弃了结果的方向。

    叉积a×b

    同样的我们来重新定义叉积,将叉积a×b定义为a在b的垂直方向上的分量,接着和点积一样去掉方向将结果定义为标量,看下图
    这里写图片描述
    (图4)

    a×b = y0y2的长度,
    a1×b = y0y1的长度,
    a2×b = y1y2的长度,
    和点积的情况是一样的,满足分配律也满足交换律,完美。
    但是我们这里都是在二维的情况下来考量的,我们来看看三维空间下是什么情况:
    这里写图片描述
    (图5)

    向量a分解为两个向量OA1和A1A2(A1和A2分别是向量a1,a2的顶点,图上未画出来),p1和p2是垂直于b的平面,虚线部分的长度就是我们定义的叉积a1×b
    这里写图片描述
    (图6)

    上图虚线部分的长度就是我们定义的叉积a2×b
    我们将p1,p2平面合到一起
    这里写图片描述
    (图7)

    从前两图的视线方向看,就是下面的效果:
    这里写图片描述
    (图8)

    这里为了画图方便,选择了两个比较极端的分量a1,a2。
    从上面的最后一张图上看,虚线部分的长度之和明显大于实线部分的长度(也就是a×b ),新定义的叉积不满足分配律。
    仔细看上图,三条线段组成了一个闭合的三角形,将每一个线段看成一个向量:
    这里写图片描述
    (图9)

    则a×b = a1×b + a2×b,也就是说我们修改下定义,把叉积定义为一个向量就能满足分配律了。

    再来看交换律,回头看图(3),按我们现在的定义a×b 和b×a 分别垂直b和a,方向不一致,不满足交换律。
    这时候如果我们修改定义将a×b绕着b轴按左手法则旋转90度,这时a×b垂直a,b所在平面,如下图左半部分
    这里写图片描述
    (图10)
    当然按右手法则旋转也是可以的,这里主要是为了和书本上的定义一致。
    同时我们对b×a进行同样的操作,看图(10)右半部分。我们看到a×b和b×a都垂直于平面,在一条直线上,但是方向相反(大小相等我们就不做过多解释了),即:
    a×b = -b×a
    近似满足了乘法交换律,只要我们能够接受这个多出来的负号。

    那么问题来了,跟挖掘机技术无关,修改过定义以后的叉积还满足分配律吗?
    答案是肯定的。看图(9),a×b,a1×b,a2×b三个向量是未做旋转前的叉积向量,这时的b轴垂直纸面朝里,这三个向量在一个平面上,且这个平面垂直于b轴。
    我们对图(9)稍作修改
    这里写图片描述
    图(11)
    将a2×b移至和b轴相交处,将整个平行四边形逆时针旋转90度,a×b,a1×b,a2×b都旋转了90度,平行四边形的形状没有发生改变,
    a×b = a1×b + a2×b
    仍然成立。

    另外,之前点积也是在二维的情况下讨论的,在三维空间下还满足乘法分配律和交换律吗?
    这个问题就留给聪明的你了。


    展开全文
  • 本文主要介绍一些图形学相关的线性代数技术知识, 这方面的知识现在自己多数都还给老师了, 工作中需要再来捡一波吧。
  • 此时原本(i j k)组成的体积为1的正方体就被变换到以a b c为三条临边组成的平行六面体 它的行列式是描述这一变换导致的体积缩放的程度的,几何和代数上都可以证明就是,这个平行六面体的体积(证明会很麻烦,略) ...
  • 线性代数笔记4——向量3(叉积)

    万次阅读 多人点赞 2018-01-05 13:52:16
     向量的叉积也叫外积、向量积、叉乘或矢量积。两个向量的叉积是这样表示的:    在二维空间内,向量A = 1, a2>,B = 1, b2>    其几何意义就是以两个向量为边的平行四边形的面积,这在上篇文章中给出了...
  • 线性代数的本质

    2022-05-13 20:11:24
    线性代数的本质 将只停留在数值运算和公式的线性代数推进到可视化几何直观(Visual Geometric Intuition)的理解领悟上,本文为https://www.3blue1brown.com/的学习笔记。 1.向量究竟是什么 线性代数中最基础,最...
  • 本部分主要介绍了向量的点乘与叉乘在图形学中的基本应用,介绍了图形学中常用的2D矩阵变换,例如缩放、对称、切变换、旋转、平移、逆变换、组合变换和分解变换。还有在图形学中为了简化操作而采取的添加维度的方法。
  • 更进一步,两个向量点乘,就是将其中一个向量转化为线性变换。 把向量看作线性变换的物质载体,会更容易理解向量。向量仿佛是一个特定变换的概念性记号。对一般人类来说,想象空间中的向量比想象这个空间移动到数轴...
  • 线性代数】矩阵及其运算

    千次阅读 2021-09-04 16:26:06
    线性代数:向量,矩阵,矩阵运算,线性方程组
  • 线性代数有什么用? 用于求解线性问题(即求解线性方程中的未知数)。如:化学方程式中的系数,杠杆平衡。怎么求解?答:用高斯消元法。什么是高斯消元法?高中教的解方程的那种方法就是消元法。任何计算机都是这么...
  • 代数中,向量的叉乘表达式为: a ⃗ × b ⃗ = ( y a z b − y b z a z a x b − x a z b x a y b − y a x b ) \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} y_az_b - y_bz_a \\ z_ax_b - x_az_b \\ x_ay_b - y_ax...
  • 线性代数【19】叉积

