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  • 一次指数平滑
    2021-04-21 15:35:40

    一次指数平滑法 一次指数平滑法是利用前一期的预测值 F t 代替 x t n 得到预测的通式,即: F t1xt (1)F t 回总目录 回本章目录 由一次指数平滑法的通式......

    [编辑 本段 ] 预测公式据平滑次数不同,指数平滑法分为:一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。 一次指数平滑预测当时间数列无明显的趋势变化,可用......

    2、对同一市场现象连续计算其指数平滑值,对较早期的市场现象观察值不是一 概不予考虑,而是给予递减权数。 3、市场现象观察值 二次指数平滑法 一、指数平滑法 ......

    一次指数平滑法 1.一次指数平滑数列的构成 设时间序列为 x1 , x 2 , ...

    5 时间序列平滑预测法 5.1 一次移动平均法和一次指数平滑法 5.2 线性二次移动平均法 5.3 线性二次指数平滑法 5.4 布朗二次多项式(三次)指数平滑法 5.5 ......

    a--平滑常数,其取值范围为[0,1] 指数平滑的分类 ? 据平滑次数不同,指数平滑法分为:一次 指数平滑法、二次指数平滑和三次指数平 滑法等 (一) 一次指数平滑......

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    用二次 指数平滑法建立趋势预测模型常常能收到较好的效果 , 但是此法有一个不足之...

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    定义:二次指数平滑法是指对市场现象实 际观察值计算两次平滑值,并在此基础上 建立预测模型,对市场现象进行预测的方 法。 ? 意义与优势:二次指数平滑法解决了......

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    代替 得到预测的通式,即: 系统工程一次回移平动总滑平法均目法录和一次回指数本章目录 由一次指数平滑法的通式可见: 一次指数平滑法是一种加权预测,权数为α......

    一次指数平滑法是直接利用平滑值作为预 测值,而二次指数平滑则是利用平滑值对时间序列的线性趋 势进行修正,进而建立线性平滑模型进行预测。二次指数平 滑法包括......

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    ①一次指数平滑法 设时间序列为 ,则一次指数平滑公式为: 式中 为第 t 周期的...

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  • 文章目录0、特别说明0.1 参考来源0.2 包版本号1、简介2、一次指数平滑2.1 理论介绍2.2 代码展示2.3 参数介绍3、 二次指数平滑3.1 理论介绍3.1.1 Holt’s linear trend method3.1.2 Damped trend methods3.2 代码展示...

    @创建于:20210324
    @修改于:20210324

    特别说明

    参考来源

    本文理论内容转自下面三个博客,它们为同一位作者。代码部分我做了改动。

    包版本号

    本文测试所用的版本号:

    • python 3.8.5
    • statsmodels 0.12.2
    • pandas 1.2.2

    1、简介

    指数平滑(Exponential smoothing)是除了 ARIMA 之外的另一种被广泛使用的时间序列预测方法。 指数平滑即指数移动平均(exponential moving average),是以指数式递减加权的移动平均。各数值的权重随时间指数式递减,越近期的数据权重越高。常用的指数平滑方法有一次指数平滑、二次指数平滑和三次指数平滑。

    2、一次指数平滑

    2.1 理论介绍

    一次指数平滑又叫简单指数平滑(simple exponential smoothing, SES),适合用来预测没有明显趋势和季节性的时间序列。其预测结果是一条水平的直线。模型形如:
    在这里插入图片描述

    2.2 代码展示

    使用 python 的 statsmodels 可以方便地应用该模型:

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    
    def ses():
        from statsmodels.tsa.holtwinters import SimpleExpSmoothing
        number = 30
        x1 = np.round(np.linspace(0, 1, number), 4)
        y1 = pd.Series(np.multiply(x1, (x1 - 0.5)) + np.random.randn(number))
        # fitted部分是直线或者是曲线,受到原始数据影响。
        # 多次测试显示,直线的概率高。
        # ets1 = SimpleExpSmoothing(endog=y1, initialization_method='estimated')
        ets1 = SimpleExpSmoothing(endog=y1, initialization_method='heuristic')
        r1 = ets1.fit()
        pred1 = r1.predict(start=len(y1), end=len(y1) + len(y1)//2)
    
        pd.DataFrame({
            'origin': y1,
            'fitted': r1.fittedvalues,
            'pred': pred1
        }).plot()
        plt.savefig('ses.png')
    
    ses()
    

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    2.3 参数介绍

    Simple Exponential Smoothing
    Parameters
        ----------
        endog : array_like
            The time series to model.
        initialization_method : str, optional
            Method for initialize the recursions. One of:
    
            * None
            * 'estimated'
            * 'heuristic'
            * 'legacy-heuristic'
            * 'known'
    
            None defaults to the pre-0.12 behavior where initial values
            are passed as part of ``fit``. If any of the other values are
            passed, then the initial values must also be set when constructing
            the model. If 'known' initialization is used, then `initial_level`
            must be passed, as well as `initial_trend` and `initial_seasonal` if
            applicable. Default is 'estimated'. "legacy-heuristic" uses the same
            values that were used in statsmodels 0.11 and earlier.
        initial_level : float, optional
            The initial level component. Required if estimation method is "known".
            If set using either "estimated" or "heuristic" this value is used.
            This allows one or more of the initial values to be set while
            deferring to the heuristic for others or estimating the unset
            parameters.
    
