薛定谔方程表达的是具有离散特征的运动方程。围棋盘面里只有几百个格子，两个格子之间没有平滑的过渡，不能把棋子下到线上，只能在格子之间跳来跳去.这种运动不是连续的，所以有理由适用薛定谔方程。

 

H是哈密顿算符，这个算符表达的就是空间和时间对微观粒子运动的约束。具体到围棋盘面，比如把黑棋当作粒子，此时黑棋的运动显然仅受到白旗盘面和围棋规则的约束。因此围棋中的哈密顿算符就是对方的盘面和规则本身。

 

波函数ψ就是概率密度，表达的是微观粒子的分布。如果把黑棋当作粒子，黑棋的分布当然就是黑棋的盘面。

 

E是能级，能级本身就是一个实数，表达的就是粒子状态的稳定性。能级越低状态越稳定，对于下棋如果一步棋觉得可以不必更改了，也就是一步好棋。不必改了也就是状态稳定，所以下棋同样追求的是一种低能级的稳定状态。

 

用能级表征胜率，能级越低胜率越大，不同的走法对应的胜率应该是高度简并离散的几个值，比如下到最后只有两步可以走，对了就是胜利错了就是失败。以简并度为y轴，能级为x轴画图,就是在0和1的位置有两条等高的谱线。所以这种现象体现了这种运动不连续的特征。

 

因此围棋就是在对方盘面和围棋规则构成的哈密顿量的约束下求解与最低能级对应的波函数的过程。

 

一个词比如“苹果”，这个词是有意义的。把这个词拆开“苹”和“果”，也都分别有意义。但是不存在无限多的汉字从“苹”连续过渡到“果”。如果用汉字为坐标做一个数轴，一个人想从“苹”运动到“果”，他只能在两个坐标间跳着走。这显然是离散的。

 

所以如果文字是离散的，把语言理解为以文字为坐标的运动，这种运动不可能是连续的。对这种有明显离散特征的运动有理由适用薛定谔方程。



哈密顿算符H表达对运动的约束。具体到语言环境，直观上理解约束至少应该包括外部物质环境，人的心情和上下文语境。比如同一句诗一千年前的人和现在的人读的感想肯定差别很大，不同年龄段的人读同样的诗的理解差别也很大。所以有理由相信,NLP无论自然语言理解或者翻译的训练数据,除了上下文语境之外至少应该包括作者的外部环境和作者的心境，以及读者外部环境和读者的心理诉求。

 

波函数ψ表达粒子的分布。如果运动是以文字为坐标，所谓分布就是用哪些字。所以这里ψ就是阅读理解的答案。

 

能级E表明粒子的稳定性，能级越低越稳定。比如阅读理解,一个好的答案就是一个不想再改的答案，也就是一个稳定的答案。同样追求的是稳定这和物理的逻辑是一样的。

可以很容易的举出一个能级分裂的现象，去证明这个运动的离散特征。比如早上问好，可以合理假设对有些人，你对他说“早”或者“早上好”对他来说没区别都合适，稳定性差不多比如能级都是0.9。但是对他说“hello”这个他可能感觉不太妥当，稳定性差些比如能级是0.8.

以能级为x轴，简并度为y轴，在能级0.8和0.9处分别有两条高度为1和2的谱线。

 

所以语言可以理解成是在物质环境，心境和上下文语境为哈密顿算符的约束下去计算与最低能级对应的波函数的过程。

 

文章目录
前言
哈密顿原理
经典变分问题
数学基础
区别函数和泛函
变分—自变量不变条件下函数自身的变化
变分运算规则
积分形式的泛函及其极值问题
最速降线问题
变分问题的欧拉方程
哈密顿原理的优点
哈密顿正则方程
广义动量与相空间
Legrand变换
热力学的拉格朗日变换
多元函数和Legrand变换关系
哈密顿正则方程
正则方程的“辛”形式
正则方程的初积分
Routhian及Rouh方程—混合H-L方法
Routhian
Routh方程
泊松括号与泊松定狸
Poisson括号的引入
Poisson括号的性质
基本性质
基本Poisson括号关系（正则变量满足的关系）
Poisson括号的高级性质
正则变换
点变换与接触变换
正则变换
正则变换例子—几种常见的基本正则变换
判别变换为正则变换的充要条件
方法1
方法2
方法3
正则不变量：在正则变换下保持不变的量
Poisson括号不变
相体积不变
相空间与刘维定理
相空间与相轨迹
庞加莱映射与庞加莱截面
统计系综与相流
Liouville定理及其证明
Hamilton-Jacobi方程
H-J方程的引入及目的
H-J方程及 Hamilton主函数
主函数S之物理意义：S是沿真实运动轨迹的作用量
H-J方程的求解：分离变量法


前言
这篇文章是交通大学物理学院开设的理论力学的课程PPT缩略版。哈密顿力学是泛函的一大体现之一，而泛函作为如今十大数学技能应该被学习。为了方便大家的阅读，特制了本篇网页版的董兵老师的PPT。

