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  • 齐次坐标与物体变换操作

    千次阅读 2015-04-22 15:31:48
    可以看出,平移变换的处理方法与其他两种变换的形式不一样,但我们希望能够用一致的方法来处理这三种变换,使得这三种变换组合在一起完成各种复杂的组合变换。为了解决这个问题,人们引入了齐次坐标的概念。 齐次坐

    齐次坐标

    我们在上一小节中介绍了平移、旋转和缩放三种几何变换,同时我们导出出它们各自的变换矩阵为:

    平移变换 P‘=P+Tm

    旋转变换 P’=P X Tr

    缩放变换  P‘=P X Ts

    可以看出,平移变换的处理方法与其他两种变换的形式不一样,但我们希望能够用一致的方法来处理这三种变换,使得这三种变换组合在一起完成各种复杂的组合变换。为了解决这个问题,人们引入了齐次坐标的概念。

    齐次坐标的基本思想是把一个n维空间的几何问题,转移到n+1维空间去解决,也就是说用n+1个分量去表示一个有n个分量的向量的方法称为齐次坐标表示。对于二维空间,只要给出一个点的齐次坐标表示(x,y,h),就能得到这个点的二维直角坐标为(x/h,y/h)。

    齐次坐标表示不是唯一的,通常当h=1时,称为规格化齐次坐标。在计算机图形中我们通常采用的是规格化齐次坐标。

    使用齐次坐标的另一个好处是,能够表示n维空间中的无穷远点,即(x1,x2,...,xn,0)表示n维空间中无穷远点,而它在n+1维空间中该点是在有限区域内的。有了上面的齐次坐标的概念,我们就可以把上面三种变换的形式统一起来。

    (1)平移变换

    (2)旋转变换


    (3)缩放变换


    三维几何变换

    在三维空间中,如果给定一个点的齐次坐标为(x,y,z,h),那么我们就可以得到该点的笛卡尔坐标为:(x/h,y/h,z/h)。当h=0时,齐次坐标(x,y,z,0)表示三维空间中的无穷远点,当h=1时即为规格化齐次人体坐标。

    (1)平移变换 

    变换矩阵:

    (2)旋转变换

    绕X轴逆时针旋转a度

    变换矩阵

    绕Y轴逆时针旋转B度

    变换矩阵

    绕Z轴逆时针旋转r度

    变换矩阵

    (3)缩放变换

    变换矩阵

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  • 三维几何平移与三维坐标轴旋转三维集合变换方法是在二维方法的基础上扩充了z坐标... 三维平移其矩阵变换形式为:类似二维坐标变化的实现,我们可以构造一个平移矩阵,如果不懂,请转到矩阵表示和齐次坐标:void ...

    三维几何平移与三维坐标轴旋转

    三维集合变换的方法是在二维方法的基础上扩充了z坐标而得到。多数情况下,该扩充比较直接,但有一些情况,比如旋转,该扩充就不那么明显。

    一个三维位置在齐次坐标中表示为4元列向量。因此,每一次几何变换操作表示为一个从左边去乘坐标向量的4x4矩阵。

     

    1.   三维平移

    其矩阵变换形式为:


    类似二维坐标变化的实现,我们可以构造一个平移矩阵,如果不懂,请转到矩阵表示和齐次坐标


    void Matrix4x4SetIdentity(Matrix4x4 matIdent4x4)  
    {  
        //生成一个单位矩阵  
        GLint row, col;  
        for (row = 0; row < 4;++row)  
        for (col = 0; col < 4;++col)  
        {  
            matIdent3x3[row][col] = (row==col);  
        }  
    } 
    void translate3D(GLfloat tx, GLfloat ty,GLfloat tz)  
    {  
        /*通过偏移量tx,ty产生平移矩阵matTransl之后,再通过矩阵的乘法,实现对象的平移*/  
        Matrix3x3 matTransl;//平移矩阵  
        Matrix3x3SetIdentity(matTransl);  
        matTransl[0][3] = tx;  
        matTransl[1][3] = ty;  
    matTransl[2][3] = tz;
        /*矩阵乘法,平移*/  
        matrix3x3Premultiply(matTransl,matComposite);  
    } 
    
    

    1.   三维旋转

    1.1   三维坐标轴旋转

    上图为绕z轴的坐标旋转,坐标旋转后x,y轴的坐标位置推导如下:

     

         Z=Z’

     

    矩阵形式:

    绕另外两个坐标轴的旋转变换公式,可以由 将x、y、z循环替换而得到:

    循环替换顺序为:x->y->z->x

    因此,为了得到x轴旋转变换,我们用y替代x,z替代y:


    为了得到x轴旋转变换,我们用z替代y,x替代z




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  • 1.概念词语1)图像的几何变换 对图像进行放大、...3)投影变换4)极坐标变换5)齐次坐标 在原坐标的基础上,引入第三个数值为1的坐标,这种表示方法就是齐次坐标。6)仿射变换矩阵 仿射变换矩阵的最后一行均为(0...

