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  • 这篇文章会想大家介绍计算机中原码、反码、补码转换。为什么会产生原码、反码、补码。原码、反码、补码在c语言中应用原码、反码、补码根据冯诺依曼设计,任何存储于计算机中数据,都是以二进制码存储。一个...

    这篇文章会想大家介绍计算机中

    • 原码、反码、补码的转换。
    • 为什么会产生原码、反码、补码。
    • 原码、反码、补码在c语言中的应用

    原码、反码、补码

    根据冯诺依曼的设计,任何存储于计算机中的数据,都是以二进制码存储。一个整数(无论正负)在计算机中都会被转换成二进制( 原码 or 反码 or 补码)。 什么情况下会转化成原码,什么情况下会转化成反码,什么情况下会转化成补码,文章后面会讲。但这一节只会提及怎样转化成原码、反码、补码。

    原码

    原码:是最简单的机器数表示法。用最高位表示符号位,‘1’表示负号,‘0’表示正号。其他位存放该数绝对值的二进制。

    例如short a = 6;,a 的原码就是0000 0000 0000 0110;更改 a 的值a = -18;,此时 a 的原码就是1000 0000 0001 0010

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    部份正负整数的二进制原码

    反码

    正数的反码还是等于原码。负数的反码就是他的原码除符号位外,按位取反。

    对于正数,它的反码就是其原码负数的反码是将原码中除符号位以外的所有位(数值位)取反,也就是 0 变成 1,1 变成 0。例如short a = 6;,a 的原码和反码都是0000 0000 0000 0110;更改 a 的值a = -18;,此时 a 的反码是1111 1111 1110 1101

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    部分正负数的二进制数反码表示法

    补码

    补码:正数的补码等于他的原码。负数的补码等于反码+1。

    对于正数,它的补码就是其原码(原码、反码、补码都相同);负数的补码是其反码加 1。例如short a = 6;,a 的原码、反码、补码都是0000 0000 0000 0110;更改 a 的值a = -18;,此时 a 的补码是1111 1111 1110 1110

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    6 和 -18 从原码到补码的转换过程

    可以认为,补码是在反码的基础上打了一个补丁,进行了一下修正,所以叫“补码”。

    为什么会有补码

    计算机被发明之初就是用来解决加减乘除的运算问题的,人类先是发明了加法器,像这样:

    e36ce7cd4b8bb7704590609c92e428c3.png

    用与非门来实现加法器是一件很自然的事情,这是它们本身的特性。
    如果将乘法看作是累加(移位,逻辑判断,累加),那么加法问题解决了,乘法问题也就解决了。
    那也就是说:如果减法问题解决了,除法问题也就解决了(移位,逻辑判断,累减)。
    所以现在问题就变成了:计算机如何计算减法? 其实就是减法变成加法。

    假如我们要计算 6 - 18 的结果,它等价于 6 + (-18)。

    如果采用原码计算,那么运算过程为:

    6 - 18 = 6 + (-18)
    = [0000 0000 0000 0110]原 + [1000 0000 0001 0010]原
    = [1000 0000 0001 1000]原
    = -24

    直接用原码表示整数,让符号位也参与运算,对于类似上面的减法来说,结果显然是不正确的。
    于是人们开始继续探索,不断试错,后来设计出了反码。下面就演示了反码运算的过程:

    6 - 18 = 6 + (-18)
    = [0000 0000 0000 0110]反 + [1111 1111 1110 1101]反
    = [1111 1111 1111 0011]反
    = [1000 0000 0000 1100]原
    = -12

    这样一来,计算结果就正确了。
    然而,这样还不算万事大吉,我们不妨将减数和被减数交换一下位置,也就是计算 18 - 6 的结果:

    18 - 6 = 18 + (-6)
    = [0000 0000 0001 0010]反 + [1111 1111 1111 1001]反
    = [1 0000 0000 0000 1011]反
    = [0000 0000 0000 1011]反
    = [0000 0000 0000 1011]原
    = 11

    按照反码计算的结果是 11,而真实的结果应该是 12 才对,它们相差了 1。

    粗体的 1 是加法运算过程中的进位,它溢出了,内存容纳不了了,所以直接截掉。

    6 - 18 的结果正确,18 - 6 的结果就不正确,相差 1。按照反码来计算,是不是小数减去大数正确,大数减去小数就不对了,始终相差 1 呢?我们不妨再看两个例子,分别是 5 - 13 和 13 - 5。
    5 - 13 的运算过程为:

    5 - 13 = 5 + (-13)
    = [0000 0000 0000 0101]原 + [1000 0000 0000 1101]原
    = [0000 0000 0000 0101]反 + [1111 1111 1111 0010]反
    = [1111 1111 1111 0111]反
    = [1000 0000 0000 1000]原
    = -8

    13 - 5 的运算过程为:

    13 - 5 = 13 + (-5)
    = [0000 0000 0000 1101]原 + [1000 0000 0000 0101]原
    = [0000 0000 0000 1101]反 + [1111 1111 1111 1010]反
    = [1 0000 0000 0000 0111]反
    = [0000 0000 0000 0111]反
    = [0000 0000 0000 0111]原
    = 7

    这足以证明,刚才的猜想是正确的:小数减去大数不会有问题,而大数减去小数的就不对了,结果始终相差 1。
    相差的这个 1 要进行纠正,但是又不能影响小数减去大数,怎么办呢?于是人们又绞尽脑汁设计出了补码,给反码打了一个“补丁”,终于把相差的 1 给纠正过来了。
    下面演示了按照补码计算的过程:

    6 - 18 = 6 + (-18)
    = [0000 0000 0000 0110]补 + [1111 1111 1110 1110]补
    = [1111 1111 1111 0100]补
    = [1111 1111 1111 0011]反
    = [1000 0000 0000 1100]原
    = -12
    18 - 6 = 18 + (-6)
    = [0000 0000 0001 0010]补 + [1111 1111 1111 1010]补
    = [1 0000 0000 0000 1100]补
    = [0000 0000 0000 1100]补
    = [0000 0000 0000 1100]反
    = [0000 0000 0000 1100]原
    = 12
    5 - 13 = 5 + (-13)
    = [0000 0000 0000 0101]补 + [1111 1111 1111 0011]补
    = [1111 1111 1111 1000]补
    = [1000 1111 1111 0111]反
    = [1000 0000 0000 1000]原
    = -8
    13 - 5 = 13 + (-5)
    = [0000 0000 0000 1101]补 + [1111 1111 1111 1011]补
    = [1 0000 0000 0000 1000]补
    = [0000 0000 0000 1000]补
    = [0000 0000 0000 1000]反
    = [0000 0000 0000 1000]原
    = 8

    你看,采用补码的形式正好把相差的 1 纠正过来,也没有影响到小数减去大数,这个“补丁”真是巧妙。

    小数减去大数,结果为负数,之前(负数从反码转换为补码要加 1)加上的 1,后来(负数从补码转换为反码要减 1)还要减去,正好抵消掉,所以不会受影响。

    有符号数、无符号数

    C 语言中整数总体可以分为 有符号数(signed) 和 无符号数(unsigned)。

    无符号数在内存中是以原码存储的,而有符号数的正数是原码存储,有符号的负数是补码存储。(正数的原码、反码、补码都是相同,所以可以理解成,正负整数都是以补码存储的

    举个例子来说,unsigned int a = 1; 变量a在内存中就是以00000000 00000001来存储的。因为这里是unsigned int,它是无符号整型,所以的它的16位全部用来表示数据。

    int b = -1;

    这里情况就稍微有点复杂了,注意数字1和-1在内存中的存储是完全不一样的,整数是以原码的形式存储的,而负数是以补码的形式存储的。

    计算过程如下:

    首先1的原码是 00000000 00000001
    其次取它的反码是 11111111 11111110
    最后在其反码的基础上加上1 11111111 11111111
    得到-1的补码是,11111111 11111111

    整数在内存中是如何存储的,为什么它堪称天才般的设计

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  • 《大数据和人工智能交流》头条号向广大初学者新增C 、Java ... 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何可以用反码, 补码的加法计算原码的减法。一. 机器数和真值在学习原码, 反码和补...

    《大数据和人工智能交流》头条号向广大初学者新增C 、Java 、Python 、Scala、javascript 等目前流行的计算机、大数据编程语言,希望大家以后关注本头条号更多的内容。

    原码、补码、反码详解

    本篇文章讲解了计算机的原码, 反码和补码. 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何可以用反码, 补码的加法计算原码的减法。

    一. 机器数和真值

    在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.

    1、机器数

    一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

    比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。

    那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

    2、真值

    因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

    例:0000 0001的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

    二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法.

    在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

    1. 原码

    原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

    [+1]原 = 0000 0001

    [-1]原 = 1000 0001

    第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

    [1111 1111 , 0111 1111]

    [-127 , 127]

    原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

    2. 反码

    反码的表示方法是:

    正数的反码是其本身

    负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变,其余各个位取反.