提示：本篇文章为私人笔记，若有侵权，请联系我删除
哈密顿原理
经典变分问题

最速落径问题

在垂直平面内，连接不在同一铅直线上的两点A、B间的曲线，使质点在自重作用下无初速以最短时间从A滑至B。
最短线程问题

曲面上给定两点间的长度最短的曲线。
等周问题

长度固定的平面封闭曲线所围面积最大的曲线形状。

数学基础
区别函数和泛函

函数：$f(x)$，自变量$x$，定义域为数。
泛函：$F[f, x]=F[f(x), x]$，自变量$f(x),$ 定义域为函数。

变分—自变量不变条件下函数自身的变化

微分 $\begin{aligned} &x \rightarrow x+d x \\ & f(x) \rightarrow f(x+d x) \\ d f=& f(x+d x)-f(x)=f^{\prime}(x) d x \end{aligned}$
变分 $f(x) \rightarrow \bar{f}(x)$

$\delta f=\bar{f}(x)-f(x)$

变分运算规则
$\left\{\begin{array}{l}\delta\left(y_{1} \pm y_{2}\right)=\delta y_{1}+\delta y_{2} \\ \delta\left(y_{1} \cdot y_{2}\right)=y_{1} \delta y_{2}+y_{2} \delta y_{1} \\ \delta\left(\frac{y_{1}}{y_{2}}\right)=\frac{y_{2} \delta y_{1}-y_{1} \delta y_{2}}{y_{2}^{2}} \\ \delta(k y)=k \delta y \\ \delta(d y)=d(\delta y) \\ \delta\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d}{d x}(\delta y) \quad(\delta x=0) \\ \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} y d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta y d t\end{array}\right.$
积分形式的泛函及其极值问题
例如泛函$F[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}} L\left(x, y, y^{\prime}\right) d x$为两端点固定的积分型泛函，就像在我们研究$y=f(x)$时我们希望其导数为0一样，我们也希望泛函满足条件$\delta F=0$。
最速降线问题
为了更好地明白这个问题，我们使用最速降线来举例子
在铅直平面内在所有连接两个定点A和B的曲线中，找出一 条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自全点沿 它无摩擦地滑下时，以最短时间到达B点。
设曲线AB方程为$y=f(x)$，我们可以得知质点沿着曲线运动的距离为

$v=\sqrt{2 g y}=\frac{d s}{d t}=\frac{\sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}}}{d t}=\frac{\left(\sqrt{1 \pm y^{2}}\right)}{d t} d x$

我们可以写出质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间为：$T[y]=\int_{x_A}^{x_B}dt=\int_{x_A}^{x_B}\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2gy}}$可知T的值与曲线的形状有关，T是y的泛函，则我们希望$\delta T=0$
变分问题的欧拉方程
对于$F[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}} L\left(x, y, y^{\prime}\right) d x$我们要找到一个合适的$\delta T=0$使得$\delta F=0$。对于固定边界的问题有

$\left.\delta y\right|_{x=x_{1}}=\left.\delta y\right|_{x=x_{2}}=0$

我们由已知的变分运算法则得到

$\delta y=\bar{y}(x)-y(x),(\delta y)^{\prime}=\delta y^{\prime}=\bar{y}^{\prime}(x)-y^{\prime}(x)$

$\delta F=F[\bar{y}(x)]-F[y(x)]$

于是有

$F[\bar{y}(x)]=\int_{x_{1}}^{x_{2}} L\left(x, \bar{y}, \bar{y}^{\prime}\right) d x=\int_{x_{1}}^{x_{2}} L\left(x, y+\delta y, y^{\prime}+\delta y^{\prime}\right) d x$

对上式做Taylor展开有

$F[\bar{y}(x)]=\int_{x_{1}}^{x_{2}} L\left(x, y, y^{\prime}\right) d x+\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left(\frac{\partial L}{\partial y} \delta y+\frac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime}\right) d x+$higher terms

下面计算变分

$\delta F=\int_{x_{1}}^{x_{2}} L\left(x, \bar{y}, \bar{y}^{\prime}\right) d x-\int_{x_{1}}^{x_{2}} L\left(x, y, y^{\prime}\right) d x=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left(\frac{\partial L}{\partial y} \delta y+\frac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime}\right) d x$

其中

$\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime} d x=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \delta\left(\frac{d y}{d x}\right) d x=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \frac{d \delta y}{d x} d x$

$=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{d}{d x}\left(\frac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \delta y\right) d x-\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left(\frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}\right) \delta y d x$

$=\left.\frac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \delta y\right|_{x_{1}} ^{x_{2}}-\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left(\frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}\right) \delta y d x$

于是整理得到：$\delta F=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left(\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}\right) \delta y d x=0$

