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  • 2018-06-28 10:52:15

    下列哪些选项是泰勒级数在x=1处展示的式子?请选择正确的选项。

    (1)1+x2+316x3+190x4+H.O.T ( 1 ) 1 + x 2 + 3 16 x 3 + 1 90 x 4 + H . O . T

    (2)25ln(x1)+(x1)2+(x1)4+H.O.T ( 2 ) 25 ln ⁡ ( x − 1 ) + ( x − 1 ) 2 + ( x − 1 ) 4 + H . O . T

    (3)12+3(x1)+445(x1)2+190(x1)3 ( 3 ) 1 2 + 3 ( x − 1 ) + 4 45 ( x − 1 ) 2 + 1 90 ( x − 1 ) 3

    (4)k=02kk!(x1)k ( 4 ) ∑ k = 0 ∞ 2 k k ! ( x − 1 ) k

    (5)1+(x1)+(x1)2+(x1)3+H.O.T ( 5 ) 1 + ( x − 1 ) + ( x − 1 ) 2 + ( x − 1 ) 3 + H . O . T

    (6)k=0π2k(2k+1)!(x1)k1 ( 6 ) ∑ k = 0 ∞ π 2 k ( 2 k + 1 ) ! ( x − 1 ) k − 1

    分析:


    (1)1+x2+316x3+190x4+H.O.T ( 1 ) 1 + x 2 + 3 16 x 3 + 1 90 x 4 + H . O . T

    这是泰勒多项式在x=0处的展开式,所以不符合题意。

    (2)25ln(x1)+(x1)2+(x1)4+H.O.T ( 2 ) 25 ln ⁡ ( x − 1 ) + ( x − 1 ) 2 + ( x − 1 ) 4 + H . O . T

    ln(x1) ln ⁡ ( x − 1 ) 不是 (x1) ( x − 1 ) 幂次项,所以不符合题意。

    (3)12+3(x1)+445(x1)2+190(x1)3 ( 3 ) 1 2 + 3 ( x − 1 ) + 4 45 ( x − 1 ) 2 + 1 90 ( x − 1 ) 3

    正确,虽然它看起来不是无限级数,幂次数超过3的系数全为0,可以写成 12+3(x1)+445(x1)2+190(x1)3+0×(x1)4+0×(x1)5+0×(x1)6+H.O.T 1 2 + 3 ( x − 1 ) + 4 45 ( x − 1 ) 2 + 1 90 ( x − 1 ) 3 + 0 × ( x − 1 ) 4 + 0 × ( x − 1 ) 5 + 0 × ( x − 1 ) 6 + H . O . T

    此外,再举一个例子: x2 x 2 x=1 x = 1 处 的泰勒展开式为 1+2(x1)+(x1)2 1 + 2 ( x − 1 ) + ( x − 1 ) 2

    (4)k=02kk!(x1)k ( 4 ) ∑ k = 0 ∞ 2 k k ! ( x − 1 ) k

    正确,符合泰勒级数在 x=1 x = 1 处定义的展开式,但是我们注意到第一项 200!(x1)0 2 0 0 ! ( x − 1 ) 0 x=0 x = 0 处没有定义,这无关紧要,关键是看这一项的定义是否有极限,极限值是多少。 limx=1200!(x1)0=1 lim x = 1 2 0 0 ! ( x − 1 ) 0 = 1 ,因此这一项本质上是常数项。

    (5)1+(x1)+(x1)2+(x1)3+H.O.T ( 5 ) 1 + ( x − 1 ) + ( x − 1 ) 2 + ( x − 1 ) 3 + H . O . T

    正确,理由同(3)。

    (6)k=0π2k(2k+1)!(x1)k1 ( 6 ) ∑ k = 0 ∞ π 2 k ( 2 k + 1 ) ! ( x − 1 ) k − 1

    化简后的第一项是 (x1)1 ( x − 1 ) − 1 ,我们知道在泰勒级数展开式中,关于未知数的幂次数是非负数的,是从0次幂开始(在定义处有极限值的常数项),所以不符合题意。

    结论:

    因此正确选项应为(3)、(4)、(5)。

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  • 24.泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论 强烈建议先看本人博客:透彻理解泰勒级数 24.1 泰勒近似定理 对 aaa 附近的 xxx,哪个次数为 N 或更低的多项式最近似于 f(x)f(x)f(x) 24.2 泰勒定理 上面N阶余项中的 c ...

    24.泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论

    强烈建议先看本人博客:透彻理解泰勒级数

    24.1 泰勒近似定理

    a a a 附近的 x x x,哪个次数为 N 或更低的多项式最近似于 f ( x ) f(x) f(x)



    24.2 泰勒定理



    上面N阶余项(N阶误差项)中的 c 是什么?