    [+1] = [00000001]原 = [00000001]反

    [-1] = [10000001]原 = [11111110]反

    可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

    3. 补码

    补码的表示方法是:

    正数的补码就是其本身

    负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

    [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

    [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

    对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

    三. 为何要使用原码, 反码和补码

    在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

    现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

    [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

    所以不需要过多解释. 但是对于负数:

    [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

    可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

    首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

    于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

    计算十进制的表达式: 1-1=0

    1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

    如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

    为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

    计算十进制的表达式: 1-1=0

    1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

    发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

    于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

    1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

    这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

    (-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

    -1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

    使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

    因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

    四 原码, 反码, 补码 再深入

    计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?

    将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:

    1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4

    2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4

    3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4

    2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.

    所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!

    现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.

    首先介绍一个数学中相关的概念: 同余

    同余的概念

    两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余

    记作 a ≡ b (mod m)

    读作 a 与 b 关于模 m 同余。

    举例说明:

    4 mod 12 = 4

    16 mod 12 = 4

    28 mod 12 = 4

    所以4, 16, 28关于模 12 同余.

    负数取模

    正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?

    下面是关于mod运算的数学定义:

    f84781ba54d663644eb6a09d97881ca7.png

    上面是截图, "取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:

    x mod y = x - y L x / y J

    上面公式的意思是:

    x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.

    以 -3 mod 2 举例:

    -3 mod 2

    = -3 - 2xL -3/2 J

    = -3 - 2xL-1.5J

    = -3 - 2x(-2)

    = -3 + 4 = 1

    所以:

    (-2) mod 12 = 12-2=10

    (-4) mod 12 = 12-4 = 8

    (-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

    开始证明

    再回到时钟的问题上:

    回拨2小时 = 前拨10小时

    回拨4小时 = 前拨8小时

    回拨5小时= 前拨7小时

    注意, 这里发现的规律!

    结合上面学到的同余的概念.实际上:

    (-2) mod 12 = 10

    10 mod 12 = 10

    -2与10是同余的.

    (-4) mod 12 = 8

    8 mod 12 = 8

    -4与8是同余的.

    距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:

    反身性:

    a ≡ a (mod m)

    这个定理是很显而易见的.

    线性运算定理:

    如果a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m) 那么:

    (1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

    (2)a * c ≡ b * d (mod m)

    如果想看这个定理的证明, 请看:

    所以:

    7 ≡ 7 (mod 12)

    (-2) ≡ 10 (mod 12)

    7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

    现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.

    接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.

    2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反

    先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126.

    发现有如下规律:

    (-1) mod 127 = 126

    126 mod 127 = 126

    即:

    (-1) ≡ 126 (mod 127)

    2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

    2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1

    所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!

    而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.

    既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?

    2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]补 + [1111 1111]补

    如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:

    [0111 1111]原 = 127

    其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了膜的值:

    (-1) mod 128 = 127

    127 mod 128 = 127

    2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

    此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].

    但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]

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    《大数据和人工智能交流》的宗旨

    1、将大数据和人工智能的专业数学:概率数理统计、线性代数、决策论、优化论、博弈论等数学模型变得通俗易懂。

    2、将大数据和人工智能的专业涉及到的数据结构和算法:分类、聚类 、回归算法、概率等算法变得通俗易懂。

    3、最新的高科技动态:数据采集方面的智能传感器技术;医疗大数据智能决策分析;物联网智慧城市等等。

    根据初学者需要会有C语言、Java语言、Python语言、Scala函数式等目前主流计算机语言。

    根据读者的需要有和人工智能相关的计算机科学与技术、电子技术、芯片技术等基础学科通俗易懂的文章。

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  • 机器数和机器数真值在学习原码,反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值概念。1、机器数一个数在计算机中二进制表示形式,叫做这个数机器数。机器数是带符号,在计算机用机器数最高位存放符号,正数...

