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  • TDOA定位Taylor算法
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    2020-12-12 00:14:13

    基于TDOA的经典定位算法分为两类,一类是可以求出解析解的算法,如Fang算法、Chan算法的;另一类是迭代算法,如Taylor算法。

    Taylor级数展开法是一种迭代算法,在Taylor级数展开的基础上,利用初始迭代值进行WLS估计,然后求解位置估计误差的局部最小二乘解,并对标签的位置进行更新。Taylor算法的前提是需要标签位置的初始估计值,而算法的主要思想是通过不断迭代来修正待定位标签位置的估计值,最后逐渐逼近标签真实的位置坐标。

    标签与基站之间的约束关系可以通过某一函数 f i ( x , y , x i , y i ) {f_i}\left( {x,y,{x_i},{y_i}} \right) fi(x,y,xi,yi)来表达,该函数的测量值可以用 M i M_i Mi来表示, M i = M i 0 + e i {M_i} = M_i^0 + {e_i} Mi=Mi0+ei ,其中, M i 0 M_i^0 Mi0为函数的真实值, e i e_i ei表示测量误差。用 η \eta η来代表误差门限值,那么,应在满足条件: Δ x + Δ y < η {\Delta x + \Delta y} < \eta Δx+Δy<η时停止迭代计算。

    假设标签坐标的初始值为 ( x 0 , y 0 ) ({x_0},{y_0}) (x0,y0),真实值为 ( x , y ) (x,y) (x,y),且 x = x 0 + Δ x x = {x_0} + \Delta x x=x0+Δx y = y 0 + Δ y y = {y_0} + \Delta y y=y0+Δy,那么函数 f i ( x , y , x i , y i ) {f_i}\left( {x,y,{x_i},{y_i}} \right) fi(x,y,xi,yi) ( x 0 , y 0 ) ({x_0},{y_0}) (x0,y0)处的Taylor级数展开结果如下:

    f i ( x , y , x i , y i ) = f i ( x 0 , y 0 , x i , y i ) + ( Δ x ∂ ∂ x + Δ y ∂ ∂ y ) f i ( x 0 , y 0 , x i , y i ) + 1 2 ! ( Δ x ∂ ∂ x + Δ y ∂ ∂ y ) 2 f i ( x 0 , y 0 , x i , y i ) + ⋯ + 1 n ! ( Δ x ∂ ∂ x + Δ y ∂ ∂ y ) n f i ( x 0 , y 0 , x i , y i ) + ⋯ f_{i}\left(x, y, x_{i}, y_{i}\right)=f_{i}\left(x_{0}, y_{0}, x_{i}, y_{i}\right)+\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right) f_{i}\left(x_{0}, y_{0}, x_{i}, y_{i}\right)\\ +\frac{1}{2 !}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{2} f_{i}\left(x_{0}, y_{0}, x_{i}, y_{i}\right)+\cdots\\ +\frac{1}{n !}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n} f_{i}\left(x_{0}, y_{0}, x_{i}, y_{i}\right)+\cdots fi(x,y,xi,yi)=fi(x0,y0,xi,yi)+(Δxx+Δyy)fi(x0,y0,xi,yi)+2!1(Δxx+Δyy)2fi(x0,y0,xi,yi)++n!1(Δxx+Δyy)nfi(x0,y0,xi,yi)+

    由基于TDOA的定位方法,可以得到以下的方程组:
    R i = ( x − x i ) 2 + ( y − y i ) 2 R i 1 = ( x − x i ) 2 + ( y − y i ) 2 − ( x − x 1 ) 2 + ( y − y 1 ) 2 \begin{aligned} &R_{i}=\sqrt{\left(x-x_{i}\right)^{2}+\left(y-y_{i}\right)^{2}}\\ &R_{i 1}=\sqrt{\left(x-x_{i}\right)^{2}+\left(y-y_{i}\right)^{2}}-\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}\\ \end{aligned} Ri=(xxi)2+(yyi)2 Ri1=(xxi)2+(yyi)2 (xx1)2+(yy1)2

    其中, ( x , y ) (x,y) (x,y)表示标签的坐标, R i 1 = R i − R 1 {R_{i1}} = {R_i} - {R_1} Ri1=RiR1表示标签到第 i i i个基站与到第1个基站的距离差值。

