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  • 二阶常系数齐次线性微分方程通解

    万次阅读 多人点赞 2018-03-25 17:13:57
    *本文略去了很多证明,只记录结论 *文中的微分方程均指代二阶常...由于是二阶线性微分方程,所以它有两个,记为y1、y2y1、y2y_1、y_2,若y1y2≠Cy1y2≠C\frac{y_1}{y_2} \neq C(即两个之比不为常数),则y1、...

    *本文略去了很多证明,只记录结论
    *文中的微分方程均指代二阶常系数线性微分方程

    二阶常系数齐次线性微分方程的形式为:
    ay′′+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0ay+by+cy=0
    由于是二阶线性微分方程,所以它有两个解,记为y1、y2y_1、y_2y1y2,若y1y2≠C\frac{y_1}{y_2} \neq Cy2y1̸=C(即两个解之比不为常数),则y1、y2y_1、y_2y1y2线性无关,那么微分方程的通解为:
    y=C1y1+C2y2y = C_1y_1 + C_2y_2y=C1y1+C2y2

    我们可以通过微分方程的特征方程来计算微分方程的两个解:
    对于微分方程:ay′′+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0ay+by+cy=0

    它的特征方程为:ar2+br+c=0ar^2 + br + c = 0ar2+br+c=0(微分方程的n阶导对于特征方程的n次幂)

    写出微分方程的特征方程后即可以用求根公式求出特征方程的解:
    r1,2=−b±Δ2a,Δ=b2−4acr_{1, 2} = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \Delta = b^2 - 4acr1,2=2ab±ΔΔ=b24ac
    以下分情况讨论:
    ①当Δ>0\Delta > 0Δ>0时,r1、r2r_1、r_2r1r2是两个不相等的实根r1=−b+Δ2a,r2=−b−Δ2ar_{1} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},r_{2} = \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}r1=2ab+Δr2=2abΔ

    微分方程的通解为:y=C1er1x+C2er2xy = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}y=C1er1x+C2er2x
    ②当Δ=0\Delta = 0Δ=0时,r1、r2r_1、r_2r1r2是两个相等的实根r1=r2=−b2ar_1 = r_2 = -\frac{b}{2a}r1=r2=2ab

    微分方程的通解为:y=C1er1x+C2xer2xy = C_1e^{r_1x} + C_2xe^{r_2x}y=C1er1x+C2xer2x
    ③当Δ&lt;0\Delta &lt; 0Δ<0时,r1、r2r_1、r_2r1r2是一对共轭复根r1=α+βi,r2=α−βir_1 = \alpha + \beta i, r_2 = \alpha - \beta ir1=α+βir2=αβi其中α=−b2a,β=−Δ2a\alpha = -\frac{b}{2a}, \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}α=2abβ=2aΔ

    微分方程的通解为:y=eax(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)y = e^{ax}(C_1\cos \beta x + C_2\sin \beta x)y=eax(C1cosβx+C2sinβx)

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  • 二阶常系数非齐次线性微分方程通解

    万次阅读 多人点赞 2019-06-03 21:13:20
    二阶常系数非齐次线性微分方程的通解 二阶常系数非齐次线性微分方程的...二阶常系数齐次线性微分方程通解的解法:二阶常系数齐次线性微分方程的通解 下面只需要解出微分方程的特解即可 对应微分方程: ay...

    二阶常系数非齐次线性微分方程的通解

    见课文原文:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    下面看转的一片博客文章:

    二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为:

    							    ay″+by′+cy=f(x)
    

    微分方程的通解 = 对应的二阶常系数齐次线性微分方程通解 + 自身的一个特解
    简单记为:通解 = 齐次通解 + 特解。

    二阶常系数齐次线性微分方程通解的解法:二阶常系数齐次线性微分方程的通解

    下面只需要解出微分方程的特解即可

    对应微分方程:

    							    ay″+by′+cy=f(x)
    

    右式f(x)有两种形式:
    ①f(x)=eλxPm(x)e^{\lambda x}Pm(x)
    此时微分方程对应的特解为:
    y∗=xkRm(x)eλx

    其中:在这里插入图片描述
    得到这个不完全的特解后根据需要求出其不同阶的导数然后带入微分方程,即可解出特解中的系数,到这里,就得到了微分方程的完整特解,于齐次通解相加即的微分方程的通解。