    一. 机器数和机器数的真值

    在学习原码,反码和补码之前, 需要先了解机器数真值的概念。

    1、机器数

    一个数在计算机中的二进制表示形式,叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用机器数的最高位存放符号,正数为0,负数为1。

    比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是0000 0011。如果是 -3 ,就是 100 00011 。

    那么,这里的 0000 0011 和 1000 0011 就是机器数。

    2、机器数的真值

    因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。

    例如上面的有符号数 1000 0011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3,而不是形式值131(1000 0011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值

    例:0000 0001的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

    二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法

    在探求为何机器要使用补码之前,让我们先了解原码、反码和补码的概念。对于一个数,计算机要使用一定的编码方式进行存储,原码、反码、补码是机器存储一个具体数字的编码方式。

    1. 原码

    原码就是符号位加上真值的绝对值,即用第一位表示符号,其余位表示值。比如:如果是8位二进制:

    [+1]原= 0000 0001

    [-1]原= 1000 0001

    第一位是符号位,因为第一位是符号位,所以8位二进制数的取值范围就是:(即第一位不表示值,只表示正负。)

    [1111 1111 , 0111 1111]

    [-127 , 127]

    原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。

    2. 反码

    反码的表示方法是:

    正数的反码是其本身;

    负数的反码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各个位取反。

    [+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反

    [-1] = [1000 0001]原= [1111 1110]反

    可见如果一个反码表示的是负数,人脑无法直观的看出来它的数值。通常要将其转换成原码再计算。

    3. 补码

    补码的表示方法是:

    正数的补码就是其本身;

    负数的补码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各位取反,最后+1。(也即在反码的基础上+1)

    [+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反= [0000 0001]补

    [-1] = [1000 0001]原= [1111 1110]反= [1111 1111]补

    对于负数,补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的。通常也需要转换成原码再计算其数值。

    三. 为何要使用原码、反码和补码

    在开始深入学习前,我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码,反码和补码的表示方式以及计算方法。

    现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数,对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

    [+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反= [0000 0001]补

    所以不需要过多解释,但是对于负数:

    [-1] = [10000001]原= [11111110]反= [11111111]补

    可见原码,反码和补码是完全不同的。既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式,为何还会有反码和补码呢?

    首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位,在计算的时候我们会根据符号位,选择对真值区域的加减。(真值的概念在本文最开头) 但是对于计算机,加减乘数已经是最基础的运算,要设计的尽量简单,计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂!

    于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道,根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数,即:1-1 = 1 + (-1) = 0, 所以机器可以只有加法而没有减法,这样计算机运算的设计就更简单了。

    于是人们开始探索将符号位参与运算,并且只保留加法的方法。

    首先来看原码:

    计算十进制的表达式: 1 - 1 = 0

    1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原+ [1000 0001]原= [1000 0010]原= -2

    如果用原码表示,让符号位也参与计算,显然对于减法来说,结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。

    为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

    计算十进制的表达式:1 - 1 = 0

    1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原+ [1000 0001]原= [0000 0001]反+ [1111 1110]反= [1111 1111]反= [1000 0000]原= -0

    发现用反码计算减法,结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上,虽然人们理解上+0和-0是一样的,但是0带符号是没有任何意义的,而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0。

    于是补码的出现,解决了0的符号问题以及0的两个编码问题:

    1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原+ [1000 0001]原= [0000 0001]补+ [1111 1111]补= [1 0000 0000]补=[0000 0000]补=[0000 0000]原注意:进位1不在计算机字长里。

    这样0用[0000 0000]表示,而以前出现问题的-0则不存在了。而且可以用[1000 0000]表示-128:-128的由来如下:

    (-1) + (-127) = [1000 0001]原+ [1111 1111]原= [1111 1111]补+ [1000 0001]补= [1000 0000]补

    -1-127的结果应该是-128,在用补码运算的结果中,[1000 0000]补就是-128,但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128,所以-128并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示[1000 0000]补,算出来的原码是[0000 0000]原,这是不正确的)

    使用补码,不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题,而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么8位二进制,使用原码或反码表示的范围为[-127, +127],而使用补码表示的范围为[-128, 127]。

    因为机器使用补码,所以对于编程中常用到的有符号的32位int类型,可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位,而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

    四 原码, 反码, 补码 再深入

    计算机巧妙地把符号位参与运算,并且将减法变成了加法,背后蕴含了怎样的数学原理呢?

    将钟表想象成是一个1位的12进制数。如果当前时间是6点,我希望将时间设置成4点,需要怎么做呢?我们可以:

    1. 往回拨2个小时:6 - 2 = 4

    2. 往前拨10个小时:(6 + 10) mod 12 = 4

    3. 往前拨10+12=22个小时:(6+22) mod 12 =4

    4b5326e2449d61a5303b477b0fb104e5.png

    上面2,3方法中的mod是指取模操作,16 mod 12 =4,即用16除以12后的余数是4。

    所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!

