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  • matlab局部最优和全局最优算法

    万次阅读 2016-03-03 14:06:10
    在实际的工作和生活过程中...优化问题一般分为局部最优和全局最优,局部最优,就是在函数值空间的一个有限区域内寻找最小值;而全局最优,是在函数值空间整个区域寻找最小值问题。 函数局部最小点是那种它的函数值

    转自http://blog.sciencenet.cn/blog-922140-850587.html

    在实际的工作和生活过程中,优化问题无处不在,比如资源如何分配效益最高,拟合问题,最小最大值问题等等。优化问题一般分为局部最优和全局最优,局部最优,就是在函数值空间的一个有限区域内寻找最小值;而全局最优,是在函数值空间整个区域寻找最小值问题。

    • 函数局部最小点是那种它的函数值小于或等于附近点的点。但是有可能大于较远距离的点。

    • 全局最小点是那种它的函数值小于或等于所有的可行点。

    matlab中的提供的传统优化工具箱(Optimization Tool),能实现局部最优,但要得全局最优,则要用全局最优化算法(Global Optimization Tool),主要包括:
    1. GlobalSearch) 全局搜索和(MultiStart)多起点方法产生若干起始点,然后它们用局部求解器去找到起始点吸引盆处的最优点。

    2. ga  遗传算法用一组起始点(称为种群),通过迭代从种群中产生更好的点,只要初始种群覆盖几个盆,GA就能检查几个盆。


    3. simulannealbnd)模拟退火完成一个随机搜索,通常,模拟退火算法接受一个点,只要这个点比前面那个好,它也偶而接受一个比较糟的点,目的是转向不同的盆。

    4. patternsearch )模式搜索算法在接受一个点之前要看看其附近的一组点。假如附近的某些点属于不同的盆,模式搜索算法本质上时同时搜索若干个盆

    下面我就一些具体例子,来说明各种优化方法:
    (1)先看一个求最小值的普通优化问题
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    %%目标函数
    f = @(x) x.*sin(x) + x.*cos(2.*x);
    %% 的取值范围
    lb = 0;
    ub = 10;
    %% 寻找最小值和绘图
    x0 = [0 1 3 6 8 10];
    hf = figure;
    for i=1:6
       x(i) = fmincon(f,x0(i),[],[],[],[],lb,ub,[],...
                      optimset('Algorithm','SQP','Disp','none'));
       subplot(2,3,i)
       ezplot(f,[lb ub]);
       hold on
       plot(x0(i),f(x0(i)),'k+')
       plot(x(i),f(x(i)),'ro')
       hold off
       title(['Starting at ',num2str(x0(i))])
       if i == 1 || i == 4
           ylabel('x sin(x) + x cos(2 x)')
       end
    end
    可以看出,初值x0不同,得到的结果截然不同,这说明这种求解器,能寻找局部最优,但不一定是全局最优,在起点为8时,取得全局最优。

    我们换一种求解器:fminbound,这种求解器不需要给点初值。

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    x2 = fminbnd(f,lb,ub);
    figure
    ezplot(f,[lb ub]);
    hold on
    plot(x2,f(x2),'ro')
    hold off
    ylabel('x sin(x) + x cos(2 x)')
    title({'Solution using fminbnd.','Required no starting point!'})


    现在我们尝试全局最优的方法:GlobalSearch

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    % Leason Learned: Use the appropriate solver for your problem type!
    %% But what if |fmincon| was the only choice?
    % Use globalSearch or MultiStart
    problem = createOptimProblem('fmincon','objective',f,'x0',x0(1),'lb',lb,...
                'ub',ub,'options',optimset('Algorithm','SQP','Disp','none'));
    gs = GlobalSearch;
    xgs = run(gs,problem);
    figure
    ezplot(f,[lb ub]);
    hold on
    plot(xgs,f(xgs),'ro')
    hold off
    ylabel('x sin(x) + x cos(2 x)')
    title('Solution using globalSearch.')


