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  • 在本文中,我们认为,经典的渐近反de Sitter时空必须满足无限大的正能量条件,而爱因斯坦引力与物质的一致紫外线完成状态将出现。 对于边界时空的每个球形空间区域B,我们可以将B与主体极端表面B之间的主体空间区域B...
  • 信息论中的不等式

    千次阅读 2017-02-15 08:36:08
    2. Jessen不等式 Ef(x)≥f(Ex)Ef(x) \ge f(Ex) 其中f(x)f(x)为凸函数。 将其中期望值E函数改为更容易理解的形式为: ∑ipif(xi)≥f(∑ipixi)\sum_i p_i f(x_i) \ge f(\sum_i p_i x_i) 其中pip_i为概率分布,即...

    1. 凸函数定义

    凸函数 f(x) 定义有两个方法:
    1) f′′(x)0
    2) λf(x1)+(1λf(x2)f(λx1+(1λ)xx)
    用这两种定义来证明函数凸性各有利弊。
    常用的凸函数有: logx, xlogx, ex, 11+ex

    2. Jessen不等式

    Ef(x)f(Ex)
    其中 f(x) 为凸函数。
    将其中期望值E函数改为更容易理解的形式为:
    ipif(xi)f(ipixi)
    其中 pi 为概率分布,即 pi=1, pi0
    如果 f(x)=logt ,则很容易推导KL散度或者互熵大于零。
    如果 f(x)=tlogt ,则很容易推导对数和不等式。
    进一步,只要 f(x) 是凸函数,可能有很多变种,譬如 f1(x)f2(x), f1(x)f2(x), f1(x)f2(x), ... 等复杂形式。
    对于 ff() 类,或者积分类的不等式证明都可能通过构造方法应用Jessen不等式来证明。

    3. 对数和不等式

    ai>0, bi>0 `,则` iailogaibi(iai)logiaiibi

    用Jessen不等式来证明,关键在于构造 f(x) 和E中的 Qi ,左侧为 Ef(x) ,右侧为 f(Ex) ,所以构造的 f(x)=tlogt, ti=aibi ,于是要求 iQiaibi=iaiibi ,因此, Qi=biibi ,最终展开如下:

    ibiibiaibilogaibi(ibiibiaibi)logiaiibi

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  • 切比雪夫不等式

    千次阅读 2017-06-07 11:56:41
    切比雪夫不等式假设随机变量XX的期望μ\mu和方差σ\sigma都存在, 对于任意正数ϵ>0\epsilon > 0, 都有: P(|x−μ|>ϵ)≤σ2ϵ2 P(|x - \mu| > \epsilon) \le \frac {\sigma^2}{\epsilon^2} 从不等式本身的意义来...

    切比雪夫不等式

    假设随机变量 X 的期望μ和方差 σ 都存在, 对于任意正数 ϵ>0 , 都有:

    P(|xμ|>ϵ)σ2ϵ2

    从不等式本身的意义来看, 它用随机变量的期望与方差给出了长尾概率的范围。例如,对于正态分布 XN(0,σ) 来说, x 大于3σ的概率: P(|x|>3σ)19 ,当然, 这个范围给的有点大了。

    现在来推导一下这个不等式。需要用到Markov不等式

    Markov 不等式

    假设 X 是一个不小于0的随机变量, 则:

    P(X>a)E(X)a

    证明过程如下:

    E(X)=0xp(x)dx=a0xp(x)dx+axp(x)dxaxp(x)dxaap(x)dx=aP(X>a)

    这个不等式只使用了随机变量的期望就给出了长尾分布的概率范围,但很明显, 太粗放了, 几乎不能提供有用信息。例如,假如人口年龄分布是一个在 [0,80] 之间的均匀分布(只是假如, 不是实际情况),随机锁定一个人, 他的年龄大于1岁的概率 P(X>1)<40 ,囧。大于40的概率: P(X>40)1 , 再囧。

    进一步就得到了切比雪夫不等式

    P(|xμ|>ϵ)=P(|xμ|2>ϵ2)E(|xμ|2)ϵ2=σ2ϵ2

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  • 平均互信息的可加性和广义相关系数不等式,丁勇,,本文探讨了信息论中平均互信息和广义相关系数的关系。证明了平均互信息的可加性,在此基础上得到了广义相关系数不等式,并给出了
  • Fisher信息量与Cramer-Rao不等式

    千次阅读 多人点赞 2019-09-27 00:45:31
    特别地当 g(θ)=θg(\theta)=\thetag(θ)=θ时,不等式化为 Dθη≥1nI(θ)D_\theta\eta\geq\frac{1}{nI(\theta)}Dθ​η≥nI(θ)1​ 证明: 后续待补充 2.2 证明:信息量等于二阶导的期望 这个重要性质,其实是...

