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  • 原码反码和补码

    2020-03-12 20:52:14
    数值的表示方法—原码反码补码 //存放形式:用该整数的补码形式存放 **//原码:**最高位为符号位,其余各位为数值本身的绝对值 //反码: 正数:符号位为0,源码-反码-补码相同 负数:符号位为1,其余位为原码(取绝对值)取反 ...

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  • 原码 反码 补码

    2014-08-25 19:09:12
    对于原码 反码和补码的概念。 http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/ComputerCode.html

    对于原码 反码和补码的概念。见下面链接,讲的不错:

    http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/ComputerCode.html

     

    这里只讲下自己对反码的理解。大家都知道使用反码表示负数有两个优点,

         1. 可以使得减法可以和加法一样。

         2. 符号位也参与了运算。

    那这是为什么呢?下面可以进行一些简单的数学推导:

     

    根据反码定义,对于负数,反码是除符号为以外取反+1。

    例如,-4 变换步骤如下。

    A: +4     = 0 000 0100

    B: 取反  = 0 111 1011

    C: +1     = 1 111 1100 (并设符号为1,表示负数)

     

    其中,在忽略符号位的情况下:

        A 到 B 的取反可以发现实际是,
            B = 127 - A

            所以,C = 127 - A + 1 = 128 - A 

     

    所以当一个计算X - Y的时候,按照反码规则,

    我们计算的二进制(忽略符号位)。实际是:V = X + ( 128 - Y )

     

    这里可以看到反码的作用,的确是通过反码的编码将减法变成了加法。

    然后考虑到符号位,

        (1)例E2,假设X - Y >= 0,那么V >= 128。二进制表示的话就会产生向最高位进位(导致最高位-即符号位+1)。

                 由于存在负数(最高位为1),所以变为0.(同时进位被舍弃 即 例E2中括号中的1丢弃)

                 实际效果是V - 128 ,即X - Y.

          (2) 见例E1,假设X - Y < 0,那么不会有进位,所以最高为为1,表示负数。记住对于X取反+1,实际是进行了128 - X的操作。

                所以 128 - V(即二进制的取反+1)的 -( x - y), 由于知道是负数,加个负号就是x - y了。

     

    例子E1:

    3 - 4 = -1.

    +3: 0 000 0011

    -4: 1 111 1100

    -----------------------

         1 111 1111

    最高位为1,所以为负数。取反+1得值为000 0001,所以是-1.

     

    ================ 例子分割=======================

    例子E2:

    4 - 3 = 1

    +4: 0 000 0100

    -3: 1 111 1101

    ---------------------

      (1)0 000 0001

     

    特别的对于y=  128 - x  ( 0 <= x <= 127  )

    对于-128( 1 000 0000 )的值对应的是正数的0(0 000 0000 ) 来映射的。

    对于,为什么可以表示[-128,-1]这个我还没大弄明白。不过肯定和取反之后的+1 有关系。

     

    x + (128 - y) = 0有关。

    -------------------------

    附上讲解才除法的

    http://memorymyann.iteye.com/blog/354889

     

     

     

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  • 本篇文章讲解了计算机的原码, 反码和补码. 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何可以用反码, 补码的加法计算原码的减法. 论证部分如有不对的地方请各位牛人帮忙指正! 希望本文对大家...

    本篇文章讲解了计算机的原码, 反码和补码. 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何可以用反码, 补码的加法计算原码的减法. 论证部分如有不对的地方请各位牛人帮忙指正! 希望本文对大家学习计算机基础有所帮助!

    一. 机器数和真值
    在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.

    1、机器数
    一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

    比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。

    那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

    2、真值
    因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

    例:0000 0001的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

    二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法.
    在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

    1. 原码
      原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

    [+1]原 = 0000 0001

    [-1]原 = 1000 0001

    第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

    [1111 1111 , 0111 1111]

    [-127 , 127]

    原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

    1. 反码
      反码的表示方法是:

    正数的反码是其本身

    负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变,其余各个位取反.

    [+1] = [00000001]原 = [00000001]反

    [-1] = [10000001]原 = [11111110]反

    可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

    1. 补码
      补码的表示方法是:

    正数的补码就是其本身

    负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

    [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

    [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

    对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

    三. 为何要使用原码, 反码和补码
    在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

    现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

    [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

    所以不需要过多解释. 但是对于负数:

    [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

    可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

    首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

    于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

    计算十进制的表达式: 1-1=0

    1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

    如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

    为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

    计算十进制的表达式: 1-1=0

    1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

    发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

    于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

    1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

    这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

    (-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

    -1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

    使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

    因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

    四 原码, 反码, 补码 再深入
    计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?

    将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:

    1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4

    2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4

    3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4

    2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.