    因此全局最优的方法能够获取全局最优。

    (2)再看一个线性拟合的问题:
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    close all, clear all, clc
    %% Pharmacokinetic Data
    t = [ 3.92,  7.93, 11.89, 23.90, 47.87, 71.91, 93.85, 117.84 ]              %#ok<*NOPTS>
    c = [0.163, 0.679, 0.679, 0.388, 0.183, 0.125, 0.086, 0.0624 ]
     
    plot(t,c,'o'), xlabel('t'), ylabel('c')
     
    %% 3 Compartment Model
    model = @(b,t) b(1)*exp(-b(4)*t) + b(2)*exp(-b(5)*t) + b(3)*exp(-b(6)*t)
     
    %% Define Optimization Problem
     
    problem = createOptimProblem('lsqcurvefit', ...
                                'objective', model, ...
                                'xdata', t, 'ydata', c, ...
                                'x0',ones(1,6),...
                                'lb', [-10 -10 -10  0   0   0 ],...
                                'ub', [ 10  10  10 0.5 0.5 0.5], ...
                                'options',optimset('OutputFcn',...
                                @curvefittingPlotIterates))
    %% solve
    b = lsqcurvefit(problem)  

    结果:最小二乘拟合结果误差较大


    现在我们尝试全局最优方法:MultiStart
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    %% Multistart
    ms = MultiStart                                                            
    [b,fval,exitflag,output,solutions] = run(ms, problem, 50)                   %#ok<*NASGU,*ASGLU>
     
    %%
    curvefittingPlotIterates(solutions)
     
    %%
    problem.options.OutputFcn = {};
    tic, [b,fval,exitflag,output,solutions] = run(ms, problem, 100), toc  %计算算法的时间


    可以看出全局优化结果较好,误差较小。
    这种算法的运行时间:Elapsed time is 6.139324 seconds.

    现在我使用并行计算的方式解决:
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    %% Parallel Version
    matlabpool open 2 %开启两个matlab并行计算
    ms.UseParallel = 'always' %开启并行计算
    tic, [bp,fvalp,exitflagp,outputp,solutionsp] = run(ms, problem, 100); toc
    matlabpool close
    结果:14 out of 100 local solver runs converged with a positive local solver exit flag.
    Elapsed time is 4.358762 seconds.
    Sending a stop signal to all the labs ... stopped.
    可以看出,运行时间减少,提高了效率。

    (3)再看一个寻找最小值的问题
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    %% Objective Function
    % We wish find the minimum of the |peaks| function
    clear all, close all, clc
    peaks
     
    %% Nonlinear Constraint Function
    % Subject to a nonlinear constraint defined by a circular region of radius
    % three around the origin
    type circularConstraint
     
    %% Define Optimization Problem
    problem = createOptimProblem('fmincon',...
                                'objective',@(x) peaks(x(1),x(2)), ...
                                'nonlcon',@circularConstraint,...
                                'x0',[-1 -1],...
                                'lb',[-3 -3],...
                                'ub',[3 3],...
                                'options',optimset('OutputFcn',...
                                                   @peaksPlotIterates))
                                 
    %% Run the solver |fmincon| from the inital point
    % We can see the solution is not the global minimum
    [x,f] = fmincon(problem)    


    这种方法只能寻找局部最优。
    现在用全局优化算法:
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    %% Use |MultiStart| to Find the Global Minimum
    % Define the multistart solver
    close all
    ms = MultiStart %这里可以换成GlobalSearch
    %% Run |Multistart|
    % Well use 5 starting points
    [x,f,exitflag,output,solutions] = run(ms, problem, 5)





    (4)再举一个模拟退火即模式搜索的算法 :
      [x fval] = simulannealbnd(@objfun,x0,lb,ub,options)

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    %% Objective Function
    % We wish find the minimum of the |peaks| function
    clear all, close all, clc
    peaks
     
    %% Nonlinear Constraint Function
    % Subject to a nonlinear constraint defined by a circular region of radius
    % three around the origin
    type circularConstraint
     
