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  • ● 拐点 拐点,又称反曲,在数学上指改变曲线向上或向下方向的,直观地说拐点是使切线穿越曲线的,是曲线凹凸发生改变的。比如: y=x^3 若函数二阶可导, 某二阶导数值为零,两端二阶导数值异号。则为函数...


    一、映射

           设A和B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任何一个元素a,在集合B中都存在唯一 的一个元素b与之对应,那么,这样的对应(包括集合A,B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射(Mapping)。
           记做f :A→B。其中,b称为a在映射f下的象,记作: b= f (a); a称为b关于映射f的原像。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。

    二、函数

           给定一个数集A,假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f,记作f (x),得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f (x)表示。函数概念含有三个要素:定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。
            函数最早由中国清朝数学家李善兰翻译。

           自变量(函数) : 一个与它量有关联的变量,这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
           因变量(函数) :随着自变量的变化而变化,且自变量取唯一值时,因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。
           函数值:在y是x的函数中,x确定一个值, y就随之确定一个值,当x取a时,y就随之确定为b, b就叫做a的函数值。

           函数具有的特性包括有界性、单调性、奇偶性、周期性、连续性、凹凸性。

    三、基本初等函数

           由基本初等函数构成的符合函数被称为初等函数。
           性质:单调性、对称性、饱和性、周期性、奇偶性、周期性、连续性。
           函数:常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反函数。

    四、极限

    两个重要极限:在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    五、导数

    5.1 定义

           导数. (Derivative),也叫导函数值。又名微商,是微积分中的重要基础概念。当函数y=f (x) 的自变量x在一点x0上产生一个增量△x时,函数输出值的增量△y与自变量增量△x的比值在△x趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f’ (x0) 或df (x0) /dx.

    5.2 基本公式

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    5.3 几何意义

           导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述 了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点 上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

    5.4 复合函数求导

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    1. 设y是u的函数y=f(u), u是x的函数u=φ(x),如果φ(x)的值全部或部分在f(u) 的定义域内,则y通过u成为x的函数,记作y=f[φ(x)],称为由函数y=f(u)与u=φ(x)复合而成的复合函数。

    2. 值得注意的是x的定义一定要使得y有意义,所以不是所有组合起来的函数都能成为符合函数。比如: y=log(cosx-3)就不是复合函数,因为任何x都不能使y有意义。

    3. 复合函数通俗地说就是函数套函数,是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数,有时可能有两个以上,如y=f(u), u=Q(v), V=ψ(x),则函数y=f{p[ψ(x)]}是x的复合函数,u、V都是中间变量。

    4. 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数(称为链式法则) 例:若h(a)=f[g(x)], 则h’(a)=f’[g(x)]*g’(x)

    5.5 与单调性的关系

           若导数大于零,则单调递增;若导数小于零,则单调递减;导数等于零为函数驻点,不一定为极值点。 需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。

    5.6 导数阶数

           一阶导:正表增;负表减。
           二阶导:正表下凸,一阶导增,增得越来越快/减得越来越慢;负表上凸,一阶导减,增得越来越慢/减得越来越快。
           三阶及以上的导数,几何意义太抽象了,大致理解如下: 三阶导正,二阶导增,下凸越来越厉害,. 上凸越来越弱。

    5.7 偏导数

           一个多变量的函数的偏导数,就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定,表示固定面上一点的切线斜率。
           偏导数f’x(x0,y0)表示固定面上一点对 x轴的切线斜率。
           偏导数f’y(x0,y0)表示固定面上一点对 y轴的切线斜率。
    在这里插入图片描述
           高阶偏导数:如果二元函数z=f(x;y)的偏导数fx(x,y)与f’y(x,y)仍然可导,那么这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个:f"xx,f"xy, f"yx, f"yy。

    5.8 高阶导数意义

    ➢ 一阶导决定增减
    ➢ 二阶导决定凹凸
    ➢ 三阶导决定偏度

    5.9 可微、可导、连续的关系

           可微=>可导=>连续=>可积,在一元函数中,可导与可微等价。
           可导和可微是一样的。可导必连续,连续不一定可导。连续必可积,可积不一定连续。可积必有界,可界不一定可积。

    5.10 二阶导数

    ● 定义
           二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。
    ● 意义

           1、切线斜率变化的速度,表示的是一阶导数的变化率。
           2、在图形上,它主要表现函数的凹凸性。

    ● 驻点
           驻点(Stationary Point)又称为平稳点、稳定点或临界点(Critical Point)是函数的一阶导数为零,即在“这一点” 函数的输出值停止增加或减少,如y=x^2。

