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DC/DC转换器：针对各控制系统的传递函数共通化

前言

·        前言

传递函数

·        所谓传递函数－传递函数和导出的基本概念

·        所谓传递函数－基尔霍夫定律和阻抗

·        所谓传递函数－传递函数和导出的基本概念

前言

传递函数是指表示系统的输入和输出的关系性，输入和输出的转换函数。控制工程是指作为用评估传递函数系统的举动或稳定性的手段。当然，本网页的主题是电源的传递函数，电源设计计算出传递函数，可评估响应特性或稳定性。本文“传递函数篇”是以DC/DC转换器的传递函数的概念、导出的方法等有关话题展开。多少会谈及些复杂的数学公式，对理解传递函数非常有意义。

然而，虽然在这里计算出DC/DC转换器的传递函数这一主题，是通往“对各控制系统传递函数的通用化”课题的首要课题。

为了导出DC/DC转换器的传递函数，需要将开关工作周期的时间平均化，近似为线性工作。此外，导出的传递函数与降压、升压、升降压等电压转换的类型，电压模式或电流模式以及导通时间固定迟滞控制(也称为纹波控制、比较器控制等)等控制方法有所不同。大概是因此，各模式的方法不统一，结果总之处于烦杂的状况。

因此，考虑到这些多种多样的传递函数不能总结为统一方法， DC/DC转换器的传递函数的导出成为了“通用化”课题。

进行稍微具体的说明。下图从左至右分别为降压转换器的“电压模式控制”、“电流模式控制”、“导通时间固定迟滞控制”的 FRA(FrequencyResponse Analyzer：频率特性分析器)的测量波形。尝试如此排列并比较不同控制的特性，可以看出完全不同的部分和相似的部分。思考能否用共通的想法和方法，对这些传递函数的导出方法进行归纳，在通过共通的平台下把不同的特性函数化。

在这里，记住以下两点推进话题。

1. 传递函数的导出过程是以数学方法为基本传递函数导出过程中，使用状态平均法、行列等数学方法，从传递函数的正面相向。但是，最终做到不使用它们，而是通过形象化导出传递函数。

2.对于各控制方法采取统一的方法对于降压或升压、电压模式或电流模式等的不同，不采取不同的方法为前提。相同方法进行中，通过编入各模式的特征导出传递函数。

最终的目的是，理解虽然DC/DC转换器的控制模式不同但根本上是相同的。目标为捕捉每个共通部分和各模式的特征，导出函数原本的一般性和统一性较高的传递函数。

关键要点:

・无论开发者还是设计者理解传递函数都非常有意义。

・在这里传递函数导出的通用化作为课题。

・传递函数的导出过程以数学方法为基本，对于各控制方法采取统一的方法。

所谓传递函数－传递函数和导出的基本概念

本页进入主题。说明内容或术语等以理解电气、电子的基础为前提。如果有不明白内容或术语，返回头来学习也是重要的。能在此意义之上使用本文将不胜感激。

传递函数

那么，传递函数是指，如前一节中说明是“表示系统的输入和输出的关系性，输入转换为输出的函数”。从这里起如果符合思考的话可以说“通过黑匣子输入信号(v_in)被变换为输出信号(v_out)时的变换变量”。

作为通常的传递函数所示的重要因素的有增益和相位。增益表示传递路径的增幅率，相位表示传递时间的偏差。简化它们，并总结在图1中。

图 1

说起“增益和相位”，对从事模拟系统的人首先浮现在脑海中的大概是运算放大器的特性。正如所说，如果运算放大器作为黑匣子考虑，用传递函数可以表现运算放大器的增益和相位的特性。

关于DC/DC转换器，瞬态响应特性的评价中增益和相位的特性的测定被熟知。DC/DC转换器时，也认为是DC/DC转换器作为黑匣子表示增益和相位的传递函数。图1中虚线包围的电路，是DC/DC转换器时的内部为黑匣子的一个例子。

传递函数导出的基础概念

在以图1为基础计算传递函数时，传递函数有方便的特点。那就是传递函数可以分解，以它们的积来描述。具体例子如图2所示。

图 2

图2是指图1的DC/DC转换器的内部是黑匣子，红线包围的整体作为G_(S)，将每个模块分解为G_1(S) 、G_2(S) 、G_3(S) 、G_4(S)后可以描述为如下的公式1-1。

公式 1-1

例如，G_1(S)是指误差放大器模块的传递函数，对于输入Δv_in输出Δv_c可以表示为Δv_c / Δv_in，各模块可以如下表示。

这里套用公式1-1

公式 1-2

得出公式1-2，可以看出公式1-1是正确。

也就是说，导出各模块的传递函数，通过取得它们的积可以计算出作为整体的传递函数。

关键要点:

・传递函数是指通过黑匣子输入信号(v_in)被变换为输出信号时候的变换变量。

・增益和相位通常是传递函数的重要的要素。

・传递函数可以分解，可以用它们的积来描述。

所谓传递函数－基尔霍夫定律和阻抗

以各模块计算具体的传递函数之前，在导出传递函数时，确认两个重要的定律。

一个是指基尔霍夫的电流定律。本定律是指“任意的节点中电流的和为0”。本定律必须要注意的是电流的流向。

另一个是指基尔霍夫的电压定律。本定律是指“任意的闭合电路中电压波动为0”。这两个定律如图3所示。

图3

为了导出传递函数而使用上面两个定律，但是有一件事必须要探讨。那就是如何表述阻抗。如下面的图4所示，电阻R、电容C、线圈L连接于DC电源V，各自的变动不同。电阻R两端的电压不随时间的推移变化。电容器的电压逐步上升，一定时间后达到电源的电压。线圈的电压立刻达到电源的电压，逐步下降。

图4

从图4的特性可以认为，以电容器和线圈以及电阻考虑时，电阻值(阻抗)可以作为时间(相位)的函数。这样，包括随时间变化的电阻，都可以表述为阻抗。可以说输入电压为步进响应时的电容器的阻抗随时间的推移变大。线圈与其相反。电路的场合，因为作为时间的倒数而使用角速度ω、可以表示为如图5所示。

图5

最后，解释出现复数的原因。电路中复数表示相位，是响应时间相关的参数。这种情况，表示电源的响应速度。电容器的情况为延迟后到达电源电压V，线圈与其相反，可以表示为如图5所示。

关键要点:

・基尔霍夫定律是为了导出传递函数的重要定律。

・因为需要表示阻抗，使用时间的倒数作为角速度ω。

・出现复数原因是电路中复数表示响应时间。

所谓传递函数－传递函数和导出的基本概念

传递函数的频率特性

这里通过“传递函数的频率特性”来考虑传递函数。和前项的“基尔霍夫定律和阻抗”中的解说有密切的关系所以希望合在一起阅读。

首先，请看图6。电阻和电容器组成简单的闭合电路。首先，尝试计算出本电路的传递函数。

为了让电路图容易形象化，将图6改画成图7。当然，作为电路是相同的。这样一来，能立刻明白ΔV_out是ΔV_in通过R和C的阻抗分割的。

形成公式ΔV_out = ΔV_in ×(C/(R+C))，表示阻抗。正如前项的“基尔霍夫定律和阻抗”说明的那样，虽然R的表示为R，然后尝试画波特图。波特图是指横轴为频率(⨍)，纵轴为增益(Gain)和相位(Phase)的图表，需要计算按增益和相位。首先，从增益开始计算。接着，计算相位。

总结上述，如下面的图10所示。至此，可以让增益(Gain)和相位(Phase)的特性形象化。

图10

图11

前项“基尔霍夫定律和阻抗”中，讲述了电容器的阻抗表示为“1/jωC”，以达到理解传递函数的目的。请看图11。

图11是指图6的电路的步进响应特性。电容器电源波动的瞬间(与f = ∞等值)，电容器的阻抗为0，ΔV_out=0。经过一定时间变为(与f=∞等值)ΔV_in相等。

接着，图形化如下。这是电容器步进响应针对阻抗“1/jωC”的示意图。

图12

图13中包括线圈的各元件的阻抗记述和ω=0以及ω=∞时的等价处理，而且，图14中表示频率特性。

关键要点:

・思考表示ΔV_in通过电容器和电阻分割的ΔV_out的传递函数的例子。

・电容器的阻抗表示“1/ jωC”形象化传递函数。

・以波特图(频率特性)为基本，恰当的理解增益和相位的基础概念的含义。

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许多教材和参考指南将运算放大器(运放)定义为可以执行各种功能或操作(如放大、加法和减法)的专用集成电路(IC)。虽然这个定义没有错，但仍需注重芯片的输入引脚的电压。

当输入电压相等时，运算放大器通常在线性范围内工作，而运算放大器正是在线性范围内准确地执行上述功能。然而，运算放大器只能改变一个条件来使输入电压相等，即输出电压。因此，运算放大器的输出通常以某种方式连接到输入，这种通常被称为电压反馈。