    例:
    求微分方程 2y″+y′−y=2exe^{x} 的通解

    解:
    微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为 2r2r^{2}+r−1=0
    可得通解:
    y=c1ex+c2e12xy=c^{_{1}}e^{-x}+c^{_{2}}e^{\frac{1}{2}x}

    微分方程的右式f(x)=2e^x满足f(x)=eλxe^{\lambda x}Pm(x)型,且λ=1,m=0λ=1,m=0,
    所以,设特解为:

    y∗=aexe^{x}

    所以y∗=aexe^{x}、y∗′=aexe^{x}、y∗″=aexe^{x}
    带入微分方程左式得:2aex+aexaexe^{x}+ae^{x}−ae^{x}=2e^{x}

    得:a=1

    所以特解为:

    y∗=exe^{x}

    微分方程的通解为:

    y=c1ex+c2e12x+exy=c^{_{1}}e^{-x}+c^{_{2}}e^{\frac{1}{2}x}+e^{x}

    转自:https://blog.csdn.net/baishuiniyaonulia/article/details/79690752

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  • :证明二阶齐次线性方程通解可以表示成任意两个线性无 86 关解的线性组合}} \setlength\epigraphwidth{ 0.7 \linewidth} 87 \epigraph{汝当更求古之哲王以为师,如吾,不足法也.夫取法于上,仅得其中;取法 88...

    tex源代码如下:

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     15 \newenvironment{theorem}
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     17     {\end{adtheorem}\end{mdframed}\bigskip}
     18 \newtheorem*{bdtheorem}{定义}
     19 \newenvironment{definition}
     20 {\bigskip\begin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]\begin{bdtheorem}}
     21     {\end{bdtheorem}\end{mdframed}\bigskip}
     22 \newtheorem*{cdtheorem}{习题}
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     26 \newtheorem*{ddtheorem}{注}
     27 \newenvironment{remark}
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     30 \newtheorem*{edtheorem}{引理}
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     32 {\bigskip\begin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]\begin{edtheorem}}
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     50   % and author name here, see the TITLE block
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     67   \begin{flushright} % Right align
     68     {\LARGE\@title} % Increase the font size of the title
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     77 }
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     79 % ----------------------------------------------------------------------------------------
     80 %    TITLE
     81 % ----------------------------------------------------------------------------------------
     82 \begin{document}
     83 \title{\textbf{《基础偏微分方程》\footnote{David Bleecker,George
     84       Csordas著,李俊杰译.高等教育出版社,丘成桐主编数学翻译丛
     85       书.}习题1.1.20:证明二阶齐次线性方程的通解可以表示成任意两个线性无
     86     关解的线性组合}} \setlength\epigraphwidth{0.7\linewidth}
     87 \epigraph{汝当更求古之哲王以为师,如吾,不足法也.夫取法于上,仅得其中;取法
     88   于中,不免为下.}{唐太宗《帝范》} \author{\small{叶卢庆}\\{\small{杭州
     89       师范大学理学院,学号:1002011005}}\\{\small{Email:h5411167@gmail.com}}} % Institution
     90 \renewcommand{\today}{\number\year. \number\month. \number\day}
     91 \date{\today} % Date
     92 
     93 % ----------------------------------------------------------------------------------------
     94 
     95 
     96 \maketitle % Print the title section
     97 
     98 
     99 % ----------------------------------------------------------------------------------------
    100 % ABSTRACT AND KEYWORDS
    101 % ----------------------------------------------------------------------------------------
    102 
    103 % \renewcommand{\abstractname}{摘要} % Uncomment to change the name of the abstract to something else
    104 
    105 % \begin{abstract}
    106 
    107 % \end{abstract}
    108 
    109 % \hspace*{3,6mm}\textit{关键词:} % Keywords
    110 
    111 % \vspace{30pt} % Some vertical space between the abstract and first section
    112 
    113 % ----------------------------------------------------------------------------------------
    114 % ESSAY BODY
    115 % ----------------------------------------------------------------------------------------
    116 通过完成下列步骤,证明二阶齐次线性方程 $ay''+by'+cy=0$ [其中 $a,b,c$为
    117 常数且 $a\neq 0$.]的通解具有 $\phi(x,c_1,c_2)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$ 的
    118 形式,其中$y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是任意两个线性无关的解.这里假设所考虑的
    119 函数处处具连续的二阶导数(这是为了让隐函数定理发挥作用).\\
    120 
    121 根据通解的定义,我们只用证明 $c_1$ 和 $c_2$ 是函数独立的,也就是证明
    122 $\forall x\in I$,
    123 $$
    124 \begin{vmatrix}
    125   \frac{\pa\phi}{\pa c_1}(x)&\frac{\pa \phi}{\pa c_2}(x)\\
    126 \frac{\pa\phi'}{\pa c_1}(x)&\frac{\pa \phi'}{\pa c_2}(x)
    127 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
    128   y_1(x)&y_2(x)\\
    129 y_1'(x)&y_2'(x)
    130 \end{vmatrix}\neq 0.
    131 $$
    132 结合如下两个引理: (b)和 (a),我们可以直接得到上述结论.注意,引理 (a) 的
    133 意思是,两个函数线性无关,表明存在 $x_0\in I$,使得 Wronskian 不为0.这一
    134 点结合引理 (b),得到 Wronskian 在整个 $I$ 上不为0.
    135 \begin{exercise}[1.1.20,(b)]
    136   \textbf{Abel} 公式:证明如 $y(x),z(x)$ 是 $ay''+by'+cy=0$ 的任意
    137   解,则 $W[y,z](x)$ 是$aW'(x)+bW(x)=0$ 的解.于是存在依赖于 $y$ 和 $z$
    138   的常数 $C$,有 $W[y,z](x)=C\exp(-bx/a)$.
    139 \end{exercise}
    140 \begin{proof}[探索与证明]
    141   我们有
    142   \begin{equation}
    143     \label{eq:3}
    144     ay''+by'+cy=0,
    145   \end{equation}
    146   \begin{equation}
    147     \label{eq:4}
    148     az''+bz'+cz=0.
    149   \end{equation}
    150   把 $a,b,c$ 看作未知数,\eqref{eq:3} 和 \eqref{eq:4} 是两个方程,显然不
    151   能解出 $a,b,c$.但是要寻找它们之间的关系应该还是可以做到的.将方
    152   程\eqref{eq:3} 的两边同时乘以 $z$,得到
    153   \begin{equation}
    154     \label{eq:5}
    155     azy''+bzy'=-czy.
    156   \end{equation}
    157   将方程 \eqref{eq:4} 的两边同时乘以 $y$,得到
    158   \begin{equation}
    159     \label{eq:6}
    160     ayz''+byz'=-czy.
    161   \end{equation}
    162   方程 \eqref{eq:5} 和方程 \eqref{eq:6} 相减,可得
    163   \begin{equation}
    164     \label{eq:7}
    165     azy''-ayz''+bzy'-byz'=0.
    166   \end{equation}
    167   \eqref{eq:7} 即
    168   \begin{equation}
    169     \label{eq:8}
    170     a \begin{vmatrix}
    171       z&y\\
    172       z''&y''\\
    173     \end{vmatrix}+b \begin{vmatrix}
    174       z&y\\
    175       z'&y'\\
    176     \end{vmatrix}=0.
    177   \end{equation}
    178   于是 $aW'(x)+bW(x)=0$ 成立.
    179 \end{proof}
    180 \begin{exercise}[1.1.20,(a)]
    181   证明两函数 $f(x),g(x)$($\frac{f(x)}{g(x)}$或 $\frac{g(x)}{f(x)}$ 是可
    182   微的)在某个区间 $I$ 上线性相关的充要条件是它们的 Wronskian
    183 $$
    184 W[f,g](x)=\begin{vmatrix}
    185   f(x)&g(x)\\
    186   f'(x)&g'(x)
    187 \end{vmatrix}
    188 $$
    189 对所有的 $x\in I$ 为零.
    190 \end{exercise}
    191 \begin{proof}[证明]
    192   当 $f(x),g(x)$ 在 $I$ 上线性相关,说明存在不全为0的实
    193   数 $\lambda_1,\lambda_2$,使得
    194   \begin{equation}
    195     \label{eq:1}
    196     \lambda_1f(x)+\lambda_2g(x)=0.
    197   \end{equation}
    198   因此
    199   \begin{equation}
    200     \label{eq:2}
    201     \lambda_1f'(x)+\lambda_2g'(x)=0.
    202   \end{equation}
    203   把上面的两个方程联立,把 $\lambda_1,\lambda_2$ 看作未知量.由于
    204 $$
    205 \begin{vmatrix}
    206   f(x)&0\\
    207   f'(x)&0\\
    208 \end{vmatrix}
    209 $$
    210 211 $$
    212 \begin{vmatrix}
    213   0&g(x)\\
    214   0&g'(x)\\
    215 \end{vmatrix}
    216 $$
    217 都为0,因此根据 Cramer 法则,为了使得 $\lambda_1,\lambda_2$ 存在且不全
    218 为0,必须使
    219 $$
    220 \begin{vmatrix}
    221   f(x)&g(x)\\
    222   f'(x)&g'(x)
    223 \end{vmatrix}=0.
    224 $$\\
    225 
    226 反之,如果
    227 $$
    228 \begin{vmatrix}
    229   f(x)&g(x)\\
    230   f'(x)&g'(x)
    231 \end{vmatrix}=0,
    232 $$
    233 则根
    234 据 Cramer 法则,\eqref{eq:1} 和 \eqref{eq:2} 中的$\lambda_1,\lambda_2$
    235 也存在不全为0的解.
    236 \end{proof}
    237 
    238 
    239 % ----------------------------------------------------------------------------------------
    240 % BIBLIOGRAPHY
    241 % ----------------------------------------------------------------------------------------
    242 
    243 \bibliographystyle{unsrt}
    244 
    245 \bibliography{sample}
    246 
    247 % ----------------------------------------------------------------------------------------
    248 \end{document}
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    更新1:个人认为题目中的二阶导函数连续这个条件是不必的.

