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  • 多元复合函数求导法则

    万次阅读 2018-04-22 08:10:54
    若函数u=ϕ(t)、v=ψ(t)u=ϕ(t)、v=ψ(t)u = \phi(t)、v = \psi(t)都在点ttt可导,函数z=f(u,v)z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点(u,v)(u,v)(u,v)具有连续偏导数,那么复合函数z=f[ϕ(t),ψ(t)]z=f[ϕ(t),ψ(t)]z=f[\phi(t),...

    1、一元函数与多元函数复合的情形
    若函数 u=ϕ(t)v=ψ(t) u = ϕ ( t ) 、 v = ψ ( t ) 都在点 t t 可导,函数z=f(u,v)在对应点 (u,v) ( u , v ) 具有连续偏导数,那么复合函数 z=f[ϕ(t),ψ(t)] z = f [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] 在点 t t 可导,则对应

    z=f(u,v),{u=ϕ(t)v=ψ(t)

    dzdt=zududt+zvdvdt d z d t = ∂ z ∂ u d u d t + ∂ z ∂ v d v d t

    2、多元函数与多元函数复合的情形
    若函数 u=ϕ(x,y)v=ψ(x,y) u = ϕ ( x , y ) 、 v = ψ ( x , y ) 都在点 (x,y) ( x , y ) 具有对 xy x 、 y 的偏导数,函数 z=f(u,v) z = f ( u , v ) 在对应点 (u,v) ( u , v ) 具有连续偏导数,那么复合函数 z=f[ϕ(x,y),ψ(x,y)] z = f [ ϕ ( x , y ) , ψ ( x , y ) ] 在点 (x,y) ( x , y ) 的两个偏导数都存在,则对应

    z=f(u,v),{u=ϕ(x,y)v=ψ(x,y) z = f ( u , v ) , { u = ϕ ( x , y ) v = ψ ( x , y )
    zx=zuux+zvvx ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x
    zy=zuuy+zvvy ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ y

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  • 多元复合函数求导法则.ppt
  • 多元复合函数求导法则

    千次阅读 2017-11-04 00:34:17
    多元复合函数求导法则 注:复合函数为向量值函数。

    注:复合函数为向量值函数。

    链式求导法则

    若: m,p,nN,m,p,n1,
    fm×1=f1fm:RpRm,gp×1=g1gp:RnRp,
    zm×1=f(yp×1),yp×1=g(xn×1),
    dz=f(y)dy,dydx=(yixj)p×n,

    则: dzdx=f(g(x))g(x)

    证明:
    iN,1im,
    Δzi=pk=1ziykΔyk+pk=1Δyk2αi(y,Δy)
    其中 Δy=0 αi(y,Δy)=0, limΔy0αi(y,Δy)=0
    则: jN,1jn,
    ΔziΔxj=pk=1ziykΔykΔxj+|Δxj|Δxjpk=1(ΔykΔxj)2αi(y,Δy)
    易知: limΔxj0Δy=0, limΔxj0αi(y,Δy)=0
    于是: zixj=limΔxj0ΔziΔxj=pk=1ziykykxj
    (dzdx)ij=pk=1(f(g(x)))ik(g(x))kj

    一阶全微分的形式不变性

    dz=f(g(x))g(x)dx=f(y)dy

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  • 9.4 多元复合函数求导

    2021-01-30 15:17:05
    本篇内容为多元复合函数求导法则,内容其实难度还是不大的,但是作者看的时候有点费力,可能是因为我脑子慢吧,这篇写的时候我会尽可能的写的好理解一点,不管是我以后重新看还是大家拿去看都能省点心。...

    本篇内容为多元复合函数的求导法则,内容其实难度还是不大的,但是作者看的时候有点费力,可能是因为我脑子慢吧,这篇写的时候我会尽可能的写的好理解一点,不管是我以后重新看还是大家拿去看都能省点心。

    emmm想了下这一篇就不做关于一元函数求导的回顾了,一元函数求导显函数、隐函数、复合函数、参数方程函数,要回顾也不是一两句能说清楚的,推荐去看以前的相关内容,在第二章

    多元函数求导的内容也分为显函数、复合函数和隐函数,本篇中重点掌握后两者,因为显函数实在是没啥好说的。

    显函数

    给个例题就过了
    例1在这里插入图片描述
    例2在这里插入图片描述
    多元显函数求偏导还是看求导的功力,没什么好说的,接下来是第二部分——多元复合函数求偏导。

    多元复合函数求偏导

    多元复合函数求偏导是有几种情形的,熟练以后根本不用分情形,但是刚开始接触,所以还是分一下。
    情形一在这里插入图片描述
    这里有一个定理,这定理其实没啥用,不用记,会做题就行。
    emmm还是给一下
    在这里插入图片描述

