• 帕斯卡公式可得该式等于 C（n+1,m）+（n-m) 如果n *m，那么就是一直往上走，权值和就为C（n,m)+C(n-1,m)+C(n-2,m)..... 等于C(n+1,m+1)+m 得到公式之后因为n,m很大，所以需要用Lucas定理化简，而且...


Problem Description

Figure 1 shows the Yang Hui Triangle. We number the row from top to bottom 0,1,2,…and the column from left to right 0,1,2,….If using C(n,k) represents the number of row n, column k. The Yang Hui Triangle has a regular pattern as follows.
C(n,0)=C(n,n)=1 (n ≥ 0)
C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k) (0<k<n)
Write a program that calculates the minimum sum of numbers passed on a route that starts at the top and ends at row n, column k. Each step can go either straight down or diagonally down to the right like figure 2.
As the answer may be very large, you only need to output the answer mod p which is a prime.

Input

Input to the problem will consists of series of up to 100000 data sets. For each data there is a line contains three integers n, k(0<=k<=n<10^9) p(p<10^4 and p is a prime) . Input is terminated by end-of-file.

Output

For every test case, you should output "Case #C: " first, where C indicates the case number and starts at 1.Then output the minimum sum mod p.

Sample Input

1 1 2
4 2 7

Sample Output

Case #1: 0
Case #2: 5

题意：给个n,k，问从第一行第一列走到第n行，第k列的最小路径点权和是多少？ 只能向下走或者斜右下走。输出对p取模。

分析：
我们思考逆问题，从n，k走向1，1只能向上或者左上走。
容易看出，根据已知的那个点（n,m） 如果 n > 2*m 那么从已知点出发，可以一直往斜的方向走，直到边界，那么 权值和就为 C（n,m）+C(n-1,m-1)....... 由帕斯卡公式可得该式等于 C（n+1,m）+（n-m)  如果n <= 2*m，那么就是一直往上走，权值和就为C（n,m)+C(n-1,m)+C(n-2,m)..... 等于C(n+1,m+1)+m
得到公式之后因为n,m很大，所以需要用Lucas定理化简，而且样例有1e5组，因此要先将素数的一些组合数打好表。

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
typedef long long ll;
int book[10000] ={1,1,0};
int prim[10000],pnum = 0;
int preC[1300][10001],preA[1300][10001];
int s[2001];
void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){
if(!b){
d = a;
x = 1;
y = 0;
}else{
gcd(b,a%b,d,y,x);
y -= x*(a/b);
}
}
inline int inv(int a,int p){
int d,x,y;
gcd(a,p,d,x,y);
return (d==1)?(x+p)%p:-1;
}
void init()
{
for(int i = 2 ; i < 10000 ; i ++)
{
if(book[i])continue;
book[i] = pnum;
prim[pnum++] = i;
for(int j = 2 ; j * i < 10000 ; j ++)
book[i*j]=1;
}
for(int i = 0 ; i < pnum ; i ++)
{
preC[i][1] = 1;
preA[i][1] = 1;
for(int j = 2 ; j < 10001 ; j ++)
preC[i][j] = preC[i][j-1] * inv(j,prim[i]) % prim[i];
for(int j = 2 ; j < 10001 ; j ++)
preA[i][j] = preA[i][j-1] * j % prim[i];
}
}
ll C(ll n,ll m,ll mod)
{
if(m>n) return 0;
if(m==n||m==0)return 1;
if(n==m+1||m==1)return n%mod;
return preA[book[mod]][n]*preC[book[mod]][m]%mod*preC[book[mod]][n-m]%mod;
}
ll lucas(ll n,ll m,ll mod)
{
if(m == 0) return 1;
return C(n%mod,m%mod,mod)*lucas(n/mod,m/mod,mod)%mod;
}

int main()
{
init();
int n,m,q,_case=0;
while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&q))
{
printf("Case #%d: %lld\n",++_case,2*m<n?(lucas(n+1,m,q)+n-m)%q:(lucas(n+1,m+1,q)+m)%q);
}
return 0;
}