    由上式构造函数 f i ( x , y , x i , y i ) {f_i}\left( {x,y,{x_i},{y_i}} \right) fi(x,y,xi,yi)

    f i ( x , y , x i , y i ) = c ( t i − t j ) = R i − R j = ( x i − x ) 2 + ( y i − y ) 2 − ( x j − x ) 2 + ( y j − y ) 2 \begin{aligned} &f_{i}\left(x, y, x_{i}, y_{i}\right)=c\left(t_{i}-t_{j}\right)=R_{i}-R_{j}\\ &=\sqrt{\left(x_{i}-x\right)^{2}+\left(y_{i}-y\right)^{2}}-\sqrt{\left(x_{j}-x\right)^{2}+\left(y_{j}-y\right)^{2}}\\ \end{aligned} fi(x,y,xi,yi)=c(titj)=RiRj=(xix)2+(yiy)2 (xjx)2+(yjy)2

    f i ( x , y , x i , y i ) {f_i}\left( {x,y,{x_i},{y_i}} \right) fi(x,y,xi,yi) ( x 0 , y 0 ) ({x_0},{y_0}) (x0,y0)处进行泰勒展开,并忽略二阶以上的分量,有:

    f i ( x , y , x i , y i ) = f i ( x 0 , y 0 , x i , y i ) + ( Δ x ∂ ∂ x + Δ y ∂ ∂ y ) f i ( x 0 , y 0 , x i , y i ) {f_i}\left( {x,y,{x_i},{y_i}} \right) = {f_i}\left( {{x_0},{y_0},{x_i},{y_i}} \right) + \left( {\Delta x\frac{\partial }{{\partial x}} + \Delta y\frac{\partial }{{\partial y}}} \right){f_i}\left( {{x_0},{y_0},{x_i},{y_i}} \right) fi(x,y,xi,yi)=fi(x0,y0,xi,yi)+(Δxx+Δyy)fi(x0,y0,xi,yi)

    转化为矩阵的形式,有:

    ψ = h i − G i δ \psi = {{\bf{h}}_i} - {{\bf{G}}_i}{\bf{\delta }} ψ=hiGiδ

    其中, ψ \psi ψ为误差矢量,另有

    h i = [ R 2 , 1 − ( R 2 − R 1 ) R 3 , 1 − ( R 3 − R 1 ) ⋮ R L , 1 − ( R L − R 1 ) ] G i = [ x 1 − x R 1 − x 2 − x R 2 y 1 − y R 1 − y 2 − y R 2 x 1 − x R 1 − x 3 − x R 3 y 1 − y R 1 − y 3 − y R 3 ⋮ ⋮ x 1 − x R 1 − x L − x R L y 1 − y R 1 − y L − y R L ] δ = [ Δ x Δ y ] \begin{aligned} &\mathbf{h}_{i}=\left[\begin{array}{c}R_{2,1}-\left(R_{2}-R_{1}\right) \\ R_{3,1}-\left(R_{3}-R_{1}\right) \\ \vdots \\ R_{L, 1}-\left(R_{L}-R_{1}\right)\end{array}\right]\\ &\mathbf{G}_{i}=\left[\begin{array}{cc}\frac{x_{1}-x}{R_{1}}-\frac{x_{2}-x}{R_{2}} & \frac{y_{1}-y}{R_{1}}-\frac{y_{2}-y}{R_{2}} \\ \frac{x_{1}-x}{R_{1}}-\frac{x_{3}-x}{R_{3}} & \frac{y_{1}-y}{R_{1}}-\frac{y_{3}-y}{R_{3}} \\ \vdots & \vdots \\ \frac{x_{1}-x}{R_{1}}-\frac{x_{L}-x}{R_{L}} & \frac{y_{1}-y}{R_{1}}-\frac{y_{L}-y}{R_{L}}\end{array}\right]\\ &\delta=\left[\begin{array}{c}\Delta x \\ \Delta y\end{array}\right]\\ \end{aligned} hi=R2,1(R2R1)R3,1(R3R1)RL,1(RLR1)Gi=R1x1xR2x2xR1x1xR3x3xR1x1xRLxLxR1y1yR2y2yR1y1yR3y3yR1y1yRLyLyδ=[ΔxΔy]

    R i ( i = 1 , 2 , 3 , ⋯   , L ) {R_i}(i = 1,2,3, \cdots ,L) Ri(i=1,2,3,,L)表示在一次迭代计算中标签和第i个基站之间的距离。

    上式的加权最小二乘解为:

    δ = [ Δ x Δ y ] = ( G i T Q − 1 G i ) − 1 G i T Q − 1 h i \delta=\left[\begin{array}{c}\Delta x \\ \Delta y\end{array}\right]=\left(\mathbf{G}_{i}^{T} \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{G}_{i}\right)^{-1} \mathbf{G}_{i}^{T} \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{h}_{i} δ=[ΔxΔy]=(GiTQ1Gi)1GiTQ1hi

    其中, Q {\bf{Q}} Q表示TDOA测量值的协方差矩阵。在下一次递归计算中,令 x ′ = x 0 + Δ x x' = {x_0} + \Delta x x=x0+Δx y ′ = y 0 + Δ y y' = {y_0} + \Delta y y=y0+Δy,更新标签的坐标值进行迭代计算。重复以上过程,直到误差满足设定的门限值时停止迭代计算,即: ∣ Δ x ∣ + ∣ Δ y ∣ < η \left| {\Delta x} \right| + \left| {\Delta y} \right| < \eta Δx+Δy<η

    References
    [1] 宋洋. 超宽带室内定位技术研究[D].西安科技大学,2019.

