泰勒多项式近似的误差有多少？原片：khanacademy.org
  
  
1，右上角粉色的公式即为泰勒级数近似公式；
  
2，左下角黄色的一组公式说明了它的重要性质，在a处，任意阶导数误差都为0；
  
3，右侧中间用绿色箭头划掉的部分说明一个重要的性质，对N阶泰勒级数求N+1阶导数，结果为0；（如左上角所说，对x求2阶，对x^2求3阶）
  
得出结论在右下角：残留误差的n+1阶导数，等于函数的n+1阶导数，将利用这个公式求出E(x)的界限；
转载于:https://www.cnblogs.com/yapzhang/archive/2011/09/19/2181683.html

下列哪些选项是泰勒级数在x=1处展示的式子？请选择正确的选项。 

$\\$ 

$(1) 1 + x^2 + \dfrac{3}{16} x^3 + \dfrac{1}{90} x^4 + H.O.T$

$(2) 25\ln(x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^4 + H.O.T$

$(3) \dfrac{1}{2} + 3(x-1) + \dfrac{4}{45}(x-1)^2 + \dfrac{1}{90}(x-1)^3$

$(4) \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{2^k}{k!}(x-1)^k$

$(5) 1 + (x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^3 + H.O.T$

$(6) \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{\pi^{2k}}{(2k+1)!}(x-1)^{k-1}$ 

$\\$

分析：

$\\$ 

$(1) 1 + x^2 + \dfrac{3}{16} x^3 + \dfrac{1}{90} x^4 + H.O.T$

这是泰勒多项式在x=0处的展开式，所以不符合题意。 

$\\$

$(2) 25\ln(x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^4 + H.O.T$

$\ln(x-1)$不是$(x-1)$幂次项，所以不符合题意。 

$\\$

$(3) \dfrac{1}{2} + 3(x-1) + \dfrac{4}{45}(x-1)^2 + \dfrac{1}{90}(x-1)^3$ 

$\\$ 

正确，虽然它看起来不是无限级数，幂次数超过3的系数全为0，可以写成$\dfrac{1}{2} + 3(x-1) + \dfrac{4}{45}(x-1)^2 + \dfrac{1}{90}(x-1)^3 + {0\times(x-1)^4} + {0\times(x-1)^5} + {0\times(x-1)^6} + H.O.T$ 

$\\$ 

此外，再举一个例子：$x^2$在$x=1处$的泰勒展开式为$1+2(x-1)+(x-1)^2$。 

$\\$

$(4) \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{2^k}{k!}(x-1)^k$ 

$\\$ 

正确，符合泰勒级数在$x=1$处定义的展开式，但是我们注意到第一项$\dfrac{2^0}{0!}(x-1)^0$在$x=0$处没有定义，这无关紧要，关键是看这一项的定义是否有极限，极限值是多少。$\displaystyle \lim_{x=1}{\dfrac{2^0}{0!}(x-1)^0} =1$，因此这一项本质上是常数项。 

$\\$

$(5) 1 + (x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^3 + H.O.T$ 

$\\$ 

正确，理由同(3)。 

$\\$

$(6) \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{\pi^{2k}}{(2k+1)!}(x-1)^{k-1}$ 

$\\$ 

化简后的第一项是$(x-1)^{-1}$，我们知道在泰勒级数展开式中，关于未知数的幂次数是非负数的，是从0次幂开始（在定义处有极限值的常数项），所以不符合题意。 

$\\$

结论：

因此正确选项应为（3）、（4）、（5）。

本文章是[学习笔记]生成函数进阶的一部分

本来不想单独弄成一个博客的，毕竟有点短。

但如果把它直接放在OGF、EGF里面是不是不太好啊…

1 定义


证明它的话需要学洛必达法则，证明洛必达法则又需要几个步骤，具体是:

费马定理->罗尔中值定理->柯西中值定理->洛必达法则



说人话就是你在$x_0$位置上泰勒展开的次数越多，你得到的函数就与$f(x)$在$x_0$附近的值越接近。

在OI中我们用到的函数在$x_0=0$处展开显然简洁方便，因此我们只需要知道麦克劳林公式就好了：

$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f'(0)}{2!}x^2+...+\frac{f'^{(n)}(0)}{n!}+o(x^n)$
2 常用函数的泰勒公式

