总结：对于任意方阵，如果没有重根，矩阵总是可以对角化。麻烦的是重根问题 

如果有重根，那么需要验证所谓几何重数，与代数重数相等。

那么对于有重根，不能对角化的矩阵怎么办？这就引入了Jordan标准型的故事。

 

 

因此从应用的角度来说，线性代数最重要的就是矩阵的对角化。由矩阵对角化的推广就引出了奇异值分解和Jordan标准型。

 

矩阵可以对角化的条件为有n个线性无关的特征向量，具体判断为

1.实对称矩阵必定可以相似对角化

2.如果特征值两两互不相同或，那么也可以立马断定矩阵可以相似对角化

3.如果有k重特征值λ，那么n-r(λE-A)=k，因为只有这个等式成立，才能说明特征值取λ时有k个线性无关的解向量，即特征向量

对角化：若方阵A相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P和对角矩阵D，有，则称A可对角化。

可对角化的充要条件：

n*n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。

充分性证明：

设A的n个线性无关的特征向量为，对应的特征值为，特征向量构成矩阵P=[].则：



将对角矩阵记为D，则上式可化简为AP = PD。因为n个特征向量线性无关，所以P=[]可逆，所以，即A可对角化。

必要性证明：

A可对角化，即，可得AP = PD.

设P的列元素为，即P=[]，设对角矩阵D为.

则：

；

；

由AP = PD得：.因为P可逆，显然都不为0，所以是A的特征值，是A的特征向量且线性无关。得证。

参考资料：David.C.Lay《线性代数及其应用》

文章目录
充要条件①
定理2
充要条件②
充要条件③

充要条件①
$A$有$n$个线性无关的特征向量$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$，此时令$P=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)$有$P^{-1}AP=diag\{\lambda_1,...,\lambda_n\}$

$\lambda_i$是$\alpha_i$所属的特征向量
$diag\{\lambda_1,...,\lambda_n\}$称为$A$的相似标准形
除了对角矩阵元素的排列次序可变动，$A$的相似标准形是唯一的

定理2
设$\lambda_1,\lambda_2$是数域$K$上的$n$级矩阵$A$得到不同特征值，$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s和\beta_1,...,\beta_r$分别是$A$的属于$\lambda_1,\lambda_2$的线性无关的特征向量，则$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,...,\beta_r$线性无关

怎么证呢？
即：矩阵的特征值不同，对应的特征向量线性无关
充要条件②
$A$的属于不同特征值的特征子空间维数之和$=n$，即$r_1+r_2+...+r_m=n$
充要条件③
$A$的特征多项式的全部复根都$\in K$，且$A$的每个特征值的$几何重数=代数重数$

可以用这个条件推不可对角化：

$A$的特征多项式若有一个复根$\notin K$
有一个特征值的几何重数<代数重数