本文解释一个通用电压反馈运算放大器的基本操作

1

图1描述了运算放大器的标准示意图符号 —— 有两个输入端(IN+/IN-)、一个输出端(OUT)和两个电源端(V+/V-)。这些端的名称可能因制造商而异，甚至单个制造商也可能使用不同的名称，但它们仍然是相同的五个端。 图1：通用型运算放大器示意图符号 例如，您可能会看到Vcc或Vdd而不是V+，又或者，您可能会看到Vee或Vss而不是V-。电源端子的其他标签会有所不同，因为它们指的是器件内部的晶体管类型。 例如，当在运算放大器内部使用双极结型晶体管(BJT)时，电源对应于BJT的集电极和发射极：Vcc和Vee 。在运算放大器内部使用场效应晶体管(FET)时，电源标签与FET的漏极和源极相对应：Vdd和Vss 。 如今，许多运算放大器同时包含BJT和FET，因此V+和V-是常见的标签，与器件内部的晶体管无关。简言之，不要太在意引脚标签，只要理解它们的作用即可。 等式1表示运算放大器的传递函数： (1) 在等式1中， AOL被称为“开环增益”。在现代运算放大器中，它通常是一个非常大的值(120dB或1,000,000V/V)。 例如，如果IN+和IN-之间的电压差仅为1mV，运算放大器将尝试输出1000V！在这种配置中，运算放大器不在线性区域内工作，因为输出不能使输入彼此相等(记住，理想情况下In+等于In-)。因此，运算放大器需要一种方法来控制开环增益，即通过负反馈来实现。

2

图2描述了作为反馈控制系统一部分的运算放大器。您会注意到输出OUT通过一个标记为 ß 的块反馈到负输入IN-。ß 被称为反馈因子，通常使用电阻来降低输出电压。 图2：负反馈运算放大器 图3比较了开环运算放大器和负反馈运算放大器。采用的运放是近乎理想的运放，加了电源来限制输出电压。 注意，对于左侧的开环配置，输出几乎等于正电源(V+)。这是因为输入引脚之间有一个很小的差异(100mV)。这种小电压被开环增益放大，开环增益会强制输出到其中一个电源电压。 在图3右侧的负反馈或闭环电路中，运算放大器输出上的分压器需要200mV的输出电压，以便使反相和同相输入相等。 图3：开环(左)与负反馈(右) 输入电压的放大称为增益。它是反馈回路中电阻值的函数。等式2描述了图3中右边电路的增益方程，这就是所谓的同相放大器。您将看到计算出的输出电压与仿真相符。 运算放大器的输出受到电源电压的限制。图4是图3中同相放大器的输出电压与输入电压的关系图。注意当输出接近正负电源时，输出由于饱和受限。 图4：同相放大器电路的输出与输入电压 由于这个限制，在图5中可以看到，随着输出接近电源，输入引脚之间的电压差Vdiff增加。只有当输入几乎相等时，运算放大器才在线性区域工作。 图5：同相放大器电路的 Vdiff 和 IN+

3

这就是运算放大器的基本原理：只有当输入引脚的电压相等时，运算放大器才是线性的。然而，为了实现这一点，运算放大器只能调整其输出电压。输出摆幅限制会导致输入电压差增大，从而导致非线性。 扫码入群 扫码添加管理员微信

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问 答 时 间 Q

如何构建差动放大器并对其性能进行优化？

A 有时需要在有较大共模信号的情况下测量小信号。在这类应用中，通常使用两个或三个运算放大器的集成仪表放大器。尽管仪表放大器具有出色的共模抑制比(CMRR)，但价格因素和性能指标阻碍了其在此类应用中的使用。下面就来具体讲解下如何构建差动放大器并优化其性能： 仪表放大器可能不具备用户要求的带宽、直流精度或功耗。因而，在这种情况下，用户可通过一个单放大器和外部电阻自行构建差分放大器，以替代仪表放大器。不过，除非使用匹配良好的电阻，否则这种电路的共模抑制比将很差。本应用笔记将探讨构建分立的差动放大器并优化其性能的数种方法，同时还将推荐几款可使解决方案的整体性价比能与单片仪表放大器相媲美的运算放大器产品。 一起来找“茬”(问题发现) 图1 为采用一个典型的由单放大器构建的差动放大器，该放大器与一个传感器桥路相连。 图1：单放大器构建的差动放大器电路图 通过叠加原理可知，该电路的输出为两个输入之差的函数。 图1 所示电路的传递函数为： 下列情形下会出现一种特殊情况：当 则等式(1)可以简化为等式(2)： 输出等于两个输入之差乘以增益系数，该系数可设定为1。当电阻比匹配良好时，等式(2)成立。假定完美匹配电阻值分别为：R2=R4=10kΩ，R1=R3=1kΩ，V1=2.5V，V2=2.6V，则有V_OUT=1V. 如上所述， 图1 所示电路的缺点之一在于其共模抑制比较低，这是因电阻匹配误差所致。出于讨论方便和清晰考虑，我们把这个电路图重画一下，如 图2 所示。 图2 电阻R2的公差引起的误差为R2(1–error)。通过叠加原理，同时使R1=R3，R2=R4，在计算并进行排列之后，输出电压(V _OUT)为： 根据等式(3 )，共模增益(Acm)和差分增益(Adm)可定义为： 从等式(4)可见，当电阻值不存在误差(即error=0)时，则Acm=0，放大器仅对差分电压作出响应，即： 因此，当电阻比率误差为零(error=0)时，电路的共模抑制比将在很大程度上取决于所选放大器的共模抑制比。当电阻比率误差不为零时，如 图2 所示，电路共模抑制比可表示为： 当R2误差极小时，以上等式中的第二项可忽略不计，即： 对于R2=R4=10kΩ，R1=R3=10kΩ且error=1%的单位增益分立差动放大器，其共模抑制比约为46dB。这比单片差动放大器(AMP03)的性能差得多，后者的共模抑制比如 图3 所示。 图3：AMP03(单片差动放大器)共模抑制比与频率的关系 如上所示，因电阻不匹配导致的误差可能构成分立差动放大器的一大不足。但通过一些方法是可以优化这种电路的。 好办法助你解决问题 方案 方法1：尽可能将该放大器置于一种高增益配置中

