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  • 标准正交向量组
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    2019-06-03 13:16:40

    矩阵相关知识

    两个向量正交是指它们的内积等于0,两个向量的内积是它们对应分量的乘积之和

    正交矩阵定义:
    如果:AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”。)或A^TA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为正交阵,则满足以下条件 :
    1)A^T是正交矩阵
    2)E为单位矩阵
    3)A的各行是单位向量且两两正交
    4)A的各列是单位向量且两两正交
    5)(Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
    6)|A|=1或-1
    7)

    8)正交矩阵通常用字母Q表示。
    (9)举例:
    若A=[r11r12r13;r21r22r23;r31r32r33],则有:

    1.正交向量组
    直接给定义:欧式空间V的一组非零向量,如果他们俩俩向量正交,则称是一个正交向量组。
    (1)正交向量组 是 线性无关的
    (2)n维欧式空间中俩俩正交的非零向量不会超过n个,即n维欧式空间中一个正交向量组最多n个向量

    2.正交基
    在n维欧式空间中,由n个非零向量组成的正交向量组称为正交基

    3.标准正交基
    在n维欧式空间中,由n个单位向量组成的正交向量组称为标准正交基
    比如3维欧式空间中,
    (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个正交向量组,因为他们俩俩向量正交
    (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个正交基,因为此正交向量组由n个非零向量组成
    (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个标准正交基,因为每个向量都是单位向量

    4.单位矩阵
    如果一个矩阵满足一下几个条件,它就是一个单位矩阵,记作E或者I:
    (1)是一个方阵
    (2)主对角线上的元素都是1(主对角线是从左上到右下的对角线)
    (3)除了主对角线,其他位置的元素都是0
    如下就是一个3阶单位矩阵
    [[1 0 0]
    [0 1 0]
    [0 0 1]]

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  • 1. 正交向量组的定义 2. 正交的判定 3. 正交向量组必然线性无关,线性无关向量组未必是正交向量组 4. 正交向量组求解示例 5. 标准正交向量组的定义 ...

     

    1. 正交向量组的定义

     

    2. 正交的判定

     

    3. 正交向量组必然线性无关,线性无关向量组未必是正交向量组

     

    4. 正交向量组求解示例

     

    5. 标准正交向量组的定义

     

    展开全文
  • 使用python的数值计算库numpy来计算矩阵的特征值,特征向量与标准正交向量组import numpy as np1.求矩阵的特征值和各特征值所对应的特征向量x = np.array([[-1,0,1],[1,2,0],[-4,0,3]])a,b=np.linalg.eig(x) ##特征...

    使用python的数值计算库numpy来计算矩阵的特征值,特征向量与标准正交向量组

    import numpy as np

    1.求矩阵

    的特征值和各特征值所对应的特征向量

    x = np.array([[-1,0,1],[1,2,0],[-4,0,3]])

    a,b=np.linalg.eig(x) ##特征值赋值给a,对应特征向量赋值给b

    for i in range(len(a)):

    print('特征值',a[i],'对应特征向量为',b[:,i])

    特征值 2.0 对应特征向量为 [0. 1. 0.]

    特征值 1.0 对应特征向量为 [ 0.40824829 -0.40824829 0.81649658]

    特征值 1.0 对应特征向量为 [-0.40824829 0.40824829 -0.81649658]

    2.求矩阵

    的特征值和各特征值所对应的特征向量

    x = np.array([[1,-2,2],[-2,-2,4],[2,4,-2]])

    a,b=np.linalg.eig(x) ##特征值赋值给a,对应特征向量赋值给b

    for i in range(len(a)):

    print('特征值',a[i],'对应特征向量为',b[:,i])

    特征值 2.000000000000001 对应特征向量为 [ 0.94280904 -0.23570226 0.23570226]

    特征值 -6.999999999999997 对应特征向量为 [-0.33333333 -0.66666667 0.66666667]

    特征值 1.9999999999999993 对应特征向量为 [-0.0232036 0.7126935 0.7010917]

    3.由向量组

    构造一组标准正交向量组

    print('循环')

    a = np.array([[0,1,0],[0,-1,1],[1,-1,2]])

    b = np.zeros(a.shape)

    #正交化

    for i in range(len(a)):

    b[i] = a[i]

    for j in range(0,i):

    b[i] -= np.dot(a[i],b[j])/np.dot(b[j],b[j])*b[j]

    #归一化

    for i in range(len(b)):

    b[i] = b[i]/np.sqrt(np.dot(b[i],b[i]))

    print(b)

    循环

    [[0. 1. 0.]

    [0. 0. 1.]

    [1. 0. 0.]]

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  • 正交向量组

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    1.正交向量组

    链接:https://blog.csdn.net/u012421852/article/details/80475497
    直接给定义:欧式空间V的一组非零向量,如果他们俩俩向量正交,则称是一个正交向量组。

    (1)正交向量组 是 线性无关的

    (2)n维欧式空间中俩俩正交的非零向量不会超过n个,即n维欧式空间中一个正交向量组最多n个向量

    2.正交基

    在n维欧式空间中,由n个非零向量组成的正交向量组称为正交基

    3.标准正交基

    在n维欧式空间中,由n个单位向量组成的正交向量组称为标准正交基

    比如3维欧式空间中,

    (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个正交向量组,因为他们俩俩向量正交

    (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个正交基,因为此正交向量组由n个非零向量组成

    (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个标准正交基,因为每个向量都是单位向量

    4.单位矩阵

    如果一个矩阵满足一下几个条件,它就是一个单位矩阵,记作E或者I:

    (1)是一个方阵

    (2)主对角线上的元素都是1(主对角线是从左上到右下的对角线)

    (3)除了主对角线,其他位置的元素都是0

    如下就是一个3阶单位矩阵

    [[1 0 0]
    [0 1 0]
    [0 0 1]]

    4.正交矩阵

    The orthogonal matrix,正交矩阵,如果一个矩阵满足以下几个条件,则此矩阵就是正交矩阵:

    (1)是一个方阵

    (2)和自己的转置矩阵的矩阵乘积 = 单位矩阵E

    如果A为一个正交矩阵,则A满足以下条件:

    1. A的转置矩阵也是正交矩阵

    2. A A T = A T A = E AA^T=A^TA=E AAT=ATA=E (E为单位矩阵)

    3. A的各行是单位向量且两两正交

    4. A的各列是单位向量且两两正交

    5. (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R

    6. |A| = 1或-1

    7. A T = A − 1 A^T=A^{-1} AT=A1,A的转置矩阵等于A的逆矩阵

    5.正交变换

    内积定义:u,v的内积=|u||v|cos<u,v>

    在线性代数中,正交变换是线性变换的一种,它从实内积空间V映射到V自身,且保证变换前后内积不变。

    因为向量的模长与夹角都是用内积定义的,所以正交变换前后一对向量各自的模长和他们的夹角都不变。

    特别地:标准正交基经正交变换后仍为标准正交基。

    欧式空间V中的正交变换只包含:

    (1)旋转

    (2)反射

    (3)旋转+反射的组合(即瑕旋转)

    展开全文
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  • 标准化基底。
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空空如也

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标准正交向量组

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