    千次阅读 2021-12-07 16:30:07
    1 标准的定义: 1.1 两个向量,他们围成平行...(30条消息) 线性代数【16】再从向量空间理解行列式和重要的右手原则_山云的专栏-CSDN博客 2.2 行列式的计算值如何和叉积对应起来: 2.2.1 绝对值: 叉积就是计算这...
  • 机器学习常用「线性代数」知识速查手册.pdf
  • 前言:这是学校多元统计分析课程布置的实验(包括基于python的线性代数运算、线性回归分析实验、聚类分析、因子分析和主成分分析),这里分享出来,注解标注的比较全,供大家参考。 使用Python语言开发完成以下运算...
  • 线性代数的本质——学习笔记 该课程为b站上,3Blue1Brown大佬出的一系列线代视频。花了几天时间好好消化了一下,受益匪浅。欢迎各位没看懂视频的老哥过来看看我的理解,有什么错误也希望能指出,非常感谢。 1-向量...
  • 图片及部分内容引用自:3blue1...一旦知道他是线性,我们就可以用矩阵乘法来表示他:而对偶性的思路,从多维空间到一维空间变换特别之处,就是我么可以把向量“立起来‘,并把他看作点积,像这样:这个P就是我们...
  • 机器学习中的数学:线性代数

    千次阅读 2019-11-13 23:30:01
    围绕主要脉络,贯穿整个学科:紧紧围绕空间变换这个线性代数的主要脉络,深刻理解如何用空间表示数据、用空间处理数据、用空间优化数据,用一条线索贯穿整个学科的主干内容。 聚焦四大纬度,筑牢知识体系:从构筑...
  • 线性代数与空间解析几何典型题解析:向量的叉乘满足()。【单选题】A:B:C:D:线性代数与空间解析几何典型题解析章节测试答案:对更多相关问题2020年_石油化学_知到_网课答案知到国际经济学(二期)章节测试答案书法概论_...
  • 1.非齐次线性方程组有解充要条件的几何解释(R(A)=R(B) ) 如果a的秩小于n,说明经该矩阵变化后的解向量空间少了一个纬度,比如二维的就变成了一条线。此时,ax的x向量都会被压缩在直线上,在这条直线上的向量都与a...
  • 本文对应线性代数目录下的第一章 1.线性方程Ax=b和代数解法 1.1 线性方程和其描述 线性代数说到底还是在研究线性关系。 1.1.1 线性方程介绍 线性方程可以表示成如下形式: a1x1+a2x2=b1a3x1+a4x2=b2...an−1x1+anx2=...
  • 线性代数复习

    千次阅读 2022-05-06 21:16:25
    线性代数复习——定义、定理、推论汇总 本博客主要根据教材《线性代数与解析几何》,代万基编写,对课本上概念等进行简单罗列,融合了一些个人理解,以供复习。 第1章 矩阵及其初等变换 本章内容:矩阵及其运算,...
  • 学习目标:计算机图形学涉及的线性代数 1. 图形学依赖的数学知识: 线性代数,微积分,统计 图形学依赖的物理学知识: 光学和力学 波动光学 信号处理 数值分析 美学 学习内容: 提示:这里可以添加要学的...
  • 所以才有上节的单位向量等式: 相关符号表示请参考《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/112410587 人工智能数学基础-线性代数1:向量的定义及向量加减法》的介绍。 注意:该定义只对二维和三维...
  • 01:向量究竟是什么? 从物理专业学生视角看,向量是空间中的箭头,向量可在空间中自由落脚,决定向量的是它的长度和所指的方向。 从计算机专业学生的视角看,向量是有序的数字列表,例如...而在线性代数中,当我们说一
  • 【余子矩阵】: n阶方阵A的余子矩阵是指将A的(i, j)代数余子式摆在第i行第j列所得到的矩阵,记为C。 Cij = (−1)^(i + j) Mij 【伴随矩阵】:上述余子矩阵C的转置矩阵,称为n阶方阵A的伴随矩阵。记作A*。 ...
  • http://games-cn.org/线性代数在图形学中的应用:Dot Pruduct 点乘点乘可以用来计算两个单位向量的夹角,两个模为1向量的点积,获得的值即为 cosθ。如下点乘这个夹角值可以用来1.描述两个向量是否足够接近;2.解构...
  • 线性代数笔记

    2021-10-07 09:30:18
    要怎么理解行列式的值代表变化的比例 但同时行列式的值又可以算面积体积? 太长不看版:面积体积本身就是比例。...它成立的前提是:你把【线性变换的基底构成的平行四边形/平行六面体】选为默认单位面积/体积。 ...
  • 文章目录一、理解线性1.1 线性方程组1.2线性代数的角度理解过拟合1.3 线性可分与线性不可分1.3.1 与(&)、或(|)、抑或(^)1.4 张量1.5 范数 一、理解线性 1.1 线性方程组 AX=B 1.2线性代数的角度理解过...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 1,817
精华内容 726
关键字:

叉乘 线性代数