    ● 拐点
           拐点,又称反曲点,在数学上指改变曲线向上或向下方向的点,直观地说拐点是使切线穿越曲线的点,是曲线凹凸发生改变的点。比如: y=x^3

           若函数二阶可导, 某点二阶导数值为零,两端二阶导数值异号。则为函数的拐点。

           在驻点处的单调性可能改变,而在拐点处则是凹凸性可能改变。

    ● 定理
    1、 一阶导数等于0,二阶导数大于0,函数有极小值点,为凸函数。

    2、一阶导数等于0,二阶导数小于0,函数有极大值点,为凹函数。

    3、一阶导数等于0,二阶导数等于0,是函数的拐点和驻点,或者极值点。

    4、函数的极值不一定是驻点,比如y=|x|, 有极值,但没有驻点,因为最小处不可导。

    5、函数的驻点不一定是极值,比如y=x^3, 函数在x=0处的导数为0,但是函数没有极值。

    6、对于可导函数,极值点必定是驻点。

    7、(1) y=x^3,在0点1阶导数、2阶导数都=0,但0不是它的极值点,是函数的驻点和拐点。
    (2)二阶导不为零,说明一阶导在该点附近的符号发生改变,所以一定是极值点。

    六、微积分

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    七、泰勒级数

           泰勒级数(英语: Taylor series)用无限项连加式级数来表示一个函数,这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
           泰勒级数在近似计算中有重要作用。

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  • 高等数学知识点总结1.导数定义2.左右导数导数的几何意义和物理意义3.函数的可导性与连续性之间的关系4.平面曲线的切线和法线5.四则运算法则6.基本导数与微分表7.复合函数,反函数,隐函数以及参数方程所确定的函数的...

    1.导数定义

    导数和微分的概念

    f(x0)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx f'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}

    或者:

    f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0 f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}

    2.左右导数导数的几何意义和物理意义

    函数f(x)f(x)x0x_0处的左、右导数分别定义为:

    左导数:f(x0)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx=limxx0f(x)f(x0)xx0,(x=x0+Δx){{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}},(x={{x}_{0}}+\Delta x)

    右导数:f+(x0)=limΔx0+f(x0+Δx)f(x0)Δx=limxx0+f(x)f(x0)xx0{{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}

    3.函数的可导性与连续性之间的关系

    Th1: 函数f(x)f(x)x0x_0处可微f(x)\Leftrightarrow f(x)x0x_0处可导

    Th2: 若函数在点x0x_0处可导,则y=f(x)y=f(x)在点x0x_0处连续,反之则不成立。即函数连续不一定可导。

    Th3: f(x0){f}'({{x}_{0}})存在f(x0)=f+(x0)\Leftrightarrow {{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})={{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})

    4.平面曲线的切线和法线

    切线方程 : yy0=f(x0)(xx0)y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})
    法线方程:yy0=1f(x0)(xx0),f(x0)0y-{{y}_{0}}=-\frac{1}{f'({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f'({{x}_{0}})\ne 0

    5.四则运算法则

    设函数u=u(x)v=v(x)u=u(x),v=v(x)]在点xx可导则
    (1) (u±v)=u±v(u\pm v{)}'={u}'\pm {v}' d(u±v)=du±dvd(u\pm v)=du\pm dv
    (2)(uv)=uv+vu(uv{)}'=u{v}'+v{u}' d(uv)=udv+vdud(uv)=udv+vdu
    (3) (uv)=vuuvv2(v0)(\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}(v\ne 0) d(uv)=vduudvv2d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}

    6.基本导数与微分表

    (1) y=cy=c(常数) y=0{y}'=0 dy=0dy=0
    (2) y=xαy={{x}^{\alpha }}(α\alpha为实数) y=αxα1{y}'=\alpha {{x}^{\alpha -1}} dy=αxα1dxdy=\alpha {{x}^{\alpha -1}}dx
    (3) y=axy={{a}^{x}} y=axlna{y}'={{a}^{x}}\ln a dy=axlnadxdy={{a}^{x}}\ln adx
    特例: (ex)=ex({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}} d(ex)=exdxd({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx

    (4) y=logaxy={{\log }_{a}}x y=1xlna{y}'=\frac{1}{x\ln a}

    dy=1xlnadxdy=\frac{1}{x\ln a}dx
    特例:y=lnxy=\ln x (lnx)=1x(\ln x{)}'=\frac{1}{x} d(lnx)=1xdxd(\ln x)=\frac{1}{x}dx