         今天在看一个问题的时候,无意间看到需要证明:
    E [ ∂ 2 l n ( f ( x : θ ) ∂ θ 2 ] = - E { ( ∂ l n f ( x ; θ ) ∂ θ ) 2 } E[\frac{\partial^2 ln(f(x:\theta)}{\partial \theta^2}] = \textbf{-}E\{(\frac{\partial lnf(x;\theta)}{ \partial\theta})^2\} E[θ22ln(f(x:θ)]=-E{(θlnf(x;θ))2}
    结果查着查着,就查到了Fisher信息量的问题,顺便手推了一遍公式,感觉后面会忘记,抽点时间留手稿,打电子版是真浪费时间,每次都做很久的心里暗示(捂脸哭)。
    备注:下面均是个人拙见,仅供参考。

    一、评价统计量的三大标准

    我们知道点估计一般主要包含:矩估计和极大似然估计。
    矩估计主要思想是:如果总体中有 K个未知参数,可以用前 K阶样本矩估计相应的前k阶总体矩,然后利用未知参数与总体矩的函数关系,求出参数的估计量;
    极大似然估计主要思想是已经发生的样本出现概率最大化。
    对于已经获取的多个统计量,如何评价其参数估计是好还是坏,该如何选择呢?这里就要用到评价统计量的三大标准:无偏性、有效性、相合性(或一致性)
    下面简单介绍三大性质的主要内容:

    • 无偏性
      在统计学上称没有系统性偏差的性质为无偏性。严格数学定义为:
      θ ^ = θ ^ ( x 1 , x 2 , … , x n ) \hat\theta=\hat\theta(x_1, x_2, \dots, x_n) θ^=θ^(x1,x2,,xn)为母体 X X X的概率密度函数 { f ( x , θ ) : θ ∈ Θ } \{f(x, \theta):\theta\in\Theta\} {f(x,θ):θΘ}的未知参数 θ \theta θ的一个估计量。若对于一切 θ ∈ Θ \theta\in\Theta θΘ,关系式:
      E θ [ θ ^ ( x 1 , x 2 , … , x n ) ] = θ E_\theta[\hat\theta(x_1, x_2, \dots, x_n)] = \theta Eθ[θ^(x1,x2,,xn)]=θ
      成立,则称 θ ^ ( x 1 , x 2 , … , x n ) \hat\theta(x_1, x_2, \dots, x_n) θ^(x1,x2,,xn) θ \theta θ的无偏估计.
      备注:这里角标 θ \theta θ不是对其求期望,可以理解为此处 θ \theta θ为常量,求完期望后,只剩含 θ \theta θ的数值.
    • 有效性
      我们知道,方差是用来形容随机变量落在其均值的领域内的离散/集中程度的一个度量,一个好的统计量不仅应该是待估计参数 θ \theta θ的无偏估计,而且还应该有尽可能小的方差。因此,哪一个统计量的方差小,那么哪一个统计量较好。严格数学定义为:
      若参数 θ \theta θ有两个无偏估计 θ ^ 1 \hat\theta_1 θ^1 θ ^ 2 \hat\theta_2 θ^2,他们的方差对一切 θ ∈ Θ \theta\in\Theta θΘ D ( θ ^ 1 ) ≤ D ( θ ^ 2 ) D(\hat\theta_1)\leq D(\hat\theta_2) D(θ^1)D(θ^2),称估计 θ ^ 1 \hat\theta_1 θ^1比估计 θ ^ 2 \hat\theta_2 θ^2有效.
    • 相合性
      简单来说,随着样本量增大,估计值与真值很接近的可能性非常大,即估计值与真值之差小于任何数 ϵ ( > 0 ) \epsilon(>0) ϵ(>0)依概率趋于1. 严格数学定义为:
      设母体 X X X具有概率密度函数 f ( x ; θ ) , θ ∈ Θ f(x; \theta), \theta\in\Theta f(x;θ),θΘ为未知参数. θ ^ n = θ ^ n ( x 1 , x 2 , … , x n ) \hat\theta_n=\hat\theta_n(x_1, x_2, \dots, x_n) θ^n=θ^n(x1,x2,,xn) θ \theta θ的一个估计量, n n n为子样容量. 若为任意一个 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,有
      lim ⁡ n → + ∞ P ( ∣ θ ^ n − θ ∣ ≥ ϵ ) = 0 \lim_{n \to +\infty}P(|\hat\theta_n - \theta|\geq\epsilon)=0 n+limP(θ^nθϵ)=0
      则称 θ ^ n \hat\theta_n θ^n为参数 θ \theta θ的相合估计.
      本文我们主要想讨论Fisher信息量及Cramer-Rao不等式,这里就与上面提到的有效性有关系。 提到有效性,我们自然有这样一个想法,就是希望估计量的方差愈小愈好. 那么能够小到什么程度呢?也就是有没有下界?什么条件下方差下界存在?下面就讨论建立一个方差下界的Cramer-Rao不等式.

