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  • 分布概率密度函数(PDF)。 随机变量的(PDF)为 其中lambda > 0是rate参数。 安装 $ npm install distributions-exponential-pdf 要在浏览器中使用,请使用 。 用法 var pdf = require ( 'distributions-...
  • 通过Matlab实现了FSO链路的负指数分布、K分布、Gamma-Gamma分布模型的概率密度函数,可以对比分析三种分布的概率密度函数,并可以根据画出不同湍流强度条件下的pdf。
  • 概率密度函数是概率论中的核心概念之一,用于描述连续型随机变量所服从的概率分布。 从随机事件说起 回忆我们在学习概率论时的经历,随机事件是第一个核心的概念,它定义为可能发生也可能不发生的事件,因此是否发生...

    1. 概率函数

    概率函数,就是用函数的形式来表达概率。
    p i = P ( X = a i ) ( i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) p_i=P(X=a_i)(i=1,2,3,4,5,6) pi=P(X=ai)(i=1,2,3,4,5,6)
    在这个函数里,自变量(X)是随机变量的取值,因变量( p i p_i pi)是取值的概率。这就叫啥,这叫用数学语言来表示自然现象!它就代表了每个取值的概率,所以顺理成章的它就叫做了X的概率函数。
    从公式上来看,概率函数一次只能表示一个取值的概率。比如P(X=1)=1/6,这代表用概率函数的形式来表示,当随机变量取值为1的概率为1/6,一次只能代表一个随机变量的取值。

    2. 概率分布

    概率分布,就是概率的分布,这个概率分布还是讲概率的。我认为在理解这个概念时,关键不在于“概率”两个字,而在于“分布”这两个字。为了理解“分布”这个词,我们来看一张图。
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    在很多教材中,这样的列表都被叫做离散型随机变量的“概率分布”。其实严格来说,它应该叫“离散型随机变量的值分布和值的概率分布列表”,这个名字虽然比“概率分布”长了点,但是对于我们这些笨学生来说,肯定好理解了很多。因为这个列表,上面是值,下面是这个取值相应取到的概率,而且这个列表把所有可能出现的情况全部都列出来了!

    举个例子吧,一颗6面的骰子,有1,2,3,4,5,6这6个取值,每个取值取到的概率都为1/6。那么你说这个列表是不是这个骰子取值的”概率分布“?
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    长得挺像的,上面是取值,下面是概率,这应该就是骰子取值的“概率分布”了吧!大错特错!少了一个最重要的条件!对于一颗骰子的取值来说,它列出的不是全部的取值,把6漏掉了!

    这么一说你就应该明白概率分布是个什么鬼了吧。

    3. 分布函数

    说完概率分布,就该说说分布函数了。这个分布函数又是个简化版的东西!我真的很讨厌我们的教材中老是故弄玄虚,卖弄概念!你就老老实实的写成”概率分布函数“,让我们这些笨学生好理解一些不行吗?

    看看下图中的分布律!这又是一个不统一叫法的丑恶典型!这里的分布律明明就是我们刚刚讲的“概率函数”,完全就是一个东西嘛!但是我知道很多教材就是叫分布律的。
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    我们来看看图上的公式,其中的F(x)就代表概率分布函数啦。这个符号的右边是一个长的很像概率函数的公式,但是其中的等号变成了大于等于号的公式。你再往右看看,这是一个一个的概率函数的累加!发现概率分布函数的秘密了吗?它其实根本不是个新事物,它就是概率函数取值的累加结果!所以它又叫累积概率函数!其实,我觉得叫它累积概率函数还更好理解!!

    概率函数和概率分布函数就像是一个硬币的两面,它们都只是描述概率的不同手段!