    现在的焦点就落在了如何用一个正数,来替代一个负数呢?上面的例子我们能感觉出来一些端倪,发现一些规律。但是数学是严谨的,不能靠感觉。

    首先介绍一个数学中相关的概念:同余

    同余的概念

    两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余。

    记作 a ≡ b (mod m)

    读作 a 与 b 关于模 m 同余。

    举例说明:

    4 mod 12 = 4

    16 mod 12 = 4

    28 mod 12 = 4

    所以4,16,28对于模 12 同余。

    负数取模

    正数进行mod运算是很简单的,但是负数呢?

    下面是关于mod运算的数学定义:

    1804f0ac30da3239fc06440a603b5665.png

    上面是截图,"取下界”符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码)。下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:

    x mod y = x - y L x / y J

    上面公式的意思是:

    x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界。

    以 -3 mod 2 举例:

    -3 mod 2

    = -3 - 2xL -3/2 J

    = -3 - 2xL-1.5J

    = -3 - 2x(-2)

    = -3 + 4 = 1

    所以:

    (-2) mod 12 = 12-2=10    (-2) mod 12 = -2 - 12x[-2/12] = -2 - 12x(-1) = -2 + 12 = 10

    (-4) mod 12 = 12-4 = 8    (-4) mod 12 = -4 - 12x[-4/12] = -2 -12x(-1) = -4 + 12 = 8

    (-5) mod 12 = 12 - 5 = 7    (-5)mod 12 = -5 - 12x[-5/12] = -5 -12x(-1) = -5 + 12 = 7

    开始证明

    再回到时钟的问题上:

    回拨2小时 = 前拨10小时

    回拨4小时 = 前拨8小时

    回拨5小时= 前拨7小时

    注意,这里发现的规律!

    结合上面学到的同余的概念,实际上:

    (-2) mod 12 = 10

    10 mod 12 = 10

    -2与10是同余的。

    (-4) mod 12 = 8

    8 mod 12 = 8

    -4与8是同余的。

    距离成功越来越近了。要实现用正数替代负数,只需要运用同余数的两个定理:

    反身性:

    a ≡ a (mod m)

    这个定理是很显而易见的。

    线性运算定理:

    如果a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m) 那么:

    (1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

    (2)a * c ≡ b * d (mod m)

    所以:

    7 ≡ 7 (mod 12)

    (-2) ≡ 10 (mod 12)

    7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

    现在我们为一个负数,找到了它的正数同余数。但是并不是7-2 = 7+10,而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) ,即计算结果的余数相等。

    接下来回到二进制的问题上,看一下:2-1=1的问题。

    2-1=2+(-1) = [0000 0010]原+ [1000 0001]原= [0000 0010]反+ [1111 1110]反

    先到这一步,-1的反码表示是1111 1110。如果这里将[1111 1110]认为是原码,则[1111 1110]原 = -126,这里将符号位除去,即认为是126。

    发现有如下规律:

    (-1) mod 127 = 126

    126 mod 127 = 126

    即:

    2 ≡ 2 (mod 127)

    (-1) ≡ 126 (mod 127)

    2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

    2-1 与 2+126的余数结果是相同的!而这个余数,正式我们的期望的计算结果:2-1=1

    所以说一个数的反码,实际上是这个数对于一个模的同余数。而这个模并不是我们的二进制,而是所能表示的最大值!这就和钟表一样,转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!

    而2+126很显然相当于钟表转过了一轮,而因为符号位是参与计算的,正好和溢出的最高位形成正确的运算结果。

    既然反码可以将减法变成加法,那么现在计算机使用的补码呢?为什么在反码的基础上加1,还能得到正确的结果?

    2-1=2+(-1) = [0000 0010]原+ [1000 0001]原= [0000 0010]补+ [1111 1111]补

    如果把[1111 1111]当成原码,去除符号位,则:

    [0111 1111]原= 127

    其实,在反码的基础上+1,只是相当于增加了模的值:

    (-1) mod 128 = 127

    127 mod 128 = 127

    2 ≡ 2 (mod 127)

    2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

    此时,表盘相当于每128个刻度转一轮。所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128]。

    但是由于0的特殊情况,没有办法表示128,所以补码的取值范围是[-128, 127]

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  • 作者:ziqiu.zhang链接:... 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何可以用反码, 补码的加法计算原码的减法. 论证部分如有不对的地方请各位牛人帮忙指正! 希望本文对大家学...