    (5) y=sinxy=\sin x

    y=cosx{y}'=\cos x d(sinx)=cosxdxd(\sin x)=\cos xdx

    (6) y=cosxy=\cos x

    y=sinx{y}'=-\sin x d(cosx)=sinxdxd(\cos x)=-\sin xdx

    (7) y=tanxy=\tan x

    y=1cos2x=sec2x{y}'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sec }^{2}}x d(tanx)=sec2xdxd(\tan x)={{\sec }^{2}}xdx
    (8) y=cotxy=\cot x y=1sin2x=csc2x{y}'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-{{\csc }^{2}}x d(cotx)=csc2xdxd(\cot x)=-{{\csc }^{2}}xdx
    (9) y=secxy=\sec x y=secxtanx{y}'=\sec x\tan x

    d(secx)=secxtanxdxd(\sec x)=\sec x\tan xdx
    (10) y=cscxy=\csc x y=cscxcotx{y}'=-\csc x\cot x

    d(cscx)=cscxcotxdxd(\csc x)=-\csc x\cot xdx
    (11) y=arcsinxy=\arcsin x

    y=11x2{y}'=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}

    d(arcsinx)=11x2dxd(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx
    (12) y=arccosxy=\arccos x

    y=11x2{y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} d(arccosx)=11x2dxd(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx

    (13) y=arctanxy=\arctan x

    y=11+x2{y}'=\frac{1}{1+{{x}^{2}}} d(arctanx)=11+x2dxd(\arctan x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx

    (14) y=arccotxy=\operatorname{arc}\cot x

    y=11+x2{y}'=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}

    d(arccotx)=11+x2dxd(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx
    (15) y=shxy=shx

    y=chx{y}'=chx d(shx)=chxdxd(shx)=chxdx

    (16) y=chxy=chx

    y=shx{y}'=shx d(chx)=shxdxd(chx)=shxdx

    7.复合函数,反函数,隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

    (1) 反函数的运算法则: 设y=f(x)y=f(x)在点xx的某邻域内单调连续,在点xx处可导且f(x)0{f}'(x)\ne 0,则其反函数在点xx所对应的yy处可导,并且有dydx=1dxdy\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}
    (2) 复合函数的运算法则:若μ=φ(x)\mu =\varphi (x)在点xx可导,而y=f(μ)y=f(\mu )在对应点μ\mu(μ=φ(x))\mu =\varphi (x))可导,则复合函数y=f(φ(x))y=f(\varphi (x))在点xx可导,且y=f(μ)φ(x){y}'={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)
    (3) 隐函数导数dydx\frac{dy}{dx}的求法一般有三种方法:
    1)方程两边对xx求导,要记住yyxx的函数,则yy的函数是xx的复合函数.例如1y\frac{1}{y}y2{{y}^{2}}lnyln yey{{{e}}^{y}}等均是xx的复合函数.
    xx求导应按复合函数连锁法则做.
    2)公式法.由F(x,y)=0F(x,y)=0dydx=Fx(x,y)Fy(x,y)\frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}'}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}_{y}}(x,y)},其中,Fx(x,y){{{F}'}_{x}}(x,y)
    Fy(x,y){{{F}'}_{y}}(x,y)分别表示F(x,y)F(x,y)xxyy的偏导数
    3)利用微分形式不变性

    8.常用高阶导数公式

    (1)(ax)(n)=axlnna(a>0)(ex)(n)=ex({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}
    (2)(sinkx)(n)=knsin(kx+nπ2)(\sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})
    (3)(coskx)(n)=kncos(kx+nπ2)(\cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})
    (4)(xm)(n)=m(m1)(mn+1)xmn({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}
    (5)(lnx)(n)=(1)(n1)(n1)!xn(\ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}
    (6)莱布尼兹公式:若u(x),v(x)u(x)\,,v(x)nn阶可导,则
    (uv)(n)=i=0ncniu(i)v(ni){{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}},其中u(0)=u{{u}^{({0})}}=uv(0)=v{{v}^{({0})}}=v

    9.微分中值定理,泰勒公式

    Th1:(费马定理)

    若函数f(x)f(x)满足条件:
    (1)函数f(x)f(x)x0{{x}_{0}}的某邻域内有定义,并且在此邻域内恒有
    f(x)f(x0)f(x)\le f({{x}_{0}})f(x)f(x0)f(x)\ge f({{x}_{0}}),