    回顾:中值定理

    x x x 替换 b b b
    f ′ ( c ) = f ( x ) − f ( a ) x − a   f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( c ) ( x − a ) f'(c)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ ~\\ f(x)=f(a)+f'(c)(x-a) f(c)=xaf(x)f(a) f(x)=f(a)+f(c)(xa)
    N = 0 N=0 N=0 ,零阶误差项 R 0 ( x ) R_0(x) R0(x)
    P 0 ( x ) = f ( 0 ) ( a ) 0 ! ( x − a ) 0 = f ( a )   R 0 ( x ) = f ( 1 ) ( c ) 1 ! ( x − a ) 1 = f ′ ( c ) ( x − a ) P_0(x)=\frac{f^{(0)}(a)}{0!}(x-a)^0=f(a)\\ ~\\ R_0(x)=\frac{f^{(1)}(c)}{1!}(x-a)^1=f'(c)(x-a) P0(x)=0!f(0)(a)(xa)0=f(a) R0(x)=1!f(1)(c)(xa)1=f(c)(xa)

    c c c 介于 x x x a a a 之间
    c c c 依赖于 x x x N N N,一般不能确定


    f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( c ) ( x − a ) = P 0 ( x ) + R 0 ( x ) f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)=P_0(x)+R_0(x) f(x)=f(a)+f(c)(xa)=P0(x)+R0(x)

    为什么要用 f ′ ( c ) f'(c) f(c) 表示 N N N 阶余项?
    如果不用 f ′ ( c ) f'(c) f(c) 表示 N N N 阶余项,我们试着用 R 0 ( x ) = f ( x ) − f ( a ) R_0(x)=f(x)-f(a) R0(x)=f(x)f(a),发现这其中包含了我们所求的 f ( x ) f(x) f(x),而真实值 f ( x ) f(x) f(x) 我们并不能算出来,所以需要想别的办法来表示 N N N 阶余项,联想中值定理:区间内一定有某个 c c c 使得 f ( x ) − f ( a ) = f ′ ( c ) ( x − a ) f(x)-f(a)=f'(c)(x-a) f(x)f(a)=f(c)(xa),所以我们用 f ′ ( c ) ( x − a ) f'(c)(x-a) f(c)(xa) 替换了 f ( x ) − f ( a ) f(x)-f(a) f(x)f(a),现在 0 阶余项表示为: R 0 ( x ) = f ′ ( c ) ( x − a ) R_0(x)=f'(c)(x-a) R0(x)=f(c)(xa)


    N = 1 N=1 N=1,一阶误差项 R 1 ( x ) R_1(x) R1(x)
    P 1 ( x ) = f ( 1 ) ( a ) 1 ! ( x − a ) 1 = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a )   R 1 ( x ) = f ( 2 ) ( c ) 2 ! ( x − a ) 2 = 1 2 f ′ ′ ( c ) ( x − a ) 2 P_1(x)=\frac{f^{(1)}(a)}{1!}(x-a)^1=f(a)+f'(a)(x-a)\\ ~\\ R_1(x)=\frac{f^{(2)}(c)}{2!}(x-a)^2=\frac{1}{2}f''(c)(x-a)^2 P1(x)=1!f(1)(a)(xa)1=f(a)+f(a)(xa) R1(x)=2!f(2)(c)(xa)2=21f(c)(xa)2

    f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( c ) 2 ! ( x − a ) 2 = L ( x ) + R 1 ( x )   L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a )   R 1 ( x ) = f ′ ′ ( c ) 2 ! ( x − a ) 2 f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(c)}{2!}(x-a)^2=L(x)+R_1(x)\\ ~\\ L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\\ ~\\ R_1(x)=\frac{f''(c)}{2!}(x-a)^2 f(x)=f(a)+f(a)(xa)+2!f(c)(xa)2=L(x)+R1(x) L(x)=f(a)+f(a)(xa) R1(x)=2!f(c)(xa)2
    其中 L ( x ) L(x) L(x) f f f 关于 x = a x=a x=a 的线性化, R 1 ( x ) R_1(x) R1(x)为一阶误差项

    24.3 幂级数

    常用幂级数

    关于 x = 0 x=0 x=0 的幂级数
    a 0 + a 1 ( x − 0 ) + a 2 ( x − 0 ) 2 + a 3 ( x − 0 ) 3 + a 4 ( x − 0 ) 4 + ⋯ a_0+a_1(x-0)+a_2(x-0)^2+a_3(x-0)^3+a_4(x-0)^4+\cdots a0+a1(x0)+a2(x0)2+a3(x0)3+a4(x0)4+

    关于 x = a x=a x=a 的幂级数

    24.4 麦克劳林级数

    函数 f f f 关于 x = 0 x=0 x=0 的泰勒级数的另一个名字


    24.5 泰勒级数的收敛性

    幂级数在它的中心总收敛,超过收敛半径会出现发散(即多项式的值不等于函数 f(x)的值)

    如何知道泰勒级数是否且何时收敛于原来的函数呢?


