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  • 总体最小二乘法

    2011-11-24 14:59:59
    利用总体最小二乘法技术进行误差分析!矩阵分析。
  • 为解决最小二乘法在数据处理时只考虑观测矩阵的误差,没有考虑系数阵的误差较大时其计算结果不理想等问题,把总体最小二乘法引入到多普勒测速计算,推导并给出了基于总体最小二乘法的求解模型,并利用采集的实验数据进行...
  • 基于数据的自适应动态规划——总体最小二乘法
  • 基于总体最小二乘法的迭代学习控制算法的研究
  • 最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法...
  • 总体最小二乘法对Pisarenko算法进行分析谐波分解恢复。 可在MATLAB上仿真。
  • 基于总体最小二乘法的离散广义系统的控制器设计方法
  • 为了降低摄像机标定中图形加性噪声给标定精度带来的不良影响,提出了基于总体最小二乘法的摄像机标定方法。由于总体最小二乘法具有消除或降低噪声的功能,本文将其用于求解单应性矩阵,既提高了单应性矩阵的精度,又...
  • 递归总体最小二乘法

    2021-02-28 16:54:51
    递归总体最小二乘法 1 贝叶斯滤波 1.1 贝叶斯公式(条件概率公式+全概率公式) 先验概率 似然 归一化因子/全概率公式 后验概率 1.2贝叶斯滤波 贝叶斯公式: 递归(预测):由 t−1t-1t−1 时刻的后验概率和状态转移...

    递归总体最小二乘法

    1 贝叶斯滤波

    1.1 贝叶斯公式(条件概率公式+全概率公式)

    先验概率
    似然
    归一化因子/全概率公式
    后验概率

    1.2贝叶斯滤波

    贝叶斯公式:

    递归(预测):由 t1t-1 时刻的后验概率和状态转移概率,预测 tt 时刻的先验概率 N(x^tt1,Ptt1)N \sim(\hat{x}_{t|t-1},{P}_{t|t-1})

    更新:由 tt 时刻的先验概率和似然概率 N(ytt,Rtt)N \sim({y}_{t|t},{R}_{t|t}) 更新 tt 时刻的后验概率 N(x^tt,Ptt)N \sim(\hat{x}_{t|t},{P}_{t|t})
    x^tt1=\hat{x}_{t|t-1}=

    2 Kalman Filter

    x^t=Kt×Zt+(1Kt)×x^t1\hat{x}_{t}=K_{t}\times Z_{t} + (1-K_{t})\times \hat{x}_{t-1}

    2.1 状态方程与观测方程

    xt=F×xt1+wyt=H×xt+v 状态方程:x_{t}=F\times x_{t-1}+w\\ 观测方程:y_{t}=H\times x_{t}+v

    wwvv是白噪声,p(w)N(0,Q)p(w) \sim N(0,Q)p(v)N(0,R)p(v) \sim N(0,R)Q=wwTQ=ww^TQ=vvTQ=vv^TE(w)=E(v)=0E(w)=E(v)=0

    FF是上一状态到当前状态的状态转移矩阵,HH为当前状态到观测/测量的转移矩阵。

    2.2 预测 Prediction:

    • 状态向量x^t1t1\hat{x}_{t-1|t-1} 及其协方差 Pt1t1P_{t-1|t-1}

    x^tt1=F×x^t1t1+wPtt1=F×Pt1t1×FT+Q \hat{x}_{t|t-1}=F\times \hat{x}_{t-1|t-1}+w\\ P_{t|t-1}=F\times P_{t-1|t-1} \times F^T +Q