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• #include #include #include #include #include ...帕斯卡公式 C[i][j] = C[i-1][j]+C[i-1][j-1]; C[i][j]指的是组合数 转载于:https://www.cnblogs.com/jzdwajue/p/7105153.html


#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>

using namespace std;
#define INF 0x7fffffff
#define MOD 1000000007
#define LL long long
#define MAX(a,b) ((a)>(b))?(a):(b)
#define MIN(a,b) ((a)<(b))?
(a):(b) LL dp[205][205]; int fun(int x1,int y1,int x2,int y2){ return dp[(abs(x1-x2)+abs(y1-y2))][abs(x1-x2)]; } int main(){ int n,m,x,y; for(int i = 0;i <= 200;i++){ dp[i][0] = 1; } for(int i = 0;i <= 200;i++){ dp[i][1] = i; } for(int i = 1;i <= 200;i++){ for(int j = 2;j <= i;j++){ dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]; dp[i][j] %= MOD; } } while(cin >> n >> m >> x >> y){ LL ans = 0; if(n == 1||m == 1){ ans = n + m - 1; } else{ for(int i = 2;i <= y;i++){ ans += fun(1,i,x,y); ans %= MOD; } for(int i = y+1;i <= m;i++){ ans += fun(1,i,x,y); ans %= MOD; } for(int i = 2;i <= x;i++){ ans += fun(i,m,x,y); ans %= MOD; } for(int i = x+1;i <= n;i++){ ans += fun(i,m,x,y); ans %= MOD; } for(int i = y;i < m;i++){ ans += fun(n,i,x,y); ans %= MOD; } for(int i = 1;i < y;i++){ ans += fun(n,i,x,y); ans %= MOD; } for(int i = x;i < n;i++){ ans += fun(i,1,x,y); ans %= MOD; } for(int i = 1;i < x;i++){ ans += fun(i,1,x,y); ans %= MOD; } } cout << ans << endl; } return 0; }
帕斯卡公式
C[i][j] = C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
C[i][j]指的是组合数

转载于:https://www.cnblogs.com/jzdwajue/p/7105153.html
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• 帕斯卡公式可得该式等于 C（n+1,m）+（n-m) 如果n *m，那么就是一直往上走，权值和就为C（n,m)+C(n-1,m)+C(n-2,m)..... 等于C(n+1,m+1)+m 得到公式之后因为n,m很大，所以需要用Lucas定理化简，而且样例有1e5组...
 DP?
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Problem Description

Figure 1 shows the Yang Hui Triangle. We number the row from top to bottom 0,1,2,…and the column from left to right 0,1,2,….If using C(n,k) represents the number of row n, column k. The Yang Hui Triangle has a regular pattern as follows.
C(n,0)=C(n,n)=1 (n ≥ 0)
C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k) (0<k<n)
Write a program that calculates the minimum sum of numbers passed on a route that starts at the top and ends at row n, column k. Each step can go either straight down or diagonally down to the right like figure 2.
As the answer may be very large, you only need to output the answer mod p which is a prime.

Input

Input to the problem will consists of series of up to 100000 data sets. For each data there is a line contains three integers n, k(0<=k<=n<10^9) p(p<10^4 and p is a prime) . Input is terminated by end-of-file.

Output

For every test case, you should output "Case #C: " first, where C indicates the case number and starts at 1.Then output the minimum sum mod p.

Sample Input

1 1 2
4 2 7

Sample Output

Case #1: 0
Case #2: 5

Author

phyxnj@UESTC

题意：告诉你在一个在杨辉三角中的点，问你从走到0,0点做到该店经过的点最少的权值和，而且只能走向下和，斜向下两个方向。

思路：容易看出，根据已知的那个点（n,m） 如果 n > 2*m 那么从已知点出发，可以一直往斜的方向走，直到边界，那么 权值和就为 C（n,m）+C(n-1,m-1)....... 由帕斯卡公式可得该式等于 C（n+1,m）+（n-m)  如果n <= 2*m，那么就是一直往上走，权值和就为C（n,m)+C(n-1,m)+C(n-2,m)..... 等于C(n+1,m+1)+m