    所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!

    现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.

    首先介绍一个数学中相关的概念: 同余

    同余的概念
    两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余

    记作 a ≡ b (mod m)

    读作 a 与 b 关于模 m 同余。

    举例说明:

    4 mod 12 = 4

    16 mod 12 = 4

    28 mod 12 = 4

    所以4, 16, 28关于模 12 同余.

    负数取模
    正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?

    下面是关于mod运算的数学定义:

    clip_image001

    上面是截图, "取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:

    x mod y = x - y L x / y J

    上面公式的意思是:

    x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.

    以 -3 mod 2 举例:

    -3 mod 2

    = -3 - 2xL -3/2 J

    = -3 - 2xL-1.5J

    = -3 - 2x(-2)

    = -3 + 4 = 1

    所以:

    (-2) mod 12 = 12-2=10

    (-4) mod 12 = 12-4 = 8

    (-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

    开始证明
    再回到时钟的问题上:

    回拨2小时 = 前拨10小时

    回拨4小时 = 前拨8小时

    回拨5小时= 前拨7小时

    注意, 这里发现的规律!

    结合上面学到的同余的概念.实际上:

    (-2) mod 12 = 10

    10 mod 12 = 10

    -2与10是同余的.

    (-4) mod 12 = 8

    8 mod 12 = 8

    -4与8是同余的.

    距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:

    反身性:

    a ≡ a (mod m)

    这个定理是很显而易见的.

    线性运算定理:

    如果a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m) 那么:

    (1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

    (2)a * c ≡ b * d (mod m)

    如果想看这个定理的证明, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

    所以:

    7 ≡ 7 (mod 12)

    (-2) ≡ 10 (mod 12)

    7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

    现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.

    接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.

    2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反

    先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126.

    发现有如下规律:

    (-1) mod 127 = 126

    126 mod 127 = 126

    即:

    (-1) ≡ 126 (mod 127)

    2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

    2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1

    所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!

    而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.

    既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?

    2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]补 + [1111 1111]补

    如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:

    [0111 1111]原 = 127

    其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了膜的值:

    (-1) mod 128 = 127

    127 mod 128 = 127

    2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

    此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].

    但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]

    本人一直不善于数学, 所以如果文中有不对的地方请大家多多包含, 多多指点!

    作者:张子秋
    出处:http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/
    本文版权归作者和博客园共有,欢迎转载,但未经作者同意必须保留此段声明,且在文章页面明显位置给出原文连接,否则保留追究法律责任的权利。

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  • 文章目录3.1.原码3.2.反码3.2.1.概述3.2.2.反码的计算3.2.2.1.如:计算2的反码的过程3.2.2.2.如:计算-2的反码的过程3.2.3.反码深入解析3.2.3.1....正数补码的结算:正数的补码与其二进制原码一致3.3.


    备注

    1.在计算机中,我们使用01来进行数据的存储;
    2.我们这里为了掩饰方便,演示的int类型,姑且认为是4位字节长度 (正常int类型4个字符长度,每个字符8个字节,应该是32个长度)
    

    3.1.原码

    1.所谓原码,就是我们数字通过转换为二进制的一个表示方法,负数原码1开头,正数0开头
    

    举例

     0010 #数字2的表示方法,这里注意下,2int类型,字符长度为4个字节321010 #数字-2的表示方法
    

    3.2.反码

    3.2.1.概述

    1.反码实际上主要是为了解决"二进制的正数与负数相加等于0"的问题;
      例如:2+(-2)=0
    
    2.首先我们理解一个固定的概念:正数二进制表示以0开头,负数二进制标示以1开头(基于二进制字节的最大长度,最左边数值);    
      如正数2原码(最左边数值为0)
      0010
      如负数-2原码(最左边数值为1)
      1010 
    

    3.2.2.反码的计算

    1.正数的反码与正数的原码一致;
    2.负数的反码计算稍微复杂一点:
      2.1.获取负数的绝对值
      2.2.获取负数的绝对值的原码
      2.3.将上面的原码就行翻转,如果是0就变成1,如果是1则变为0
    

    3.2.2.1.如:计算2的反码的过程

     0010  # 2的原码
     0010  # 2的反码 正数反码与原码一致
    

    3.2.2.2.如:计算-2的反码的过程

     0010     #1.首先获取-2的绝对值的原码
     1101     #2.上面原码反转,也就是-2的反码  (1变成0 0变成1)
    