    二、Cramer-Rao不等式

    2.1 Cramer-Rao不等式(数学定义)

    x 1 , x 2 , … , x n x_1, x_2, \dots,x_n x1,x2,,xn为取自具有概率密度函数 f ( x ; θ ) , θ ∈ Θ = θ : a < θ < b f(x;\theta), \theta\in\Theta={\theta: a<\theta<b} f(x;θ),θΘ=θ:a<θ<b的母体 X X X的一个子集, a , b a, b a,b为已知常数, a a a可以取 − ∞ -\infty b b b可以取 + ∞ +\infty +. 又 η = μ ( x 1 , x 2 , … , x n ) \eta=\mu(x_1, x_2, \dots,x_n) η=μ(x1,x2,,xn) g ( θ ) g(\theta) g(θ)的一个无偏估计,且满足正则条件:
    (1) 集合 { x : f ( x ; θ ) > 0 } \{x: f(x;\theta)>0\} {x:f(x;θ)>0} θ \theta θ无关;
    (2) g ′ ( θ ) g^{'}(\theta) g(θ) ∂ f ( x ; θ ) ∂ θ \frac{\partial f(x;\theta)}{\partial\theta} θf(x;θ)存在,且对一切 θ ∈ Θ \theta\in\Theta θΘ
    ∂ ∂ θ ∫ f ( x ; θ ) d x = ∫ ∂ f ( x ; θ ) ∂ θ d x \frac{\partial}{\partial\theta}\int f(x;\theta)dx = \int\frac{\partial f(x; \theta)}{\partial\theta}dx θf(x;θ)dx=θf(x;θ)dx
    ∂ ∂ θ ∫ ∫  ⁣ ⋯ ∫ μ ( x 1 , x 2 , … , x n ) f ( x 1 ; θ ) f ( x 2 ; θ ) … f ( x n ; θ ) d x 1 d x 2 … d x n = ∫ ∫  ⁣ ⋯ ∫ μ ( x 1 , x 2 , … , x n ) ∂ ∂ θ [ ∏ i = 1 n f ( x i ; θ ) ] d x 1 d x 2 … d x n \frac{\partial}{\partial\theta}\int\int\dots\int \mu(x_1, x_2, \dots,x_n)f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)\dots f(x_n;\theta)dx_1dx_2\dots dx_n = \\ \int\int\dots\int\mu(x_1, x_2, \dots,x_n)\frac{\partial}{\partial\theta}[\prod_{i=1}^nf(x_i;\theta)]dx_1dx_2\dots dx_n θμ(x1,x2,,xn)f(x1;θ)f(x2;θ)f(xn;θ)dx1dx2dxn=μ(x1,x2,,xn)θ[i=1nf(xi;θ)]dx1dx2dxn
    (3) 令
    I ( θ ) = E θ { ( ∂ l n f ( x ; θ ) ∂ θ ) 2 } I(\theta) = E_\theta\{(\frac{\partial lnf(x;\theta)}{ \partial\theta})^2\} I(θ)=Eθ{(θlnf(x;θ))2}
    成为Fisher信息量,则
    D θ η ≥ [ g ′ ( θ ) ] 2 n I ( θ ) D_\theta\eta\geq\frac{[g^{'}(\theta)]^2}{nI(\theta)} DθηnI(θ)[g(θ)]2
    且其等式成立的充要条件为存在一个不依赖于 x 1 , x 2 , … , x n x_1,x_2,\dots,x_n x1,x2,,xn,但可能依赖于 θ \theta θ K K K,使得等式
    ∑ i = 1 n ∂ l n f ( x i ; θ ) ∂ θ = K ( η − g ( θ ) ) \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial lnf(x_i;\theta)}{ \partial\theta} = K(\eta - g(\theta)) i=1nθlnf(xi;θ)=K(ηg(θ))
    以概率1成立.
         特别地当 g ( θ ) = θ g(\theta)=\theta g(θ)=θ时,不等式化为
    D θ η ≥ 1 n I ( θ ) D_\theta\eta\geq\frac{1}{nI(\theta)} DθηnI(θ)1
    证明:
    后续待补充