    Fit the model
    
            Parameters
            ----------
            smoothing_level : float, optional
                The smoothing_level value of the simple exponential smoothing, if
                the value is set then this value will be used as the value.
            optimized : bool, optional
                Estimate model parameters by maximizing the log-likelihood.
            start_params : ndarray, optional
                Starting values to used when optimizing the fit.  If not provided,
                starting values are determined using a combination of grid search
                and reasonable values based on the initial values of the data.
            initial_level : float, optional
                Value to use when initializing the fitted level.
            use_brute : bool, optional
                Search for good starting values using a brute force (grid)
                optimizer. If False, a naive set of starting values is used.
            use_boxcox : {True, False, 'log', float}, optional
                Should the Box-Cox transform be applied to the data first? If 'log'
                then apply the log. If float then use the value as lambda.
            remove_bias : bool, optional
                Remove bias from forecast values and fitted values by enforcing
                that the average residual is equal to zero.
            method : str, default "L-BFGS-B"
                The minimizer used. Valid options are "L-BFGS-B" (default), "TNC",
                "SLSQP", "Powell", "trust-constr", "basinhopping" (also "bh") and
                "least_squares" (also "ls"). basinhopping tries multiple starting
                values in an attempt to find a global minimizer in non-convex
                problems, and so is slower than the others.
            minimize_kwargs : dict[str, Any]
                A dictionary of keyword arguments passed to SciPy's minimize
                function if method is one of "L-BFGS-B" (default), "TNC",
                "SLSQP", "Powell", or "trust-constr", or SciPy's basinhopping
                or least_squares. The valid keywords are optimizer specific.
                Consult SciPy's documentation for the full set of options.
    
            Returns
            -------
            HoltWintersResults
                See statsmodels.tsa.holtwinters.HoltWintersResults.
    

    3、 二次指数平滑

    3.1 理论介绍

    3.1.1 Holt’s linear trend method

    Holt 扩展了简单指数平滑,使其可以用来预测带有趋势的时间序列。直观地看,就是对平滑值的一阶差分(可以理解为斜率)也作一次平滑。模型的预测结果是一条斜率不为0的直线。模型形如:

    在这里插入图片描述

    3.1.2 Damped trend methods

    Holt’s linear trend method 得到的预测结果是一条直线,即认为未来的趋势是固定的。对于短期有趋势、长期趋于稳定的序列,可以引入一个阻尼系数 0<ϕ<1,将模型改写为:
    在这里插入图片描述

    3.2 代码展示

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    def holt():
        from statsmodels.tsa.holtwinters import Holt
        number = 50
        x2 = np.round(np.linspace(0, 99, number))
        y2 = pd.Series(0.1 * x2 + 2 * np.random.randn(number))
        # fitted部分是直线或者是曲线,受到原始数据影响。
        # 多次测试显示,直线的概率高。
        ets2 = Holt(endog=y2, initialization_method='estimated')
        # ets2 = Holt(endog=y2, initialization_method='heuristic')
        # ets2 = Holt(endog=y2, initialization_method='estimated', damped_trend=True)
        r2 = ets2.fit()
        pred2 = r2.predict(start=len(y2), end=len(y2) + len(y2) // 2)
    
        pd.DataFrame({
            'origin': y2,
            'fitted': r2.fittedvalues,
            'pred': pred2
        }).plot(legend=True)
        plt.savefig('holt2.png')
    
    
    holt()
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    3.3 参数介绍

    Holt's Exponential Smoothing
    
        Parameters
        ----------
        endog : array_like
            The time series to model.
        exponential : bool, optional
            Type of trend component.
        damped_trend : bool, optional
            Should the trend component be damped.
        initialization_method : str, optional
            Method for initialize the recursions. One of:
    
            * None
            * 'estimated'
            * 'heuristic'
            * 'legacy-heuristic'
            * 'known'
    
            None defaults to the pre-0.12 behavior where initial values
            are passed as part of ``fit``. If any of the other values are
            passed, then the initial values must also be set when constructing
            the model. If 'known' initialization is used, then `initial_level`
            must be passed, as well as `initial_trend` and `initial_seasonal` if
            applicable. Default is 'estimated'. "legacy-heuristic" uses the same
            values that were used in statsmodels 0.11 and earlier.
        initial_level : float, optional
            The initial level component. Required if estimation method is "known".
            If set using either "estimated" or "heuristic" this value is used.
            This allows one or more of the initial values to be set while
            deferring to the heuristic for others or estimating the unset
            parameters.
        initial_trend : float, optional
            The initial trend component. Required if estimation method is "known".
            If set using either "estimated" or "heuristic" this value is used.
            This allows one or more of the initial values to be set while
            deferring to the heuristic for others or estimating the unset
            parameters.
    
