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  • 1.最小路径点覆盖 DAG中选出最小数量的不相交路径(无公共),将所有点覆盖。 求法:将DAG中的拆成出点和入点,构成一个二分图。 则原图的最小路径点覆盖转化到新图中: 1.无公共->每个最多只有一个出度...

    传送门

    1.前置知识

    1.最小路径点覆盖

    DAG中选出最小数量的不相交路径(无公共点),将所有点覆盖。
    求法:将DAG中的点拆成出点和入点,构成一个二分图。
    则原图的最小路径点覆盖转化到新图中:
    1.无公共点->每个点最多只有一个出度一个入度 ->…->新图中的任意两条边之间不相交-> 新图中的边都是匹配边。

    小结论:每个路径终点 对应 一个左侧非匹配点
    <=> 让左侧非匹配点最少 n-m
    <=> 让左侧匹配点最多 m
    <=> 找最大匹配边数 m
    ->二分图最大匹配数 = 总点数-最小路径点覆盖

    2.最小路径重复点覆盖

    相较于最小路径点覆盖,取消了无公共点的限制
    求法:先做一次传递闭包。
    原图G最小路径重复点覆盖==新图G’最小路径点覆盖。
    (证明没怎么看懂 ,wsfw)

    2.题意分析

    求DAG中 选择尽可能多的点,使两点之间不能相互到达。
    等价于求最小路径重复点覆盖。
    最小路径重复点覆盖中的每一条路径,都只能选择一个点。
    最优解也就是每条路径都要选一个点。

    3.代码

    #include <bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    //-----pre_def----
    const double PI = acos(-1.0);
    const int INF = 0x3f3f3f3f;
    typedef long long LL;
    typedef unsigned long long ULL;
    typedef pair<int, int> PII;
    typedef pair<double, double> PDD;
    #define fir(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
    #define rif(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); i--)
    #define endl '\n'
    #define init_h memset(h, -1, sizeof h), idx = 0;
    #define lowbit(x) x &(-x)
    
    //---------------
    const int N = 200 + 10, M = 30010;
    int n, m;
    bool st[N], d[N][N];
    int match[N];
    
    bool find(int u) //匈牙利
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if (d[i][u] && !st[i])
            {
                st[i] = true;
                int t = match[i];
                if (t == 0 || find(t))
                {
                    match[i] = u;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
    
    void init() {}
    int main()
    {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("in.txt", "r", stdin);
        freopen("out.txt", "w", stdout);
        int StartTime = clock();
    #endif
        scanf("%d%d", &n, &m);
        while (m--)
        {
            int a, b;
            scanf("%d%d", &a, &b);
            d[a][b] = true;
        }
        //传递闭包
        fir(k, 1, n)
            fir(i, 1, n)
                fir(j, 1, n)
                    d[i][j] |= d[i][k] & d[k][j];
    
        //求最大匹配
        int res = 0;
        fir(i, 1, n)
        {
            memset(st, 0, sizeof st);
            res += find(i);
        }
        printf("%d\n", n - res);
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        printf("Run_Time = %d ms\n", clock() - StartTime);
    #endif
        return 0;
    }
    

    再战图论

    展开全文
  • 二分图的一些性质: 二分图==染色法不矛盾 == 不存在奇数环 二分图上的最小点覆盖 == 最大匹配数(每条边至少选一点) ...二分图上的最小路径重复点覆盖=先在原图上传递闭包+二分图上的最小互不相交路径点覆盖 ...

    二分图的一些性质:

    • 最大匹配:选一些边,选出的边无公共点
    • 最小点覆盖:用最少的点覆盖边;
    • 最大独立集:选出的点之间没有边
    • 二分图==染色法不矛盾 == 不存在奇数环
    • 二分图上的最小点覆盖 == 最大匹配数(每条边至少选一点)
    • 二分图上最大独立集=总点数-最大匹配数
    • 二分图上的最小互不相交路径点覆盖=点数-最大匹配数
    • 二分图上的最小路径重复点覆盖=先在原图上传递闭包+二分图上的最小互不相交路径点覆盖
    展开全文
  • 而对于最小路径重复点覆盖,则是最小路径点覆盖的一个扩展,允许路径覆盖点的路径有公共点,最小路径重复点覆盖的的求解主要有两个步骤: 求解传递闭包G'(原图为G),传递闭包:如果i-->k有路径,k->j有路径那么i向...

