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  • [计算几何] 圆与圆的交点坐标

    千次阅读 2018-09-27 00:35:57
    给出两圆的圆心坐标和半径, 求出两圆交点坐标   如下图  可根据余弦定理求出角a的大小, 再根据函数atan2()可求出向量C1C2的方位角t 这样一来, 我们所求的交点就是以圆心C1.c为起点, 大小为c1.r ,角度为 t+...

    给出两圆的圆心坐标和半径, 求出两圆交点的坐标

     

    如下图

     可根据余弦定理求出角a的大小, 再根据函数atan2()可求出向量C1C2的方位角t

    这样一来, 我们所求的交点就是以圆心C1.c为起点, 大小为c1.r ,角度为 t+a 和 t-a 的两个向量

    程序代码参考

    #include<iostream>
    #include<cmath>
    #include<cstdio>
    using namespace std;
    typedef struct node
    {
    	double x, y;
    }NODE;
    inline NODE Vector(NODE A, NODE B);
    inline double dis2(NODE a, NODE b);
    double angleA(NODE O1, double r1, NODE O2, double r2);
    double angleT(NODE O1, NODE O2);
    NODE polar(double a, double r);
    int main()
    {
    	NODE O1, O2;
    	double r1, r2;
    	cin >> O1.x >> O1.y >> r1;
    	cin >> O2.x >> O2.y >> r2;
    	if (sqrt(dis2(O1,O2))>r1+r2)
    	{
    		cout << "不存在交点" << endl;
    		return 0;
    	}
    	double t = angleT(O1, O2);
    	double a = angleA(O1, r1, O2, r2);
    	NODE polar1 = polar(t+a,r1);
    	NODE polar2 = polar(t-a, r1);
    	NODE x1 = {O1.x+polar1.x,O1.y+polar1.y};
    	NODE x2 = {O1.x+polar2.x,O1.y+polar2.y};
    	cout << x1.x << ' ' << x1.y << ' '<<x2.x<<' '<<x2.y<<endl;
    	return 0;
    }
    NODE polar(double a, double r)
    {
    	return{ r*cos(a), r*sin(a) };
    }
    double angleA(NODE O1, double r1, NODE O2,double r2)   //求角a
    {
    	return acos((r1*r1+dis2(O1,O2)-r2*r2)/(2*r1*sqrt(dis2(O1,O2))));  //余弦定理
    }
    double angleT(NODE O1,NODE O2)                      //求角t
    {
    	NODE O1O2 = Vector(O1, O2);
    	return atan2(O1O2.y, O1O2.x);    //atan2(double y,double x) 计算向量O1O2与x轴的夹角 范围(-pi,pi]
    }
    inline NODE Vector(NODE A, NODE B)
    {
    	return{ B.x - A.x, B.y - A.y };
    }
    inline double dis2(NODE a, NODE b)
    {
    	return (b.x-a.x)*(b.x-a.x) + (b.y-a.y)*(b.y-a.y);
    }

    参考书籍: 挑战程序设计竞赛2

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  • 使用C++求直线与直线、圆、矩形交点坐标几何类的编写圆矩形直线总结 几何类的编写 圆 没什么特别的,利用了圆的标准公式来表示圆 class Circle { private: double x_center_param; /* 圆心的 x 坐标值 */ double y...

    使用C++求直线与直线、圆、矩形交点坐标

    几何类的编写

    没什么特别的,利用了圆的标准公式来表示圆

    class Circle {
    private:
    	double x_center_param; /* 圆心的 x 坐标值 */
    	double y_center_param; /* 圆心的 y 坐标值 */
    	double r_param; /* 半径 */
    public:
    	explicit Circle(double x0 = 0.0, double y0 = 0.0, double r = 1.0);
    	double* getCenterPos(); /* 取参数 x0 y0 */
    	double getRadius(); /* 取参数 r */
    	vector<double> getValue(double x); /* 根据输入的 x 值返回 y 值 */
    };
    