即有$\frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}-\frac{\partial L}{\partial y}=0$，我们称其为欧拉方程
上面的问题中只有一个未知量，对于多元泛函也是差不多的处理方案。对多元泛函$\delta F=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left(\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}\right) \delta y d x=0$，若其边界也是固定的$\left.\delta y_{i}\right|_{x=x_{1}}=\left.\delta y_{i}\right|_{x=x_{2}}=0, i=1,2, \cdots n$，则它的极值问题由Euler方程组决定：

$\frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y_{i}^{\prime}}-\frac{\partial L}{\partial y_{i}}=0, \quad i=1,2, \cdots n$
哈密顿原理的优点

统一、简洁、完美，具有坐标变换的不变性；
具有很强的普适性可推广至无限自由度以及物理学其他领域；是积分形式的变分原理；
可用于创建新的理论。根据假设构造出拉格朗日函数，用哈密顿原理导出运动方程，由实践检验其正确性；
任何理论有一定的适用范围，这里的哈密顿原理的表述方式也并非对于任意力学系统成立，实际上对力学系统内外部的相互作用有一定的限制，要求相互作用可表示为一标量函数，一般来说，物理学通常关心的正是这种体系

哈密顿正则方程
回顾Lagrange力学：以广义坐标为独立变量，运动方程是构型空间中二阶微分方程组— Lagrange方程；在数学上为了处理问题的方便，往往将一个二阶微分方程化为两个一阶微分方程从而在相空间里讨论问题（降阶法）。对于 Lagrange方程，即将s个阶微分方程化为2s个一阶微分方程来处理，比如

$\dot{q}_{\alpha}=f_{\alpha}(q, X, t), \dot{X}_{\alpha}=g_{\alpha}(q, X, t)$
Hamilton力学：以广义坐标和广义动量为独立变量，运动方程是相空间中的一阶微分方程组——Hamilton正则方程：分析力学的第二个理论形式。
广义动量与相空间
我们首先定义广义动量$p_{\alpha} \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}, \alpha=1,2, \cdots, s$称 $q_{\alpha}, p_{\alpha}$ 为相互共轩的正则变量。 $q_{\alpha}$ 描写系统 的位置状态， $p_{\alpha}$ 描写系统的运动状态。由相互独 立的 $\left(q_{\alpha}, p_{\alpha}\right)$ 组成的2s维空间，才是系统状态 的完整描述，称为相空间（相即状态）。
一般Lagrangian $L(q, \dot{q}, t)$ 中 $q, \dot{q}$ 的地位不对 称，如果通过变换把 $\dot{q}_{\alpha}$ 变为 $p_{\alpha}=p_{\alpha}(q, \dot{q}, t)$,

即做反函数 $\dot{q}_{\alpha}=\dot{q}_{\alpha}(q, p, t)$ 并代入L，则可以 把运动微分方程降价，这可行吗？
我们并不可以直接代换，我们需要更多的操作！
Legrand变换
法国数学家与天文学家 A.M. LeGendre于1787年间在研究最小曲面的启发下提出如下问题：

有双元函数 $f(x, y),$ 其全微分为 $d f(x, y)=u d x+v d y$

我们今天希望能得到一个$g(u, y)$函数，其中$x=\frac{\partial g}{\partial u}, v=-\frac{\partial g}{\partial y}$，满足$x=\frac{\partial g}{\partial u}, v=-\frac{\partial g}{\partial y}$，也就是说$x,u$为一个共轭变量对。一个典型的勒让德变换是这样的

$d g(u, y)=\frac{\partial g}{\partial u} d u+\frac{\partial g}{\partial y} d y$

其中有$g(u, y)=x u-f(x, y)=x(u, y) u-f(x(u, y), y)$，也就是说函数$f,g$的微分关系构成互逆关系。
对于全变量的Legrand变换，独立变量$(x, y) \rightarrow(u, v)$，如下表示

$h(u, v)=x u+y v-f(x, y)$

其中读者可以自行证明有$h(u, v)=x u+y v-f(x, y)$，即有$x=\frac{\partial h}{\partial u}, y=\frac{\partial h}{\partial v}$
Legrand变换的核心是针对“对偶（共轭）变量对”换变量，建立两组变量及对应的函数之间的变换关系。这两组变量和函数同等地描述系统的性质；变换后新函数的极值点就是原来的极值点。

单变量 Legrand变换的几何意义：用斜率与截距来描述同一条曲线。
热力学的拉格朗日变换
我们由热力学第一定律$d U(S, V)=T d S-P d V$，有

$\left\{\begin{array}{l}T=\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V} \\ P=-\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S}\end{array}\right.$

于是可以得到

Helmholtz自由能 $\quad f(T, V)=U-T S$
焓 $\quad h(S, P)=U+P V$
Gibbs自由能 $\quad g(T, P)=U-T S+P V$

多元函数和Legrand变换关系





旧系统
新系统




变量
$x_{i}, \alpha_{i}$
$G\left(y_{i}, \alpha_{i}\right)$


函数
$F\left(x_{i}, \alpha_{i}\right)$
$G\left(y_{i}, \alpha_{i}\right)$


变换
$G\left(y_{i}, \alpha_{i}\right)$
$y_{i}=\frac{\partial F}{\partial x_{i}}, \beta_{i}=\frac{\partial F}{\partial \alpha_{i}}$