    (2) f(x)f(x)x0{{x}_{0}}处可导,则有 f(x0)=0{f}'({{x}_{0}})=0

    Th2:(罗尔定理)

    设函数f(x)f(x)满足条件:
    (1)在闭区间[a,b][a,b]上连续;

    (2)在(a,b)(a,b)内可导;

    (3)f(a)=f(b)f(a)=f(b)

    则在(a,b)(a,b)内一存在个$\xi $,使 f(ξ)=0{f}'(\xi )=0
    Th3: (拉格朗日中值定理)

    设函数f(x)f(x)满足条件:
    (1)在[a,b][a,b]上连续;

    (2)在(a,b)(a,b)内可导;

    则在(a,b)(a,b)内一存在个$\xi $,使 f(b)f(a)ba=f(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )

    Th4: (柯西中值定理)

    设函数f(x)f(x)g(x)g(x)满足条件:
    (1) 在[a,b][a,b]上连续;

    (2) 在(a,b)(a,b)内可导且f(x){f}'(x)g(x){g}'(x)均存在,且g(x)0{g}'(x)\ne 0

    则在(a,b)(a,b)内存在一个$\xi $,使 f(b)f(a)g(b)g(a)=f(ξ)g(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}

    10.洛必达法则

    法则Ⅰ (00\frac{0}{0}型)
    设函数f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)满足条件:
    limxx0f(x)=0,limxx0g(x)=0\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0;

    f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)x0{{x}_{0}}的邻域内可导,(在x0{{x}_{0}}处可除外)且g(x)0{g}'\left( x \right)\ne 0;

    limxx0f(x)g(x)\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}存在(或\infty)。

    则:
    limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)g(x)\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}

    法则I{{I}'} (00\frac{0}{0}型)
    设函数f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)满足条件:
    limxf(x)=0,limxg(x)=0\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0;

    存在一个X>0X>0,当x>X\left| x \right|>X时,f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)可导,且g(x)0{g}'\left( x \right)\ne 0;limxx0f(x)g(x)\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}存在(或\infty)。

    则:
    limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)g(x)\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}

    法则Ⅱ(\frac{\infty }{\infty }型)
    设函数f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)满足条件:
    limxx0f(x)=,limxx0g(x)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty; f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)x0{{x}_{0}} 的邻域内可导(在x0{{x}_{0}}处可除外)且g(x)0{g}'\left( x \right)\ne 0;limxx0f(x)g(x)\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}存在(或$\infty $)。则
    limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)g(x).\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}.同理法则II{I{I}'}(\frac{\infty }{\infty }型)仿法则I{{I}'}可写出。

    11.泰勒公式

    设函数f(x)f(x)在点x0{{x}_{0}}处的某邻域内具有n+1n+1阶导数,则对该邻域内异于x0{{x}_{0}}的任意点xx,在x0{{x}_{0}}xx之间至少存在
    一个ξ\xi,使得:
    f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+12!f(x0)(xx0)2+f(x)=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}''({{x}_{0}}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots
    +f(n)(x0)n!(xx0)n+Rn(x)+\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)
    其中 Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1{{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}}称为f(x)f(x)在点x0{{x}_{0}}处的nn阶泰勒余项。

    x0=0{{x}_{0}}=0,则nn阶泰勒公式
    f(x)=f(0)+f(0)x+12!f(0)x2++f(n)(0)n!xn+Rn(x)f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}''(0){{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}_{n}}(x)……(1)
    其中 Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!xn+1{{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}ξ\xi在0与xx之间.(1)式称为麦克劳林公式

    常用五种函数在x0=0{{x}_{0}}=0处的泰勒公式

    (1) ex=1+x+12!x2++1n!xn+xn+1(n+1)!eξ{{{e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{\xi }}

    =1+x+12!x2++1n!xn+o(xn)=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})

    (2) sinx=x13!x3++xnn!sinnπ2+xn+1(n+1)!sin(ξ+n+12π)\sin x=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )

    =x13!x3++xnn!sinnπ2+o(xn)=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})

    (3) cosx=112!x2++xnn!cosnπ2+xn+1(n+1)!cos(ξ+n+12π)\cos x=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )

    =112!x2++xnn!cosnπ2+o(xn)=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})