    2.2 证明:信息量等于二阶导的期望

    这个重要性质,其实是为了方便计算信息量 I ( θ ) ] I(\theta)] I(θ)]而证明出来的。数学定义为:
    ∂ ∂ θ ∫ ∂ f ( x ; θ ) ∂ θ d x = ∫ ∂ 2 f ( x ; θ ) ∂ θ 2 d x \frac{\partial}{\partial\theta}\int\frac{\partial f(x;\theta)}{\partial\theta}dx = \int\frac{\partial^2 f(x;\theta)}{\partial\theta^2}dx θθf(x;θ)dx=θ22f(x;θ)dx
    则:
    I ( θ ) = − E [ ∂ 2 l n ( f ( x ; θ ) ∂ θ 2 ] I(\theta) = -E[\frac{\partial^2 ln(f(x;\theta)}{\partial \theta^2}] I(θ)=E[θ22ln(f(x;θ)]
    证明:
    E [ ∂ l n ( f ( x ; θ ) ∂ θ ] = ∫ 1 f ( x ; θ ) ∗ ∂ f ( x ; θ ) ∂ θ ∗ f ( x ; θ ) d x = ∫ ∂ f ( x ; θ ) ∂ θ d x = ∂ ∂ θ ∫ f ( x ; θ ) d x ‾ = ∂ ∂ θ ∗ 1 = 0 ‾ \begin{aligned} E[\frac{\partial ln(f(x;\theta)}{\partial \theta}] =& \int\frac{1}{f(x;\theta)}*\frac{\partial f(x;\theta)}{\partial\theta}*f(x;\theta)dx\\ =& \int\frac{\partial f(x;\theta)}{\partial\theta}dx\\ =& \underline{\frac{\partial}{\partial\theta}\int f(x;\theta)dx}\\ =& \frac{\partial}{\partial\theta}*1 \\ =& \underline{0} \end{aligned} E[θln(f(x;θ)]=====f(x;θ)1θf(x;θ)f(x;θ)dxθf(x;θ)dxθf(x;θ)dxθ10
    因此有:
    ∫ ∂ 2 f ( x ; θ ) ∂ θ 2 d x = ∂ ∂ θ ∫ ∂ f ( x ; θ ) ∂ θ d x = 0 \int\frac{\partial^2 f(x;\theta)}{\partial\theta^2}dx = \frac{\partial}{\partial\theta}\int\frac{\partial f(x;\theta)}{\partial\theta}dx = 0 θ22f(x;θ)dx=θθf(x;θ)dx=0