得到公式之后因为n,m很大，所以需要用Lucas定理化简，而且样例有1e5组，因此要先将素数的一些组合数打好表。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
int n,m,p;
const int maxn = 10000+10;
bool isPrime[maxn];
int CC[maxn][maxn];
int AA[maxn][maxn];
void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){
if(!b){
d = a;
x = 1;
y = 0;
}else{
gcd(b,a%b,d,y,x);
y -= x*(a/b);
}

}
inline int inv(int a,int p){
int d,x,y;
gcd(a,p,d,x,y);
return (d==1)?(x+p)%p:-1;
}
inline int C(int nn,int mm){
int ans;
if(nn<mm) return 0;
if(nn==mm||mm==0) return 1;
if(mm==1||mm==nn-1) return nn;
ans = (((AA[p][nn]*CC[p][mm])%p)*CC[p][nn-mm])%p;
return ans;
}
int Lucas(int nn,int mm){
if(mm==0) return 1;
int k = C(nn%p,mm%p);
return (k*Lucas(nn/p,mm/p))%p;
}
void init(){
memset(isPrime,1,sizeof isPrime);
int id = 0;
for(int i = 2; i < maxn; i++){
if(isPrime[i]){
CC[i][2] = inv(2,i);
for(int j = 3; j < i; j++){
CC[i][j] = (CC[i][j-1]*inv(j,i))%i;
}
for(int j = i*i; j < maxn; j+=i){
isPrime[j] = 0;
}
AA[i][1] = 1;
for(int j = 2; j < i; j++){
AA[i][j] = (AA[i][j-1]*j)%i;
}
}
}
}
int main(){
int T = 1;
init();
while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&p) != EOF){
if(2*m < n)
printf("Case #%d: %d\n",T++,(Lucas(n+1,m)+n-m)%p);
else
printf("Case #%d: %d\n",T++,(Lucas(n+1,m+1)+m)%p);
}
return 0;
}



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• 帕斯卡公式 还计算这个sigma和了 ； 帕斯卡公式 : 1. C(n+1,m) = C(n,m) + C(n-1,m-1)+...+C(n-m,0);  当m 时 ，斜向上走到左边界， 之后还有n - m个1 2. C(n+1,m+1) = C(n-1,m) + C(n-2,m)+...+C(n-m,m);...

DP?

Problem Description

Figure 1 shows the Yang Hui Triangle. We number the row from top to bottom 0,1,2,…and the column from left to right 0,1,2,….If using C(n,k) represents the number of row n, column k. The Yang Hui Triangle has a regular pattern as follows.
C(n,0)=C(n,n)=1 (n ≥ 0)
C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k) (0<k<n)
Write a program that calculates the minimum sum of numbers passed on a route that starts at the top and ends at row n, column k. Each step can go either straight down or diagonally down to the right like figure 2.
As the answer may be very large, you only need to output the answer mod p which is a prime.

Input

Input to the problem will consists of series of up to
100000 data sets. For each data there is a line contains three integers
n, k(0<=k<=n<10^9) p(p<10^4
and p is a prime) . Input is terminated by end-of-file.

Output

For every test case, you should output "Case #C: " first, where C indicates the case number and starts at 1.Then output the minimum sum mod p.

Sample Input

1 1 2

4 2 7

Sample Output

Case #1: 0

Case #2: 5

思路:Lucas定理正好适用于p较小的组合数取模问题；由于很多组查询，所以只能预处理出每个素数对应的每个每个值的阶乘值；

Lucas定理:C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)  (mod p);

这是我们能容易地求解出终点的值，但是如果我们是一层一层地加到边界，再找还有多少个1?这样直接T了，现在就需要帕斯卡公式还计算这个sigma和了；

帕斯卡公式:

1.  C(n+1,m) = C(n,m) + C(n-1,m-1)+...+C(n-m,0);  当m <= n/2时，斜向上走到左边界，之后还有n - m个1

2.  C(n+1,m+1) = C(n-1,m) + C(n-2,m)+...+C(n-m,m); 一直竖直向上走到右边界，之后还有m个1

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
using namespace std;
#define rep0(i,l,r) for(int i = (l);i < (r);i++)
#define rep1(i,l,r) for(int i = (l);i <= (r);i++)
#define rep_0(i,r,l) for(int i = (r);i > (l);i--)
#define rep_1(i,r,l) for(int i = (r);i >= (l);i--)
#define MS0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define MS1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define MSi(a) memset(a,0x3f,sizeof(a))
#define inf 0x3f3f3f3f
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m+1, r, rt << 1|1
typedef pair<int,int> PII;
#define A first
#define B second
#define MK make_pair
typedef __int64 ll;
template<typename T>
{
T x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
m = x*f;
}
template<typename T>
template<typename T>
template<typename T>
void out(T a)
{
if(a>9) out(a/10);
putchar(a%10+'0');
}
const int N = 10005;
int prime[N],check[N];
void getprime()
{
for(int i = 2;i < N;i++)if(!check[i]){
prime[i] = ++prime[0];
for(int j = i*i;j < N;j += i)
check[j] = 1;
}
}
int f[4000][N];
void init()
{
getprime();
for(int i = 2;i <= N;i++){
if(prime[i] == 0) continue;
int id = prime[i];
f[id][0] = 1;
for(int j = 1;j < N;j++)
f[id][j] = f[id][j-1]*j%i;
}
}
int pow_mod(int a,int n,int p)
{
int ans = 1;
while(n){
if(n & 1) ans = ans*a%p;
a = a*a%p;
n >>= 1;
}
return ans;
}
int C(int n,int m,int p)
{
if(n < m) return 0;
if(n == m) return 1;
int id = prime[p];
int a = f[id][n],b = f[id][m]*f[id][n - m]%p;
return a*pow_mod(b,p-2,p)%p;
}
int Lucas(int n,int m,int p)
{
if(m == 0) return 1;
if(m == 1) return n%p;
return C(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p)%p;
}
int main()
{
init();
int n,m,p,kase = 1;
while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&p) == 3){
if(m <= n/2) m = n - m;
int ans = Lucas(n + 1,m + 1,p);
printf("Case #%d: %d\n",kase++,(ans + m)%p);
}
return 0;
}