现实打脸时刻
现实：多项式结论的原理都不懂你还听得懂课？
yxy：对…对啊 （pia一耳光，痛
泰勒展开
考虑一个函数 $f(x)$ ，他的值随着自变量 $x$ 改变而改变
在 $x=x_0$ 处展开即为：
$f(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i$
证明：
若函数 $f(x)=g(x)$ 成立，当且仅当在 $x_0$ 处时，$f(x_0)=g(x_0)$ 且 $f^{(n)}(x_0)=g^{(n)}(x_0)$ ，（$n$ 可以是任意正整数）。然后你会发现上面那个式子左右两边不管取多少次导在 $x_0$ 处都相等。这样就非常不严谨地证明了泰勒展开的公式。
$f(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i$ 这个等式就是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的泰勒展开式；右边的式子 $\sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i$ 称为 $f(x)$ 在 $a$ 处的泰勒级数。 麦克劳林级数就是函数在 $x=0$ 处展开的泰勒级数。
并不是 $f(x)$ 定义域内的所有 $x$ 都可以展开，因为不是函数的每个位置都是可导的。但是在多项式上，我们的 $x$ 的数域是形式幂级数，那么就不存在这个问题了
牛顿迭代

求一个关于 $x$ 的多项式 $F(x)$，使得对于一给定的关于 $F(x)$ 的函数 $G(F(x))$，$G(F(x))≡0(mod\ x^n)$ 成立。

多项式函数 $G(F(x))$，他的值随着自变量 $F(x)$ 的的改变而改变
在 $F(x)=F_0(x)$ 处展开即为：
$G(F(x))=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{G^{(i)}(F_0(x))}{i!}{(F(x)-F_0(x))}^i$
现在要求 $F(x)$ 满足 $G(F(x))\equiv 0\ \ (mod\ x^n)$
设我们已经求出了在摸 $x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}$ 下的根 $F_0(x)$ ，将 $G(F(x))$ 在 $F_0(x)$ 处泰勒展开
$G(F(x)) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{G^{(i)}(F_0(x))}{i!}{(F(x)-F_0(x))}^i\equiv 0 \ \ (mod\ x^{n})$
将 $F(x)=x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}H(x)+F_0(x)$ 代入上式

$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{G^{(i)}(F_0(x))}{i!}{(x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}H(x)+F_0(x)-F_0(x))}^i\equiv 0 \ \ (mod\ x^{n})  \\
  \sum_{i=0}^{\infty} \frac{G^{(i)}(F_0(x))}{i!}{(x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}H(x))}^i\equiv 0 \ \ (mod\ x^{n})$

对于 ${(x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}H(x))}^i$ ，当 $i\ge2$ 时 ${(x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}H(x))}^i\equiv0(mod\ x^n)$ 。因此这里在模意义下的泰勒级数，从第三项开始全部为 $0$，那么只保留前两项，即：

$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{G^{(i)}(F_0(x))}{i!}{(x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}H(x))}^i\equiv G(F_0(x))+G'(F_0(x))\cdot(x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}\cdot H(x))  \equiv 0 \ \ (mod\ x^{n}) \\
H(x)\equiv -x^{-{\lceil\frac{n}{2}\rceil}}\frac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}\ \ (mod\ x^{n})\\
F(x)\equiv F_0(x)-\frac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}\ \ (mod\ x^{n})$

