精华内容
下载资源
问答
  • 矩阵可对角化的条件

    2020-05-29 21:04:36
    那么对于有重根,不能对角化的矩阵怎么办?这就引入了Jordan标准型的故事。 因此从应用的角度来说,线性代数最重要的就是矩阵的对角化。由矩阵对角化的推广就引出了奇异值分解和Jordan标准型。 ...

     

     

     

     

    总结:对于任意方阵,如果没有重根,矩阵总是可以对角化。麻烦的是重根问题 

    如果有重根,那么需要验证所谓几何重数,与代数重数相等。

    那么对于有重根,不能对角化的矩阵怎么办?这就引入了Jordan标准型的故事。

     

     

    因此从应用的角度来说,线性代数最重要的就是矩阵的对角化。由矩阵对角化的推广就引出了奇异值分解和Jordan标准型。

     

    展开全文
  • 矩阵可相似对角化的条件

    万次阅读 2020-06-20 16:40:27
    矩阵可以对角化的条件为有n个线性无关的特征向量,具体判断为 1.实对称矩阵必定可以相似对角化 2.如果特征值两两互不相同或,那么也可以立马断定矩阵可以相似对角化 3.如果有k重特征值λ,那么n-r(λE-A)=k,因为...

    矩阵可以对角化的条件为有n个线性无关的特征向量,具体判断为

    1.实对称矩阵必定可以相似对角化

    2.如果特征值两两互不相同或,那么也可以立马断定矩阵可以相似对角化

    3.如果有k重特征值λ,那么n-r(λE-A)=k,因为只有这个等式成立,才能说明特征值取λ时有k个线性无关的解向量,即特征向量

    展开全文
  • 矩阵可对角化的充要条件及证明

    万次阅读 2018-08-04 22:37:04
    n*n阶矩阵A可对角化的充分必要条件矩阵A有n个线性无关的特征向量。 充分性证明: 设A的n个线性无关的特征向量为,对应的特征值为,特征向量构成矩阵P=[].则: 将对角矩阵记为D,则上式可化简为AP = PD。因为n...

    对角化:若方阵A相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵P和对角矩阵D,有A = PDP^{-1},则称A可对角化。

    可对角化的充要条件

    n*n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。

    充分性证明

    设A的n个线性无关的特征向量为\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n},对应的特征值为\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n},特征向量构成矩阵P=[\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}].则:

    AP = A[\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}] = [A\alpha _{1},A\alpha _{2},...,A\alpha _{n}] = [\lambda _{1}\alpha _{1},\lambda _{2}\alpha _{2},...,\lambda _{n}\alpha _{n}] = [\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & . & . & 0\\ 0 & \lambda _{2} & . & . & .\\ . & .& . & . &. \\ .& . & . & . &0 \\ 0& . & . & 0& \lambda _{n} \end{bmatrix} = P\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & . & . & 0\\ 0 & \lambda _{2} & . & . & .\\ . & .& . & . &. \\ .& . & . & . &0 \\ 0& . & . & 0& \lambda _{n} \end{bmatrix}

    将对角矩阵\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & . & . & 0\\ 0 & \lambda _{2} & . & . & .\\ . & .& . & . &. \\ .& . & . & . &0 \\ 0& . & . & 0& \lambda _{n} \end{bmatrix}记为D,则上式可化简为AP = PD。因为n个特征向量线性无关,所以P=[\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]可逆,所以A = PDP^{-1},即A可对角化。

    必要性证明

    A可对角化,即A = PDP^{-1},可得AP = PD.

    设P的列元素为\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n},即P=[\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}],设对角矩阵D为\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & . & . & 0\\ 0 & \lambda _{2} & . & . & .\\ . & .& . & . &. \\ .& . & . & . &0 \\ 0& . & . & 0& \lambda _{n} \end{bmatrix}.

    则:

    PD = [\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & . & . & 0\\ 0 & \lambda _{2} & . & . & .\\ . & .& . & . &. \\ .& . & . & . &0 \\ 0& . & . & 0& \lambda _{n} \end{bmatrix}= [\lambda _{1}\alpha _{1},\lambda _{2}\alpha _{2},...,\lambda _{n}\alpha _{n}]

    由AP = PD得:A\alpha _{1} = \lambda _{1}\alpha _{1},A\alpha _{2} = \lambda _{2}\alpha _{2},...,A\alpha _{n} = \lambda _{n}\alpha _{n}.因为P可逆,显然\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}都不为0,所以\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}是A的特征值,\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}是A的特征向量且线性无关。得证。

    微信交流
    多谢打赏

    参考资料:David.C.Lay《线性代数及其应用》

    展开全文
  • 矩阵可对角化条件

    千次阅读 2019-08-31 16:21:28
    文章目录充要条件①定理2t充要条件②充要条件③ 充要条件① AAA有nnn个线性无关特征向量α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_nα1​,α2​,...,αn​,此时令P=(α1,α2,...,αn)P=(\alpha_1,\alpha_2,.....