    3.2.3.反码深入解析

    3.2.3.1.首先我们绘制了下面的一张图

    int数值 二进制数值原码 二进制数值反码 int数值 二进制数值原码
    0 0000 1111 -0 1000
    1 0001 1110 -1 1001
    2 0010 1101 -2 1010
    3 0011 1100 -3 1011
    1.因为我们说反码其实就是为了解决"二进制的正数与负数相加等于0"的问题,
      所以正数的反码就是其负值,
      例题10-0=0
        0的反码是0000,反码是1111,也就是1111就是0(只不过是-0);
        0-0=0---->0000+1111=1111
      例题21-1=0
        1的原码是0001,反码是1110,也就是1110就是-1         ;1-1=0----->00001+1110=1111
    

    3.2.3.1.使用反码进行加减运算

    3.2.3.1.1.正数加正数:2+3
    2+3=0010+0011=0101----->5
    正数与正数的加法其实直接使用各自的原码进行加法运算即可,无需使用反码
    
    3.2.3.1.2.负数加负数:-2-3
    我们从上面知道2的反码是1101 也就是(-2)
               3的反码是1100 也就是(-3)
    那么,(-2)+(-3)=1101       
      #从反码的角度去看,1101-2,很明显-2+-3跟我们预期的结果不一致,小伙伴就比较崩溃了吧,
      #但是从负数的二进制原码来看,第一位是1是符号位,后面是真实的数值位:也是-5
      所以,负数的相加也没啥问题,可以不使用反码
    
    3.2.3.1.3.正数加负数:2-3
    我们从上面直达2的原码:0010
               3的反码: 1100 (也就是-3)
    2-3=0010+1100=1110---->从反码知道是-1   
    所以,利用反码,我们完美的解决了正负数相加的问题;
    

    3.3.补码

    3.3.1.概念

      1.补码存在的意义是为了解决识别和区分0-0的问题,因为我们认为-0 是没有意义的;
    

    3.3.2.补码的计算

    3.3.2.1.正数补码的结算:正数的补码与其二进制原码一致

    如:
    0010 #2的原码
    0010 #2的补码
    

    3.3.2.2.负数补码的结算:负数的补码在其绝对值反码的基础上最后一位加1

    :
    0010 #-2的绝对值为22的二进制原码
    1010 #-2的原码 ,负数的原码只是其绝对值的第一位标记位不同,负数为1开始,正数0开始  
    1101 #-2的二级制反码:除了第一位符号位之外,其他都按位去反
    1110 #在反码1101的基础上+1,即为1110
    

    3.3.3.补码深入解析

    下面我们通过1-1的案例去分析存在的问题
    1.按照原码的方式计算:
      1-1=0001+1001=1010----->-2  #很明显这个方式计算是走不通,也呼应了我们上面的规则,正负加法不能使用原码
    2.按照反码的方式计算:
      1-1=0001+1110=1111----->-0  #因为第一位为1,我们知道是负数实际上我们没有-0的概念,这样表示显然不合适,
                                  #因此我们如何去掉这个-的符号呢?
    3.按照补码的方式计算:
      1-1=0001+1111=0000          #这里注意下,我们在做这个二进制加法的时候,实际上最高位由于长度溢出了
                                  #从结果看应该是10000,但是由于我们的长度最大是4位,所以最高位溢出,就没了
                                  #因为我们0的补码就是0000,所以结果就是0,这样就不存在-的符号了
    

    大家这里注意下,我们进行原码 反码 补码计算的时候,注意下
    我们的计算都是基于相同的码的计算
    比如:要么全部转成原码+原码=原码------>找出对应的数值
    比如:要么全部转成反码+反码=反码------>找出对应的数值
    比如:要么全部转成补码+补码=补码------>找出对应的数值

    内存中,负数本质上是以补码的形式存储的,正数本质上也是(只不过正数的原码,反码和补码都是一致的)

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  • 原码反码和补码详解

    2017-10-14 22:02:07
    原码-反码-补码 1:有符号数据表示法 在计算机内,有符号数有三种表示法:原码,反码,补码,所有数据的运算都是采用内补码进行的,在计算机操作的时候,都是采用数据对于的二进制补码来计算的,在内存中的存储 1:...
  • 原文作者:smile4lee ... 这是从原文中截取的一段,对小错误进行了一些改动,更加深入的分析,请参考作者的原文。...在开始深入学习前, 我的学习建议是先”死记硬背”上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法. ...
  • XXXX XXXX 第一位是符号位,0代表正数,1代表负数。...所以引入反码和补码的概念完全是为了负数。因为计算机中没有减法,只有加法。 例如 -2 的原码是:1000 0010;反码是除了符号位全部取反:1111 1101;...
  • 反码 和补码的目的就是为了解决减法问题,因为计算机CPU的运算器中只有加法器,要把减法转化成加法来计算。 举个例子,A表示十进制数“+16”,B表示十进制数“-19”,把这两个数的原码直接相加,得: A=+16 ...

空空如也

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原码反码和补码