    由方差定义 V a r ( X ) = E X 2 − ( E X ) 2 Var(X)=EX^2 - (EX)^2 Var(X)=EX2(EX)2 E [ ∂ l n ( f ( x ; θ ) ∂ θ ] = 0 E[\frac{\partial ln(f(x;\theta)}{\partial \theta}]=0 E[θln(f(x;θ)]=0知:
    V a r [ ∂ l n ( f ( x ; θ ) ∂ θ ] = E [ ( ∂ l n ( f ( x ; θ ) ∂ θ ) 2 ] − { E [ ∂ l n ( f ( x ; θ ) ∂ θ ] } 2 = E [ ( ∂ l n ( f ( x ; θ ) ∂ θ ) 2 ] \begin{aligned} Var[\frac{\partial ln(f(x;\theta)}{\partial \theta}] =& E[(\frac{\partial ln(f(x;\theta)}{\partial \theta})^2] - \{E[\frac{\partial ln(f(x;\theta)}{\partial \theta}] \}^2 \\ =& E[(\frac{\partial ln(f(x;\theta)}{\partial \theta})^2] \end{aligned} Var[θln(f(x;θ)]==E[(θln(f(x;θ))2]{E[θln(f(x;θ)]}2E[(θln(f(x;θ))2]

    E [ ∂ 2 l n ( f ( x ; θ ) ∂ θ 2 ] = ∫ ∂ ∂ θ ( ∂ l n ( f ( x ; θ ) ∂ θ ) f ( x ; θ ) d x = ∫ ∂ ∂ θ ( ∂ f ( x ; θ ) ∂ θ f ( x ; θ ) ) f ( x ; θ ) d x = ∫ ∂ 2 f ( x ; θ ) ∂ θ 2 ∗ f ( x ; θ ) − ∂ f ( x ; θ ) ∂ θ ∗ ∂ f ( x ; θ ) ∂ θ f ( x ; θ ) 2 f ( x ; θ ) d x = ∫ ∂ 2 f ( x ; θ ) ∂ θ 2 d x ‾ − ∫ ( ∂ f ( x ; θ ) ∂ θ f ( x ; θ ) ) 2 f ( x ; θ ) d x = 0 − ∫ ( ∂ l n f ( x ; θ ) ∂ θ ) 2 f ( x ; θ ) d x = − E ( ∂ l n f ( x ; θ ) ∂ θ ) 2 \begin{aligned} E[\frac{\partial^2 ln(f(x;\theta)}{\partial \theta^2}] &= \int\frac{\partial}{\partial\theta}(\frac{\partial ln(f(x;\theta)}{\partial \theta})f(x;\theta)dx \\ &= \int\frac{\partial}{\partial\theta} \Big( \frac{ \frac{\partial f(x;\theta)}{\partial\theta} }{f(x;\theta)} \Big) f(x;\theta)dx \\ &= \int\frac{\frac{\partial^2f(x;\theta)}{\partial\theta^2}*f(x;\theta) - \frac{\partial f(x;\theta)}{\partial\theta} *\frac{\partial f(x;\theta)}{\partial\theta}}{f(x;\theta)^2}f(x;\theta)dx \\ &= \underline{\int\frac{\partial^2f(x;\theta)}{\partial\theta^2}dx} - \int\Big(\frac{\frac{\partial f(x;\theta)}{\partial\theta}}{f(x;\theta)}\Big)^2f(x;\theta)dx \\ &= 0 - \int\Big(\frac{\partial lnf(x;\theta)}{\partial\theta}\Big)^2f(x;\theta)dx \\ &= - E\Big(\frac{\partial lnf(x;\theta)}{\partial\theta}\Big)^2 \end{aligned} E[θ22ln(f(x;θ)]=θ(θln(f(x;θ))f(x;θ)dx=θ(f(x;θ)θf(x;θ))f(x;θ)dx=f(x;θ)2θ22f(x;θ)f(x;θ)θf(x;θ)θf(x;θ)f(x;θ)dx=θ22f(x;θ)dx(f(x;θ)θf(x;θ))2f(x;θ)dx=0(θlnf(x;θ))2f(x;θ)dx=E(θlnf(x;θ))2
    再结合 I ( θ ) I(\theta) I(θ)定义,得:
    I ( θ ) = E ( ∂ l n f ( x ; θ ) ∂ θ ) 2 = − E [ ∂ 2 l n ( f ( x ; θ ) ∂ θ 2 ] = − V a r [ ∂ l n ( f ( x ; θ ) ∂ θ ] I(\theta) = E\Big(\frac{\partial lnf(x;\theta)}{\partial\theta}\Big)^2 = -E[\frac{\partial^2 ln(f(x;\theta)}{\partial \theta^2}] = -Var[\frac{\partial ln(f(x;\theta)}{\partial \theta}] I(θ)=E(θlnf(x;θ))2=E[θ22ln(f(x;θ)]=Var[θln(f(x;θ)]

    2.3 推导中有意思的点

    • 信息量的计算方式
      根据上述性质,信息量的计算可以借助概率密度函数的对数二阶导获取.