    作者:ziqiu.zhang

    链接:https://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/ComputerCode.html

    本篇文章讲解了计算机的原码, 反码和补码. 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何可以用反码, 补码的加法计算原码的减法. 论证部分如有不对的地方请各位牛人帮忙指正! 希望本文对大家学习计算机基础有所帮助!

    一、机器数和真值

    在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.

    1、机器数

    一个数在计算机中的二进制表示形式,  叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

    比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。

    那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

    2、真值

    因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

    例:0000 0001的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

    二、原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法.

    在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

    1、原码

    原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

    [+1] = 0000 0001

    [-1] = 1000 0001

    第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

    [1111 1111 , 0111 1111]

    [-127 , 127]

    原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

    2、反码

    反码的表示方法是:

    正数的反码是其本身

    负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变,其余各个位取反.

    [+1] = [00000001] = [00000001]

    [-1] = [10000001] = [11111110]

    可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

    3、补码

    补码的表示方法是:

    正数的补码就是其本身

    负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

    [+1] = [00000001] = [00000001] = [00000001]

    [-1] = [10000001] = [11111110] = [11111111]

    对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

    三、为何要使用原码, 反码和补码

    在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

    现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

    [+1] = [00000001] = [00000001] = [00000001]

    所以不需要过多解释. 但是对于负数:

    [-1] = [10000001] = [11111110] = [11111111]

    可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

    首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

    于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

    计算十进制的表达式: 1-1=0

    1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001] + [10000001] = [10000010] = -2

    如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

    为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

    计算十进制的表达式: 1-1=0

    1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001] + [1000 0001]= [0000 0001] + [1111 1110] = [1111 1111] = [1000 0000] = -0

    发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

    于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

    1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001] + [1000 0001] = [0000 0001] + [1111 1111] = [0000 0000]=[0000 0000]

    这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

    (-1) + (-127) = [1000 0001] + [1111 1111] = [1111 1111] + [1000 0001] = [1000 0000]

    -1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

    使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

    因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

    四、原码, 反码, 补码 再深入

    计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?

    将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:

    1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4

    2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4

    3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4

    2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.

    所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!

    现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.

    首先介绍一个数学中相关的概念: 同余

    同余的概念

    两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余

    记作 a ≡ b (mod m)

    读作 a 与 b 关于模 m 同余。

    举例说明:

    4 mod 12 = 4

    16 mod 12 = 4

    28 mod 12 = 4

    所以4, 16, 28关于模 12 同余.

    负数取模

    正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?

    下面是关于mod运算的数学定义:

    477b4077a311d597552b5d0b76b7b017.png

    上面是截图, "取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:

    x mod y = x - y L x / y J

    上面公式的意思是:

    x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.

    以 -3 mod 2 举例:

    -3 mod 2

    = -3 - 2xL -3/2 J

    = -3 - 2xL-1.5J

    = -3 - 2x(-2)

    = -3 + 4 = 1

    所以:

    (-2) mod 12 = 12-2=10

    (-4) mod 12 = 12-4 = 8

    (-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

    开始证明

    再回到时钟的问题上:

    回拨2小时 = 前拨10小时

    回拨4小时 = 前拨8小时

    回拨5小时= 前拨7小时

    注意, 这里发现的规律!

    结合上面学到的同余的概念.实际上:

    (-2) mod 12 = 10

    10 mod 12 = 10

    -2与10是同余的.

    (-4) mod 12 = 8

    8 mod 12 = 8

    -4与8是同余的.

    距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:

    反身性:

    a ≡ a (mod m)

    这个定理是很显而易见的.

    线性运算定理:

    如果a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m) 那么:

    (1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

    (2)a * c ≡ b * d (mod m)

    如果想看这个定理的证明, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

    所以:

    7 ≡ 7 (mod 12)

    (-2) ≡ 10 (mod 12)

    7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

    现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.

    接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.

    2-1=2+(-1) = [0000 0010] + [1000 0001]= [0000 0010] + [1111 1110]

    先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126.

    发现有如下规律:

    (-1) mod 127 = 126

    126 mod 127 = 126

    即:

    (-1) ≡ 126 (mod 127)

    2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

    2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1

    所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!

    而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.

    既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?

    2-1=2+(-1) = [0000 0010] + [1000 0001] = [0000 0010] + [1111 1111]

    如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:

    [0111 1111] = 127

    其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了膜的值:

    (-1) mod 128 = 127

    127 mod 128 = 127

    2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

    此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].

    但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]


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