    接下来推导Ptt1P_{t|t-1}
    Ptt1=E[(xtx^tt1)(xtx^tt1)T]xtx^tt1=F(xt1x^t1t1)+wt P_{t|t-1}=E[(x_t - \hat{x}_{t|t-1})(x_t - \hat{x}_{t|t-1})^T]\\ x_t - \hat{x}_{t|t-1}=F(x_{t-1}-\hat{x}_{t-1|t-1})+w_{t}\\
    let xtx_t is unknown true value ,x^tt1\hat{x}_{t|t-1} is the prediction ,thus:
    Ptt1=E[(F(xt1x^t1t1)+wt)×(F(xt1x^t1t1)+wt)T]=F×E[(xt1x^t1t1)×(xt1x^t1t1)T]×FT+F×E[(xt1x^t1t1)×wtT]+E[wt×(xt1x^t1t1)T]×FT+E[wtwtT] P_{t|t-1}=E[(F(x_{t-1}-\hat{x}_{t-1|t-1})+w_{t}) \times (F(x_{t-1}-\hat{x}_{t-1|t-1})+w_{t})^T]\\ =F\times E[(x_{t-1}-\hat{x}_{t-1|t-1}) \times (x_{t-1}-\hat{x}_{t-1|t-1})^T]\times F_{T}\\+F\times E[(x_{t-1}-\hat{x}_{t-1|t-1})\times w_{t}^T]\\+ E[w_{t}\times( {x_{t-1}-\hat{x}_{t-1|t-1}})^T]\times F_{T}\\+E[w_t w_t^T]
    Noting that state estimation errors and process noise are uncorrelated:
    E[(xt1x^tt1)×wtT]=E[wt×(xt1x^tt1)T]=0 E[(x_{t-1}-\hat{x}_{t|t-1})\times w_{t}^T]=E[w_{t}\times( {x_{t-1}-\hat{x}_{t|t-1}})^T]=0
    thus:
    Ptt1=F×E[(xt1x^t1t1)×(xt1x^t1t1)T]×FT+E[wtwtT]=F×Pt1t1×FT+Qt P_{t|t-1}=F\times E[(x_{t-1}-\hat{x}_{t-1|t-1}) \times (x_{t-1}-\hat{x}_{t-1|t-1})^T]\times F_{T}+E[w_t w_t^T]\\=F\times P_{t-1|t-1} \times F_{T}+Q_t

    测量更新 Measure update:

    x^tt=x^tt1+Kt(ytHt×x^tt1)Ptt=Ptt1KtHtPtt1Kt=Ptt1HT(HtPtt1HtT)1 \hat{x}_{t|t}=\hat{x}_{t|t-1}+K_{t}(y_t-H_t \times \hat{x}_{t|t-1})\\ P_{t|t}=P_{t|t-1}-K_{t}H_{t}P_{t|t-1}\\ K_t=P_{t|t-1} H_{T} (H_t P_{t|t-1} H_t^T)^{-1}
    x^t1t1N(μσ2)=12πσexp((x^t1t1μ)22σ2) \hat{x}_{t-1|t-1} \sim N(\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp({-\frac{(\hat{x}_{t-1|t-1}-\mu)^2}{2\sigma^2}})

    3 Weighted Kalman Filter

    4 Total Kalman Filter

    XN(μσ2)=12πσexp((xμ)22σ2) X \sim N(\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp({-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}})

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  • 针对最小二乘法用于相似模型试验坐标转换时不能综合考虑系数矩阵误差的问题,提出采用总体最小二乘法用于相似模型试验的坐标转换,该方法以罗德里格矩阵为基础,同时顾及坐标转换方程中系数矩阵和观测向量中的误差,通过...
  • 一种新的约束总体最小二乘法及其在角度定位中的应用,李万春,魏平,本文提出了一种新的约束总体最小二乘法(Modify CTLS),其原理是将系数矩阵和数据矢量对加性量测量进行二阶Taylor展开。我们提出的新�
  • 总体最小二乘法算法

    2011-12-22 15:54:13
    通过应用TLS技术算法,实现了对 方程组的 精确 快速 求解!
  • 用Matlab仿真实现最小二乘法和总体最小二乘法估计 假设仿真的观测数据 产生,其中 为0均值, 单位方差的高斯白噪声,取n=1,2,....128。 试用TLS,取AR阶数为4,估计AR参数 和正弦波频率;再用SVD-TLS ,估计AR参数 ...
  • 问题解答对于最小二乘法,当从模型总体随机抽取n组样本观测值后,最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据,也就是估计值和观测值之差的平方和最小。而对于最大似然法,当从模型总体随机抽取n组样本观测...
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    问题引入

    最大似然和最小二乘是解决很多机器学习问题的基础,那么极大似然估计和最小二乘法区别是啥?