    • 一阶导与二阶导的巧妙
      一阶导数的平方的期望 等于 二阶导的期望.

    2.4 Cramer-Rao应用案例

    假设 X X X ~ B ( 1 , p ) B(1,p) B(1,p),即X服从两点分布. 其概率密度函数为:
    f ( x ; p ) = { p x ( 1 − p ) 1 − x ,   x = 0 , 1 0 ,    其 它     0 < p < 1 f(x;p)=\left\{ \begin{aligned} & p^x(1-p)^{1-x}, \ x=0,1 \\ & 0, \ \ 其它\\ \end{aligned} \right. \ \ \ 0<p<1 f(x;p)={px(1p)1x, x=0,10,     0<p<1
    于是:
    ∂ l n f ( x ; p ) ∂ p = ∂ l n [ x p ( 1 − x ) p ] ∂ p = x p − x 1 − p \frac{\partial lnf(x;p)}{\partial p} = \frac{\partial ln[x^p(1-x)^p]}{\partial p} = \frac{x}{p} - \frac{x}{1-p} plnf(x;p)=pln[xp(1x)p]=px1px

    ∂ 2 l n f ( x ; p ) ∂ p 2 = ∂ [ x p − 1 − x 1 − p ] ∂ p = − x p 2 − x ( 1 − p ) 2 \frac{\partial^2 lnf(x;p)}{\partial p^2} = \frac{\partial [\frac{x}{p} - \frac{1-x}{1-p}]}{\partial p} =- \frac{x}{p^2} - \frac{x}{(1-p)^2} p22lnf(x;p)=p[px1p1x]=p2x(1p)2x
    又因:E(X)=p
    I ( p ) = E [ − ∂ 2 l n f ( x ; p ) ∂ p 2 ] = E [ x p 2 + x ( 1 − p ) 2 ] = 1 p ( 1 − p ) I(p) = E[-\frac{\partial^2 lnf(x;p)}{\partial p^2}] = E[ \frac{x}{p^2} + \frac{x}{(1-p)^2}]=\frac{1}{p(1-p)} I(p)=E[p22lnf(x;p)]=E[p2x+(1p)2x]=p(1p)1
    已知 X X X的无偏估计为: X ˉ \bar{X} Xˉ 且其方差为: p ( 1 − p ) n \frac{p(1-p)}{n} np(1p)

    n I ( p ) = p ( 1 − p ) n = V a r ( X ˉ ) nI(p) = \frac{p(1-p)}{n} = Var(\bar{X}) nI(p)=np(1p)=Var(Xˉ)
    从而 X ˉ \bar{X} Xˉ的方差达到了Cramer-Rao下界.

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  • 求解不等式

    千次阅读 2018-01-09 15:36:02
    对指定正实数n(采用双精度浮点型表示),试求满足下面平方根不等式的最小整数m,并输出不等式左边的值。程序中浮点数的数据类型均为double。 程序运行示例如下: Input n: 5.1↙ Result:m&gt;=2 s=5.15 ...

    题目内容:

    对指定正实数n(采用双精度浮点型表示),试求满足下面平方根不等式的最小整数m,并输出不等式左边的值。程序中浮点数的数据类型均为double。

    程序运行示例如下:

    Input n:

    5.1↙

    Result:m>=2

    s=5.15

     

    输入提示信息:"Input n:\n"

    输入格式: "%lf"

    输出格式:

    整数m的输出格式:"Result:m>=%d\n"

    不等式左边的值的输出格式:"s=%.2f\n"

    为避免出现格式错误,请直接拷贝粘贴题目中给的格式字符串和提示信息到你的程序中。

    时间限制:500ms内存限制:32000kb

    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    int main()
    {
    	int i, m;
    	double s, n;
    	printf ("Input n:\n");
    	scanf ("%lf", &n);
    	for (m=1; m<=10000; m++)
    	{
    		s=0;
    		for (i=m; i<=2*m; i++)
    		{
    		s+=sqrt(i);
    		}
    		if (s>n)
    			break;
    	}
    	printf ("Result:m>=%d\n", m);
    	printf ("s=%.2f\n", s);
    	return 0;
    }