    1. 问题描述:

    Vani 和 cl2 在一片树林里捉迷藏。这片树林里有 N 座房子,M 条有向道路,组成了一张有向无环图。树林里的树非常茂密,足以遮挡视线,但是沿着道路望去,却是视野开阔。如果从房子 A 沿着路走下去能够到达 B,那么在 A 和 B 里的人是能够相互望见的。现在 cl2 要在这 N 座房子里选择 K 座作为藏身点,同时 Vani 也专挑 cl2 作为藏身点的房子进去寻找,为了避免被 Vani 看见,cl2 要求这 K 个藏身点的任意两个之间都没有路径相连。为了让 Vani 更难找到自己,cl2 想知道最多能选出多少个藏身点。

    输入格式

    输入数据的第一行是两个整数 N 和 M。接下来 M 行,每行两个整数 x,y,表示一条从 x 到 y 的有向道路。

    输出格式

    输出一个整数,表示最多能选取的藏身点个数。

    数据范围

    N ≤ 200,M ≤ 30000

    输入样例:

    7 5
    1 2
    3 2
    2 4
    4 5
    4 6

    输出样例:

    3
    来源:https://www.acwing.com/problem/content/description/381/

    2. 思路分析:

    分析题目可以知道已知一个有向图(DAG),让我们从中选择最多的点使得任意两点不能够从一个点走到另外一个点,也即任意两点不可达,并且路径之间允许有交集的,也即可以存在公共点,属于最小路径重复点覆盖问题,最小路径重复点覆盖问题属于最小路径点覆盖问题的一个扩展,最小路径点覆盖又称为最小路径覆盖,是针对于有向无环图来说的,我们希望使用最少的互不相交的路径将所有的点覆盖住(路径中的点是不能够重复的),最小路径点覆盖需要到拆点,这个拆点的方式比较独特:

    原图中存在i-->j的路径则i向j'连一条边,连的边是有向的,但是在具体实现的时候看成是无向边,得到的新图一定是二分图,下面是一个有向无环图的例子:

    在二分图中最小路径点覆盖 = 总点数 - 最大匹配数(res  = n - m),这里的总点数是指左部和右部的总点数之和,每一个点最多有一个出度和入度,每一个点至多在一条路径中,所以一定是一个匹配,其中存在两个关键点:

    • 新图中的路径等价于匹配
    • 路径终点等价于左部的非匹配点

    原图中求解最少互不相交的路径等价于求解新图中左部的最少的非匹配点的数量,等价于让左侧的非匹配点数量最少,等价于让左侧的匹配点最多,等价于在新图中找最大匹配,新图中左部的总点数减去最大匹配的数量就是最小路径点覆盖。而对于最小路径重复点覆盖,则是最小路径点覆盖的一个扩展,允许路径覆盖点的路径有公共点,最小路径重复点覆盖的的求解主要有两个步骤:

    • 求解传递闭包G'(原图为G),传递闭包:如果i-->k有路径,k->j有路径那么i向j一条边
    • 在新图G'求解最小路径覆盖

    也即原图中的最小路径重复点覆盖等价于在新图中求解最小路径点覆盖,其实可以发现这两者是一一对应的关系,对于原图中任意一种覆盖方式都可以转化为新图中不重复的覆盖方式,并且需要的路径数量是相等的,同理右边的覆盖方式也可以对应坐标的覆盖方式,所以原图的路径重复点覆盖等于新图的路径覆盖,最终的答案为最小路径重复点覆盖的数量 = n - 新图中的最大匹配,这个结论的证明还是比较复杂的。如最小路径重复点覆盖有cnt条,那么说明cnt条路线可以将所有的点覆盖住,而我们需要在这里cnt路线上选,并且每一条路径最多只能够选择一个点,也即答案小于等于cnt,接下来就是构造一种方案使得选出的点的数量的等于cnt,说明答案就是cnt。构造的比较独特,这里就没有写如何构造了,知道有一种构造的方式使得最小路径重复点覆盖的数量等于cnt就可以了。