    前面返回参数的方法过于简单就不介绍了,返回y值的方法要讨论几种情况,略复杂一些,实际也很简单

    // 返回y的取值
    vector<double> Circle::getValue(double x) {
    	vector<double> vec;
    	if (x < this->x_center_param - this->r_param || x > this->x_center_param + this->r_param) {
    		return vec;
    	}
    	else {
    		double y1 = sqrt(pow(this->r_param, 2) - pow(x - this->x_center_param, 2)) + this->y_center_param;
    		double y2 = -sqrt(pow(this->r_param, 2) - pow(x - this->x_center_param, 2)) + this->y_center_param;
    		if (y1 == y2) {
    			vec.push_back(y1);
    			return vec;
    		}
    		else {
    			vec.push_back(y1);
    			vec.push_back(y2);
    			return vec;
    		}
    	}
    }
    

    矩形

    矩形实际是4条直线围成的一个图形,这里简化表示,用矩形左上角和右下角的坐标来表示一个矩形

    class Rectangle {
    private:
    	double leftUpPoint[2]; /* 矩形左上角的坐标 */
    	double rightDownPoint[2]; /* 矩形右下角的坐标 */
    public:
    	explicit Rectangle(double x0, double y0, double x1, double y1);
    	double* getLeftUpPointPos(); /* 返回矩形左上角的坐标 */
    	double* getRightDownPointPos(); /* 返回矩形右下角的坐标 */
    	vector<double> getXValue(double y); /* 通过输入的 y 值来取 x 的值 */
    	vector<double> getYValue(double x); /* 通过输入的 x 值来取 y 的值 */
    };
    

    为了方便求交点,定义了两个访问矩形上的点的函数,其实思路是一样的

    // 返回x的取值
    vector<double> Rectangle::getXValue(double y) {
    	vector<double> vec;
    	if (y <= this->leftUpPoint[1] || y >= this->rightDownPoint[1]) {
    		return vec;
    	}
    	else {
    		vec.push_back(this->leftUpPoint[0]);
    		vec.push_back(this->rightDownPoint[0]);
    		return vec;
    	}
    }
    
    // 返回y的取值
    vector<double> Rectangle::getYValue(double x) {
    	vector<double> vec;
    	if (x <= this->leftUpPoint[0] || x >= this->rightDownPoint[0]) {
    		return vec;
    	}
    	else {
    		vec.push_back(this->leftUpPoint[1]);
    		vec.push_back(this->rightDownPoint[1]);
    		return vec;
    	}
    }
    

    直线

    为了能够表示所有直线,我们选择使用直线的一般式 ax+by+c=0 来表示直线

    class Line {
    private:
    	/* 直线的 3 个参数 a b c */
    	double a_param;
    	double b_param;
    	double c_param;
    public:
    	explicit Line(double a, double b, double c = 0); /* 构造函数 */
    	double* getParameters(); /* 取参数 a b c */
    	double getValue(double x); /* 根据输入的 x 值返回 y 值 */
    	double* getIntersection(Line* B); /* 求直线与直线的交点 */
    	vector<double*> getIntersection(Circle* C); /* 求直线与圆的交点 */
    	vector<double*> getIntersection(Rectangle* R); /* 求直线与矩形的交点 */
    };
    

    前面几个方法没什么好说的,很容易理解,重点是求交点的方法,这里重载了求交点的函数,直线与直线要么有一个交点,要么没有交点,因此用一个指针来返回交点的信息
    其中用到二分法来求交点,因为直接用<float.h>中定义的DBL_MAX和DBL_MIN来计算会非常非常久,毕竟二分法是通过不断取中点对应的值来验证是否满足需求的,所以我选择自定义两个宏FIND_MAX和FIND_MIN