    充要条件①

    AAnn个线性无关的特征向量α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n,此时令P=(α1,α2,...,αn)P=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)P1AP=diag{λ1,...,λn}P^{-1}AP=diag\{\lambda_1,...,\lambda_n\}

    • λi\lambda_iαi\alpha_i所属的特征向量
    • diag{λ1,...,λn}diag\{\lambda_1,...,\lambda_n\}称为AA的相似标准形
    • 除了对角矩阵元素的排列次序可变动,AA的相似标准形是唯一的

    定理2

    λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2是数域KK上的nn级矩阵AA得到不同特征值,α1,α2,...,αsβ1,...,βr\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s和\beta_1,...,\beta_r分别是AA的属于λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2的线性无关的特征向量,则α1,α2,...,αs,β1,...,βr\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,...,\beta_r线性无关
    怎么证呢?

    即:矩阵的特征值不同,对应的特征向量线性无关

    充要条件②

    AA的属于不同特征值的特征子空间维数之和=n=n,即r1+r2+...+rm=nr_1+r_2+...+r_m=n

    充要条件③

    AA的特征多项式的全部复根都K\in K,且AA的每个特征值的=几何重数=代数重数

    • 可以用这个条件推不可对角化:
      • AA的特征多项式若有一个复根K\notin K
      • 有一个特征值的几何重数<代数重数
    展开全文
  • 关于rank-one矩阵可对角化的充要条件 首先,回顾一下可对角化的定义 另外,这里的幂零矩阵指的就算Jordan块肩上的部分(对角线元素为0),矩阵分析中已证明这种矩阵的幂次方等于0,当幂指数大于某一个值的时候。 ...
  • 矩阵可对角化的那些事——blog2

    千次阅读 2021-03-19 09:40:52
    昨天在看Numerical opimization 中证明Kantorovich不等式时需要用到高等代数中矩阵可对角化的一些知识,但是自己似乎对于它的记忆有些模糊了,所以重新回顾了一下。怕自己今后忘记,又到处费劲找资料,便打算写
  • Theorem: 对于 的矩阵 ,当其满足如下条件时可以对角化:具有 个各不相同特征值(Eigenvalue)有重特征值,但是代数重数(Algebraic Multiplicity)和几何重数(Geometric Multiplicity)相同Proof:先证明条件1,假设...
  • 实对称矩阵的PPP除了满足可逆之外,还是正交矩阵 特征值篇4——实对称矩阵的特殊性 正规矩阵的PPP除了满足可逆之外,还是酉矩阵 酉相似于对角充要条件
  • 以上是矩阵相似对角阵情况,下面介绍线性变换相似对角化问题。 数学归纳法有s-1个向量线性无关证明s个向量线性无关。 为啥是线性变化核子空间? 对于每个特征值对应特征向向量个数 ...
  • 矩阵可逆的条件: 1 秩等于行数 2 行列式不为0,即|A|≠0 3 行向量(或列向量)是线性无关组 4 存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵 5 齐次线性方程组AX=0 仅有...特征值、特征向量与可对角化条件: 定义:设A 是数域F
  • 相似矩阵矩阵的相似对角化

    万次阅读 2016-10-19 19:12:47
    相似矩阵的定义A,B都是n阶矩阵。若存在可逆矩阵P,使得P−1AP=BP^{-1}AP=B,则称A相似于B,记作A∼BA \sim B。...矩阵可相似对角化的充要条件 n阶矩阵A可对角化 ⟺\Longleftrightarrow A有n个线性无关的特征向
  • 线性代数笔记8:矩阵的对角化

    万次阅读 多人点赞 2018-04-02 21:33:36
    定义一:若存在可逆矩阵SSS,使得S−1ASS−1ASS^{-1}AS为对角矩阵,则称为矩阵AAA是可对角化的(diagonalized)。 设n×nn×nn\times n矩阵有nnn个线性无关的特征向量x1,...,xnx1,...,xnx_1,...,x_n,令S=(x1,...,...
  • 所以同学们必须学会如何判断一个矩阵可对角化,现把该部分的知识点总结如下:★一般方阵的相似对角化理论这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件,会判断给定的矩阵是否可以相似对角化,另外还要会矩阵相似对角化的...
  • 实对称矩阵正交对角化证明