    问题解答

    对于最小二乘法,当从模型总体随机抽取n组样本观测值后,最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据,也就是估计值和观测值之差的平方和最小。

    而对于最大似然法,当从模型总体随机抽取n组样本观测值后,最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。

    在最大似然法中,通过选择参数,使已知数据在某种意义下最有可能出现,而某种意义通常指似然函数最大,而似然函数又往往指数据的概率分布函数。与最小二乘法不同的是,最大似然法需要已知这个概率分布函数,这在实践中是很困难的。一般假设其满足正态分布函数的特性,在这种情况下,最大似然估计和最小二乘估计相同。

    最小二乘法以估计值与观测值的差的平方和作为损失函数,极大似然法则是以最大化目标值的似然概率函数为目标函数,从概率统计的角度处理线性回归并在似然概率函数为高斯函数的假设下同最小二乘建立了的联系。

    参考

    https://blog.csdn.net/u013344884/article/details/79483705

    欢就关注一下啦~~~

    82591b6cf61c3b557edadf0052ced8a2.png

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  • 最小二乘法实现

    2020-11-27 15:42:55
    什么是”最小二乘法”呢? 定义:最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。 作用:利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与...

    什么是”最小二乘法”呢?

          定义:最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

          作用:利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

          原则:以”残差平方和最小”确定直线位置(在数理统计中,残差是指实际观察值与估计值之间的差)

          数学公式:

     

          基本思路:对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值(X1,Y1),(X2,Y2), …,(Xn,Yn),对于平面中的这n个点,可以使用无数条曲线来拟合。而线性回归就是要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值,也就是说,这条直线应该尽可能的处于样本数据的中心位置。因此,选择最佳拟合曲线的标准可以确定为:使总的拟合误差(即总残差)达到最小。

          实现代码如下,代码中已经详细的给了注释:

     

    ##最小二乘法
    import numpy as np   ##科学计算库 
    import scipy as sp   ##在numpy基础上实现的部分算法库
    import matplotlib.pyplot as plt  ##绘图库
    from scipy.optimize import leastsq  ##引入最小二乘法算法
    
    '''
         设置样本数据,真实数据需要在这里处理
    '''
    ##样本数据(Xi,Yi),需要转换成数组(列表)形式
    Xi=np.array([6.19,2.51,7.29,7.01,5.7,2.66,3.98,2.5,9.1,4.2])
    Yi=np.array([5.25,2.83,6.41,6.71,5.1,4.23,5.05,1.98,10.5,6.3])
    
    '''
        设定拟合函数和偏差函数
        函数的形状确定过程:
        1.先画样本图像
        2.根据样本图像大致形状确定函数形式(直线、抛物线、正弦余弦等)
    '''
    
    ##需要拟合的函数func :指定函数的形状
    def func(p,x):
        k,b=p
        return k*x+b
    
    ##偏差函数:x,y都是列表:这里的x,y更上面的Xi,Yi中是一一对应的
    def error(p,x,y):
        return func(p,x)-y
    
    '''
        主要部分:附带部分说明
        1.leastsq函数的返回值tuple,第一个元素是求解结果,第二个是求解的代价值(个人理解)
        2.官网的原话(第二个值):Value of the cost function at the solution
        3.实例:Para=>(array([ 0.61349535,  1.79409255]), 3)
        4.返回值元组中第一个值的数量跟需要求解的参数的数量一致
    '''
    