$G=\sum_{i} x_{i} y_{i}-F$
哈密顿正则方程
一般Lagrangian $L(q, \dot{q}, t)$ 中，通过Legrand变换，把 $\dot{q}_{\alpha}$ 变为 $p_{\alpha},$ 即引入新的函数

$H(p, q, t)=\sum_{\alpha=1}^{s} \dot{q}_{\alpha} p_{\alpha}-L(\dot{q}, q, t)$

其中 $\dot{q}_{\alpha}=\dot{q}_{\alpha}(q, p, t) \quad,$ 这样广义能量 H的自变量 变为 $(q, p, t)$, 称为哈密顿量（Hamiltonian），是描述系统动力学性质的新的特性函数。

原先，我们有$p_{\alpha} \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}$，由 Legrand变换关系：

$\dot{q}_{\alpha}=\frac{\partial H}{\partial p_{\alpha}}, \frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}=-\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}, \frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}$

即有$\dot{p}_{\alpha}=\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}=\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}$

同时有$\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}$，这说明了L不显含t，则H不显含t； L+H肯定不显含t。
注明

正则“ Canonica”一词由 Jacobi于1837年采用，英语中词头 Canon有“正经”的含义，该词对西方人有神圣感；
H量是2s+1个变量, $(q, p, t) \quad$ 的函数 ; 最大优点是 在H中 $(q, p) \quad$ 处于平等的地位; H的物理含义是广义能量, $H=T_{2}-T_{0}+V,$ 在稳定约束下 $H=T_{2}+V$
3.“正则方程”更对称，更简洁，更优美，是由2s个阶微分方程组成的方程组，而“ Lagrange方程”是由s个二阶微分方程组成。在“正则方程”中尽管方程的数目成倍增加，但方程的阶数却以相同的比例减少.“正则方程”的更重要的优越性却是方程组之间的对称性（辛对称）；这种对称性正是它在物理学其他领域例如量子力学和统计力学中得到广泛应用的理论基础，从这一意义上来说，“ Hamilton力学”不同于“ Lagrange力学”之处，就在于它更侧重于理论体系的构建。

正则方程的“辛”形式
引入2s维空间中的列矢量$\begin{array}{c}\hat{\eta}=\left(\begin{array}{c}q \\ p\end{array}\right)= & \left(\begin{array}{l}q_{1} \\ \vdots \\ q_{s} \\ p_{1} \\ \vdots \\ p_{s}\end{array}\right)\end{array}$，则正则方程可以写成矩阵形式（辛形式）

$\dot{\hat{\eta}}=\hat{J} \frac{\partial H}{\partial \hat{\eta}}, \quad \hat{J}=\left(\begin{array}{cc} 0_{s \times s} & 1_{s \times s} \\ -1_{s \times s} & 0_{s \times s}\end{array}\right)$

辛矩阵J性质：$\hat{J}^{2}=-1_{2 s \times 2 s}, \hat{J}^{T}=\hat{J}^{-1}=-\hat{J},$ det $\hat{J}=1$
正则方程的初积分
若H函数不显含t，即$H(p, q), \frac{\partial H}{\partial t}=0$，我们有

$\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t}+\sum_{\alpha=1}^{s}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} \dot{q}_{\alpha}+\frac{\partial H}{\partial p_{\alpha}} \dot{p}_{\alpha}\right)=\frac{\partial H}{\partial t}=0$

故有广义能量积分为$H(p, q)=E=\operatorname{cons}$

若H函数不显含某个广义坐标，如$\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}=0$则由正则方程有$\dot{p}_{\alpha}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}=0, p_{\alpha}= cons$此即广义动量守恒。
Routhian及Rouh方程—混合H-L方法
基本的拉朗德变换有时候是很复杂的，有时候我们不需要所有自由度的变换，我们需要方法的改进！
Routhian
Routh于1876年应用循环积分使 Lagrange方程降维！s个自由度的力学系统中，如只要求其中的m个广义速度通过定义关系变换为广义动量，而保留其余s-m个广义速度不变，此时部分变量Legendre变换为（Routhian）

$R=\sum_{k=1}^{m} \dot{q}_{k} p_{k}-L(\dot{q}, q, t)=R\left(q_{\alpha}, \dot{q}_{l}, p_{k}, t\right)$

$\alpha=1, \cdots, s ; k=1, \cdots, m ; l=m+1, \cdots, s$

全部变量拉朗德变换为

$H=\sum_{l=m+1}^{s} \dot{q}_{l} p_{l}+\sum_{k=1}^{m} \dot{q}_{k} p_{k}-L(\dot{q}, q, t)=R+\sum_{l=m+1}^{s} \dot{q}_{l} p_{L}$
Routh方程
对以上变换我们有

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial R}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t} \\ \frac{\partial R}{\partial q_{\alpha}}=-\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}=\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{l}}=-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{l}}=-p_{l} \\ \frac{\partial R}{\partial p_{k}}=\dot{q}_{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}}\end{array}\right.$

