本篇我们来证明一个常见的优美的积分等式，聪明你是否看出如下等式曾在哪里出现过呢？没错如下和正态分布中概率密度函数很像。但我们仅从积分学的角度来分析正面它。·证明它灵活的数学技巧，你准备好了吗？
因为e^-x^2是关于x的偶函数，所以我们明显可以想到
所以你只需要证明，学过概率论与数理统计的朋友，应该很熟悉这个式子
根据泰勒公式我们得到
所以当x不等于0时，e^>1+x,将x换成x^2或者-x^2可得，可得
所以很快得到一个等式
那么对于任意的自然数n，我们有
分别加上积分符号，得到：
所以根据广义积分的收敛你可以轻易得到：
为了让大家更好理解，我还是补充上上述等式的来源
为了求解上述不等式两边的积分值，我们首先假设x=cot(t)=1/tant中的积分变量x替换成t，cot(t)是区间(0,π/2)上关于t的连续可微函数，因为0
同理，若x=cost, 0
另一方面，根据变量变换
我们得到
则上面的开头得到的积分不等式就变成了
根据类似于斯特林公式可得到(如有必要会有专门文章解说)
因此
对上式进行变换x=t/2^1/2,则可得
即
这个就是数学中标准正态分布的概率密度公式。

概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值在某一个确定的取值点附近的可能性的函数。
而随机变量的取值落某个点的概率 是零
落在在某个区域之内的概率则是概率密度函数在这个区域上的积分。

分布函数F(X)的一阶导数为概率密度函数
分布函数F(X)


定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{X≤x}



  物质的双体分布函数示意图

称为X的分布函数。有时也记为X~F(x)


　　对于任意实数x1,x2(x1<x2),有


　　P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1),


　　P{X≥x1}=1-P{X≤x1}=1-F(x1),


http://www.docin.com/p-292148698.html
正态分布的 密度函数 和分布函数


正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。 
标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的μ和σ2为0和1，通常用 （或Z）表示服从标准正态分布的变量，记为 Z～N（0，1）。

正态分布概率密度函数的积分

$\begin{aligned}
I = \int _{- \infty} ^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e ^ {- \frac{(x - \mu) ^2}{2 \sigma ^ 2}} dx 
\end{aligned}$
指数中包含二次项，无法直接求解，需要做一些变换。
夹逼定理
$F(x), G(x)$在$x_0$连续且极限相同,即

$\begin{aligned}
\lim_{x \to x_0}F(x) = \lim_{x \to x_0}G(x) = A
\end{aligned}$
$f(x)$在$x_0$的某领域内恒有

$F(x) \le f(x) \le G(x)$
则

$\begin{aligned} \lim_{x \to x_0}f(x) = A \end{aligned}$
二重积分的换元法
$\begin{aligned}
&\iint_{x^2+y^2 \le R^2} f(x, y)dxdy \\
= &\int_0^R \int_0^{2\pi} f(rsin\theta, rcos\theta) \ r \ dr d\theta
\end{aligned}$
正态分布概率密度函数的积分
(1) 令$\begin{aligned} y = \frac{x - \mu}{\sqrt{2} \sigma} \end{aligned}$, 得到 $\begin{aligned}
I  = \frac {1}{\sqrt{\pi}} \int _{-\infty} ^{\infty} e ^ {- y^2} dy
\end{aligned}$
(2) 令$\begin{aligned} U  = \int _{-\infty} ^{\infty} e ^ {- y^2} dy \end{aligned}$, 则$\begin{aligned} I  = \frac {1}{\sqrt{\pi}} U \end{aligned}$
(3) $\begin{aligned} U  = \lim_{R \to \infty} \int _{-R} ^{R} e ^ {- y^2} dy \end{aligned}$
(4) 转换为正方形区域内的二重积分