    4. 概率密度函数

    概率密度函数是概率论中的核心概念之一,用于描述连续型随机变量所服从的概率分布。

    4.1 从随机事件说起

    研究一个随机变量,不只是要看它能取哪些值,更重要的是它取各种值的概率如何!
    回忆我们在学习概率论时的经历,随机事件是第一个核心的概念,它定义为可能发生也可能不发生的事件,因此是否发生具有随机性。例如,抛一枚硬币,可能正面朝上,也可能反面朝上,正面朝上或者反面朝上都是随机事件。掷骰子,1到6这6种点数都可能朝上,每种点数朝上,都是随机事件。
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    4.2 整数集与实数集

    高中时我们学过集合的概念,并且知道整数集是z,实数集是R。对于有限集,可以统计集合中元素的数量即集合的基数(cardinal number,也称为集合的势cardinality)。对于无限集,元素的个数显然是无穷大,但是,都是无穷大,能不能分个三六九等呢?

    回忆微积分中的极限,对于下面的极限:
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    虽然当x趋向于正无穷的时候,x和exp(x)都是无穷大,但它们是有级别的,在exp(x)面前,x是小巫见老巫。

    同样的,对于整数集和实数集,也是有级别大小的。任意两个整数之间,如1与2之间,都密密麻麻的分布着无穷多个实数,而且,只要两个实数不相等,不管它们之间有多靠近,如0.0000001和0.0000002,在它们之间还有无穷多个实数。在数轴上,整数是离散的,而实数则是连续的,密密麻麻的布满整个数轴。因此,实数集的元素个数显然比整数要高一个级别。

    4.3 随机变量

    变量是我们再熟悉不过的概念,它是指一个变化的量,可以取各种不同的值。随机变量可以看做是关联了概率值的变量,即变量取每个值有一定的概率。例如,你买彩票,最后的中奖金额x就是一个随机变量,它的取值有3种情况,以0.9的概率中0元,0.09的概率中100元,0.01的概率中1000元。变量的取值来自一个集合,可以是有限集,也可以是无限集。对于无限集,可以是离散的,也可以是连续的,前者对应于整数集,后者对应于实数集。

    4.3.1 离散型随机变量

    随机变量是取值有多种可能并且取每个值都有一个概率的变量。它分为离散型和连续型两种,离散型随机变量的取值为有限个或者无限可列个(整数集是典型的无限可列),连续型随机变量的取值为无限不可列个(实数集是典型的无限不可列)。
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    4.3.2 连续型随机变量

    把分布表推广到无限情况,就可以得到连续型随机变量的概率密度函数。此时,随机变量取每个具体的值的概率为0,但在落在每一点处的概率是有相对大小的,描述这个概念的,就是概率密度函数。你可以把这个想象成一个实心物体,在每一点处质量为0,但是有密度,即有相对质量大小。
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    在概率论和统计学中,拉普拉斯是一种连续概率分布。由于它可以看做是俩个不同位置的指数分布背靠背拼在一起,所以它也叫做双指数分布。如果随机变量的概率密度函数分布为:
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    那么他就是拉普拉斯分布。u为位置参数,b>0是尺度参数。与正态分布相比,正态分布是用相对于u平均值的差的平方来表示,而拉普拉斯概率密度用相对于差的绝对值来表示。因此,拉普拉斯的尾部比正态分布更加平坦。
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    概率密度函数用数学公式表示就是一个定积分的函数,定积分在数学中是用来求面积的,而在这里,你就把概率表示为面积即可!
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    左边是F(x)连续型随机变量分布函数画出的图形,右边是f(x)连续型随机变量的概率密度函数画出的图像,它们之间的关系就是,概率密度函数是分布函数的导函数。

    两张图一对比,你就会发现,如果用右图中的面积来表示概率,利用图形就能很清楚的看出,哪些取值的概率更大!这样看起来是不是特别直观,特别爽!!所以,我们在表示连续型随机变量的概率时,用f(x)概率密度函数来表示,是非常好的!