    %% Define Optimization Problem
    problem = createOptimProblem('fmincon',...
                                'objective',@(x) peaks(x(1),x(2)), ...
                                'nonlcon',@circularConstraint,...
                                'x0',[-1 -1],...
                                'lb',[-3 -3],...
                                'ub',[3 3],...
                                'options',optimset('OutputFcn',...
                                                   @peaksPlotIterates))
                                 
    %% Run the solver |fmincon| from the inital point
    % We can see the solution is not the global minimum
    [x,f] = fmincon(problem)                                                    
     
    %% Use Simmulated Annealing to Find the Global Minimum
    % Solve the problem using simmulated annealing.  Note that simmulated
    % annealing does not support nonlinear so we need to account for this in
    % the objective function.
    problem.solver  = 'simulannealbnd';
    problem.objective = @(x) peaks(x(1),x(2)) + (x(1)^2 + x(2)^2 - 9);
    problem.options = saoptimset('OutputFcn',@peaksPlotIterates,...
                                'Display','iter',...
                                'InitialTemperature',10,...
                                'MaxIter',300)
     
    [x,f] = simulannealbnd(problem)
    f = peaks(x(1),x(2))  



     Use Pattern Search to Find the Global Minimum
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    %% Use Pattern Search to Find the Global Minimum
    % Solve the problem using pattern search.
    problem.solver  = 'patternsearch';
    problem.options = psoptimset('OutputFcn',@peaksPlotIterates,...
                                'Display','iter',...
                                'SearchMethod',{@searchlhs})
     
    [x,f] = patternsearch(problem)
     

    展开全文
  • 这是一道非常经典的动态规划的题目,用到的思路我们在别的动态规划题目中也很常用,以后我们称为”局部最优和全局最优解法“。 基本思路是这样的,在每一步,我们维护两个变量,一个是全局最优,就是到当前元素为止...

     

    题目描述:

      一个整数数组中的元素有正有负,在该数组中找出一个连续子数组,要求该连续子数组中各元素的和最大,这个连续子数组便被称作最大连续子数组。比如数组{2,4,-7,5,2,-1,2,-4,3}的最大连续子数组为{5,2,-1,2},最大连续子数组的和为5+2-1+2=8。

     

    原题链接: http://oj.leetcode.com/problems/maximum-subarray/ 
    这是一道非常经典的动态规划的题目,用到的思路我们在别的动态规划题目中也很常用,以后我们称为”局部最优和全局最优解法“。
    基本思路是这样的,在每一步,我们维护两个变量,一个是全局最优,就是到当前元素为止最优的解是,一个是局部最优,就是必须包含当前元素的最优的解。接下来说说动态规划的递推式(这是动态规划最重要的步骤,递归式出来了,基本上代码框架也就出来了)。假设我们已知第i步的global[i](全局最优)和local[i](局部最优),那么第i+1步的表达式是:
    local[i+1]=Math.max(A[i], local[i]+A[i]),就是局部最优是一定要包含当前元素,所以不然就是上一步的局部最优local[i]+当前元素A[i](因为local[i]一定包含第i个元素,所以不违反条件),但是如果local[i]是负的,那么加上他就不如不需要的,所以不然就是直接用A[i];
    global[i+1]=Math(local[i+1],global[i]),有了当前一步的局部最优,那么全局最优就是当前的局部最优或者还是原来的全局最优(所有情况都会被涵盖进来,因为最优的解如果不包含当前元素,那么前面会被维护在全局最优里面,如果包含当前元素,那么就是这个局部最优)。

    接下来我们分析一下复杂度,时间上只需要扫描一次数组,所以时间复杂度是O(n)。空间上我们可以看出表达式中只需要用到上一步local[i]和global[i]就可以得到下一步的结果,所以我们在实现中可以用一个变量来迭代这个结果,不需要是一个数组,也就是如程序中实现的那样,所以空间复杂度是两个变量(local和global),即O(2)=O(1)。
    代码如下: 
    [java] view plain copy
     