    Fit the model
    
            Parameters
            ----------
            smoothing_level : float, optional
                The alpha value of the simple exponential smoothing, if the value
                is set then this value will be used as the value.
            smoothing_trend :  float, optional
                The beta value of the Holt's trend method, if the value is
                set then this value will be used as the value.
            damping_trend : float, optional
                The phi value of the damped method, if the value is
                set then this value will be used as the value.
            optimized : bool, optional
                Estimate model parameters by maximizing the log-likelihood.
            start_params : ndarray, optional
                Starting values to used when optimizing the fit.  If not provided,
                starting values are determined using a combination of grid search
                and reasonable values based on the initial values of the data.
            initial_level : float, optional
                Value to use when initializing the fitted level.
    
                .. deprecated:: 0.12
    
                   Set initial_level when constructing the model
    
            initial_trend : float, optional
                Value to use when initializing the fitted trend.
    
                .. deprecated:: 0.12
    
                   Set initial_trend when constructing the model
    
            use_brute : bool, optional
                Search for good starting values using a brute force (grid)
                optimizer. If False, a naive set of starting values is used.
            use_boxcox : {True, False, 'log', float}, optional
                Should the Box-Cox transform be applied to the data first? If 'log'
                then apply the log. If float then use the value as lambda.
            remove_bias : bool, optional
                Remove bias from forecast values and fitted values by enforcing
                that the average residual is equal to zero.
            method : str, default "L-BFGS-B"
                The minimizer used. Valid options are "L-BFGS-B" (default), "TNC",
                "SLSQP", "Powell", "trust-constr", "basinhopping" (also "bh") and
                "least_squares" (also "ls"). basinhopping tries multiple starting
                values in an attempt to find a global minimizer in non-convex
                problems, and so is slower than the others.
            minimize_kwargs : dict[str, Any]
                A dictionary of keyword arguments passed to SciPy's minimize
                function if method is one of "L-BFGS-B" (default), "TNC",
                "SLSQP", "Powell", or "trust-constr", or SciPy's basinhopping
                or least_squares. The valid keywords are optimizer specific.
                Consult SciPy's documentation for the full set of options.
    
            Returns
            -------
            HoltWintersResults
                See statsmodels.tsa.holtwinters.HoltWintersResults.
    

    4、 三次指数平滑

    4.1 理论介绍

    为了描述时间序列的季节性,Holt 和 Winters 进一步扩展了 Holt’s linear trend method,得到了三次指数平滑模型,也就是通常说的 Holt-Winters’ 模型。我们用 mmm 表示“季节”的周期。根据季节部分和非季节部分的组合方式不同,Holt-Winters’ 又可以分为加法模型和乘法模型。

    4.1.1 Holt-Winters’ additive method

    在这里插入图片描述

    4.1.2 Holt-Winters’ multiplicative method

    在这里插入图片描述

    4.1.3 Holt-Winters’ damped method

    Holt-Winters’ 模型的趋势部分同样可以引入阻尼系数 ϕ\phiϕ,这里不再赘述。

    4.2 代码展示

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    def holtwinters():
        from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing
    
        number = 100
        x3 = np.round(np.linspace(0, 4 * np.pi, number))
        y3 = pd.Series(20 + 0.1 * np.multiply(x3, x3) + 8 * np.cos(2 * x3) + 2 * np.random.randn(number))
        # ets3 = ExponentialSmoothing(y3, trend='add', seasonal='add', seasonal_periods=25)
        # ets3 = ExponentialSmoothing(y3, trend='mul', seasonal='mul', seasonal_periods=25)
        ets3 = ExponentialSmoothing(y3, trend='mul', seasonal='mul', damped_trend=True, seasonal_periods=25)
        r3 = ets3.fit()
        pred3 = r3.predict(start=len(y3), end=len(y3) + len(y3) // 2)
    
        pd.DataFrame({
            'origin': y3,
            'fitted': r3.fittedvalues,
            'pred': pred3
        }).plot(legend=True)
        plt.savefig('holtwinters_mul_damped.png')
    
    
    holtwinters()
    

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    4.3 参数介绍

    Holt Winter's Exponential Smoothing
    
        Parameters
        ----------
        endog : array_like
            The time series to model.
        trend : {"add", "mul", "additive", "multiplicative", None}, optional
            Type of trend component.
        damped_trend : bool, optional
            Should the trend component be damped.
        seasonal : {"add", "mul", "additive", "multiplicative", None}, optional
            Type of seasonal component.
        seasonal_periods : int, optional
            The number of periods in a complete seasonal cycle, e.g., 4 for
            quarterly data or 7 for daily data with a weekly cycle.
        initialization_method : str, optional
            Method for initialize the recursions. One of:
    