    但是,可能读者会有这样的问题:
    Q:概率密度函数在某一点的值有什么意义?
    A:比较容易理解的意义,某点的 概率密度函数 即为 概率在该点的变化率(或导数)。很容易误以为 该点概率密度值 为 概率值.
    比如: 距离(概率)和速度(概率密度)的关系.某一点的速度, 不能以为是某一点的距离,没意义,因为距离是从XX到XX的概念,所以, 概率也需要有个区间.
    这个区间可以是x的邻域(可以无限趋近于0)。对x邻域内的f(x)进行积分,可以求得这个邻域的面积,就代表了这个邻域所代表这个事件发生的概率。

    4.4 期望E(X)与方差Var(X)

    随机变量(Random Variable)X是一个映射,把随机试验的结果与实数建立起了一一对应的关系。而期望与方差是随机变量的两个重要的数字特这。

    期望(Expectation, or expected value)是度量一个随机变量取值的集中位置或平均水平的最基本的数字特征;

    方差(Variance)是表示随机变量取值的分散性的一个数字特征。 方差越大,说明随机变量的取值分布越不均匀,变化性越强;方差越小,说明随机变量的取值越趋近于均值,即期望值。
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    4.4.1 期望和方差的运算性质

    4.4.1.1 期望运算性质

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    4.4.1.2 方差的运算性质

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    4.4.1.3 期望与方差的联系

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    4.4.2 协方差

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    4.4.2.1 协方差的运算性质

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    4.4.3 相关系数

    4.4.3.1 定义

    相关系数通过方差和协方差定义。两个随机变量的相关系数被定义为:
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    4.4.3.2 性质

    1、有界性
    相关系数的取值范围为-1到1,其可以看成是无量纲的协方差。

    2、统计意义
    值越接近1,说明两个变量正相关性(线性)越强,越接近-1,说明负相关性越强,当为0时表示两个变量没有相关性。

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    5. 常见概率分布

    5.1 均匀分布(Uniform Distribution)

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    5.2 伯努利分布(Bernoulli Distribution)

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    5.3 二项分布(Binomial Distribution)

    二项分布(Binomial distribution)是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布。
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    从定义可以看出,伯努利分布是二项分布在n=1时的特例

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    5.4 负二项分布(Negative Binomial Distribution)

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    5.5 几何分布(Geometric Distribution)

    假定我们有一系列伯努利试验,其中每一个的成功概率为 p p p,失败概率为 q = 1 − p q=1-p q=1p。在获得一次成功前要进行多次试验?
    注意,这里的随机变量的概率分布就是一种几何分布。具体如下:

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    几何分布的概率分布图如下,见之会有更形象地认知。
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    为什么单独把几何分布和二项分布单独列出,一方面其代表的概率试验的普适性,另一方面其期望和方差都是有特殊技巧。
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    其实有意思的是,这里面的求解过程;但是本文不具体涉及了。因为像几何分布和二项分布这种可能要多写几章,当然是否连续写就不知道了。本着实用主义来。
    一般简单地肯定在前面讲,复杂一些得也更有意思一些的肯定是在后面,比如二项分布明显就在几何分布后面了。

    不同于几何分布描述的运行到第几次才成功,二项分布描述是的N次试验里有多少次成功。具体如下:
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    5.6 超几何分布(Hypergeometric Distibution)

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    5.7 正态/高斯分布 (Normal / Gaussian Distribution)

    正态分布是很多应用中的合理选择。如果某个随机变量取值范围是实数,且对它的概率分布一无所知,通常会假设它服从正态分布。有两个原因支持这一选择:

    • 建模的任务的真实分布通常都确实接近正态分布。中心极限定理表明,多个独立随机变量的和近似正态分布。
    • 在具有相同方差的所有可能的概率分布中,正态分布的熵最大(即不确定性最大)。

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    5.7.1 一维正态分布

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    5.7.2 多维正态分布

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    5.8 拉普拉斯分布

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    5.9 泊松分布(Poisson Distribution)

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    5.10 指数分布

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    5.11 伽马分布

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    5.12 贝塔分布

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    5.13 狄拉克分布

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    5.14 多项式分布与狄里克雷分布

    多项式分布(Multinomial Distribution)是二项式分布的推广。二项式做n次伯努利实验,规定了每次试验的结果只有两个,如果现在还是做n次试验,只不过每次试验的结果可以有多m个,且m个结果发生的概率互斥且和为1,则发生其中一个结果X次的概率就是多项式分布。