则由 Lagrange方程有

$\frac{d}{d t} \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{l}}-\frac{\partial R}{\partial q_{l}}= 0 ,(l=m+1, \cdots, s)$

由 Hamilton正则方程有

$\left\{\begin{array}{l}\dot{p}_{k}=-\frac{\partial H}{\partial q_{k}}=-\frac{\partial R}{\partial q_{k}} \\ \dot{q}_{k}=\frac{\partial R}{\partial p_{k}}\end{array}\right.$
泊松括号与泊松定狸
Poisson括号的引入
有了正则方程，如何求解正则方程是物理上必须考虑的问题。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现些循环坐标，就能在正则方程中多得出一些积分，对微分方程的求解就更有利，否则徼分方程的求解就变得十分困难。而可遗坐标代表着守恒量，如何系统地寻找系统的守恒量？ Poisson括号及 Poisson定理就是系统地寻找守恒量的理论方法。与正则变换，H-J方程一起构成 Hamilton力学的主要内容。

寻找守恒量，就是要考察任意一个力学量的时间变化率。设$F=F(q, p, t)$代表一力学量，计算其时间变化率，即计算其时间全导数：

$\begin{aligned} \frac{d F}{d t} &=\frac{\partial F}{\partial t}+\sum_{\alpha=1}^{s}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{\alpha}} \dot{q}_{\alpha}+\frac{\partial F}{\partial p_{\alpha}} \dot{p}_{\alpha}\right) \\ &=\frac{\partial F}{\partial t}+\sum_{\alpha=1}^{s}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{\alpha}} \frac{\partial H}{\partial p_{\alpha}}-\frac{\partial F}{\partial p_{\alpha}} \frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}\right) \\ &=\frac{\partial F}{\partial t}+[F, H] \end{aligned}$

定义缩写符号：$[F, H] \equiv \sum_{\alpha=1}^{s}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{\alpha}} \frac{\partial H}{\partial p_{\alpha}}-\frac{\partial F}{\partial p_{\alpha}} \frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}\right)$，我们称其为力学量F与H间的Poisson括号。
我们可以做推广：任意两力学量$F$与$G$均是$(q, p, t)$的函数，则可以定义它们间的Poisson括号为$[F, G] \equiv \sum_{\alpha=1}^{s}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{\alpha}} \frac{\partial G}{\partial p_{\alpha}}-\frac{\partial F}{\partial p_{\alpha}} \frac{\partial G}{\partial q_{\alpha}}\right)$

其辛形式为$[F, G]_{(q, p)} \equiv\left(\frac{\partial F}{\partial \hat{\eta}}\right)^{T} J \frac{\partial G}{\partial \hat{\eta}}$，采用辛形式的好处可以简化后面一系列定理、性质等的证明。
注意：这里要求$(q, p)$相互独立，即有$\frac{\partial p_{\beta}}{\partial q_{\alpha}}=0, \frac{\partial p_{\beta}}{\partial p_{\alpha}}=\delta_{\alpha \beta}, \frac{\partial q_{\beta}}{\partial q_{\alpha}}=\delta_{\alpha \beta}$
Poisson括号的性质
基本性质

和常数$c$的运算：$[f, c]=0, \quad[f, c g]=c[f, g]$
反对称性：$[f, f]=0, \quad[f, g]=-[g, f]$
分配律：$\left[f_{1}+f_{2}, g\right]=\left[f_{1}, g\right]+\left[f_{2}, g\right]$

$\left[f, g_{1}+g_{2}\right]=\left[f, g_{1}\right]+\left[f, g_{2}\right]$
结合律：$\left[f_{1} f_{2}, g\right]=f_{1}\left[f_{2}, g\right]+\left[f_{1}, g\right] f_{2}$

$\left[f, g_{1} g_{2}\right]=g_{1}\left[f, g_{2}\right]+\left[f, g_{1}\right] g_{2}$

基本Poisson括号关系（正则变量满足的关系）
$\left[p_{\alpha}, p_{\beta}\right]=0, \quad\left[q_{\alpha}, q_{\beta}\right]=0, \quad\left[q_{\alpha}, p_{\beta}\right]=\delta_{\alpha \beta}$
该性质的独特性在于这是唯一体现q和p变量在量的消长方面严格互补的定量制约关系的关系—量子力学不确定关系。由 Poisson括号性质及三个基本 Poisson括号关系可以计算任意两个力学量间的 Poisson括号。
其可导出微商性质：

$\frac{\partial}{\partial t}[f, g]=\left[\frac{\partial f}{\partial t}, g\right]+\left[f, \frac{\partial g}{\partial t}\right]$

$\left[q_{\alpha}, f\right]=\frac{\partial f}{\partial p_{\alpha}} \quad\left[p_{\alpha}, f\right]=-\frac{\partial f}{\partial q_{\alpha}}$
同时我们有Jacobi恒等式：