    做法:
    N N N 越来越大,使近似值 P N ( x ) P_N(x) PN(x) 越来越接近于实际值 f ( x ) f(x) f(x) ,也就是希望误差 R N ( x ) R_N(x) RN(x) 越来越小


    展开全文
  • TaylorSeries.jl:一个julia包,用于在一个和几个自变量中进行泰勒多项式展开
  • [学习笔记]泰勒多项式快速入门

    千次阅读 2020-02-13 23:54:08
    位置上泰勒展开的次数越多,你得到的函数就与 f ( x ) f(x) f ( x ) 在 x 0 x_0 x 0 ​ 附近的值越接近。 在OI中我们用到的函数在 x 0 = 0 x_0=0 x 0 ​ = 0 处展开显然简洁方便,因此我们只需要知道 麦克劳林公式 ...

    本文章是[学习笔记]生成函数进阶的一部分
    本来不想单独弄成一个博客的,毕竟有点短。
    但如果把它直接放在OGF、EGF里面是不是不太好啊…

    1 定义

    1-1
    证明它的话需要学洛必达法则,证明洛必达法则又需要几个步骤,具体是:

    费马定理->罗尔中值定理->柯西中值定理->洛必达法则

    1-2
    说人话就是你在 x 0 x_0 x0位置上泰勒展开的次数越多,你得到的函数就与 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0附近的值越接近。
    在OI中我们用到的函数在 x 0 = 0 x_0=0 x0=0处展开显然简洁方便,因此我们只需要知道麦克劳林公式就好了:
    f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + . . . + f ′ ( n ) ( 0 ) n ! + o ( x n ) f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f'(0)}{2!}x^2+...+\frac{f'^{(n)}(0)}{n!}+o(x^n) f(x)=f(0)+f(0)x+2!f(0)x2+...+n!f(n)(0)+o(xn)

    2 常用函数的泰勒公式

    1-2

    展开全文
  • 优质解答第一个:#includeint main(){int ans=0,in;scanf("%d",&in);printf("%d\n",in);ans=in%10;in/=10;while(in/10){ans=ans*10+in%10;in/=10;}ans=ans*10+in%10;printf("%d\n",ans);...}第二个:#include#...

    7d14a2b81882cfe4494b096a84150b2a.png 优质解答

    第一个:

    #include

    int main()

    {

    int ans=0,in;

    scanf("%d",&in);

    printf("%d\n",in);

    ans=in%10;

    in/=10;

    while(in/10)

    {

    ans=ans*10+in%10;

    in/=10;

    }

    ans=ans*10+in%10;

    printf("%d\n",ans);

    return 0;

    }

    第二个:

    #include

    #include

    #define maxsize 10

    typedef struct stack

    {

    int a[maxsize];

    int top;

    }Stack;

    int gys(int x,int y)

    {

    int z,j;

    z=x>y?y:x;

    for (j=z;j>=1;j--)

    if (x%j==0&&y%j==0)

    {

    return j;

    break;

    }

    }

    int gbs(int x,int y)

    {

    int z,j;

    z=x>y?x:y;

    for (j=z;;j++)

    if (j%x==0&&j%y==0)

    { return j;

    break;

    }

    }

    void main()

    {

    Stack *p;

    int a,b,t,k,m;

    printf("please input the number (stop by 0):");

    p=(Stack*)malloc(sizeof(Stack));

    p->top=-1;

    scanf("%d",&p->a[0]);

    p->top++;

    while (p->a[p->top]!=0)

    {

    p->top++;

    scanf("%d",&p->a[p->top]);

    }

    p->top--;

    if (p->top!=-1)

    {

    m=a=p->a[p->top--];

    while (p->top+1)

    {

    b=p->a[p->top--];

    t=a;k=m;

    a=gbs(t,b);

    m=gys(k,b);

    }

    printf("The min gong bei shu is %d\nThe max gong yue shu is %d\n",a,m);

    }

    else

    printf("error\n");

    }

    第三个:

    #include

    #include/*fabs()*/

    void main()

    {

    double x,c,a;

    int i;

    scanf("%lf",&x);

    a=1;

    c=a;

    for(i=1;;i+=2)

    {

    a*=x*x*(-1)/(i*(i+1));/*相邻两项的比值*/

    if(fabs(a)

    展开全文
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泰勒多项式

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