            * None
            * 'estimated'
            * 'heuristic'
            * 'legacy-heuristic'
            * 'known'
    
            None defaults to the pre-0.12 behavior where initial values
            are passed as part of ``fit``. If any of the other values are
            passed, then the initial values must also be set when constructing
            the model. If 'known' initialization is used, then `initial_level`
            must be passed, as well as `initial_trend` and `initial_seasonal` if
            applicable. Default is 'estimated'. "legacy-heuristic" uses the same
            values that were used in statsmodels 0.11 and earlier.
        initial_level : float, optional
            The initial level component. Required if estimation method is "known".
            If set using either "estimated" or "heuristic" this value is used.
            This allows one or more of the initial values to be set while
            deferring to the heuristic for others or estimating the unset
            parameters.
        initial_trend : float, optional
            The initial trend component. Required if estimation method is "known".
            If set using either "estimated" or "heuristic" this value is used.
            This allows one or more of the initial values to be set while
            deferring to the heuristic for others or estimating the unset
            parameters.
        initial_seasonal : array_like, optional
            The initial seasonal component. An array of length `seasonal`
            or length `seasonal - 1` (in which case the last initial value
            is computed to make the average effect zero). Only used if
            initialization is 'known'. Required if estimation method is "known".
            If set using either "estimated" or "heuristic" this value is used.
            This allows one or more of the initial values to be set while
            deferring to the heuristic for others or estimating the unset
            parameters.
        use_boxcox : {True, False, 'log', float}, optional
            Should the Box-Cox transform be applied to the data first? If 'log'
            then apply the log. If float then use the value as lambda.
        bounds : dict[str, tuple[float, float]], optional
            An dictionary containing bounds for the parameters in the model,
            excluding the initial values if estimated. The keys of the dictionary
            are the variable names, e.g., smoothing_level or initial_slope.
            The initial seasonal variables are labeled initial_seasonal.<j>
            for j=0,...,m-1 where m is the number of period in a full season.
            Use None to indicate a non-binding constraint, e.g., (0, None)
            constrains a parameter to be non-negative.
        dates : array_like of datetime, optional
            An array-like object of datetime objects. If a Pandas object is given
            for endog, it is assumed to have a DateIndex.
        freq : str, optional
            The frequency of the time-series. A Pandas offset or 'B', 'D', 'W',
            'M', 'A', or 'Q'. This is optional if dates are given.
        missing : str
            Available options are 'none', 'drop', and 'raise'. If 'none', no nan
            checking is done. If 'drop', any observations with nans are dropped.
            If 'raise', an error is raised. Default is 'none'.
    
    
    霍尔特-温特指数平滑
    
    
    参数
    
    ----------
    
    endog:数组类型
    要建模的时间序列。
    
    trend:{“add”,“mul”,“additive”,“乘法”,None},可选
    趋势组件的类型。
    
    阻尼趋势:bool,可选
    趋势成分应该被抑制。
    
    季节:{“add”,“mul”,“additive”,“multiplicative”,None},可选
    季节性成分的类型。
    
    季节性周期:int,可选
    一个完整的季节性周期中的周期数,例如,季度数据为4,周周期的日数据为7。
    
    初始化方法:str,可选
    方法初始化递归。什么之中的一个:
    
    
    *没有
    *'估计'
    *“启发式”
    *'传统启发式'
    *'已知'
    
    
    None默认为0.12之前的行为,其中初始值作为“fit”的一部分传递。如果传递了任何其他值,那么在构建模型时也必须设置初始值。如果使用“known”初始化,则必须传递“initial_level”,以及“initial_trend”和“initial_seasional”(如果适用)。默认值为“估计”“遗留启发式”使用与statsmodels 0.11和更早版本中使用的值相同的值。
    
    
    initial_level : float, optional 可选
    初始级别组件。如果估算方法为“已知”,则需要。如果使用“估计”或“启发式”设置,则使用此值。这允许设置一个或多个初始值,同时遵从其他启发式或估计未设置的参数。
    
    initial_trend : float, optional
    初始趋势成分。如果估算方法为“已知”,则需要。如果使用“估计”或“启发式”设置,则使用此值。这允许设置一个或多个初始值,同时遵从其他启发式或估计未设置的参数。
    
    initial_seasonal : array_like, optional
    最初的季节性成分。长度为“seasional”或长度为“seasional-1”的数组(在这种情况下,计算最后一个初始值以使平均效果为零)。仅在初始化为“已知”时使用。如果估算方法为“已知”,则需要。如果使用“估计”或“启发式”设置,则使用此值。这允许设置一个或多个初始值,同时遵从其他启发式或估计未设置的参数。
    
    
    use_boxcox : {True, False, 'log', float}, optional
    是否应该首先对数据应用Box-Cox变换?如果是'log',则应用日志。如果是float,则使用lambda值。
    