$[f,[g, h]]+[g,[h, f]]+[h,[f, g]]=0$
Poisson括号的高级性质
我们对任意力学量$F=F(q, p, t)$的时间全导数（EOM）有$\frac{d F}{d t}=\frac{\partial F}{\partial t}+[F, H]$，这可以启发我们

Hamiltonian掌管了系统力学量随时间的演化，是描述系统时间演化的特性函数。
力学量F守恒的充要条件为$\frac{\partial F}{\partial t}+[F, H]=0$
如果力学量F不显含时间，则其守恒的充要条件为$[F, H]=0$

同时，H也是力学量，故其时间演化为$\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t}+[H, H]=\frac{\partial H}{\partial t}$，也就是说H的时间全导数等于其对时间的偏导数。如果H不显含时间t，则其偏导数等于0，同时L也不显含时间，意味着其时间全导数等于0，即广义能量守恒。
另外，正则方程可用泊松括号表示：

$\dot{q}_{\alpha}=\frac{\partial H }{\partial p _{\alpha}} \Longrightarrow \dot{ q }_{\alpha}=\frac{d q _{\alpha}}{d t}=\left[ q _{\alpha}, H \right]$

$\dot{p}_{\alpha}=-\frac{\partial H }{\partial q _{\alpha}} \Longrightarrow \dot{p}_{\alpha}=\frac{d p_{\alpha}}{d t}=\left[p_{\alpha}, H \right]$

注意到，用泊松括号表示的正则方程完全对称！
我们还可以引出Poisson定理：如果$f$和$g$是系统守恒量，则$[f, g]$也是系统守恒量，证明如下：

$\begin{aligned} \frac{d}{d t}[f, g] &=\frac{\partial}{\partial t}[f, g]+[[f, g], H] \\ &=\left[\frac{\partial f}{\partial t}, g\right]+\left[f, \frac{\partial g}{\partial t}\right]-[g,[f, H]]+[f,[g, H]] \\ &=\left[\frac{\partial f}{\partial t}, g\right]+[[f, H], g]+\left[f, \frac{\partial g}{\partial t}\right]+[f,[g, H]] \\ &=\left[\frac{\partial f}{\partial t}+[f, H], g\right]+\left[f, \frac{\partial g}{\partial t}+[g, H]\right]=\left[\frac{d f}{d t}, g\right]+\left[f, \frac{d g}{d t}\right]=0 \end{aligned}$
用泊松括号可以从已知守恒量构造新的守恒量！当然需要注意的是构造的守恒量不一定是独立的全新的守恒量否则会导致理论的内在矛盾，存在任意多独立守恒量。
由上面的性质我们可以很轻易地使用Poisson括号证明角动量之间的关系$\left[L_{x}, L_{y}\right]=L_{z}$，$\left[L_{y}, L_{z}\right]=L_{x}$，$\left[L_{z}, L_{x}\right]=L_{y}$，由 Poisson定理可知，只要有两个相互垂直的角动量分量是运动积分，则上式表明其第三个垂直分量必是运动积分。说明与线动量不同，角动量三个分量在运动学上不是完全独立的（是指在变化上的不独立），这符合如下事实：两个垂直轴上的转动可以合成绕第三个垂直轴上的转动第二，更为重要的是上式表明，与线动量不同，角动量三个分量不能同时取作为正则变量，因为这违反基本 Poisson括号公理。这种限制在量子力学上的反映：不存在$L_{x}, L_{y}, L_{z}$同时有确切取值的状态（$L=0$除外）。这说明：正则描述更深刻地描述了自然。
动力学问题的纯代数解法或者称为算子解法量子代数的前身是Taylor展开的 Poisson括号表示：若$f(q, p)$不显含$t$，则有$\frac{d f}{d t}=[f, H], \frac{d^{2} f}{d t^{2}}=[[f, H], H], \cdots$。若定义算符$D_{g} f=[f, g]$，则有$\left.\left.D_{g} f=[f, g], \quad D_{g}^{0} f=f, D_{g}^{2} f=[[f,g]\right] g\right]$，于是有

$f(t)=\left.D_{H}^{0} f\right|_{0}+\left.D_{H}^{1} f\right|_{0} t+\left.D_{H}^{2} f\right|_{0} \frac{1}{2 !} t^{2}+\cdots=\left.\sum_{n=0}^{\infty} D_{H}^{n} f\right|_{0} \frac{1}{n !} t^{n}=\left.e^{D_{H} t} f\right|_{0}$注意到最后的表达是很简洁的。
正则变换
选取不同的广义坐标，所得的微分方程的形式不同，求解方程的难易程度不同。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现一些循环坐标，就能在正则方程中多得出一些积分，对微分方程的求解就更有利，否则微分方程的求解就变得十分困难。但有无可遗坐标是与坐标系的选择有关的。因此，选取广义坐标是理论力学中最富技术性的环节。
正则变换即是一种坐标变换，使尽可能多的广义坐标及广义动量变为可遗坐标，同时要保证正则方程形式不变。
正则变换理论的目的就在于保证正则方程形式不变条件下寻找到尽可能多的广义坐标和广义动量为可遗坐标的理论。
原则上，对可积系统总可使所有广义坐标全部是循环坐标，从而使正则方程求解大大简化。
点变换与接触变换
$L(q, \dot{q}, t)$中$(q, \dot{q})$为动力学的独立变量，而从运动学角度看，两者又是有关联的，所以我们称它们为在“动力学”上的独立变量，而在“运动学”上是相关变量。若对 Lagrange方程中的广义坐标作坐标变换：