    // 以指针的形式返回直线与直线的交点
    double* Line::getIntersection(Line* B) {
    	// 此时A直线没有斜率
    	if (this->b_param == 0) {
    		// 此时B直线没有斜率,两直线平行,则没有交点,返回空指针
    		if (B->b_param == 0) {
    			return nullptr;
    		}
    		// 此时B直线有斜率,两直线必有交点
    		else {
    			double x = -(this->c_param / this->a_param);
    			double y = B->getValue(x);
    			double* point = new double[2];
    			point[0] = x;
    			point[1] = y;
    			return point;
    		}
    	} 
    	// 此时A直线有斜率
    	else {
    		// 此时B直线没有斜率,两直线必有交点
    		if (B->b_param == 0) {
    			double x = -(B->c_param / B->a_param);
    			double y = this->getValue(x);
    			double* point = new double[2];
    			point[0] = x;
    			point[1] = y;
    			return point;
    		}
    		// 此时B直线有斜率
    		else {
    			double thisK = -(this->a_param / this->b_param);
    			double BK = -(B->a_param / B->b_param);
    			// 如果两直线的斜率相同,表明两直线平行,
    			// 则不会有交点,返回空指针
    			if (thisK == BK) {
    				return nullptr;
    			}
    			// 如果两直线斜率不同则必有交点
    			else {
    				// 使用二分法求交点的坐标
    				auto f = [this, B](double x) {
    					return this->getValue(x) - B->getValue(x); 
    				};
    				double max = FIND_MAX;
    				double min = FIND_MIN;
    				double lastResult = FIND_MAX + 1.0;
    				if (thisK >= 0) {
    					while (true) {
    						double mid = (min + max) / 2;
    						if (f(mid) == 0 || mid == lastResult) {
    							double* point = new double[2];
    							point[0] = mid;
    							point[1] = this->getValue(mid);
    							return point;
    						}
    						else if (f(mid) < 0) {
    							min = mid;
    							lastResult = mid;
    						}
    						else if (f(mid) > 0) {
    							max = mid;
    							lastResult = mid;
    						}
    					}
    				}
    				else {
    					while (true) {
    						double mid = (min + max) / 2;
    						if (f(mid) == 0 || mid == lastResult) {
    							double* point = new double[2];
    							point[0] = mid;
    							point[1] = this->getValue(mid);
    							return point;
    						}
    						else if (f(mid) > 0) {
    							min = mid;
    							lastResult = mid;
    						}
    						else if (f(mid) < 0) {
    							max = mid;
    							lastResult = mid;
    						}
    					}
    				}
    			}
    		}
    	}
    }
    

    而求直线与圆的交点,则要需要我们手动计算一个公式,这运算量大的,仿佛回高中做了一道圆锥曲线大题。。。
    好在互联网发达,我在网上找到了直线与圆的交点公式
    作业帮

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    由于我没学过计算几何,只能用解析几何的这种方法来求解,计算量大,而且容易产生浮点误差,日后学习了更优的方法再来优化吧。。

    // 以向量的形式返回直线与圆的交点
    vector<double*> Line::getIntersection(Circle* C) {
    	vector<double*> vec;
    	// 直线没有斜率时
    	if (this->b_param == 0) {
    		double x = -(this->c_param / this->a_param);
    		vector<double> y_vec = C->getValue(x);
    		int len = y_vec.size();
    		if (len == 1) {
    			double* point = new double[2];
    			point[0] = x;
    			point[1] = y_vec[0];
    			vec.push_back(point);
    			return vec;
    		}
    		else if (len == 2) {
    			double* point1 = new double[2];
    			double* point2 = new double[2];
    			point1[0] = x;
    			point1[1] = y_vec[0];
    			point2[0] = x;
    			point2[1] = y_vec[1];
    			vec.push_back(point1);
    			vec.push_back(point2);
    			return vec;
    		} 
    		else {
    			return vec;
    		}
    	}
    	// 直线有斜率时
    	else {
    		double splot = -(this->a_param / this->b_param);
    		double intercept = -(this->c_param / this->b_param);
    		double x0 = C->getCenterPos()[0];
    		double y0 = C->getCenterPos()[1];
    		double r = C->getRadius();
    		double delta = (pow(splot, 2) + 1) * pow(r, 2) - pow(x0, 2) * pow(splot, 2)
    			+ 2 * splot * x0 * (intercept + y0) - pow(y0, 2) - 2 * y0 * intercept 
    			- pow(intercept, 2);
    		if (delta >= 0) {
    			double x1 = (-((y0 + intercept) * splot + x0) - sqrt(delta)) / (1 + pow(splot, 2));
    			double y1 = this->getValue(x1);
    			double* point1 = new double[2];
    			point1[0] = x1;
    			point1[1] = y1;
    			vec.push_back(point1);
    			if (delta == 0) {
    				return vec;
    			}
    			double x2 = (-((y0 + intercept) * splot + x0) + sqrt(delta)) / (1 + pow(splot, 2));
    			double y2 = this->getValue(x2);
    			double* point2 = new double[2];
    			point2[0] = x2;
    			point2[1] = y2;
    			vec.push_back(point2);
    			return vec;
    		}
    		else {
    			return vec;
    		}
    	}
    }
    