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转载于:https://www.cnblogs.com/hxer/p/5231900.html
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• 一、二项式定理 、 二、组合恒等式 ( 递推式 1 ) 、 三、组合恒等式 ( 递推式 2 ) 、 四、组合恒等式 ( 递推式 3 ) 帕斯卡 / 杨辉三角公式 、 五、组合分析方法 、 六、递推式组合恒等式特点
• 翻译给定一个索引K，返回帕斯卡三角形的第K行。例如，给定K=3， 返回[1,3,3,1]。注释： 你可以改进你的算法只用O(k)的额外空间吗？原文Given an index k, return the kth row of the Pascal's triangle.For example,...
• -- coding: UTF-8 -- def pask(n): list1 = [1] listT = [] listT.append(list1) listAdd = [] for x in range(2,n+1): for y in range(x): if y == 1: listAdd.append(1) ...listAdd.append(listT[x-2][y-2]+listT[x-2...
• 帕斯卡恒等式： C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k) 证明： n个小球取k个，考虑第k个球，因为第k个球只有被取到和不被取到两种情况，因此： 1.如果第k个球被取到，方案数为C(n-1,k-1) 2.如果第k个球不被取到，方案数为C(n-1...
• *说明：杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。 实现方法生成器（generate），详见：廖雪峰_python生成器。 记一下生成器的关键点： 1、 通过列表生成式，我们...
• 组合数学少不了二项式，今天来补一补。 0 |1 |2 | 3 |4 |5 |6 |7 |8 0 1 | | | | | | | | 1 1 |1 | | | | | | | 2 1 |2 |1 ...
• 几个不熟的性质: 1. 第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，表示从n-1中选择m-1个位置的情况数。C(n,m)=n!/[m!(n-m)!... 这个公式一方面我们可以从杨辉三角的每个数等于它上方两数之和性质得到。 4、第n行
• 使用帕斯卡公式 : 递推式 3 ( 帕斯卡 / 杨辉三角公式 ) : (nk)=(n−1k)+(n−1k−1)\dbinom{n}{k} = \dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1}(kn​)=(kn−1​)+(k−1n−1​) ③ ( 1 ) 合并项 : (nk)\dbinom{n}{k}...
• 帕斯卡三角形，是一个三角形矩阵，其顶端是 1,视为(row0).第1列(row1)(1&1)两个1,这两个1是由他们上头左右两数之和 (不在三角形内的数视为0).依此类推产生第2列(row2):0+1=1;1+1=2;1+0=1.第3列(row3):0+1=1;1+2=3; 2...
• 题如下： 递归解决方法： int Cre(int n,int k) { if (n==k) { return 1; } if (k==0) { return 1; } if (k==1) { return n; } if (n==1) { return 1; } return Cre(n-1,k-1)+Cre...int mai
• 就是这样一个过程，公式是经过推导的，有兴趣也可以自己推导! 这种问题没有为什么，就只有怎么做到!combi ( 0 , 0 ) -> combi ( 1 , 0 ) -> combi ( 1 , 1 ) -> combi ( 2 , 0 ) -> combi ( 2 , 1 ) -> combi ( 3 , ...
• 先来看公式： 看看first course of in Probability的解释： 这里一看可能大部分人都懵逼了，我也是想了好几个小时，后面想明白了。 假设有5个物体：1 2 3 4 5 任意取3个做组合C(5,3)，那么这些组合中只有两种...
• 帕斯卡三角形在现实中有比较多的应用，其中比较广泛的就是n次多项式的系数，具体如图所示： 可以看到基本规律如下： 1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 2、第n行的数字个数为n个。 ...
• 如下图所展示的图形为杨辉三角，也叫巴斯卡三角，我们将用python语言将其打印出来 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ...
• 函数不能嵌套定义，也就是函数内部不能定义函数 但可以递归调用，直接（a中调用b），间接（a中调用b，b中再调用a）+循环调用
• 帕斯卡分布 负二项分布的正整数形式，描述第n次成功发生在第x次的概率 定义 在重复、独立的伯努利试验，设每次试验成功的概率为ppp，失败的概率为q=1−pq= 1- pq=1−p，若将试验进行到出现 rrr ( rrr 为常数 ) 次...
• 帕斯卡三角形（杨辉三角） 颠倒给定的 32 位无符号整数的二进制位。 给定一个非负整数 numRows，生成杨辉三角的前 numRows 行。 在杨辉三角中，每个数是它左上方和右上方的数的和。 示例: 输入: 5 输出: [ ...
• 契克卡德确实早于帕斯卡涉足机械计算，且史料表明，至少曾有一台计算钟是制作成功的。然而，就在这样确凿的证据面前，「机械计算第一人」的说法仍然存在争论，主要有以下几点原因： 契克卡德没有留下看得见摸得着的...
• 在第2章中作者提出了所谓“找到了一个问题的解”的三种解释，使读者了解用符号及相应的计算公式来表示解的方法，第3，4章正式引入帕斯卡三角形的概念与性质，以及帕斯卡运算的定义和公式，并依此给出了人员分流问题...
• 组合的递推公式 C(N, K) = C(N - 1, K) + C(N - 1, K - 1) 等价于C(N + 1, K + 1) = C(N, K + 1) + C(N, K) ，即K和N分别加1。 通过观察 C(N + 1, K + 1) = C(N, K + 1) + C(N, K) 右边第二项C(N, K)为“在N件中取...
• 在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。 简介： 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形...
•  负二项分布又称帕斯卡分布，是一种离散型分布，常用于描述生物群聚性，医学上用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布，负二项分布的试验次数不固定也就是二项分布的n=x+k。  负二项分布，试验独立...
• 公式 安装 npm install 测试 npm run test 挑战 生成一个算法，该算法计算特定行号的帕斯卡三角形的系数 提交挑战解决方案 您必须对此项目进行“分叉”，对问题进行加扰并创建对此存储库的“拉取请求”。 贡献 如果

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