    千次阅读 2018-08-05 13:36:26
    n阶矩阵A正交对角化的充分条件是A是实对称矩阵,即若A是实对称矩阵则A必正交对角化。 首先,有以下定理: 若的特征值为,且,则存在正交矩阵Q,使A相似于如下三角矩阵: 证明如下(数学归纳法): 设n*n阶...
  • 也就是说, AB=BAAB=BAAB=BA 是 两个可对角化矩阵 A 与 B 具有相同特征向量充分且必要条件。 先证 必要性: 假设可对角化矩阵 A 与 B 具有相同特征向量,那么 A 与 B 拥有相同对角化矩阵 S (由特征向量构成)...
  • 一.线性映射的矩阵表示 1.线性映射的矩阵表示 2.Hom(V,V′)Hom(V,V')Hom(V,V′)与Ms×n(F)M_{s×n}(F)Ms×n​(F)的关系 3.向量在线性映射下的象的坐标 4.线性变换在不同基下的矩阵间的...2.线性变换可对角化的条件 ...
  • 重点 对角化 把A特征向量 放到一起得到 矩阵S。 和A相乘: 再分解一下: 只要A有n个不相关特征向量,那么下面公式就成立: ...可对角化条件 A is sure to have n eigen values(and be diagonaligab...
  • 矩阵的相似

    千次阅读 2019-08-28 18:15:05
    文章目录相似定义性质~迹的定义性质~可对角化的定义可对角化的充要条件证明 原来矩阵的相似当时的初衷是为了更好的计算AmA^mAm啊,才知道,这下就不要把矩阵的相抵和相似搞混了吧! 相似定义 A,BA,BA,B都是数域KKK...
  • -特征值和特征向量_thompson的博客-CSDN博客​blog.csdn.net特征值篇2——特征子空间特征值篇2--特征子空间_thompson的博客-CSDN博客​blog.csdn.net特征值篇3——矩阵可相似对角化的充要条件特征值篇3--矩阵可相似...
  • 此时若B矩阵为对角阵,则称矩阵A可对角化。 那么此时我们要求相似变化矩阵P应该满足什么条件呢?  假设把P用其列向量表示为: 那么由,两边同时左乘P得,即得 于是得:  由该定理相应得到下面推论: 注意...
  • (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似对角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2.教学重点: (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵...
  • 正交矩阵、正规矩阵和酉矩阵

    万次阅读 2012-03-31 10:09:30
    矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法:任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵,反过来所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵矩阵都是正规矩阵。 在复系数矩阵中,所有的酉矩阵、埃尔
  • 嵌套对角线Bethe ansatz被广义以研究与SUq(3)R-矩阵和一般积非对角线边界条件相关量子自旋链。 通过使用融合技术,可以得出在不均匀点处融合传递矩阵之间某些封闭算子身份。 详细给出了传递矩阵的...
  • 特征值相同两个矩阵是否相似

    千次阅读 2019-09-02 11:26:03
    特征值相同而且均可对角化 的话,不就都可以对角化为一个对角矩阵(对角元为特征值) A~B C~B 则A~C 合同的条件 两个矩阵A和B,存在满秩矩阵P,P的转置乘A乘P等于B,二者合同。 特殊考虑情况 对称矩阵的不同的...
  • 矩阵的特征值和特征向量

    千次阅读 2015-03-20 14:29:01
    (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似对角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2.教学重点: (1) 会求矩阵的特征值与特征向量.
  • 我们最理想的矩阵就是相似对角化的矩阵,直接可以分解成两个酉矩阵和一个对角矩阵的形式,那么如果一个矩阵不符合相似对角化的条件应该怎么解决呢?这里提出Jordan分解,提供了对不相似对角化矩阵分解的解决...
  • 矩阵谱分解关于谱分解有很多定义,主要区别在于条件的强弱,有要求一个nn阶矩阵不仅要求可对角化,而且加强条件至其nn个特征值λ1,λ2,...,λn\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n互异,我们这里由于不深入讨论谱...
  • 矩阵分解用途非常广泛,比较常用有接下来主要讲到奇异值分解 (Singular Value Decomposition 以下简称 SVD分解),Schur分解,特征值分解(对于可对角化矩阵而言),Jordan分解(对于不可对角化矩阵而言)等等。...
  • 矩阵分析笔记

    2020-07-08 15:20:32
    1.线性映射与线性变换在某基下的矩阵表示为A,特征值和特征向量意味着线性变换对特征向量进行操作不改变此向量所在的方向,并且...矩阵可相似对角化的条件是此矩阵的每一个特征值的代数重数等于几何重数, 矩阵可相似..

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 6
收藏数 102
精华内容 40
关键字:

矩阵可对角化的条件