$\begin{aligned}
U^2  &= \lim_{R \to \infty} \int _{-R} ^{R} e ^ {- x^2} dx \int _{-R} ^{R} e ^ {- y^2} dy \\
&=  \lim_{R \to \infty} \int _{-R} ^{R}\int _{-R} ^{R} e ^ {- x^2-y^2} dx dy \\
&=  \lim_{R \to \infty} \iint _{-R \le x \le R, -R \le y \le R} e ^ {- x^2-y^2} dx dy
\end{aligned}$

(5) 内切圆积分

$\begin{aligned}
U1  &=  \lim_{R \to \infty} \iint _{x^2+y^2 \le R^2} e ^ {- x^2-y^2} dx dy \\
&= \lim_{R \to \infty} \int _{0}^{R} \int_{0}^{2 \pi} e ^ {- r^2} r \ dr d\theta \\
&= \int_{0}^{2 \pi} d\theta \times \lim_{R \to \infty} \int _{0}^{R}  e ^ {- r^2} r \ dr \\
&= 2 \pi \int _{0}^{\infty}  e ^ {- r^2} r \ dr \\
&= 2 \pi (- \frac{1}{2} e ^ {- r^2} |_0^\infty) \\
&= \pi
\end{aligned}$
(5) 外接圆积分

$\begin{aligned}
U2  &=  \lim_{R \to \infty} \iint _{x^2+y^2 \le 2R^2} e ^ {- x^2-y^2} dx dy \\
&= \lim_{R \to \infty} \int _{0}^{\sqrt{2}R} \int_{0}^{2 \pi} e ^ {- r^2} r \ dr d\theta \\
&= \int_{0}^{2 \pi} d\theta \times \lim_{R \to \infty} \int _{0}^{\sqrt{2}R}  e ^ {- r^2} r \ dr \\
&= 2 \pi \int _{0}^{\infty}  e ^ {- r^2} r \ dr \\
&= 2 \pi (- \frac{1}{2} e ^ {- r^2} |_0^\infty) \\
&= \pi
\end{aligned}$
(6)$e ^ {- x^2-y^2}$在整个平面上都大于0，因此有

$\begin{aligned}
&\iint _{x^2+y^2 \le R^2} e ^ {- x^2-y^2} dx dy \\
\lt &\iint _{-R \le x \le R, -R \le y \le R} e ^ {- x^2-y^2} dx dy \\
\lt &\iint _{x^2+y^2 \le 2R^2} e ^ {- x^2-y^2} dx dy
\end{aligned}$
夹逼定理可得$U^2 = U1 = U2 = \pi$