    3. 代码如下:

    from typing import List
    
    
    class Solution:
        # 在新图上求解最小路径覆盖因为求解最小路径覆盖是需要拆点的, 但是在实际的过程中我们并没有拆点, 其实在做完floyd算法之后其实是可以看成拆成了两个点, floyd算法求解完传递闭包之后那么每一个间接到达的边都有一条直接连在一起的边
        def find(self, u: int, n: int, st: List[int], match: List[int], d: List[List[int]]):
            for i in range(1, n + 1):
                if st[i] == 0 and d[u][i] == 1:
                    st[i] = 1
                    if match[i] == -1 or self.find(match[i], n, st, match, d):
                        match[i] = u
                        return True
            return False
    
        def process(self):
            n, m = map(int, input().split())        
            #  因为后面在floyd算法的时候只需要判断两点之间是否有边即可, 不涉及到权重所以在原数组中进行操作也是没有影响的
            g = [[0] * (n + 10) for i in range(n + 10)]
            for i in range(m):
                x, y = map(int, input().split())
                # 有向图
                g[x][y] = 1
            # 题目中的测试数据都是以1开始编号的
            for k in range(1, n + 1):
                for i in range(1, n + 1):
                    for j in range(1, n + 1):
                        # k是i->j的中间点那么i->j连一条边
                        g[i][j] |= 1 if g[i][k] and g[k][j] else 0
            match = [-1] * (n + 10)
            res = 0
            for i in range(1, n + 1):
                st = [0] * (n + 10)
                if self.find(i, n, st, match, g):
                    res += 1
            # 二分图中总点数 - 最大匹配 = 最小路径点覆盖
            return n - res
    
    
    if __name__ == "__main__":
        print(Solution().process())
    展开全文
  • Air Raid + Treasure Exploration 最小边覆盖最小路径覆盖: 有向无环图->二分图 传递闭包

    最小边覆盖

    边覆盖集:通俗地讲,所谓边覆盖集,就是G中所有的顶点都是E*中某条边的邻接顶点(边覆盖顶点),一条边只能覆盖2个顶点。


    注意:在无向图中存在用尽量少的边去“覆盖”住所有的顶点(注意:单独一个点没有与它相连的边,也算作一次边去覆盖这个点),所以边覆盖集有极小与最小的区别。
    极小边覆盖:若边覆盖E*中的任何真子集都不是边覆盖集,则称E*是极小边覆盖集。

    最小边覆盖:边数最小的边覆盖集称为最小边覆盖,通俗地讲,就是极小边覆盖中的最小的一个集合。


    最小边覆盖在二分图中的应用:最小边覆盖 = 最大独立集 = n - 最大匹配,这个是二分图上的一个性质。
    两个很小的点:必须要求原图为二分图;边覆盖集中可能有多条边覆盖同一个顶点,其实可以这条边说是为了覆盖另一个顶点而存在的。

    最小路径覆盖

    用尽量少的不相互交叉简单路径覆盖有向无环图G的所有结点(不交叉指的是原图,而非后来构造的二分图)。即覆盖点(同样地,在路径覆盖中单独一个点没有与它相连的边,也算作一次路径去覆盖这个点)。建立一个二分图模型,把所有顶点i拆成两个:X集中的i和Y集中的i',如果有边i->j,则在二分图中引入边i->j',结果就是最小路径覆盖 = N - 最大匹配数。(N为原图中结点数)

    最小路径覆盖和最小边覆盖不同,不要求给的图是二分图,而是要求是N×N的有向图,且不能有环,然后根据原图构造二分图,构造方法是将点一分为二,如:i分为i`和i``然后如果i和j有边,那么就在i`和j``之间连一条边。由此构成二分图。

    然后最小路径覆盖 = n-m,n为原图的点的个数,m为新造二分图的最大匹配。证明也是特别简单的,根据定义最小路径覆盖里要求同一个点只可以属于一条路径,即路径是不可以开叉的,如果在二分图里选两条有公共点的边那么反应在原图上就是路径有岔路了,所以二分图里选的边必须是无公共交点的,这就是转化到最大匹配了。
    (图片来源)
    上图中,对应左边的DAG建立构造右边的二分图,可以找到二分图的一个最大匹配M:1-3',3-4',那么M中的这两条匹配边怎样对应DAG中的路径的边?
    使二分图中一条边对应DAG中的一条有向边,1-3'对应DAG图中的有向边1->3,这样DAG中1就会有一个后继顶点(3会是1的唯一后继,因为二分图中一个顶点至多关联一条边!),所以1不会成为DAG中一条路径中的结尾顶点,同样,3-4'对应DAG中3->4,3也不会成为结尾顶点,那么原图中总共4个顶点,减去2个有后继的顶点,就剩下没有后继的顶点,即DAG路径的结尾顶点,而每个结尾顶点正好对应DAG中的一条路径,二分图中寻找最大匹配M,就是找到了对应DAG中的非路径结尾顶点的最大数目,那么原图DAG中顶点数-|M|就是DAG中结尾顶点的最小数目,即DAG的最小路径覆盖数.即上图中找到的最小路径覆盖集合为2, 1->3->4。