     

     

     

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  • (光看一遍书很快就又忘了,在此记录一下) y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0y′′+py′+qy=0 ...第三步:根据特征方程的两个根的不同情形,按照下列表格写出微分方程通解: 特征方程r2+pr+q=0r^2+pr+q=...

    (光看一遍书很快就又忘了,在此记录一下)
    y+py+qy=0y''+py'+qy=0

    第一步:写出微分方程的特征方程
    r2+pr+q=0r^2+pr+q=0

    第二步:求出特征方程的两个根r1,r2r_1,r_2

    第三步:根据特征方程的两个根的不同情形,按照下列表格写出微分方程的通解:

    特征方程r2+pr+q=0r^2+pr+q=0的两个根r1,r2r_1,r_2 微分方程y+py+qy=0y''+py'+qy=0的通解
    两个不相等的实根r1,r2r_1,r_2 y=C1er1x+C2er2xy=C_1e^{r_1 x}+C_2e^{r_2x}
    两个相等的实根r1=r2r_1=r_2 y=(C1+C2x)rr1xy=(C_1+C_2x)r^{r_1x}
    一对共轭复根r1,2=α±βr_{1,2}=\alpha\pm\beta y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)y=e^{\alpha x}(C_1cos\,\beta x+C_2sin\,\beta x)
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  • 如何解二阶齐线性微分方程

    万次阅读 2019-05-04 14:04:30
    二阶齐线性微分方程就是指形如y′′+py′+q=0y&#x27;&#x27;+py&#x27;+q=0y′′+py′+q=0的微分方程,一种解法就是使用二阶微分方程的公式,这里介绍另一种方法。 对于二阶微分方程,如果找到两个线性...
  • 一、二阶线性微分方程的引入 【例1】设有一弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为的物体。当物体处于静止状态时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反。这个位置就是物体的平衡位置。如图,取轴铅直向下...
  • 用Matlab解二阶齐次微分方程

    千次阅读 2020-11-07 21:44:59
    用Matlab解二阶齐次微分方程大纲函数代码 大纲 用Matlab解二阶齐次微分方程,网上很多麻烦又累赘又无用的东西,一句话解决的事。 函数 dsolve(‘a’,‘b’,‘c’):解微分方程函数 a:(二阶微分方程 b: ...
  • 二阶常系数线性方程通解反推方程@(微积分)引例是这样的: 设cosxcosx与xexxe^x为某n阶常系数线性齐次方程的两个解,则最小的n = ?,相应的首项系数为1的方程是? 分析:由cosx是一个解,则必有另一解sinx,±i\...
  • 二阶常系数微分方程通解