    最后是直线与矩形的交点求解,其实相比前两个简单很多了,这里定义的矩形只是4条直线的一个集合罢了

    // 以向量的形式返回直线与矩形的交点
    vector<double*> Line::getIntersection(Rectangle* R) {
    	vector<double*> vec;
    	// 直线没有斜率时
    	if (this->b_param == 0) {
    		double x = -(this->c_param / this->a_param);
    		vector<double> y_vec = R->getYValue(x);
    		int len = y_vec.size();
    		if (len == 2) {
    			double* point1 = new double[2];
    			double* point2 = new double[2];
    			point1[0] = x;
    			point1[1] = y_vec[0];
    			point2[0] = x;
    			point2[1] = y_vec[1];
    			vec.push_back(point1);
    			vec.push_back(point2);
    			return vec;
    		}
    		else {
    			return vec;
    		}
    	}
    	// 直线有斜率时
    	else {
    		// 斜率为0时
    		if (this->a_param == 0) {
    			double y = -(this->c_param / this->b_param);
    			vector<double> x_vec = R->getYValue(y);
    			int len = x_vec.size();
    			if (len == 2) {
    				double* point1 = new double[2];
    				double* point2 = new double[2];
    				point1[0] = x_vec[0];
    				point1[1] = y;
    				point2[0] = x_vec[1];
    				point2[1] = y;
    				vec.push_back(point1);
    				vec.push_back(point2);
    				return vec;
    			}
    			else {
    				return vec;
    			}
    		}
    		else {
    			/*
    			 * 左上角----------L1------------+
    			 *   |                           |
    			 *   |                           |
    			 *   L4        矩形示意图        L2
    			 *   |                           |
    			 *   |                           |
    			 *   +------------L3----------右下角
    			 */
    			double param1 = R->getLeftUpPointPos()[1];
    			double param2 = R->getRightDownPointPos()[0];
    			double param3 = R->getRightDownPointPos()[1];
    			double param4 = R->getLeftUpPointPos()[0];
    			Line L1(0, -1, param1);
    			Line L2(-1, 0, param2);
    			Line L3(0, -1, param3);
    			Line L4(-1, 0, param4);
    			double* point1 = this->getIntersection(&L1);
    			if (point1) {
    				if (point1[0] <= param2 && point1[0] >= param4) {
    					vec.push_back(point1);
    				}
    			}
    			double* point2 = this->getIntersection(&L2);
    			if (point2) {
    				if (point2[1] <= param1 && point2[1] >= param3) {
    					vec.push_back(point2);
    				}
    			}
    			double* point3 = this->getIntersection(&L3);
    			if (point3) {
    				if (point3[0] <= param2 && point3[0] >= param4) {
    					vec.push_back(point3);
    				}
    			}
    			double* point4 = this->getIntersection(&L4);
    			if (point4) {
    				if (point4[1] <= param1 && point4[1] >= param3) {
    					vec.push_back(point4);
    				}
    			}
    			// 去除重复的点
    			if (vec.size() == 2) {
    				double* elem1 = vec[0];
    				double* elem2 = vec[1];
    				if (elem1[0] == elem2[0] && elem1[1] == elem2[1]) {
    					vec.pop_back();
    				}
    			}
    			else if (vec.size() == 4) {
    				double* elem1 = vec[0];
    				double* elem2 = vec[1];
    				double* elem3 = vec[2];
    				double* elem4 = vec[3];
    				vec.clear();
    				if (elem1[0] == elem2[0] && elem1[1] == elem2[1]) {
    					vec.push_back(elem1);
    					vec.push_back(elem3);
    				}
    				else if (elem1[0] == elem4[0] && elem1[1] == elem4[1]) {
    					vec.push_back(elem1);
    					vec.push_back(elem2);
    				}
    			}
    			return vec;
    		}
    	}
    }
    