    
    bounds : dict[str, tuple[float, float]], optional
    一个字典,包含模型中参数的界限,如果估计,则不包括初始值。字典的键是变量名,例如,smoothing_level 或 initial_slope。初始季节变量被标记为initial_seasonal。<j> for j=0,...,m-1,其中m是整个季节的周期数。使用None表示非绑定约束,例如,(0None)将参数约束为非负。
    
    dates : array_like of datetime, optional
    datetime对象的类似数组的对象。如果为endog指定了Pandas对象,则假定该对象具有DateIndex。
    
    freq : str, optional
    时间序列的频率。A或“B”、“D”、“W”、“M”、“A”或“Q”。如果给出了日期,这是可选的。
    
    missing : str
    可用选项有 'none', 'drop', and 'raise' 。如果'none',则不进行nan检查。如果是“drop”,则任何与nan有关的观测都将被丢弃。如果“raise”,则会引发错误。默认值为'none'
    Fit the model
    
            Parameters
            ----------
            smoothing_level : float, optional
                The alpha value of the simple exponential smoothing, if the value
                is set then this value will be used as the value.
            smoothing_trend :  float, optional
                The beta value of the Holt's trend method, if the value is
                set then this value will be used as the value.
            smoothing_seasonal : float, optional
                The gamma value of the holt winters seasonal method, if the value
                is set then this value will be used as the value.
            damping_trend : float, optional
                The phi value of the damped method, if the value is
                set then this value will be used as the value.
            optimized : bool, optional
                Estimate model parameters by maximizing the log-likelihood.
            remove_bias : bool, optional
                Remove bias from forecast values and fitted values by enforcing
                that the average residual is equal to zero.
            start_params : array_like, optional
                Starting values to used when optimizing the fit.  If not provided,
                starting values are determined using a combination of grid search
                and reasonable values based on the initial values of the data. See
                the notes for the structure of the model parameters.
            method : str, default "L-BFGS-B"
                The minimizer used. Valid options are "L-BFGS-B" , "TNC",
                "SLSQP" (default), "Powell", "trust-constr", "basinhopping" (also
                "bh") and "least_squares" (also "ls"). basinhopping tries multiple
                starting values in an attempt to find a global minimizer in
                non-convex problems, and so is slower than the others.
            minimize_kwargs : dict[str, Any]
                A dictionary of keyword arguments passed to SciPy's minimize
                function if method is one of "L-BFGS-B", "TNC",
                "SLSQP", "Powell", or "trust-constr", or SciPy's basinhopping
                or least_squares functions. The valid keywords are optimizer
                specific. Consult SciPy's documentation for the full set of
                options.
            use_brute : bool, optional
                Search for good starting values using a brute force (grid)
                optimizer. If False, a naive set of starting values is used.
            use_boxcox : {True, False, 'log', float}, optional
                Should the Box-Cox transform be applied to the data first? If 'log'
                then apply the log. If float then use the value as lambda.
    
                .. deprecated:: 0.12
    
                   Set use_boxcox when constructing the model
    
            use_basinhopping : bool, optional
                Deprecated. Using Basin Hopping optimizer to find optimal values.
                Use ``method`` instead.
    
                .. deprecated:: 0.12
    
                   Use ``method`` instead.
    
            initial_level : float, optional
                Value to use when initializing the fitted level.
    
                .. deprecated:: 0.12
    
                   Set initial_level when constructing the model
    
            initial_trend : float, optional
                Value to use when initializing the fitted trend.
    
                .. deprecated:: 0.12
    
                   Set initial_trend when constructing the model
                   or set initialization_method.
    
            Returns
            -------
            HoltWintersResults
                See statsmodels.tsa.holtwinters.HoltWintersResults.
    

    5、参数优化和模型选择理论——AIC BIC

    参数优化的方法是最小化误差平方和或最大化似然函数。模型选择可以根据信息量准则,常用的有 AIC 和 BIC等。

    (1)AIC 即 Akaike information criterion, 定义为
    A I C = 2 k − 2 l n L ( θ ) AIC = 2k-2lnL(\theta) AIC=2k2lnL(θ)
    其中 L(θ) 是似然函数, k是参数数量。用 AIC 选择模型时要求似然函数大,同时对参数数量作了惩罚,在似然函数相近的情况下选择复杂度低的模型。

    (2)BIC 即 Bayesian information criterion,定义为
    B I C = k l n k − 2 l n L ( θ ) BIC = klnk-2lnL(\theta) BIC=klnk2lnL(θ)
    其中 n n n 是样本数量。当 n > e 2 ≈ 7.4 n>e^2≈7.4 n>e27.4 时, k l n ⁡ n > 2 k kln⁡n>2k klnn>2k,因此当样本量较大时 BIC 对模型复杂度的惩罚比 AIC 更严厉。

    6、 与 ARIMA 的关系

    线性的指数平滑方法可以看作是 ARIMA 的特例。例如简单指数平滑等价于 ARIMA(0, 1, 1),Holt’s linear trend method 等价于 ARIMA(0, 2, 2),而 Damped trend methods 等价于 ARIMA(1, 1, 2) 等。

    数学推理过程如下:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    非线性的指数平滑方法则没有对应的 ARIMA 表示。【这句话的含义还未理解。】

    展开全文
  • java代码实现指数平滑算法,其中包括一次,二次,三次
  • 指数平滑由移动平均发展而来,和指数移动平均有点相似,也可认为是一种特殊的加权移动平均。按平滑的次数,指数平滑可分为一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑。移动平均除了简单预测外另在股市中...

