下列哪些选项是泰勒级数在x=1处展示的式子？请选择正确的选项。
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$(1) 1 + x^2 + \dfrac{3}{16} x^3 + \dfrac{1}{90} x^4 + H.O.T$

$(2) 25\ln(x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^4 + H.O.T$

$(3) \dfrac{1}{2} + 3(x-1) + \dfrac{4}{45}(x-1)^2 + \dfrac{1}{90}(x-1)^3$

$(4) \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{2^k}{k!}(x-1)^k$

$(5) 1 + (x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^3 + H.O.T$

$(6) \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{\pi^{2k}}{(2k+1)!}(x-1)^{k-1}$
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分析：

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$(1) 1 + x^2 + \dfrac{3}{16} x^3 + \dfrac{1}{90} x^4 + H.O.T$

这是泰勒多项式在x=0处的展开式，所以不符合题意。
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$(2) 25\ln(x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^4 + H.O.T$

$\ln(x-1)$不是$(x-1)$幂次项，所以不符合题意。
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$(3) \dfrac{1}{2} + 3(x-1) + \dfrac{4}{45}(x-1)^2 + \dfrac{1}{90}(x-1)^3$
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正确，虽然它看起来不是无限级数，幂次数超过3的系数全为0，可以写成$\dfrac{1}{2} + 3(x-1) + \dfrac{4}{45}(x-1)^2 + \dfrac{1}{90}(x-1)^3 + {0\times(x-1)^4} + {0\times(x-1)^5} + {0\times(x-1)^6} + H.O.T$
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此外，再举一个例子：$x^2$在$x=1处$的泰勒展开式为$1+2(x-1)+(x-1)^2$。
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$(4) \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{2^k}{k!}(x-1)^k$
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正确，符合泰勒级数在$x=1$处定义的展开式，但是我们注意到第一项$\dfrac{2^0}{0!}(x-1)^0$在$x=0$处没有定义，这无关紧要，关键是看这一项的定义是否有极限，极限值是多少。$\displaystyle \lim_{x=1}{\dfrac{2^0}{0!}(x-1)^0} =1$，因此这一项本质上是常数项。
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$(5) 1 + (x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^3 + H.O.T$
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正确，理由同(3)。
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$(6) \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{\pi^{2k}}{(2k+1)!}(x-1)^{k-1}$
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化简后的第一项是$(x-1)^{-1}$，我们知道在泰勒级数展开式中，关于未知数的幂次数是非负数的，是从0次幂开始（在定义处有极限值的常数项），所以不符合题意。
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结论：

因此正确选项应为（3）、（4）、（5）。