总结：牛顿迭代可以用于求解 $G(F(x))$ 在模 $x^n$ 意义下的根，可以运用于多项式求逆，多项式开根，多项式exp。牛顿迭代只是泰勒展开的一个延伸，为什么每次精度倍增还是要看本质泰勒展开。一些题还是只能用泰勒展开，当然能用牛迭还是用他因为他方便嘛。
//多项式求逆,ln,exp
//RA100FDM
#include <bits/stdc++.h>
#define N 400005
using namespace std;
typedef long long ll; 
typedef vector<ll> vec;
const ll mod=998244353;
int now_limit;
int rev[N];
ll wq[20][N],fac[N],inv[N];
ll ksm(ll x,ll y){
	ll res=1; while(y){ if(y&1)res=res*x%mod; x=x*x%mod; y>>=1; }
	return res;
}
void init_NTT(int limit){
	if(limit==now_limit) return;
	now_limit=limit; int l=0; while((1<<l)<limit)l++;
	for(int i=0;i<limit;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	if(wq[0][0]==0){
		for(int mid=1,l=0;mid<N;mid<<=1,l++){
			wq[l][0]=1,wq[l][1]=ksm(3,(mod-1)/(mid<<1));
			for(int k=2;k<mid;k++) wq[l][k]=wq[l][k-1]*wq[l][1]%mod;
		}
	}
}
void NTT(vec &a,int limit,int flag){
	init_NTT(limit);
	while(a.size()<limit) a.push_back(0);
	for(int i=0;i<limit;i++) if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	ll x,y;
	for(int mid=1,l=0;mid<limit;mid<<=1,l++)
		for(int j=0;j<limit;j+=(mid<<1))
			for(int k=0;k<mid;k++){
				x=a[j+k],y=a[j+k+mid]*wq[l][k]%mod;
				a[j+k]=(x+y)%mod,a[j+k+mid]=(x-y+mod)%mod;
			}
	if(flag==-1){
		x=ksm(limit,mod-2);
		for(int i=0;i<limit;i++) a[i]=a[i]*x%mod;
		reverse(&a[1],&a[limit]);
	}
}
void init_Ln(){
	fac[0]=1;
	for(ll i=1;i<N;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[N-1]=ksm(fac[N-1],mod-2);
	for(ll i=N-1;i>0;i--) inv[i-1]=inv[i]*i%mod,inv[i]=inv[i]*fac[i-1]%mod;
}
struct poly{
	vec s;
	poly(int len=-1){ s.resize(len+1); }
	poly Inv(int len){
		if(len==1){
			poly b; 
			b.s.push_back(ksm(s[0],mod-2)); b.s.push_back(0); 
			return b;
		}
		poly b=Inv((len+1)>>1),c; 
		c.s=vector<ll>(&s[0],&s[len]);
		int limit=1; while(limit<(len<<1)) limit<<=1;
		NTT(b.s,limit,1),NTT(c.s,limit,1);
		for(int i=0;i<limit;i++) b.s[i]=(mod+2ll-c.s[i]*b.s[i]%mod)%mod*b.s[i]%mod;
		NTT(b.s,limit,-1);
		for(int i=len;i<b.s.size();i++)b.s[i]=0;
		return b;
	}
	poly Ln(int len){
		if(!fac[0]) init_Ln();
		poly b,c=Inv(len);
		b.s=vector<ll>(&s[0],&s[len]);
		for(ll i=0;i<len-1;i++) b.s[i]=b.s[i+1]*(i+1)%mod; b.s[len-1]=0;//
		int limit=1; while(limit<(len<<1)) limit<<=1;
		NTT(c.s,limit,1),NTT(b.s,limit,1);
		for(int i=0;i<limit;i++) b.s[i]=b.s[i]*c.s[i]%mod;
		NTT(b.s,limit,-1);
		for(int i=len-1;i>=1;i--) b.s[i]=b.s[i-1]*inv[i]%mod; b.s[0]=0;
		for(int i=len;i<b.s.size();i++) b.s[i]=0;
		return b;
	}
	poly Exp(int len){
		if(len==1){
			poly b;
			b.s.push_back(1),b.s.push_back(0); 
			return b; 
		}
		poly b=Exp((len+1)>>1); 
		poly c=b.Ln(len); c.s[0]=(1-c.s[0]+s[0]+mod)%mod;
		for(int i=1;i<len;i++) c.s[i]=(s[i]-c.s[i]+mod)%mod;
		int limit=1; while(limit<(len<<1))limit<<=1;
		NTT(b.s,limit,1),NTT(c.s,limit,1);
		for(int i=0;i<limit;i++) b.s[i]=b.s[i]*c.s[i]%mod;
		NTT(b.s,limit,-1);
		for(int i=len;i<b.s.size();i++) b.s[i]=0;
		return b;
	}
}; 
int main(){
	int len;
	poly a; cin>>len;
	int v;
	for(int i=0;i<len;i++)
		scanf("%d",&v),a.s.push_back(v);
	a=a.Exp(len);
	for(int i=0;i<len;i++) cout<<a.s[i]<<' ';
}