    指数平滑由移动平均发展而来,和指数移动平均有点相似,也可认为是一种特殊的加权移动平均。按平滑的次数,指数平滑可分为一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑。移动平均除了简单预测外另在股市中作为支撑线发光发热;指数平滑主要用于预测,在各个领域应用非常广泛,是最常用的预测方法之一。

    • 一次指数平滑:适用于序列没有趋势和季节性特征

    • 二次指数平滑:适用于序列有趋势特征但无季节性特征

    • 三次指数平滑:适用于序列有趋势特征且有季节性特征

    一次指数平滑

    简单指数平滑

    一次指数平滑中最常用的实现方法就是简单指数平滑,有时我们说指数平滑也是指的简单指数平滑(Single Exponential Smoothing)。

    参数:,平滑因子或平滑系数

    预测方程:    
    平滑方程:

    取值范围[0~1],值越大,越关注近期的观测值,远期的观测值影响越小。当时间序列相对平稳时,取较小的;当时间序列波动较大时,取较大的,以不忽略远期观测值的影响。

    示例演示 1da288258c631a68b35980f99d90f511.png
    from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing, SimpleExpSmoothing, Holt
    
    data = [1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,3,4,5,6,7]
    
    # 方法1,alpha=0.7
    fit1 = SimpleExpSmoothing(data).fit(smoothing_level=0.7,optimized=False)
    print('>> fit1', 'forecast:', fit1.forecast(3), 'sse:', fit1.sse)
    
    # 方法2,不加任何参数,optimized默认为True,能自动选择alpha。
    fit2 = SimpleExpSmoothing(data).fit()
    print('>> fit2', 'forecast:', fit2.forecast(3), 'sse:', fit2.sse)
    895ecdd403df35162dc5090e785bc375.png

    推荐使用方法2,自动识别最优参数。statsmodels中通过最小化平滑值和实际值的欧式距离确定最优参数,其实也可通过SSE、MAE、RMSE、SMAPE等评估指标确定最优参数。不使用自动优化时,和可根据场景经验确定,简单指数平滑中statsmodels中默认使用第一个观测值作为初始指数平滑的值。
    d554950941d270115ec18ef8456154b3.png

    二次指数平滑

    二次指数平滑,也叫双指数平滑,是指数平滑的扩展。常用实现为Holt指数平滑,方法中包含一个预测方程和两个平滑方程(水平平滑方程+趋势预测方程)。

    其中,趋势部分又可分为加性趋势和乘性趋势,分别对应Holt线性趋势模型、指数趋势模型。

    对于较大时间步长的预测,趋势可能不会无限延长,就需要抑制这种趋势,加性趋势和乘性趋势的抑制分别对应加性抑制(抑制线性趋势)、乘性抑制(抑制指数趋势)。

    Holt线性趋势模型

    Holt 在1957年把简单的指数平滑模型进行了延伸,能够预测包含趋势的数据,

    参数1:,水平平滑因子,水平平滑参数
    参数2:,趋势平滑因子,控制趋势变化的影响

    预测方程:
    水平方程:
    趋势方程:

    其中,代表时刻t的预估水平,代表时刻t的预测趋势,是水平的平滑参数,是趋势的平滑参数。

    示例演示 3a2201fa5a19a4675c005c569fd745a1.png
    from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing, SimpleExpSmoothing, Holt
    data = [1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,3,4,5,6,7]
    
    fit1 = Holt(data).fit(smoothing_level=0.7, smoothing_trend=0.2, optimized=False)
    
    print(fit1.summary())
    print('forecast:', fit1.forecast(3))
    72bbbdd9bffa940b1c6c561bea5fce5f.png

    指数趋势模型

    另外一种Holt 线性模型的变体是指数趋势模型,水平分量和趋势分量不再是相加的,而是相乘的。

    参数1:,水平平滑因子
    参数2:,趋势平滑因子

    预测方程:
    水平方程:
    趋势方程:

    其中,代表预估的增长率,描述指数趋势。

    示例演示 1442edb0210f6a921d9ba06179537921.png
    from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing, SimpleExpSmoothing, Holt
    data = [1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,3,4,5,6,7]
    
    fit1 = Holt(data, exponential=True).fit(smoothing_level=0.7, smoothing_trend=0.2, optimized=False)
    
    print(fit1.summary())
    print('>> fit1', 'forecast:', fit1.forecast(3), 'sse:', fit1.sse)
    8219477fe5e28267cf1ddfac0fe9704a.png