    若是题目要求可多次经过一个点的最小路径覆盖呢?如下图:

    (图片来源)

    此时构造二分图,得到的匹配答案是2,最小路径覆盖答案便是5-2=3。而对于可多次经过同一点来说正确答案明显是2。

    问题究竟出在哪里呢?其实就和这个交点2有关。既然边有相交,那么他们的连通性也应该连通下去。

    解决的办法是对原图进行一次闭包传递(通过Warshell传递闭包算法),于是便增加了四条边:1->3, 1->5, 4->3, 4->5,然后再去求最小路径覆盖。

    传递闭包概念:

    一个有n个顶点的有向图的传递闭包为:有向图中的初始路径可达情况我们存入邻接矩阵A,邻接矩阵中A[i,j]表示i到j是否直接可达,若直接可达,则A[i,j]记为1,否则记为0;有向图中i到j有路径表示从i点开始经过其他点(或者不经过其他点)能够到达j点,如果i到j有路径,则将T[i,j]设置为1,否则设置为0;有向图的传递闭包表示从邻接矩阵A出发,求的是所有节点间的路径可达情况,该T矩阵就为所要求的传递闭包矩阵。

    这时再求最大匹配数,匹配答案便是3,最小路径覆盖值为2,这是正确答案!


    最小路径覆盖例题1(POJ-1422):

    题意:一个镇里所有的路都是单向路且不会组成回路。派一些伞兵去那个镇里,要能够到达所有的路口,且超过一个 伞兵访问不交叉的路口(visits no intersection),其实题目应该是想表达伞兵访问路径时不能相互交叉,每个路口只能访问一次。每个在一个路口着陆了的伞兵可以沿着街去到其他路口。我们的任务是求出去执行任务的伞兵最少可以是多少个。

    代码:

    #include <algorithm>
    #include <string.h>
    #include <cstdio>
    using namespace std;
    const int maxn = 250;
    const int maxm = maxn*maxn;
    const int BAS = 120;
    struct node
    {
    	int v, next;
    } edge[maxm];
    int no, head[maxn];
    int n, m, ans;
    int match[maxn], vis[maxn];
    inline void init()
    {
    	no = 0; ans = 0;
    	memset(head, -1, sizeof head);
    	memset(match, -1, sizeof match);
    }
    inline void add(int u, int v)
    {
    	edge[no].v = v;
    	edge[no].next = head[u];
    	head[u] = no++;
    }
    int dfs(int cur)
    {
    	for(int k = head[cur]; k != -1; k = edge[k].next)
    	{
    		if(vis[edge[k].v]) continue;
    		vis[edge[k].v] = 1;
    		if(match[edge[k].v] == -1 || dfs(match[edge[k].v]))
    		{
    			match[edge[k].v] = cur;
    			return 1;
    		}
    	} 
    	return 0;
    }
    int main()
    {
    	int t, u, v;
    	scanf("%d", &t);
    	while(t--)
    	{
    		scanf("%d %d", &n, &m); init();
    		for(int i = 1; i <= m; ++i)
    		{
    			scanf("%d %d", &u, &v);
    			add(u, BAS+v);
    		}
    		for(int i = 1; i <= n; ++i)
    		{
    			memset(vis, 0, sizeof vis);
    			if(dfs(i)) ++ans;
    		}
    		printf("%d\n", n-ans);
    	}
    	return 0;
    }

    最小路径覆盖例题2(POJ-2594):

    题意:给一个有向无环图,有n个点,m条有向边。一个机器人可以从任意点开始沿着边的方向走下去。对于每一个机器人:走过的点不能再走过。对于每个点可被多个机器人走。问你最少用几个机器人可以走完所有的n个点,不同的机器人可以走相同的点(two different robots may contain some same point)。