    1.概念词语

    1)图像的几何变换

        对图像进行放大、缩小、旋转等操作,会改变原图中各区域的空间关系,这类操作就是图像的几何变换。

    2)仿射变换

        对原来的x和y坐标分别进行线性的几何变换,得到新的x和y,这种变换就是放射变换。


    3)投影变换

    4)极坐标变换

    5)齐次坐标

        在原坐标的基础上,引入第三个数值为1的坐标,这种表示方法就是齐次坐标。

    6)仿射变换矩阵

        仿射变换矩阵的最后一行均为(0,0,1)此形式,最后一个值为1。

        

    2.平移

        图像平移时,不改变图像的大小,只是改变了图像的位置。图像从一个地方平移到另外一个地方,可以表示为原图像上的坐标点(x,y)像素,移动到了新的坐标点(x', y')像素,量化平移的距离后,可以得到:

        x' = x + Δx

        y' = y + Δy

        可以知道,如果Δx>0,表示图像沿x轴正方向移动;如果Δx<0,表示图像沿x轴负方向移动。

        可以知道,如果Δy>0,表示图像沿y轴正方向移动;如果Δy<0,表示图像沿y轴负方向移动。

        在齐次坐标表示该平移变换过程,如下矩阵形式所示:

        

    3.以(0,0)为中心进行放大和缩小

        这里的放大和缩小不是指在物理空间中某一物体的放大和缩小。

        二维空间坐标(x, y)以(0,0)为中心,在水平上缩放Sx倍,指的是变换后的坐标位置(x',y')离(0,0)的水平距离变为原坐标(x,y)离位置中心点的水平距离的Sx倍;在垂直方向上缩放Sy倍,指的是变换后的坐标位置(x',y')离(0,0)的垂直距离为原坐标(x,y)离位置中心的垂直距离的Sy倍。

        用数学公式表示,(x', 'y) = (Sx * x, Sy * y)

        如果Sx>1,则表示在水平方向上放大;如果0<Sx<1,则表示在水平方向上缩小。

        如果Sy>1,则表示在垂直方向上放大;如果0<Sy<1,则表示在垂直方向上缩小。

        齐次坐标的放大和缩小变换过程,可以用如下矩阵形式表示:


    4.以(x0,y0)为中心的放大和缩小

        以(0,0)为中心的放大和缩小,很容易理解。而以(x0,y0)为中心的放大和缩小,直接来理解比较苦难。但是可以用分解步骤的思想来进行理解,可以变得简单一些。

        以(x0,y0)为中心的缩放(x,y)=先将原点(0,0)移动到中心点(x0,y0)--->以新原点为中心点进行缩放--->然后再移回坐标原点。

    5.等比例缩放

        在上面放大和缩小的公式中,如果Sx==Sy,则表示是等比例缩放。


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  • 坐标变换数学基础

    2017-08-25 15:41:35
    什么是齐次坐标用[n+1]维数组表示n维坐标的方法齐次坐标法(Homogenous coordinate)。 首先,许多图形应用涉及到几何变换,主要包括平移、旋转、缩放。以矩阵表达式来计算这些变换时,平移是矩阵相加,旋转和缩放...

    Matrix

    什么是齐次坐标

    用[n+1]维数组表示n维坐标的方法叫齐次坐标法(Homogenous coordinate)。

    首先,许多图形应用涉及到几何变换,主要包括平移、旋转、缩放。以矩阵表达式来计算这些变换时,平移是矩阵相加,旋转和缩放则是矩阵相乘,综合起来可以表示为p’ = m1 * p + m2

    注:因为习惯的原因,实际使用时一般使用变化矩阵左乘向量。其中,m1旋转缩放矩阵, m2为平移矩阵,p为原向量 ,p’为变换后的向量。

    引入齐次坐标的目的主要是合并矩阵运算中的乘法和加法,表示为p’ = p*M的形式。即它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。

    其次,它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果h=0,实际上就表示了n维空间的一个无穷远点。对于齐次坐标(a,b,h),保持a,b不变,|V|=(x1 * x1,y1 * y1, z1 * z1)^1/2的过程就表示了标准坐标系中的一个点沿直线 ax-by=0 逐渐走向无穷远处的过程。

    什么是焦距

    在照相机中,从镜片光学中心到底片成像平面的距离称为焦距。

    距阵转置

    设 A=(aij)mn ,则AT= (aij * )mn(其中 (aij*)=(aji) )叫做A的转置矩阵。

    单位矩阵

    主对角线上的元素都是1,其余的元素都是零的n阶方阵,叫做n阶单位矩阵,记作E,即

    | 1 0 ...  0 |
    | 0 1 ...  0 |
    | . . ...  0 |
    | 0 0 ...  1 |
    

    性质

    |E|=1
    若A是与E同阶的方阵,则有AE=EA=A 

    逆矩阵

    如果AB=BA=E,则A与B互为逆矩阵,记作 A=B-1 或 B=A-1

    旋转矩阵

    旋转矩阵就是一种正交距阵。

    正交矩阵

    A-1 = AT


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    千次阅读 2018-08-05 18:40:26
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  • 这样的需求,就需要使用仿射变换的缩放功能,而实现这个功能的方法,就是采用齐次坐标变换功式: 可看到最后一条公式,就是缩放公式,要实现二维图像的缩放,需要构造前面那个缩放矩阵,因此在OpenCV也是构造一...
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  • 矩阵

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空空如也

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齐次坐标平移变换方法