    1. public int maxSubArray(int[] A) {  
    2.     if(A==null || A.length==0)  
    3.         return 0;  
    4.     int global = A[0];  
    5.     int local = A[0];  
    6.     for(int i=1;i<A.length;i++)  
    7.     {  
    8.         local = Math.max(A[i],local+A[i]);  
    9.         global = Math.max(local,global);  
    10.     }  
    11.     return global;  
    12. }  
    这道题虽然比较简单,但是用到的动态规划方法非常的典型,我们在以后的题目中还会遇到,大家还是要深入理解一下哈。我现在记得的用到的题目是Jump Game,以后有统计一下再继续更新。

     

     

     

    教程参考:屈婉玲的youtube视频

     
    以下为原创:
     
    我的风格写法(使用javascript):
    function FindGreatestSumOfSubArray(array)
    {
        // write code here
        var tempMax = array[0],max = array[0];
        for(var i=1;i<array.length;i++){
            max = Math.max(max+array[i],array[i]);
            if(max>tempMax){
                tempMax = max;
            }
        }
        return tempMax;
    }

    很少用Math.max的形式,更多用if,因为Math.max只能用于单条语句。

    第一次写的时候,使用

     

    function FindGreatestSumOfSubArray(array)
    {
        // write code here
        var tempMax = 0,max = 0;
        for(var i=0;i<array.length;i++){
            max = Math.max(max+array[i],array[i]);
            if(max>tempMax){
                tempMax = max;
            }
        }
        return tempMax;
    }


    因为数组元素不一定全是正数,所以这里设置tempMax = 0,max = 0;作为最小值是不对的。应该设置tempMax = array[0],max = array[0];

     

     

     

    相同类型的题目:

    Jump Game -- LeetCode

     

     

    原题链接: http://oj.leetcode.com/problems/jump-game/ 

    这道题是动态规划的题目,所用到的方法跟是在Maximum Subarray中介绍的套路,用“局部最优和全局最优解法”。我们维护一个到目前为止能跳到的最远距离,以及从当前一步出发能跳到的最远距离。局部最优local=A[i]+i,而全局最优则是global=Math.max(global, local)。递推式出来了,代码就比较容易实现了。因为只需要一次遍历时间复杂度是O(n),而空间上是O(1)。代码如下: 

    [java] view plain copy
    1. public boolean canJump(int[] A) {  
    2.     if(A==null || A.length==0)  
    3.         return false;  
    4.     int reach = 0;  
    5.     for(int i=0;i<=reach&&i<A.length;i++)  
    6.     {  
    7.         reach = Math.max(A[i]+i,reach);  
    8.     }  
    9.     if(reach<A.length-1)  
    10.         return false;  
    11.     return true;  
    12. }  

    这也是一道比较经典的动态规划的题目,不过不同的切入点可能会得到不同复杂度的算法,比如如果维护的历史信息是某一步是否能够到达,那么每一次需要维护当前变量的时候就需要遍历前面的所有元素,那么总的时间复杂度就会是O(n^2)。所以同样是动态规划,有时候也会有不同的角度,不同效率的解法。这道题目还有一个扩展Jump Game II,有兴趣的朋友可以看看。

     

     

     

     

     

    展开全文
  • 乘积最大子序列 java (局部最优和全局最优解法) 给定一个整数数组 nums ,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。 示例: 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4], 输出: 6 解释: ...

    leetccode 53. 最大子序和 152. 乘积最大子序列 java (局部最优和全局最优解法)

    给定一个整数数组 nums ,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

    示例:
    
    输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
    输出: 6
    解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。
    
    进阶:
    
    如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法,尝试使用更为精妙的分治法求解。
    

    ”局部最优和全局最优解法“:
    基本思路是这样的,在每一步,维护两个变量,一个是全局最优,就是到当前元素为止最优的解是,一个是局部最优,就是必须包含当前元素的最优的解。接下来说说动态规划的递推式(这是动态规划最重要的步骤,递归式出来了,基本上代码框架也就出来了)。假设已知第i步的global[i](全局最优)和local[i](局部最优),那么第i+1步的表达式是:
    local[i+1]=Math.max(A[i], local[i]+A[i]),就是局部最优是一定要包含当前元素,所以不然就是上一步的局部最优local[i]+当前元素A[i](因为local[i]一定包含第i个元素,所以不违反条件),但是如果local[i]是负的,那么加上他就不如不需要的,所以不然就是直接用A[i];
    global[i+1]=Math(local[i+1],global[i]),有了当前一步的局部最优,那么全局最优就是当前的局部最优或者还是原来的全局最优(所有情况都会被涵盖进来,因为最优的解如果不包含当前元素,那么前面会被维护在全局最优里面,如果包含当前元素,那么就是这个局部最优)。