    总结

    通过编写的实例可以发现,运用解析几何的方法求交点难免有浮点误差产生,特别是本来应该是0的值,有可能会变成一个不是0但非常接近0的值,而且由于C++中的浮点表示方法,得到0的时候可能会产生+0和-0这种情况,其实都是小问题,不过这只是一个小作业而已,不打算深入写这么多东西,最终老师也给打了A+,自认为还是不错的,发出来给之后来受苦的同学参考,如果觉得不错,还请您点个赞 😉
    在这里插入图片描述

    展开全文
  •   直线与平面交点坐标的计算公式推导 直线l=p+a⃗&nbsp;tl=p+a→tl = p + \vec{a}t 取平面内一点s,法向量n⃗&nbsp;n→\vec{n} 则由ps→cos&lt;ps→,n⃗&nbsp;&gt;=ps→⋅n⃗&nbsp;...

    计算直线与平面的交点坐标

      直线与平面交点坐标的计算公式推导


    直线 l=p+a⃗ t l = p + a → t
    取平面内一点s,法向量 n⃗  n →
    则由 pscos<ps,n⃗ >=psn⃗  p s → cos < p s → , n → >= p s → ⋅ n → 可以计算出点 p p 到平面的距离D
    t=Dcos<a⃗ ,n⃗ > t = D cos < a → , n → >
    如果 a⃗  a → 为单位向量
    cos<a⃗ ,n⃗ >=a⃗ n⃗  cos < a → , n → >= a → ⋅ n →

    展开全文
  • 作者:henu_wxj链接:...默认使用笛卡尔直角坐标系。计算点到线段的最近点。已知线段 ,点 ,求点Q到线段P1P2的 最近坐标。存在两种情况:1.情况一: && 时,直线 的方程为 ...

    作者:henu_wxj

    链接:https://blog.nowcoder.net/n/9913fe21a2f64ef080ed41baada7bd9a

    来源:牛客网

    这个专题讨论用解析几何的方法解决线段,直线和点的计算问题。

    默认使用笛卡尔直角坐标系。

    计算点到线段的最近点。

    已知线段

    ,点
    ,求点Q到线段P1P2的 最近坐标。

    存在两种情况:

    1.情况一:

    &&
    时,直线
    的方程为
    ,则Q到
    的垂线方程为
    ,垂足坐标为

    257c2630a49d247bba0796dc365a87b1.png

    直线AB,下面是Q的三种不同的位置。最近的点的坐标很明显分别对应的三个红色的点。

    同理

    时:

    6743f544e7cd745d4dedf3038a512465.png

    直线AB,左右时Q的三种不同的位置。最近点的坐标对应的三个红点。

    2.情况二:当

    &&
    时,该线段不平行于x轴&&不平行于y轴,斜率存在但不为0,则可设线段的两端点分别为
    ,斜率

    该直线方程为:

    垂线方程为

    ;连立公式,解得

    ae6aaee8baee42bb2429548f8de37d4f.png

    同理可以求出点到折线,矩形,多边形的最近点。

    计算点到圆的最近距离及最近点的坐标。

    已知圆心坐标

    及半径r,点
    ,求点P到最近点的坐标分为以下几种情况:

    d23ed9debdecbbf400ebac449e40a104.png

    1. P=A,则点到圆的最近距离为r,点位圆上任意一点的坐标。

    2. P=C||P=C',y轴相等,则为:

    3. P=D||P=D',x轴相等,则为:

    4. P=G||P=G',没有什么关系,存在一个斜率不为0的直线,则斜率为:

    直线AG的方程为:

    。圆的方程为:
    ;连立求出交点(注意有两个)即可。

    计算两条共线的线段的交点。
    对于两条共线的线段,位置关系有以下几种情况:

    dc0b10e0cd6834489e454d91125272d1.png

    分别是,没交点,有一个,无穷,无穷。

    计算线段与线段的交点。

    虽然感觉不太实用,但是姑且还是写出来吧,向量大法好!

    首先判断两线段是否相交,

    一般情况:

    直线方程分别是:

    注意斜率为0及斜率不存在的特判。

    计算线段||直线和圆的交点。

    参考上文:”点到圆的最近距离“求解。

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