    千次阅读 2019-03-05 23:18:51
    二阶常系数微分方程通解 (一.) 二阶常系数微分方程通解的组成: 其对应二阶常系数微分方程通解 + 二阶常系数微分方程的特解 (二.) 构造二阶常系数微分方程的特解 形如:y′′+py′+qy=Pm(x)eαxy&amp;...
  • 形如:y''+py'+qy=0的二阶齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 求法:令y=e^(rx)次方r为待求系数,得到 (r^2+pr+q)e^(rx)=0 因为e^x次方恒大于0,所以r^2+pr+q=0,这个式子被称为特征方程 根据...
  • 利用两类Riccati方程z′=z2 - a(x)z+ b( x)的求解公式,给出了两类二阶线性微分方程通解,应用这些只与方程系数a(x)与b( x)相关的求解公式,求通解过程十分简捷.
  • 关于常系数齐次线性微分方程的求解,我们主要总结的是二阶方程,对于二阶以上的部分,在篇末稍微带一带,找一找方法和规律。 二阶方程 形如:y’’+py’+qy=0;其中p,q为常数,称方程为二阶常系数齐次线性微分方程。 ...
  • 不要嘲笑我,我百度经验搬过来的二阶常系数线性齐次方程的形式如下2基本求解思路如下,我们先要有一个总的思路用于解题3难点:对于特的求法END一.特求法一:待定系数法1优点:简单易懂,不易错缺点:计算量...
  • 一、线性微分方程的结构 1.1 二阶齐次线性方程 y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1) y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{1} y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1) 定理1:如果函数y1(x)y_1(x)y1​(x)与y2(x)y_2(x)y2​(x)是方程(1)的两个,...
  • 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是 y′′+py′+qy=f(x)(1) y''+py'+qy=f(x) \tag{1} ...由于二阶常系数齐次线性微分方程通解的求法之前已得到解决,所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的一
  • 二阶线性微分方程

    千次阅读 2019-02-27 23:02:30
    二阶线性微分方程定义:二阶线性微分方程定义:二阶线性微分方程定义: 形如: y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)y&amp;#x27;&amp;#x27; + P(x)y&amp;#x27; + Q(x)y = f(x)y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的方程称为...
  • 常系数非齐次线性微分方程

    千次阅读 2020-03-08 20:37:23
    一、常系数非齐次线性微分方程齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 齐次通解在上节已经讨论完 本节主要介绍求非齐次的特解 待定系数法 f(x) = eλxPm(x) f(x) = eλx[Pl(x)cos(wx) + Qn(x)sin(wx)] ...
  • 2.齐次线性微分方程

    2020-06-17 11:35:40
      本节关于二阶微分方程,首先泛化欧拉方法到二阶。其次介绍了两个定理,叠加定理和Wronskian定理。 1.欧拉方法用于高阶微分方程   对于二阶微分方程: x¨=f(t,x,x˙)\ddot{x}=f(t, x, \dot{x})x¨=f(t,x,x˙) ...
  • 分段函数或含绝对值符号型自由项非齐次线性微分方程求解思路@(微积分)总体思路是:分段分别求解,再根据连续性确定待定系数。比如:求解微分方程y″+4y=3|sinx|在[−π,π]y''+4y = 3|sinx|在[-\pi,\pi]上的通解。...
  • 文章目录
  • 高阶线性微分方程引入n阶线性微分方程的一般形式定理1 叠加原理函数组的线性相关与线性无关定理2二阶齐次线性微分方程 通解结构与定理三定理4推广刘维尔公式二阶二阶常系数齐次线性微分方程特征方程 特征根三...
  • 文章目录#一阶经典法##可分离变量型##不可分\齐次##一阶线性微分方程#二阶经典法##可降阶二阶##二阶常系数齐次线性微分方程##二阶常系数非齐次线性微分方程#微分算子法 D 求特#积分变换微分方程 欢迎纠错 #一阶...
  • 1. 问题引入(有阻尼自由振动微分方程、有阻尼强迫振动微分方程) 2. n阶线性微分方程的一般形式(一阶线性微分方程的...6. 非齐次线性方程通解结构、非齐次线性微分方程的解的叠加原理 7. 刘维尔公...
  • 利用Riccati方程和二阶变系数线性微分方程之间的关系,得到了一类二阶变系数线性微分方程通解公式,并指出“一类变系数微分方程的通解”中的主要结果的实质。
  • 这里以二阶线性微分方程为例。 形如方程5的称为二阶线性微分方程。   线性的概念定义为:   下面讨论 二阶线性微分方程,这些性质也可以推广到n阶线性方程:   1. 线性微分方程的的结构  目前,式(7...

空空如也

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二阶齐次线性微分方程的通解公式