因此$\begin{aligned}U=\sqrt{\pi}, I  = \frac {1}{\sqrt{\pi}} U  = 1 \end{aligned}$

标准正态分布的分布函数 Φ(x)Φ(x) 可以说是统计计算中非常重要的一个函数，基本上有正态分布的地方都或多或少会用上它。在一些特定的问题中，我们需要大量多次地计算这个函数的取值，比如我经常需要算正态分布与另一个随机变量之和的分布，这时候就需要用到数值积分，而被积函数就包含 Φ(x)Φ(x)。如果 Z?N(0,1),X?f(x)Z?N(0,1),X?f(x)，ff 是 XX 的密度函数，那么 Z+XZ+X 的分布函数就是
P(Z+X≤t)=∫+∞?∞Φ(t?x)f(x)dxP(Z+X≤t)=∫?∞+∞Φ(t?x)f(x)dx
我们知道，Φ(x)Φ(x) 没有简单的显式表达式，所以它需要用一定的数值方法进行计算。在大部分的科学计算软件中，计算的精度往往是第一位的，因此其算法一般会比较复杂。当这个函数需要被计算成千上万次的时候，速度可能就成为了一个瓶颈。
当然有问题就会有对策，一种常见的做法是略微放弃一些精度，以换取更简单的计算。在大部分实际应用中，一个合理的误差大小，例如 10?710?7，一般就足够了。在这篇文章中，给大家介绍两种简单的方法，它们都比R中自带的 pnorm() 更快，且误差都控制在 10?710?7 的级别。
第一种办法来自于经典参考书 Abramowitz and Stegun: Handbook of Mathematical Functions
的公式 26.2.17。其基本思想是把 Φ(x)Φ(x) 表达成正态密度函数 ?(x)?(x) 和一个有理函数的乘积。这种办法可以保证误差小于 7.5×10?87.5×10?8，一段C++实现可以在这里找到。(代码中的常数与书中的略有区别，是因为代码是针对误差函数 erf(x)erf(x) 编写的，它与 Φ(x)Φ(x) 相差一些常数)
我们来对比一下这种方法与R中 pnorm() 的速度，并验证其精度。
library(Rcpp)  sourceCpp("test_as26217.cpp")    x = seq(-6, 6, by = 1e-6)  system.time(y 
可以看出，A&S 26.2.17 的速度大约是 pnorm() 的三倍，且误差也在预定的范围里，是对计算效率的一次巨大提升。
那么还有没有可能更快呢？答案是肯定的，而且你其实已经多次使用过这种方法了。怎么，不相信？看看下面这张图，你就明白了。
没错，这种更快的方法其实就是两个字：查表。它的基本想法是，我们预先计算好一系列的函数取值 (xi,Φ(xi))(xi,Φ(xi))，然后当我们需要计算某个点 x0x0 时，就找到离它最近的两个点 xkxk 和 xk+1xk+1，再用线性插值的方法得到 Φ(x0)Φ(x0) 的近似取值：
Φ(x0)≈x0?xkxk+1?xkΦ(xi+1)+xk+1?x0xk+1?xkΦ(xi)Φ(x0)≈x0?xkxk+1?xkΦ(xi+1)+xk+1?x0xk+1?xkΦ(xi)
什么？觉得这个方法太简单了？先别急，这里面还有不少学问。之前我们说了，我们需要保证这种方法的误差不超过 ?=10?7?=10?7，因此就需要合理地选择预先计算的点。由于 Φ(?x)=1?Φ(x)Φ(?x)=1?Φ(x)，我们暂且只需要考虑 xx 为正的情况。如果让 xi=ih,i=0,1,…,Nxi=ih,i=0,1,…,N，那么对函数 ff 进行线性插值的误差将不超过(来源)
E(x)≤18∥f′′∥∞h2E(x)≤18∥f″∥∞h2
其中 ∥f′′∥∞∥f″∥∞ 是函数二阶导绝对值的最大值。对于正态分布函数来说，它等于 ?(1)≈0.242?(1)≈0.242。于是令 E(x)=10?7E(x)=10?7，我们就可以解出 h≈0.001818h≈0.001818。最后，只要 xN>5.199xN>5.199，即 N≥2860N≥2860 并另所有 x>xNx>xN 的取值等于1，就可以保证整个实数域上 Φ(x)Φ(x) 的近似误差都不超过 10?710?7。
这种简单方法的实现我放在了 Github 上，源程序和测试代码也可以在文章最后找到。下面给出它的表现：
library(Rcpp)  sourceCpp("test_fastncdf.cpp")    x = seq(-6, 6, by = 1e-6)  system.time(fasty 
与之前的结果相比，相当于速度是 pnorm() 的15倍！
我们似乎一直以为，在计算机和统计软件普及以后，一些传统的做法就会慢慢被淘汰，例如现在除了考试，或许大部分的时间我们都是在用软件而不是正态概率表。从教学与实际应用的角度来看，这种做法是应该进行推广和普及的，但这也不妨碍我们从一些“旧知识”中汲取营养。关于这种大巧若拙的做法的故事还有很多，比如广为流传的这一则。在计算资源匮乏的年代，科学家们想出了各种巧妙的办法来解决他们遇到的各种问题。现如今计算机的性能已经远不是当年可以媲迹，但前人的很多智慧却依然穿透了时间来为现在的我们提供帮助，不得不说这也是一种缘分吧。
来自：统计之都
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