$\tilde{q}_{\alpha}=\tilde{q}_{\alpha}\left(q_{\beta}\right) \Rightarrow \dot{\tilde{q}}_{\alpha}=\dot{\tilde{q}}_{\alpha}\left(\dot{q}_{\beta}, q_{\beta}\right)$

$L(q, \dot{q}, t) \Rightarrow \tilde{L}(\tilde{q}, \dot{\tilde{q}}, t)$

$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}-\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}=0 \Rightarrow \frac{d}{d t} \frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{q}_{\alpha}}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{\tilde{q}}_{\alpha}}=0$

即 Lagrange方程形式保持不变，此种变换称为Lagrange方程的“点变换”。
对一力学系统而言，描述它的 Lagrange方程是不会随此系统广义坐标的选择不同而改变其形式的。因此点变换不会影响L氏方程的结构。
然而，对 Hamiltonian $H=H(q, p, t)$，描述系统的坐标变为 Lagrangian的两倍，为$(q, p)$，故相应的坐标变换为“接触变换”$\left\{\begin{array}{l}\tilde{q}_{\alpha}=\tilde{q}_{\alpha}(q, p, t) \\ \tilde{p}_{\alpha}=\tilde{p}_{\alpha}(q, p, t)\end{array}\right.$

$H(q, p, t) \Rightarrow \tilde{H}(\tilde{q}, \tilde{p}, t)$

此变换相对“点变换”任意性大，可选择的范围更多，但变换不能保证正则方程形式不变，即

$\left\{\begin{array}{l}\dot{q}_{\alpha}=\frac{\partial H}{\partial p_{\alpha}} \\ \dot{p}_{\alpha}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}\end{array}\right.$不能保证$\left\{\begin{array}{l}\dot{q}_{\alpha}=\frac{\partial H}{\partial p_{\alpha}} \\ \dot{p}_{\alpha}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}\end{array}\right.$
我们思考是否存在满足正则方程的“接触变换”呢？如何能自动得到满足正则方程的“接触变换”呢？
正则变换理论正是一种寻找能自动满足正则方程形式不变的接触变换！
正则变换
定义：正则变换就是既要保留 Hamilton力学的已有成果，如 Hamiltonian与 Lagrangian之间的Legrand变换关系和 Hamilton正则方程，同时又能增加可遗坐标的一种特殊接触变换

$\begin{aligned} H(q, p, t) & \Rightarrow \tilde{H}(\tilde{q}, \tilde{p}, t) \\ H(p, q, t) &=\sum_{\alpha=1}^{s} \dot{q}_{\alpha} p_{\alpha}-L(\dot{q}, q, t) \\ \Rightarrow \tilde{H}(\tilde{p}, \tilde{q}, t) &=\sum_{\alpha=1}^{s} \dot{\tilde{q}}_{\alpha} \tilde{p}_{\alpha}-\tilde{L}(\dot{\tilde{q}}, \tilde{q}, t) \end{aligned}$
我们使用生成函数来得到符合以上性质的变换，回到开始的开始——生成函数：要求变换前后均满足Hamilton作用量原理：

$\begin{aligned} \delta S &=\delta \int L d t=\delta \int\left[\sum_{\alpha=1}^{s} \dot{q}_{\alpha} p_{\alpha}-H(p, q, t)\right] d t=0 \\ \delta \tilde{S} &=\delta \int \tilde{L} d t=\delta \int\left[\sum_{\alpha=1}^{s} \dot{\tilde{q}}_{\alpha} \tilde{p}_{\alpha}-\tilde{H}(\tilde{p}, \tilde{q}, t)\right] d t=0 \end{aligned}$
由 Hamilton原理可以得到 Lagrange方程；将Hamiltonian与 Lagrangian之间的 Legrand变换代入其中，又可以得到 Hamilton正则方程，必有：

$\sum_{\alpha=1}^{s} \dot{q}_{\alpha} p_{\alpha}-H(p, q, t)=\left[\sum_{\alpha=1}^{s} \dot{\tilde{q}}_{\alpha} \tilde{p}_{\alpha}-\tilde{H}(\tilde{p}, \tilde{q}, t)\right]+\frac{d F}{d t}$
即有

$\sum_{\alpha=1}^{s} p_{\alpha} d q_{\alpha}-\sum_{\alpha=1}^{s} \tilde{p}_{\alpha} d \tilde{q}_{\alpha}+[\tilde{H}(\tilde{p}, \tilde{q}, t)-H(p, q, t)] d t=d F$