    接下来分析一下复杂度,时间上只需要扫描一次数组,所以时间复杂度是O(n)。空间上我们可以看出表达式中只需要用到上一步local[i]和global[i]就可以得到下一步的结果,所以我们在实现中可以用一个变量来迭代这个结果,不需要是一个数组,也就是如程序中实现的那样,所以空间复杂度是两个变量(local和global),即O(2)=O(1)。

    class Solution {
        public int maxSubArray(int[] nums) {
            if(nums == null || nums.length == 0){
                return 0;
            }
            //局部最优和全局最优
            int local = nums[0];
            int global = nums[0];
            
            for(int i = 1; i < nums.length; i ++){
                local = Math.max(nums[i], local+nums[i]);
                global = Math.max(local, global);
            }
            return global;
    
        }
    }
    

    给定一个整数数组 nums ,找出一个序列中乘积最大的连续子序列(该序列至少包含一个数)。

    示例 1:
    
    输入: [2,3,-2,4]
    输出: 6
    解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。
    示例 2:
    
    输入: [-2,0,-1]
    输出: 0
    解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。
    
    class Solution {
        public int maxProduct(int[] nums) {
            int[] maxdp = new int[nums.length];
            int[] mindp = new int[nums.length];
            maxdp[0] = mindp[0] = nums[0];
            
            for(int i = 1; i < nums.length; i++){
                if(nums[i] >= 0){
                    maxdp[i] = Math.max(maxdp[i - 1] * nums[i], nums[i]);
                    mindp[i] = Math.min(mindp[i - 1] * nums[i], nums[i]);
                }else{
                    maxdp[i] = Math.max(mindp[i - 1] * nums[i], nums[i]);
                    mindp[i] = Math.min(maxdp[i - 1] * nums[i], nums[i]);
                }
            }
            int result = Integer.MIN_VALUE;
            for(int i = 0; i < maxdp.length ; i++){
                if(maxdp[i] > result){
                    result = maxdp[i];
                }
            }
            return result;
        }
    }
    
    class Solution {
        public int maxProduct(int[] nums) {
            if (nums == null || nums.length == 0) {
                return 0;
            }
            int max = nums[0], min = nums[0], result = nums[0];
            for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
                int temp = max;
                max = Math.max(Math.max(max * nums[i], min * nums[i]), nums[i]);
                min = Math.min(Math.min(temp * nums[i], min * nums[i]), nums[i]);
                if (max > result) {
                    result = max;
                }
            }
            return result;
        }
    }
    
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  • local[] /一定取第i各元素的序列的最大 max //前i个元素的序列的最大 */ class Solution{ public int maxSubArray(int[] nums){ int n = nums.length; int[] local = new int[2]; local[0] = nums[0]; int ...

    198. House Robber

    You are a professional robber planning to rob houses along a street. Each house has a certain amount of money stashed, the only constraint stopping you from robbing each of them is that adjacent houses have security system connected and it will automatically contact the police if two adjacent houses were broken into on the same night.

    Given a list of non-negative integers representing the amount of money of each house, determine the maximum amount of money you can rob tonight without alerting the police.