    扔骰子是典型的多项式分布。扔骰子,不同于扔硬币,骰子有6个面对应6个不同的点数,这样单次每个点数朝上的概率都是1/6(对应p1~p6,它们的值不一定都是1/6,只要和为1且互斥即可,比如一个形状不规则的骰子),重复扔n次,如果问有k次都是点数6朝上的概率就是
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    5.15 混合概率分布

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    5.16 总结

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    https://www.jianshu.com/p/b570b1ba92bb
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/48140593
    https://www.bookstack.cn/read/huaxiaozhuan-ai/spilt.4.6f06ed449f5ed789.md
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/94181395
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/64859161
    https://blog.csdn.net/touristman5/article/details/56281887
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/32932782

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  • MATLAB如何使用exppdf函数计算指数分布的概率密度【语法说明】Y=exppdf(X,mu):计算X中的元素在参数mu指定的指数分布下的概率密度...参数为μ的指数函数概率密度函数为μ为指数分布的期望,方差σ2=μ2。指数分布具...

    MATLAB如何使用exppdf函数计算指数分布的概率密度

    【语法说明】

    Y=exppdf(X,mu):计算X中的元素在参数mu指定的指数分布下的概率密度函数值。Y返回与X和mu同型的数组。如果输入参数中有一个为标量,则将其扩展为与另一输入参数同型的矩阵或数组。X与mu均大于零。

    【功能介绍】计算指数分布的概率密度函数值。参数为μ的指数函数概率密度函数为

    e66f64e6c5f050dbafec162c984d8e3c.png

    μ为指数分布的期望,方差σ 2=μ 2。指数分布具有无记忆性,常用来表示独立随机事件发生的时间间隔。

    【实例】绘制μ=1,2的指数分布的概率密度函数图。

    >> x=0:.1:4;

    >> y1=exppdf(x,1);   % 参数为1的指数分布

    >> y2=exppdf(x,2);   % 参数为2的指数分布

    >> plot(x,y1);

    >> hold on;

    >> plot(x,y2,'.-');

    >> title('指数分布');

    >> x=[0,1,2,3];  % 计算mu=2时x=0,1,2,3处的概率值

    >> yy=exppdf(x,2)

    yy =

    0.5000 0.3033 0.1839 0.1116

    >> plot(x,yy,'ro','LineWidth',2);

    >> diff(yy)./yy(1:3)   % 计算减少的百分比

    ans =

    -0.3935 -0.3935 -0.3935

    >> legend('mu=1','mu=2','mu=2; x=0,1,2,3');

    执行结果如图10-12所示。

    图10-12 指数分布的概率密度函数图

    【实例讲解】指数分布具有无记忆性, diff(yy)./yy(1:3)计算p(x=1)相对 p(x=0)、p(x=2)相对 p(x=1)以及 p(x=3)相对 p(x=2)减少的百分比,算得结果相等。

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  • 使用Excel绘制t分布概率密度函数

    千次阅读 2020-12-22 11:21:23
    使用Excel绘制t分布概率密度函数关于t分布应用广泛,主要用于假设检验。关于使用Excel画出t分布的概率密度函数图表的问题,试答如下:使用excel绘制t分布的概率密度函数,需要两列:1)自变量X,2)计算自变量X对应的t...

    使用Excel绘制t分布概率密度函数

    关于t分布应用广泛,主要用于假设检验。关于使用Excel画出t分布的概率密度函数图表的问题,试答如下:

    使用excel绘制t分布的概率密度函数,需要两列:1)自变量X,2)计算自变量X对应的t分布的概率密度函数。由于Excel中TDIST函数计算的是概率累积密度,不能计算概率密度值,所以借用伽马函数的自然对数。先从t分布的公式着手。

    其中:ν 为自由度=n-1

    Γ为伽马函数的的符号

    t分布的平均数和标准正态分布一样均等于0

    t分布的标准差=ν/(ν-2)