    阻尼趋势模型

    Gardner 和 McKenzie (1985)引入了一种阻尼效应,未来的增长趋势会有所放缓。

    参数1:,水平平滑因子
    参数2:,趋势平滑因子
    参数3:,0<<1,阻尼参数,防止预测“失控”

    预测方程:
    水平方程:
    趋势方程:

    其中,当时,等同于Holt线性趋势模型。

    示例演示 f2865662c9a08082a34e0d29dbd94f76.png
    from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing, SimpleExpSmoothing, Holt
    data = [1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,3,4,5,6,7]
    
    fit1 = Holt(data, exponential=False, damped_trend=True).fit(smoothing_level=0.7, smoothing_trend=0.2, damping_trend=0.8, optimized=False)
    
    print(fit1.summary())
    print('>> fit1', 'forecast:', fit1.forecast(3), 'sse:', fit1.sse)
    1ca407930171c35ee6e156fe4c17a1b8.png

    乘法阻尼趋势

    Taylor(2003)将阻尼参数拓展到乘法模型,预测结果不像加法阻尼那么保守。

    参数1:,水平平滑因子
    参数2:,趋势平滑因子
    参数3:,0<<1,阻尼参数

    预测方程:
    水平方程:
    趋势方程:

    示例演示 76123192d09408ffb23eed8dba1a5be9.png
    from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing, SimpleExpSmoothing, Holt
    data = [1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,3,4,5,6,7]
    
    fit1 = Holt(data, exponential=True, damped_trend=True).fit(smoothing_level=0.7, smoothing_trend=0.2, damping_trend=0.8, optimized=False)
    
    print(fit1.summary())
    print('forecast:', fit1.forecast(3))
    6683b7b1ffaa9adc9752b365c0ef9318.png

    三次指数平滑

    三次指数平滑是二次指数平滑基础上再做一次平滑,使用中通常使用Holt-Winters方法,我们平时讲三次指数平滑方法一般也是特指Holt-Winters指数平滑。

    Holt (1957) 和 Winters (1960) 将Holt方法进行拓展,增加了对季节因素的处理。方法中包含一个预测方程和三个平滑方程 (一个用于水平,一个用于趋势,一个用于季节性分量)。

    与趋势一样,季节性也有加性(线性)或乘性(指数)过程。当季节变化在时间序列中大致保持不变时,通常选择加法模型;而当季节变化与时间序列的水平成比例变化时,通常选择乘法模型。

    Holt-Winters加法模型

    用  来表示季节频率,如季度数据的m=4,月度数据的m=12。

    参数1:,水平平滑参数
    参数2:,趋势平滑参数
    参数3:,季节性平滑参数,控制季节成分的影响

    预测方程  :
    水平方程  :
    趋势方程  :
    季节性方程:

    其中,趋势方程与Holt线性方程相同。

    将方程带入方程中,季节性方程也可表示为:
    其中,
    通常,

    示例演示 e8084f4dbaea92996839ccaa23e20e89.png
    from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing, SimpleExpSmoothing, Holt
    data = [1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,3,4,5,6,7]
    
    fit1 = ExponentialSmoothing(data, seasonal_periods=5, trend='add', seasonal='add').fit(smoothing_level=0.7, smoothing_trend=0.2, smoothing_seasonal=0.1, optimized=False)
    
    print(fit1.summary())
    print('forecast:', fit1.forecast(3))
    7608b6850ce1b145f26795ea1dd4e230.png

    Holt-Winters乘法模型

    参数1:,水平平滑参数
    参数2:,趋势平滑参数
    参数3:,季节性平滑参数,控制季节成分的影响

    预测方程  :
    水平方程  :
    趋势方程  :
    季节性方程:

    示例演示 cd0df3c327acd80628523ed3b07ac6dd.png
    from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing, SimpleExpSmoothing, Holt
    data = [1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,3,4,5,6,7]
    
    fit1 = ExponentialSmoothing(data, seasonal_periods=5, trend='add', seasonal='mul').fit(smoothing_level=0.7, smoothing_trend=0.2, smoothing_seasonal=0.1, optimized=False)
    
    print(fit1.summary())
    print('forecast:', fit1.forecast(3))
    d82ab83f5c0951a2e02b3e231312c9c6.png

    Holt-Winters的衰减法

    加性和乘性Holt-Winters方法都可以进一步使用衰减法 。带有衰减趋势和乘性季节性的Holt-Winters方法通常可以为季节数据提供准确的和稳健的预测值。乘法模型增加阻尼参数的形式如下:

    参数1:,水平平滑参数
    参数2:,趋势平滑参数
    参数3:,季节性平滑参数
    参数4:,0<<1,阻尼参数

    预测方程  :
    水平方程  :
    趋势方程  :
    季节性方程:

    示例演示 d15b311201a92a8adcbe4d6e85b1fe9d.png
    from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing, SimpleExpSmoothing, Holt
    data = [1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,3,4,5,6,7]
    
    fit1 = ExponentialSmoothing(data, seasonal_periods=5, trend='add', seasonal='mul', damped_trend=True).fit(smoothing_level=0.7, smoothing_trend=0.2, smoothing_seasonal=0.1, optimized=True)
    
    print(fit1.summary())
    print('forecast:', fit1.forecast(3))
    7d53b2c64219b4bc38d7870dca79f784.png

    写在最后

    仍使用本次构造的简单数据,对比展示不同方法下的效果,可以看出Holt-Winters方法对当前周期性的数据拟合很好,但是需要指定周期大小,所以Holt-Winters一般适用于有明确周期性的数据。实践中一般不使用乘性趋势方法,通常效果较差。另外,statoolsmodels中fit训练时,支持对数据进行box-cox变换等处理,下面代码中不再作展示。

    import numpy as np
    import pandas as pd
    from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing, SimpleExpSmoothing, Holt
    
    # 数据
    data = [1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,3,4,5,6,7]
    
    # 训练
    fit1 = SimpleExpSmoothing(data).fit()
    fit2 = Holt(data).fit()
    fit3 = Holt(data, exponential=True).fit()
    fit4 = Holt(data, exponential=False, damped_trend=True).fit()
    fit5 = Holt(data, exponential=True, damped_trend=True).fit()
    fit6 = ExponentialSmoothing(data, seasonal_periods=5, trend='add', seasonal='add').fit()
    fit7 = ExponentialSmoothing(data, seasonal_periods=5, trend='add', seasonal='mul').fit()
    fit8 = ExponentialSmoothing(data, seasonal_periods=5, trend='mul', seasonal='add').fit()
    fit9 = ExponentialSmoothing(data, seasonal_periods=5, trend='mul', seasonal='mul').fit()
    fit10 = ExponentialSmoothing(data, seasonal_periods=5, trend='add', seasonal='add', damped_trend=True).fit()
    fit11 = ExponentialSmoothing(data, seasonal_periods=5, trend='add', seasonal='mul', damped_trend=True).fit()
    fit12 = ExponentialSmoothing(data, seasonal_periods=5, trend='mul', seasonal='add', damped_trend=True).fit()
    fit13 = ExponentialSmoothing(data, seasonal_periods=5, trend='mul', seasonal='mul', damped_trend=True).fit()
    
    # 效果
    FIT = [fit1, fit2, fit3, fit4, fit5, fit6, fit7, fit8, fit9, fit10, fit11, fit12, fit13]
    SSE = [fit.sse for fit in FIT]
    NAME = ['SES', 'Holt-ADD', 'Holt-MUL', 'Holt-ADD-DAM', 'Holt-MUL-DAM', 'HW-ADD-ADD', 'HW-ADD-MUL', 'HW-MUL-ADD', 'HW-MUL-MUL', 'HW-ADD-ADD-DAM', 'HW-ADD-MUL-DAM', 'HW-MUL-ADD-DAM', 'HW-MUL-MUL-DAM']
    
    # 对比
    df = pd.DataFrame({'NAME': NAME, 'SSE': SSE})
    df['RANK'] = df['SSE'].rank().astype(int)
    print(df.head(13))
    
    # 画图
    sel_index = np.argmin(SSE)
    sel_model = FIT[int(sel_index)]
    sel_model_name = NAME[int(sel_index)]
    
    l1, = plt.plot(list(fit1.fittedvalues) + list(fit1.forecast(3)), marker='.')
    l2, = plt.plot(list(sel_model.fittedvalues) + list(sel_model.forecast(3)), marker='*')
    l3, = plt.plot(data, marker='.')
    
    plt.legend(handles = [l1, l2, l3], labels = ['data', 'SES', sel_model_name], loc='best', prop={'size': 7})
    plt.show()  #plot里label顺序错了
    8b1a89b2907d7f7d2cd97e700b4dd87e.png

    指数平滑各种版本的实现细节过于琐碎,可以后台回复关键字“ES”获取Excel示例下载地址,对于想要了解细节的朋友必会有所帮助。

    d2f0fdf890f178446a32dfa01e074773.png 参考链接


    [1]https://www.statsmodels.org/v0.11.0/_modules/statsmodels/tsa/holtwinters.html
    [2]https://otexts.com/fppcn/holt-winters.html
    [3]https://wiki.mbalib.com/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%B9%B3%E6%BB%91%E6%B3%95
    [4]https://www.cnblogs.com/houfei/p/13450880.html
    [5]https://blog.csdn.net/fxlou/article/details/79678860
    [6]https://www.cnblogs.com/21207-iHome/p/6673573.html

    转自:TimeSeries 公众号;

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一次指数平滑

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