     

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  • 贝尔的不等式和纠缠

    2020-04-09 08:59:12
    我们提出了一种对量子纠缠的另一种评估,方法是在没有系统密度矩阵递减信息的情况下,测量对贝尔不等式的最大违反。 通过在n -qubit系统中桥接最大违反Bell不等式和纯状态的并举来证明此建议,在该系统中,一个子...
  • Jensen不等式初步理解及证明

    万次阅读 多人点赞 2019-04-08 15:12:59
    Jensen不等式(Jensen’s inequality)是以丹麦数学家Johan Jensen命名的,它在概率论、机器学习、测度论、统计物理等领域都有相关应用。 在机器学习领域,我目前接触到的是用Jensen不等式用来证明KL散度大于等于0...
  • 詹森不等式证明

    千次阅读 2016-12-23 13:21:38
    詹森不等式是对凸函数的一个推导,由2推导到n 凸函数性质:f(x)的二阶导数大于0,也就是f''(x)>0,在xf(ax+(1-a)y) 证明:f(ax+(1-a)y) ax+(1-a)y-x=(1-a)(y-x)>0 所以 x 有x 由拉格朗日中值定理有 (f(ax+(1-a)y)-f...
  • Jensen不等式及其证明

    万次阅读 2014-11-17 09:33:05
    如有错误,欢迎指正 word版证明:Jensen不等式及其证明.docx http://download.csdn.net/detail/x_yz_/5362227
  • 基本信息 基于Web的应用程序具有以下特点: 通过方法计算二次方程 二次方程根的和与积 构造二次方程 线性不等式 二次不等式 现场演示: : 技术领域 该项目的创建与: HTML CSS Java脚本 设置 该项目克隆...
  • 琴生不等式以丹麦技术大学数学家John Jensen命名,它给出了积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。又称詹森不等式。 若
  • 信号处理, 图像恢复, 矩阵完整化, 机器学习等信息技术领域中也 有许多问题可以归结为(或松弛成)一个凸优化问题. 凸优化的一阶必要性 条件就是一个单调变分不等式. 在变分不等式的框架下研究凸优化的求解方 法, 就...
  • 不等式与极限

    2014-07-05 20:18:00
    转载于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3826358.html
  • 一个线性矩阵不等式具有以下一般形式的一个矩阵不等式: L(x)=L0+x1L1+···+xnLn<0 其中:*L0,···,Ln*是给定的对称常数矩阵,*x1,···,x2*是未知变量,称为决策变量,*x=[x1,···xn]T∈Rn*是由决策变量...
  • 势函数解决附不等式约束平差问题的研究,欧阳文森,朱建军,测量数据处理中经常会有些先验信息可以利用,这些先验信息可以总结成等式或不等式。附等式约束的平差理论目前已经十分成熟,因而
  • 9.3 一元一次不等式组教学目标知识与技能:1、了解一元一次不等式组及其解集的概念。2、会利用数轴求不等式组的解集。过程与方法:1、培养学生分析实际问题,抽象出数学关系的能力。2、培养学生初步数学建模的能力。...
  • 詹森不等式 背景 (Background) In Kaggle’s M5 Forecasting — Accuracy competition, the square root transformation ruined many of my team’s forecasts and led to a selective patching effort in the ...
  • 其中不等式中采用针对迄节点的路段变量,在符合现实中人们择路行为的同时为用户提供较为全面地诱导信息.在此基础上进一步分析了该不等式作为动态用户最优条件的等价性约束在具体相关交通问题中的应用.将该不等式问题...
  • 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息; 修改现有的线性矩阵不等式系统; 求解三个一般的线性矩阵不等式问题; 验证结果。 本附录将详细介绍 LMI 工具箱提供的用于解决以上各个问题的相关函数和...
  • 解一元二次不等式

    万次阅读 2014-10-05 13:24:02
    题目要求:写一段程序,要求输入abc和符号然后由程序运算出该一元二次不等式的解集 <pre name="code" class="cpp">#include #include int main() { float a,b,c,x1,x2,t,y,u; char f; printf("请依次输入a,b,c...

空空如也

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