    我们以随机变量t值为x轴(即视t为x),如何将自由度带入方程式求y值?因为t分布中涉及到GAMMALN()函数,而excel是提供GAMMALN()函数的,所以我们可以使用excel中的GAMMALN()函数来计算得到t分布的概率密度函数(参见【附录】)。经转换后其公式为:

    t(X,df)=EXP(GAMMALN((df+1)/2))/(SQRT(PI()*df)*EXP(GAMMALN(df/2)))*(1+X^2/df)^(-1/2*(df+1))……………………………………公式(1)

    由于对公式书写格式的顺序的理解不同,上述公式可能也会写成以下形式:

    t(X,df)=EXP(GAMMALN((df+1)/2))*(1+X^2/df)^(-(df+1)/2)/SQRT(df*PI())/EXP(GAMMALN(df/2))  ……………………………………公式(2)

    现以自由度(ν)=4为例,求t分布的图表,可由以下几步进行:

    第1步 确定自变量取值范围

    自由度=4时,t分布的方差为ν/(ν-2)=2,标准差= SQRT (2)=1.414

    t分布的平均数和标准正态分布一样均等于0,同样与正态分布一样,几乎99%的t值会落在平均数`x±3个标准差之内,即落在区间(`x-3σ,`x+3σ)之间,所以横轴的取值范围在-4.2~4.2之间。

    第2步 在Excel单元格中输入自变量

    在A列中,在单元格A2中输入-4.2,在单元格A3中输入-4,递增0.2,选中单元格A2与A3,按住右下角的填充控制点一直拖到单元格A44是4.2为止,A列的这些数据就作为随机变量t的取值。如表-1所示:

    表-1

    第3步 在单元格B2中输入计算t分布的概率密度函数的公式

    对于公式(1),由于自由度(ν)=4 ,则由df=4代入;自变量X就是单元格A2的值,所以按Excel相对引用的规则,X由A2代入即可,于是单元格B2内容是

    =EXP(GAMMALN((4+1)/2))/(SQRT(PI()*4)*EXP(GAMMALN(4/2)))*(1+A2^2/4)^(-1/2*(4+1)),如表-2所示:

    表-2

    上述公式如按公式(1)的理解顺序,单元格B2内容可以写成:

    =EXP(GAMMALN((4+1)/2))*(1+A2^2/4)^(-(4+1)/2)/SQRT(4*PI())/EXP(GAMMALN(4/2))

    结果是一样的。

    第4步 复制公式

    按住单元格B2右下角的填充控制点,向下一直拖曳到B44,将B2的公式填充复制到B列的相应的单元格,如表-3所示:

    表-3

    第5步 由于相对引用的规则,A列的自变量会自动被公式相对引用计算,结果如表-4所示:

    表-4

    上述表-3是为了说明公式的复制,而特意在“工具”-“选项”-“视图”中将“公式”勾选,从而使公示内容全部显示出来。实际操作中,如表-4一样,公式的表达式不会显露,只有计算的结果会出现。至此已完成自由度为4的t分布概率密度函数表。

    第6步 作t分布概率密度函数图

    选择A1:B44,选“图表向导”-“标准类型’-“XY散点图”(平滑线),如图-1所示:

    图-1

    第7步 输入标题,调整字号、线型等格式,完成t分布概率密度函数图,如图-2所示:

    图-2

    如将上图的图表类型换成二维面积图,则如图-3-1(2003版)和图-3-2(2010版)所示:

    图-3-1

    图-3-2

    在Excel 2003版中面积图数据系列格式的图案的内部填充格式没有透明的设置,也不能使用柱形图那样用预先制作的透明图片填充,此类效果可以在2007版与2010版中轻易实现。如为了在2003版中突出视觉效果,可以尝试使用三维面积图。如将上图的图表类型换成三维面积图,则如图-4-1(2003版)和图-4-2(2010版)所示:

    图-4-1

    图-4-2

    为了方便调整不同的自由度参数值观察图形变化,在Excel数据表中可在第一行的某几个单元格如E1、F1、G1输入不同参数,然后在公式引用这几个参数时使用不同的方式:列数据为相对引用,而行数据为绝对引用,如E$1、F$1、G$1。而A列自变量值则使用:列数据为绝对引用,而行数据为相对引用,如$A2、$A3、$A4等。