    注解1
    在这里插入图片描述
    注解2
    在这里插入图片描述

    例题

    例2在这里插入图片描述
    画个图
    在这里插入图片描述
    z到t有两个路径,分别是z——u——t和z——v——t在这里插入图片描述

    情形二在这里插入图片描述
    定理在这里插入图片描述
    给个图在这里插入图片描述

    例题

    例3在这里插入图片描述
    例4在这里插入图片描述
    例5
    在这里插入图片描述
    画个图
    在这里插入图片描述
    例6在这里插入图片描述
    例7在这里插入图片描述
    例7在这里插入图片描述
    例8在这里插入图片描述

    总结

    本篇内容注重练习,重点搞明白复合函数偏导的层次关系。本篇完。

    展开全文
  • 高数 07.04 多元复合函数求导法则

    千次阅读 2017-12-10 13:23:27
    多元复合函数求导法则

    §

    y=f(u),u=φ(x)dydx=dydududxdy=f(u)du=f(u)φ(x)dx

    熟练掌握多元复合函数求导的链式法则

    .u=φ(t),v=ψ(t)t,z=f(u,v)(u,v),z=f(φ(t),ψ(t))t,dzdt=zududt+zvdvdt
    :tΔt,Δu,Δv,Δz=zuΔu+zvΔv+o(ρ)(ρ=(Δu)2+(Δv)2)ΔtΔzΔt=zududt+zvdvdt+o(ρ)Δt(ρ=(Δu)2+(Δv)2)Δt0,Δu0,Δu0ΔuΔtdudt,ΔvΔtdvdto(ρ)Δt=o(ρ)ρ(ΔuΔt)2+(ΔvΔt)20(Δt<0)(ΔuΔt)2+(ΔvΔt)2o(ρ)ρ0dzdt=zududt+zvdvdt()

    广:.,z=f(u,v),u=φ(x,y),v=ψ(x,y)zx=zuux+zvvx=f1φ1+f2ψ1zy=zuuy+zvvy=f1φ2+f2ψ2

    ,z=f(x,y),v=ψ(x,y),zx=fx+fvvx=f1+f2ψ1zy=fvvy=f2ψ2
    zxfx,zxyx,fxvx

    1.z=eusinv,u=xy,v=x+y,zx,zy
    :zx=zuux+zvvx=eusinvy+eucosv1=eu(ysinv+cosv)=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)]zy=zuuy+zvvy=eusinvx+eucosv1=eu(xsinv+cosv)=exy[xsin(x+y)+cos(x+y)]

    2.z=uv+sint,u=et,v=cost,dzdt
    :dzdt=zududt+zvdvdt+zt=vet+u(sint)+cost=et(costsint)+cost
    ,

    内容小结
    复合函数求导的链式法则
    弄清结构,选对公式

    练习
    1.f(x,y)|y=x2=1,f1(x,y)|y=x2=2x,f2(x,y)|y=x2.
    :f(x,x2)=1x,f1(x,x2)+f2(x,x2)2x=02x[1+f2(x,x2)]=0f2(x,x2)=1f2(x,y)|y=x2=1

    2.z=sin(xy2),zx,zy
    :u=xy2,z=sinuzx=dzduux=cosuy2=y2cos(xy2)zy=dzduuy=cosu2xy=2xycos(xy2)

    3.z=f(x2y,y2),zx,zy
    :u=x2y,v=y2zx=zuux+zvvx=f1(u,v)2xy+f2(u,v)0=2xyf1(x2y,y2)zy=zuuy+zvvy=f2(u,v)x2+f2(u,v)2y=f2(x2y,y2)x2+f2(x2y,y2)2y

    4.z=f(yx),f(u):xzx+yzy=0
    :u=yxxzx+yzy=xzuux+yzuuy=xzuyx2+yzu1x=zuyyx=0

    5.z=(x+2y)(x+2y),zx,zy
    :u=x+2y,v=x+2y,z=uvzx=zuux+zvvx=vuv11+uvlnu1=(x+2y)(x+2y)(x+2y1)+(x+2y)(x+2y)ln(x+2y)=(x+2y)(x+2y)(1+ln(x+2y))zy=zuuy+zvvy=vuv12+uvlnu2=2(x+2y)(x+2y)(x+2y1)+2(x+2y)(x+2y)ln(x+2y)=2(x+2y)(x+2y)(1+ln(x+2y))

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    千次阅读 2021-05-07 17:06:20
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    千次阅读 2019-10-21 11:36:32
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    千次阅读 2019-01-26 13:13:54
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空空如也

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