    代码实现(matlab)

    X_estimate = 50;
    Y_estimate = 50;
    Xb = [200 200];
    X = [200 0; -100 173; -100 -173];
    Noise = 0.1*randn(3,1);
    Real_ms = [20 20];
    
    BSN = size(X,1);      
    x = X_estimate;
    y = Y_estimate;
    
    MS = [x,y];   
    iEP = MS;
    
    %% 
    Rb = sqrt((Real_ms(1) - Xb(1))^2+(Real_ms(2) - Xb(2))^2);
    RD = zeros(BSN,1);
    for i = 1:BSN                
        RD(i) = -Rb+sqrt((Real_ms(1)- X(i,1))^2+(Real_ms(2) - X(i,2))^2)+Noise(i);
    end
    %%
    % TDOA协方差矩阵Q
    Q = 0.01*eye(BSN);   
    delta = [1 1];   
    kk = 0;   
    % Taylor级数展开法
    while ((abs(delta(1)) + abs(delta(2))) > 0.01)   
        R1 = sqrt((iEP(1) - Xb(1))^2 + (iEP(2) - Xb(2))^2);   
        R = zeros(1,BSN);
        kk = kk+1;
        for i = 1: BSN 
            R(i) = sqrt((iEP(1) - X(i,1))^2 + (iEP(2) - X(i,2))^2);
        end
        
        % hi
        hi = zeros(BSN,1);
        for i = 1: BSN
            hi(i) = RD(i) - (R(i) - R1);
        end
        
        % Gi
        Gi = zeros(BSN,2);
        for i = 1: BSN
            Gi(i, 1) = (Xb(1)-iEP(1))/R1 - (X(i,1) - iEP(1))/R(i);
            Gi(i, 2) = (Xb(2)-iEP(2))/R1 - (X(i,2) - iEP(2))/R(i);
        end
        
        % delta
        delta = inv(Gi'*inv(Q)*Gi)*Gi'*inv(Q)*hi;   
        if (abs(delta(1))+abs(delta(2))) > 0.01   
            EP = iEP + delta';   
            iEP = EP;   % 更新迭代值
        end
    end
    
    % 输出
    z_out = iEP;   % 标签坐标估计值
    mse = sqrt((z_out(1)-Real_ms(1))^2+(z_out(2)-Real_ms(2))^2);   % 均方误差
    

    配套pdf下载
    https://download.csdn.net/download/gongshouxiayin/13658167

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     1 模型

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    2 部分代码

    clc;
    clear all
    close all
    BSN = 4;%基站数量
    %目标位置
    MSP(1,1) =250*rand(1);
    MSP(1,2) = 250*rand(1);
    % 算法开始:
    Noise = 10*rand(1);%噪声
    X=500;
    Y=500;
    BS = [0, X, 0,X
       0, 0,  Y,Y];          % 参考基站坐标
    figure(1)%画出基站位置
    plot(BS(1,1),BS(2,1),'rs','LineWidth',2,...
       'MarkerEdgeColor','k',...
       'MarkerFaceColor','r',...
       'MarkerSize',20);hold on
    plot(BS(1,2),BS(2,2),'rs','LineWidth',2,...
       'MarkerEdgeColor','k',...
       'MarkerFaceColor','r',...
       'MarkerSize',20);
    plot(BS(1,3),BS(2,3),'rs','LineWidth',2,...
       'MarkerEdgeColor','k',...
       'MarkerFaceColor','r',...
       'MarkerSize',20);
    plot(BS(1,4),BS(2,4),'rs','LineWidth',2,...
       'MarkerEdgeColor','k',...
       'MarkerFaceColor','r',...
       'MarkerSize',20);
    grid on
    axis ([-10 1000 -10 1000]);
    %chan算法
    EMSCI = ChanAlgorithm1(BSN, MSP,BS, Noise);
    EMSC(1, 1) = EMSCI(1);
    EMSC(1, 2) = EMSCI(2);
    %Fang算法
    EMSCF = FangAlgorithm(BSN, MSP,BS, Noise);
    EMSF(1, 1) = EMSCF(1);
    EMSF(1, 2) = EMSCF(2);
    %泰勒定位
    EMST_taylor = TaylorAlgorithm1(BSN, MSP,BS, Noise);
    %% 最小二乘法
    EMST_lsm = lsm(BSN, MSP,BS, Noise)';
    