我们称其为Pfaff型方程，是微分形式的正则变换条件（F为任意形式的函数）。
注意式中$\tilde{H}, F$都未确定，所以此条件较易满足。可先设定函数$F$，据此确定正则变换关系，最后定出$H$。
函数$F$完全决定了整个正则变换，故称为正则变换的生成函数（母函数）。它必须同时与新老变量有关。
对Pfaff型方程进行不同的 Legrand变换，可得到4类不同类型的生成函数和正则变换（根据独立变量的选择方式不同而不同）：

第一类生成函数及生成方程：Pfaff方程中母函数$F$自变量是$(q, \tilde{q}, t)$，记为$F_{1}(q, \tilde{q}, t)$，于是我们有：

$\sum_{\alpha=1}^{S} p_{\alpha} d q_{\alpha}-\sum_{\alpha=1} \tilde{p}_{\alpha} d \tilde{q}_{\alpha}+(\tilde{H}-H) d t=d F_{1}(q, \tilde{q}, t)$

其生成方程为$\left\{\begin{array}{l}p_{\alpha}=\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{\alpha}} \\ \tilde{p}_{\alpha}=-\frac{\partial F_{1}}{\partial \tilde{q}_{\alpha}} \\ \tilde{H}=H+\frac{\partial F_{1}}{\partial t}\end{array}\right.$

可先从生成方程前两式中解出$(q, p)$为$(q, p)$的函数，再代入第三式，即可得到$\tilde{H}(\tilde{q}, \tilde{p}, t)$，从而得到新的正则方程。
第二类生成函数及生成方程：Pfa方程中母函数F自变量是$(q, \tilde{p}, t)$，记为$F_{2}(q, \tilde{p}, t)$。可对第一类生成函数进行部分变量 Legrand变换

$d\left(F_{1}+\sum_{\alpha} \tilde{q}_{\alpha} \tilde{p}_{\alpha}\right)=\sum_{\alpha=1}^{s} p_{\alpha} d q_{\alpha}+\sum_{\alpha=1}^{s} \tilde{q}_{\alpha} d \tilde{p}_{\alpha}+(\tilde{H}-H) d t=d F_{2}(q, \tilde{q}, t)$

有生成方程$\left\{\begin{array}{l}p_{\alpha}=\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{\alpha}} \\ \tilde{q}_{\alpha}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \tilde{p}_{\alpha}} \\ \tilde{H}=H+\frac{\partial F_{2}}{\partial t}\end{array}\right.$
第三类生成函数及生成方程：Pfa方程中母函数F自变量是$(p, \tilde{q}, t)$，记为$F_{3}(p, \tilde{q}, t)$。对第一类生成函数进行部分变量 Legrand变换

$d\left(F_{1}-\sum_{\alpha} q_{\alpha} p_{\alpha}\right)=-\sum_{\alpha=1}^{s} q_{\alpha} d p_{\alpha}-\sum_{\alpha=1}^{s} \tilde{p}_{\alpha} d \tilde{q}_{\alpha}+(\tilde{H}-H) d t=d F_{3}(p, \tilde{q}, t)$

有生成方程$\left\{\begin{array}{l}q_{\alpha}=-\frac{\partial F_{3}}{\partial p_{\alpha}} \\ \tilde{p}_{\alpha}=-\frac{\partial F_{3}}{\partial \tilde{q}_{\alpha}} \\ \tilde{H}=H+\frac{\partial F_{3}}{\partial t}\end{array}\right.$
第四类生成函数及生成方程：Pfaff-方程中母函数F自变量是$(p, \tilde{p}, t)$，记为$F_{4}(p, \tilde{q}, t)$。对一第类生成函数进行全变量 Legrand变换

$d\left(F_{1}-\sum_{\alpha} q_{\alpha} p_{\alpha}+\sum_{\alpha} \tilde{p}_{\alpha} \tilde{q}_{\alpha}\right)=-\sum_{\alpha=1}^{s} q_{\alpha} d p_{\alpha}+\sum_{\alpha=1}^{s} \tilde{q}_{\alpha} d \tilde{p}_{\alpha}+(\tilde{H}-H) d t=d F_{4}(p, \tilde{p}, t)$

有生成方程$\left\{\begin{array}{l}q_{\alpha}=-\frac{\partial F_{4}}{\partial p_{\alpha}} \\ \tilde{q}_{\alpha}=\frac{\partial F_{4}}{\partial \tilde{p}_{\alpha}} \\ \tilde{H}=H+\frac{\partial F_{4}}{\partial t}\end{array}\right.$

正则变换例子—几种常见的基本正则变换
我们通常有几种正则变换

恒等变换：$\tilde{q}_{\alpha}=q_{\alpha}, \tilde{p}_{\alpha}=p_{\alpha}$

取第二类生成函数为：$F_{2}(q, \tilde{p}, t)=\sum_{\alpha} q_{\alpha} \tilde{p}_{\alpha}$