    #k,b的初始值,可以任意设定,经过几次试验,发现p0的值会影响cost的值:Para[1]
    p0=[1,20]
    
    #把error函数中除了p0以外的参数打包到args中(使用要求)
    Para=leastsq(error,p0,args=(Xi,Yi))
    
    #读取结果
    k,b=Para[0]
    print("k=",k,"b=",b)
    print("cost:"+str(Para[1]))
    print("求解的拟合直线为:")
    print("y="+str(round(k,2))+"x+"+str(round(b,2)))
    
    '''
       绘图,看拟合效果.
       matplotlib默认不支持中文,label设置中文的话需要另行设置
       如果报错,改成英文就可以
    '''
    
    #画样本点
    plt.figure(figsize=(8,6)) ##指定图像比例: 8:6
    plt.scatter(Xi,Yi,color="green",label="样本数据",linewidth=2) 
    
    #画拟合直线
    x=np.linspace(0,12,100) ##在0-15直接画100个连续点
    y=k*x+b ##函数式
    plt.plot(x,y,color="red",label="拟合直线",linewidth=2) 
    plt.legend(loc='lower right') #绘制图例
    plt.show()

      结果如下所示: 

          k= 0.900458420439 b= 0.831055638877
          cost:1
          求解的拟合直线为:
          y=0.9x+0.83

      绘图结果:

          

    转载于:https://www.cnblogs.com/lc1217/p/6514734.html

    展开全文
  • 常使用下列三种标准来度量误差的大小: 曲线拟合最小二乘法选择的是使用向量2-范数最为总体误差的度量标准。具体地,对给定一组实验数据拟构造的曲线为,其中是基函数,是当为极小值时的解。 设多元函数,令 ,具体...

    一、曲线拟合最小二乘原理

    设实验数据集为

    6a1a26210287f4f35bfa1ccc5f884a6e.png,构造的拟合曲线为

    f9ededade05b7e6ad89614eb1238fd03.png,则在插值节点处产生的误差为

    dd38d8a9570eeda279f413c6d3353c1a.png,若想使

    f9ededade05b7e6ad89614eb1238fd03.png能够描述原曲线

    b68fd86f833ee535fd8cf4738bb82a92.png,则应使

    c85e18e2a47298dc208f4f8b32992cf1.png最小。常使用下列三种标准来度量误差的大小:

    8909945f4eca137a21e3f3c937c66ba9.png

    曲线拟合最小二乘法选择的是使用向量2-范数最为总体误差的度量标准。

    具体地,对给定一组实验数据

    e0e35dd7b6a261558a26f06848d7a8a0.png拟构造的曲线为

    1b716236a4503cdcdf4857a37e9c3e04.png,其中

    2e74482af0a9ee0ea67d2848ca1f53f3.png是基函数

    88bfd5bff1397016226919533a429735.png

    e30300e73615b3733da73ab1d5884744.png是当

    7d8017e8eb86752595f2cb3aa5ae1913.png为极小值时的解。

    设多元函数

    da59c27f8844d15f6b5730ad712b4113.png,令

    61e8e0c0c9a3f1d3de83003d6e0dd6bc.png,具体如下:

    7ba3a542fb5d1dff4fa1daed9415d975.png

    dce42cea50c7a963b191b2c462174a5b.png

    c0cfc4d68ec87f147538b79474c37ff6.png,则上式可以写为:

    8eed6f00b214c46bd7c2785d3a22b880.png把它改写成矩阵形式为:

    8bb6c0be5a9bd05a2ad3a71b05727e72.png

    这是关于系数

    82731c4a62f015b220816361dedf9670.png的线性方程组,也称为正则方程。由于

    65888c9240b8f6cbebe4c2763c075c1f.png线性无关,故上述线性方程组的系数矩阵行列式不为零,因此方程组有唯一解

    76d69278dc805582be9d8a3f5d263edf.png

    二、算法设计

    曲线拟合最小二乘法算法设计主要分成两部分,首先应得到线性方程组系数的增广矩阵,然后再求解线性方程组,方程组的求解可用高斯消去法得到。

    多项式型经验公式的计算步骤:

    (1)输入实验数据:

    b33b1f9ba5504d52c09fdf6832e054fd.png

    (2)构造正则方程:

    右端项:

    c292215fa36a155769a88448e8c3d4c3.png

    系数矩阵:

    0a1164e19e6869c1d4217282f48b3bbf.png

    (3)用高斯消去法求解正则方程;

    (4)输出经验公式。

    具体算法描述如下图:

    74b019dd453da7167ba4dfc21fb3e674.png

    其中,n为插值节点下标上限,m为拟合曲线最高次方,X,Y为插值节点向量。

    三、Scala实现

    在IDEA里实现这个算法,具体代码如下:

    packagecom.hzznv.ls

    importbreeze.numerics.pow

    /*** Created by YanqingAn on 2017/1/6.*/objectLeastSquare_2 {

    defmain(args: Array[String]): Unit= {

    valx = newArray[Double](20)

    valy = newArray[Double](20)

    vala = Array.ofDim[Double](20,20)

    vart: Double= 0

    varm: Int= 0varn: Int= 0

    n = readLine("请输入n:").toInt

    valxy:String= readLine("请输入xy:")

    for(i

    if(i % 2== 0){

    x(i/2) = xy.split(" ")(i).toDouble

    }else if(i % 2== 1) {

    y((i-1)/2) = xy.split(" ")(i).toDouble

    }

    }

    m = readLine("请输入m:").toInt

    println("输入的插值节点是:")

    for(i

    print(x(i) + " ")

    }

    println()

    for(i

    print(y(i) + " ")

    }

    println()

    for(i

    for(j

    for(k

    a(i)(j) += pow(x(k),i+j)

    }

    }

    for(k

    a(i)(m+1) += y(k) * pow(x(k),i)

    }

    }

    println("增广矩阵是:")

    for(i

    for(j

    print(" "+ a(i)(j))

    }

    println()

    }

    for(k

    for(i

    t = -a(i)(k) / a(k)(k)

    for(j

    a(i)(j) += a(k)(j) * t

    }

    }

    }

    for(i

    for(j

    a(i)(m+1) -= a(i)(j) * a(j)(m+1)

    }

    a(i)(m+1) /= a(i)(i)

    a(i)(m+1) = f"${a(i)(m+1)}%1.5f".toDouble

    }

    print("拟合曲线是: y="+ a(0)(m+1))

    for(i

    if(a(i)(m+1) >= 0){

    print("+")

    }

    print(a(i)(m+1))

    for(j

    print("*x")

    }

    }

    }

    }

    执行过程和结果如下:

    51b3c92cf8dd2fcf2429c233845533a2.png

    四、附C++代码

    3 C++实现 在 Vi s ua l

    c++6. 0里实现这个算法 ,具体代码 如下:

    #i ncl ude

    #i ncl ude” mat h. h”

    int  main (){

    double x[ 20], y[ 20], a[ 20] [ 20]= { 0}, t ;

    int  i , j, m, n, k;

    cout <

    cin>>n;

    cout <

    for( i -1; i <=n; i ++)

    cin>>x[ i ]>>y[ i ];

    cout <

    cin>>m;

    cout <

    for( i =1; i <=n. i ++)

    cout <

    cout <

    for( i =1; i <=n; i ++)

    cout <

    cout <

    for( i =0; i <=m; i ++)

    {

    for( j =0; j <=m ; j ++)

    for( k=1; k<=n; k++)

    a[ i ] [ j ]+=pow ( x[ k ], i +j );

    for( k=1; k<=n; k++)

    a[ i ] [ j ]+=y[ k] * pow (x[ k ], i );

    }

    cout <

    for( i =0; i <=m; i ++)