    /*
    state local[i] 打劫前i家房子,包括第i家房子所能获得的最大收益
          global[i] 打劫前i家的最大收益
    function:local[i] = max(global[i-2],global[i-3])+nums[i-1]
    intialization:
    */
    class Solution {
        public int rob(int[] nums) {
            if (nums == null || nums.length == 0)
                return 0;
            if(nums.length == 1)
                return nums[0];
            if(nums.length == 2)
                return Math.max(nums[0],nums[1]);
            int[] local = new int[3];
            int[] global = new int[3];
            local[0] = global[0] = 0;
            local[1] = global[1] = nums[0];
            local[2] = global[2] = Math.max(nums[0],nums[1]);
            for(int i = 3; i < nums.length+1; i++){
                local[i%3] = Math.max(global[(i-2)%3],global[(i-3)%3]) + nums[i-1];
                global[i%3] = Math.max(global[(i-1)%3],local[i%3]);
            }
            return global[nums.length%3];
        }
    }

    53. Maximum Subarray

    Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

    For example, given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
    the contiguous subarray [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

    /*
    local[] /一定取第i各元素的序列的最大和
    max //前i个元素的序列的最大和
    */
    class Solution{
        public int maxSubArray(int[] nums){
            int n = nums.length;
            int[] local = new int[2];
            local[0] = nums[0];
            int max = nums[0];
            for(int i = 1; i < n; i++){
                local[i%2] = nums[i] + (local[(i-1)%2]>0?local[(i-1)%2]:0);
                max = Math.max(max,local[i%2]);
            }
            return max;
        }
    }

    152. Maximum Product Subarray

    Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest product.

    For example, given the array [2,3,-2,4],
    the contiguous subarray [2,3] has the largest product = 6.

    /*
    max[] //一定取第i个元素的序列的最大乘积
    min[] //一定取第i个元素的序列的最小乘积
    global //前i个元素的最大乘积(可取可不取)
    */
    class Solution {
        public int maxProduct(int[] nums) {
            int[] max = new int[2];
            int[] min = new int[2];
            max[0] = min[0] = nums[0];
            int global = nums[0];
            for(int i = 1; i < nums.length; i++){
                max[i%2] = Math.max(Math.max(max[(i-1)%2] * nums[i],min[(i-1)%2] * nums[i]),nums[i]);
                min[i%2] = Math.min(Math.min(max[(i-1)%2] * nums[i],min[(i-1)%2] * nums[i]),nums[i]);
                global = Math.max(max[i%2],global);
            }
            return global;
        }
    }


    188. Best Time to Buy and Sell Stock IV


    Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i.

    Design an algorithm to find the maximum profit. You may complete at most k transactions.

    Note:
    You may not engage in multiple transactions at the same time (ie, you must sell the stock before you buy again).


    /*
    state:
    local[i][j] 表示前i天,至多进行j次交易,第i天必须sell的最大收益
    global[i][j]表示前i天,至多进行j此交易,第i天可以不sell的最大收益
    
    function:
    gain = prices[i]-prices[i-1]
    local[i][j] = max(global[i-1][j-1]+gain,local[i-1][j]+gain)
    global[i][j] = max(global[i-1][j],local[i][j])
    
    intialization:
    global[0][i] = 0 local[0][i] = 0;
    answer:global[n][k]
    */
    class Solution {
        public int maxProfit(int k, int[] prices) {
            if(prices.length == 0)
                return 0;
            int n = prices.length;
            //分为两种情况,当k>=n/2时,可以进行最大次数的交易。就是随便买,随便卖
            if(k >= n/2){
                int maxPro = 0;
                for(int i = 1; i < n; i++)
                    maxPro += (prices[i]>prices[i-1] ?prices[i]-prices[i-1]:0);
                return maxPro;
            }
            //第二种情况
            int[][] global = new int[n][k+1];
            int[][] local = new int[n][k+1];
            
            for(int i = 0;i <= k; i++){
                local[0][i] = 0;
                global[0][i] = 0;
            }
            
            for(int i = 1; i < n; i++){
                int gain = prices[i] - prices[i-1];
                for(int j = 1; j <= k; j++){
                    local[i][j] = Math.max(global[i-1][j-1],local[i-1][j])+gain;
                    global[i][j] = Math.max(global[i-1][j],local[i][j]);
                }
            }
            
            return global[n-1][k];
        }
    }


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空空如也

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局部最优和全局最优