在等式(3)中，差分增益与(R2/R1)之比成正比。因此，优化以上电路性能的一种方法就是尽可能将该放大器置于一种高增益配置中(在高增益配置中使用大电阻会引发噪声问题，同样需要解决)。

通过选择阻值更大的R2和R4(R2=R4)，以及阻值更小的R1和R3(R1=R3)，可获得更高的增益，使共模抑制比更佳。举例来说，当R2=R4=10kΩ、R1=R3=1kΩ且error=0.1%时，共模抑制比将得到改善，优于80dB。对高增益配置，请选择IB极低、增益极高的放大器，以降低增益误差。电路的增益误差和线性度是放大器性能的函数。

图4a：AD8605的共模抑制比(其中G=1)

图4b：AD8605的共模抑制比(其中G=10)

方案 方法2：选择公差更小、精度更高的电阻

电阻越匹配，共模抑制比越佳。例如，如果以上电路需要90dB的共模抑制比，则电阻匹配公差应在0.02左右。这种情况下，电路的共模抑制比将不亚于某些高精度仪表放大器，只是后者的交流和直流特性更好。

图5a：OP1177的共模抑制比(其中G=1)

图5b：OP1177的共模抑制比(其中G=10)

方案 方法3：使用机械微调电位计

改善图1所示电路共模抑制比的另一种方法是使用机械微调电位计，如图6所示。

图6

借助这种方法，用户可使用公差较低的电阻，但需要定期进行调整。

方案 方法4：使用数字电位计

作为对精度要求不高的电路的替代途径，可使用数字电位计，如图7所示。AD5235(一种非易失性存储器、双路1024位数字电位计)配合AD8628可构成一种差动放大器，其增益为15(G=15)。

通过使用电位计，能获得编程能力，可一步完成增益设置和微调。这种电路的另一优势在于，双电阻(AD5235)的温度系数为50ppm，使电阻比率匹配更为方便。根据电路所需精度和公差，也可选择其它数字电位计。

图7

图8：图7所示电路的共模抑制比与频率

方案 方法5：使用双路或四路放大器构建共模抑制比更佳、高输入阻抗的仪表放大器 使用双路或四路放大器构建共模抑制比更佳、高输入阻抗的仪表放大器。这是一种成本更高的解决方案，也是单片仪表放大器所用的方法。应根据实际需要选择相应的放大器，比如更出色的BW、ISY和VOS，此类需求可能是仪表放大器所不能满足的。 自稳零放大器，如AD8628和AD855x系列是此类应用 的最佳选择。 这类放大器具有极高的直流精度，不会给输出增加任何误差。 自稳零放大器具有长期稳定性，无需像某些系统那样反复进行校准。 自稳零放大器的最低共模抑制比为140dB，因而在多数电路中，电阻匹配将成为限制因素。 因此，用户最好根据上述指南来构建差动放大器并优化其性能。 更多AD8628和AD855x系列的信息，请扫码： 本文转载自： 亚德诺半导体 免责声明：本文为转载文章，转载此文目的在于传递更多信息，版权归原作者所有。本文所用视频、图片、文字如涉及作品版权问题，请联系小编进行处理。 关于【M博士问答】 【M博士问答】是贸泽电子推出的问答栏目，帮助工程师们解决任何疑难问题。 欢迎各位后台留言，可提出任何的问题！ 小编将为您解答！ 关于贸泽 贸泽电子设计圈由贸泽电子(Mouser Electronics)开发和运营，服务全球广大电子设计群体。贸泽电子原厂授权分销超过800家领先品牌，可订购500多万种在线产品，为客户提供一站式采购平台，欢迎关注我们，获取第一手的设计与产业资讯信息！