    plot(MSP(1),MSP(2),'rp','MarkerSize',10);
    plot(EMSC(1, 1),EMSC(1, 2),'co','MarkerSize',10);
    plot(EMSF(1 ,1),EMSF(1 ,2),'ks','MarkerSize',10);
    plot(EMST_taylor(1, 1),EMST_taylor(1, 2),'m^','MarkerSize',10);
    plot(EMST_lsm(1 ,1),EMST_lsm(1 ,2),'g*','MarkerSize',10);
    title('TDOA定位')
    legend('基站1','基站2','基站3','基站4','目标真实位置','CHAN算法','FANG算法','泰勒定位','最小二乘定位')
    chan_wucha(1)=sqrt((MSP(1) - EMSC(1,1))^2 + (MSP(2) - EMSC(1,2))^2);
    Fang_wucha(1)=sqrt((MSP(1) - EMSF(1,1))^2 + (MSP(2) - EMSF(1,2))^2);
    taylor_wucha(1)=sqrt((MSP(1) - EMST_taylor(1,1))^2 + (MSP(2) - EMST_taylor(1,2))^2);
    lsm_wucha(1)=sqrt((MSP(1) - EMST_lsm(1,1))^2 + (MSP(2) - EMST_lsm(1,2))^2);
    disp(['chan算法定位误差=',num2str(chan_wucha)])
    disp(['Fang算法定位误差=',num2str(Fang_wucha)])
    disp(['泰勒算法定位误差=',num2str(taylor_wucha)])
    disp(['最小二乘法算法定位误差=',num2str(lsm_wucha)])
    % rmse_c = TDOA_RMSE(MSP,EMSC);
    % rmse_t = TDOA_RMSE(MSP,EMST);
    

    3 仿真结果

    4 参考文献

    [1]张志良, 孙棣华, 张星霞. TDOA定位中到达时间及时间差误差的统计模型[J]. 重庆大学学报, 2006, 29(001):85-88.

    [2]孙胜, 李辉, & 韩崇昭. (2002). 基于tdoa定位技术的仿真研究. 无线通信技术(04), 40-43.

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    最近在学习TDOA定位算法,需要比较chan(查恩算法)和Taylor(泰勒级数算法)的定位效果。 分别实现的效果图: 运动目标从零点开始沿x=y做匀速运动。 观测站坐标如下: 在不同的雷达测距误差下的定位误差为: ...

    最近在学习TDOA定位算法,需要比较chan(查恩算法)和Taylor(泰勒级数算法)的定位效果。
    分别实现的效果图:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    运动目标从零点开始沿x=y做匀速运动。
    观测站坐标如下:
    在这里插入图片描述
    在不同的雷达测距误差下的定位误差为:
    在这里插入图片描述
    其实仿真代码还有不足,Taylor算法初值的确定非常重要,仿真中直接把真实值作为了初值,实际上需要改为第一次LS定位点或WLS定位点,比较符合真实情况。
    不过,到此已经能比较明显的比较出两种算法的不同之处了。
    需要源码的同学可以到我的主页下载

    感谢 Iam_Flash的提问,上传程序中chan算法的pos应在第二次WLS定位中选择,由于参考基站的位置会影响第二次WLS的求解结果,所以建议把参考基站设置为(0,0),保证待测目标出现在以参考基站为原点的第一象限上,保证第二次求解WLS不会出现虚数。当然也可以对WLS出现虚数的值进行处理还原出估计值。
    未修改参考基站的坐标,直接改chan的pos,会出现如下情况:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    求解出虚数的结果被滤除。
    修改参考坐标后,将参考基站坐标改为(-100,-100)

    function [rmse_c,rmse_T] = TDOAchan_Taylor_comparise(noise)
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    %     设置基站信息
    %  delta  TDOA测量误差的标准差,用于产生Q矩阵
    %  M      参考基站外的基站数量
    %  Xb = -100;Yb = -100;    %参考的基站坐标
    %   c     光速
    %   X     参考基站的坐标
    %   T: 雷达的扫描间隔,此时设为1秒
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    delta = noise;  
    M=4;
    Xb = -100;Yb =-100;%参考的基站坐标
    c=3e8;
    X = zeros(M,2);
    T = 1;
    %生成其他基站的坐标 
    a = 2*pi/M;
    for i=1:M
         X(i,1) = 3000*cos(a*(i-1));
         X(i,2) = 3000*sin(a*(i-1));
    end
    

    重新输出结果:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    展开全文
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