    数据表输入截图如图-5:

    图-5

    在公式输入后,选择单元格区间A1:D44,在同一图表作出三种不同自由度的平滑曲线的散点图,可见随着自由度的变大,t分布越向Y轴集中如图-6所示:

    图-6

    【附录:关于GAMMALN()函数和EXP()函数】

    •函数 GAMMALN 的计算公式如下:

    伽马函数Γ(x)是个定积分,无法直接绘图,可由GAMMALN()函数和EXP()函数,并利用对数恒等式:

    间接求得,下面对以上内容使用Excel中的相关文字加以说明。

    GAMMALN函数的作用: 返回伽玛函数Γ(x)的自然对数。

    语法:

    GAMMALN(x)

    X    为需要计算函数 GAMMALN 的数值。

    GAMMALN(x)=LN(Γ(x))

    说明:

    如果 x 为非数值型,函数 GAMMALN 返回错误值 #VALUE!。

    如果 x ≤ 0,函数 GAMMAIN 返回错误值 #NUM!。

    数字 e 的 GAMMALN(i) 次幂等于 (i-1)!,其中 i 为整数,常数 e 等于 2.71828182845904,是自然对数的底数。

    GAMMALN(8)=8.525161

    EXP(GAMMALN(8))=5040=(8-1)!=FACT(7)

    FACT(N)为返回N-1的阶乘(N-1)!=1×2×3×4×…×(N-2)×(N-1)的函数(其中N为自然数)

    关于EXP()函数:

    EXP()返回 e 的 n 次幂。常数 e 等于 2.71828182845904,是自然对数的底数。

    语法

    EXP(number)

    Number 为底数 e 的指数。

    说明

    若要计算以其他常数为底的幂,请使用指数操作符 (^)。

    EXP 函数是计算自然对数的 LN 函数的反函数。

    EXP(1)=2.718282(e的近似值)

    EXP(2)=7.389056

    EXP(1)=20.08554

    EXP(LN(3))=3

    于是为求伽马函数Γ(x)首先要回忆一个最基本的恒等式:

    即可得:

    把该恒等式用于伽马函数的取得,可以由以下两步进行:

    先用GAMMALN(x),取得自然对数;

    再用EXP(GAMMALN(x)),取得伽马函数的值。

    完 谢谢观看

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  • R与指数分布(1) 概率密度函数

    千次阅读 2014-10-31 21:51:10
    在概率论和统计学中,指数分布(Exponential distribution)是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立...一个指数分布概率密度函数是: [img]http://upload.wikimedia.org/math/7/c/1/7c1e7458e99f77f22c350...
    在概率论和统计学中,指数分布(Exponential distribution)是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔,比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。
    

    概率密度函数
    一个指数分布的概率密度函数是:
    [img]http://upload.wikimedia.org/math/7/c/1/7c1e7458e99f77f22c350aec59c67e9c.png[/img]
    其中λ > 0是分布的一个参数,常被称为率参数(rate parameter)。即每单位时间发生该事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。 如果一个随机变量X 呈指数分布,则可以写作:X ~ Exponential(λ)。

    许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和weibull分布的特殊情况。

    指数分布可以看作当weibull分布中的形状系数等于1的特殊分布,指数分布的失效率是与时间t无关的常数,所以分布函数简单。


    set.seed(1000)
    x<-seq(-1,2,length.out=100)
    y<-dexp(x,0.5)
    plot(x,y,col="red",xlim=c(0,2),ylim=c(0,5),type='l',xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',main="The Exponential Density Distribution")
    lines(x,dexp(x,1),col="green")
    lines(x,dexp(x,2),col="blue")
    lines(x,dexp(x,5),col="orange")
    legend("topright",legend=paste("rate=",c(.5, 1, 2,5)), lwd=1,col=c("red", "green","blue","orange"))

    如下:

    [img]http://dl2.iteye.com/upload/attachment/0102/7068/833a9aee-febf-3f30-b8c3-b69fcab36832.jpeg[/img]
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    万次阅读 2020-07-01 23:29:52
    正态分布概率密度函数的积分
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空空如也

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