    { for( j =0; j <=m+1; j ++)

    co ut <

    cout <

    for( k=0; k<=m-1 ; k++)

    for( i =k+l ; i <=m; i ++)

    { t =-a[ i ] [ k]/ a[ k ] [ k ] k ;

    for( j =k +1 ; j <= m+1 ; j ++ )

    a[ i ] [ j ]+=a[ k ] [ j ] * t ;

    }

    for(i=m;i>=0;i--){

    for(j=i+1;j<=m;j++)

    a[i][m+1] -= a[i][j] * a[j][m+1];

    a[i][m+1] /= a[i][i];}

    cout<

    cout<

    for(i=1;i<=m;i++){

    if(a[i][m+1]>0) cout<

    cout<

    for(j=0;j

    cout<

    }

    五、结束语

    曲线拟合最小二乘算法在插值问题的数值算法中是比较经典的算法,它应用的领域也比较宽泛,比如在轨道曲线拟合、人口预测、煤矿瓦斯预警等问题上都有突出贡献。

    展开全文
  • 最小二乘法

    2017-08-31 21:41:00
    看到一篇不错的介绍最小二乘法的博客,其中有个idea很不错,在拟合线性函数的时候,求得的函数跟真实函数或者真实数据之间或多或少都会有一个误差。 图中红色直线就是我们求得的线性函数。 为了表示拟合的函数跟...
  • 我在Logistic Regression回归中对损失函数用极大似然估计推导,在线性回归中对损失函数用最小二乘法推导,发现在推导梯度的过程中,结果是一样的,所以我对两种方法进行了分析对比。一、最小二乘法1.定义当从模型...
  • 普通最小二乘法只考虑观测向量b的误差,而总体最小二乘法还考虑了数据矩阵 A 的误差, 因此适用于数据矩阵 A 满列秩和数据向量b存在独立同分布的高斯误差的情况。 后者更符合实际并拥有更高的估计精度,所以在统计...
  • 2019/3/30二元线性回归——矩阵公式法又名:对于python科学库的糟心尝试二元线性回归严格意义上其实不过是换汤不换药,我对公式进行推导...其实这个部分我并不想写太多,因为理解并不是十分透彻,总体来讲,感觉就是...
  • 简单回顾一下: 属于样本值,而 是总体值。总体值是未知的但它是确定的,正因为它是未知的,所以我们才要检验它是否等于0。而 是根据样本计算出来的,它具体是多少,我们是知道的,不需要再检验。比如前文中所举的...
  • 2019/3/30二元线性回归——矩阵公式法又名:对于python科学库的糟心尝试二元线性回归严格意义上其实不过是换汤不换药,我对公式进行推导...其实这个部分我并不想写太多,因为理解并不是十分透彻,总体来讲,感觉就是...
  • 总体值是未知的但它是确定的,正因为它是未知的,所以我们才要检验它是否等于0。而是根据样本计算出来的,它具体是多少,我们是知道的,不需要再检验。比如前文中所举的教育程度和收入的例子,通过抽取1000名研究...
  • 样本与总体回归系数的区分这一点内容看似很简单,但其实经常有同学犯糊涂,所以,还是值得专门说一下。回归系数的计算借用我们讲相关分析时的例子:探讨粮食中某种毒素(DON)对骨关节炎评分(OAP)的影响,数据如下:...
  • 参数估计(最小二乘法最小二乘法c++实现 导言 监督学习中,预测的变量是离散的,则称分类 otherwise 连续的变量称回归。 回归中只包含一个自变量和因变量,二者为线性关系,则为一元线性模型。 如果自变量...
  • 最小二乘法

    千次阅读 2018-08-15 11:02:36
    内容整理自视觉SLAM十四讲> 一.前言 上回说道: ...现在开始用非线性优化的方法求求解最小二乘法:注意前端通过ICP 和PnP会提供非线性优化算法的初值. 初值可能会通过"先求相机位姿,再求...
  • 二、最小二乘法的总结 最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的...

空空如也

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