    分析:路径可以相互交叉,所以就是最小路径覆盖+Warshell传递闭包。

    代码:

    #include <string.h>
    #include <cstdio>
    using namespace std;
    const int maxn = 505;
    bool G[maxn][maxn];
    int match[maxn], vis[maxn]; 
    int n, m;
    void Warshell()
    {
    	//进行求解最小路径覆盖问题前提是有向无环图
    	//所以不会出现传递闭包形成G[i][i]=1的情况 
    	for(int i = 1; i <= n; ++i)
    	for(int j = 1; j <= n; ++j)
    	if(!G[i][j])
    	for(int k = 1; k <= n; ++k)
    	if(G[i][k] && G[k][j])
    	{
    		G[i][j] = 1;
    		break;
    	}
    }
    int dfs(int cur)
    {
    	for(int i = 1; i <= n; ++i)
    	{
    		if(!G[cur][i] || vis[i]) continue;
    		vis[i] = 1;
    		if(match[i] == -1 || dfs(match[i]))
    		{
    			match[i] = cur;
    			return 1;
    		}
    	}
    	return 0;
    }
    int main()
    {
    	int u, v, ans;
    	while(scanf("%d %d", &n, &m) && (n || m))
    	{
    		memset(G, 0, sizeof G);
    		memset(match, -1, sizeof match);
    		for(int i = 1; i <= m; ++i)
    		{
    			scanf("%d %d", &u, &v);
    			G[u][v] = 1;
    		}
    		Warshell(); ans = 0;
    		for(int i = 1; i <= n; ++i)
    		{
    			memset(vis, 0, sizeof vis);
    			if(dfs(i)) ++ans;
    		}
    		printf("%d\n", n-ans);
    	}
    	return 0;
    }

    继续加油~

    展开全文
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  • 思路:该题是一个最小路径覆盖的问题,(最小路径算法的介绍请看:点击打开链接),由于可能有环所以要用tarjian算法找出环并缩,因为该题说可以重复 经过一个顶点,所以我们要在求最小路径覆盖之前要先预处
  • 思路:最小路径覆盖问题的变种,经典的最小路径覆盖问题中要求不同路径之间不可以有相同的,而这道题可以。 其实这样只需要在原图上新建几条边就可以转化为一般的路径覆盖问题,将原图中任意两个可达之间建立一...
  • 小甲鱼零基础入门学习python笔记

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    004 改进我们的小游戏 •第一个改进要求:猜错的时候程序提示用户当前的输入比答案大了还是小了 与操作and •第二个改进要求:程序应该提供多次机会给用户猜测,专业来讲就是程序需要重复运行某些代码。...
  • §4二分图最小路径覆盖求解 §5二分图带权最优匹配求解 Kuhn-Munkers算法 §6小结 每章节都详细地讲解了问题介绍,算法原理和分析,算法流程,算法实现四部分内容,力求彻底解决问题。  
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  • 题意:一个矩形中,有n个城市‘*’...思路:求二分图的最小路径覆盖(无向图) 最小路径覆盖=点数-最大匹配数 注:因为为无向图,每个顶点被算了两次,最大匹配为原本的两倍, 因此此时最小路径覆盖=点数-最大匹配数/2
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    145 ⑵自顶向下的单元测试策略 146 ⑶自底向上的单元测试方法 147 单元测试用例设计(基本路径覆盖法)★ (面试) 148 程序控制流图 148 单元测试执行 150 单元测试框架 151 第十八章 集成测试 153 第一阶段总结 ...
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  • 题意:在一个有向无环图中,从一些顶点出发,能遍历到图上所有,要求初始选择的顶点数最少且顶点不重复遍历。 思路: 如果从某个顶点开始遍历的过程看成是路径的选择,那么问题...在有向无环图中,最小路径覆盖数 =
  • 2021年前端面试题及答案

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    前端面试汇总(2020年) 一 大纲 1、前言 ...8、*前端基础知识面试题 9、前端技术栈问题 前言 由于新冠肺炎疫情,现在成天呆在家里,加上也要准备面试,就在家里看面试题...
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  • -----------------------------------------------------...在一个二分图中,能够选取的最大的的集合,其中的任意两个相互都不连接 我的理解: 首先定义两个点集,一个点集命名为S,就是最大独立点集,另一个点集命
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空空如也

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最小路径重复点覆盖