    (4) ln(1+x)=x12x2+13x3+(1)n1xnn+(1)nxn+1(n+1)(1+ξ)n+1\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+\frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+\xi )}^{n+1}}}

    =x12x2+13x3+(1)n1xnn+o(xn)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})

    (5) (1+x)m=1+mx+m(m1)2!x2++m(m1)(mn+1)n!xn{{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}
    +m(m1)(mn+1)(n+1)!xn+1(1+ξ)mn1+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+\xi )}^{m-n-1}}

    (1+x)m=1+mx+m(m1)2!x2+{{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +m(m1)(mn+1)n!xn+o(xn)+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})

    12.函数单调性的判断

    Th1: 设函数f(x)f(x)(a,b)(a,b)区间内可导,如果对x(a,b)\forall x\in (a,b),都有f(x)>0f\,'(x)>0(或f(x)<0f\,'(x)<0),则函数f(x)f(x)(a,b)(a,b)内是单调增加的(或单调减少)

    Th2: (取极值的必要条件)设函数f(x)f(x)x0{{x}_{0}}处可导,且在x0{{x}_{0}}处取极值,则f(x0)=0f\,'({{x}_{0}})=0

    Th3: (取极值的第一充分条件)设函数f(x)f(x)x0{{x}_{0}}的某一邻域内可微,且f(x0)=0f\,'({{x}_{0}})=0(或f(x)f(x)x0{{x}_{0}}处连续,但f(x0)f\,'({{x}_{0}})不存在。)
    (1)若当xx经过x0{{x}_{0}}时,f(x)f\,'(x)由“+”变“-”,则f(x0)f({{x}_{0}})为极大值;
    (2)若当xx经过x0{{x}_{0}}时,f(x)f\,'(x)由“-”变“+”,则f(x0)f({{x}_{0}})为极小值;
    (3)若f(x)f\,'(x)经过x=x0x={{x}_{0}}的两侧不变号,则f(x0)f({{x}_{0}})不是极值。

    Th4: (取极值的第二充分条件)设f(x)f(x)在点x0{{x}_{0}}处有f(x)0f''(x)\ne 0,且f(x0)=0f\,'({{x}_{0}})=0,则 当f(x0)<0f'\,'({{x}_{0}})<0时,f(x0)f({{x}_{0}})为极大值;
    f(x0)>0f'\,'({{x}_{0}})>0时,f(x0)f({{x}_{0}})为极小值。
    注:如果f(x0)<0f'\,'({{x}_{0}})<0,此方法失效。

    13.渐近线的求法

    (1)水平渐近线 若limx+f(x)=b\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b,或limxf(x)=b\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b,则

    y=by=b称为函数y=f(x)y=f(x)的水平渐近线。

    (2)铅直渐近线 若limxx0f(x)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty,或limxx0+f(x)=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty,则

    x=x0x={{x}_{0}}称为y=f(x)y=f(x)的铅直渐近线。

    (3)斜渐近线 若a=limxf(x)x,b=limx[f(x)ax]a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax],则
    y=ax+by=ax+b称为y=f(x)y=f(x)的斜渐近线。

    14.函数凹凸性的判断

    Th1: (凹凸性的判别定理)若在I上f(x)<0f''(x)<0(或f(x)>0f''(x)>0),则f(x)f(x)在I上是凸的(或凹的)。

    Th2: (拐点的判别定理1)若在x0{{x}_{0}}f(x)=0f''(x)=0,(或f(x)f''(x)不存在),当xx变动经过x0{{x}_{0}}时,f(x)f''(x)变号,则(x0,f(x0))({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))为拐点。

    Th3: (拐点的判别定理2)设f(x)f(x)x0{{x}_{0}}点的某邻域内有三阶导数,且f(x)=0f''(x)=0f(x)0f'''(x)\ne 0,则(x0,f(x0))({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))为拐点。

    15.弧微分

    dS=1+y2dxdS=\sqrt{1+y{{'}^{2}}}dx

    16.曲率

    曲线y=f(x)y=f(x)在点(x,y)(x,y)处的曲率k=y(1+y2)32k=\frac{\left| y'' \right|}{{{(1+y{{'}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}
    对于参数方程{x=φ(t)y=ψ(t),k=φ(t)ψ(t)φ(t)ψ(t)][φ2(t)+ψ2(t)]32 \left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array}, k=\frac{\left.\mid \varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)\right]}{\left[\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{2}(t)\right]^{\frac{3}{2}}}\right.

    17.曲率半径

    曲线在点MM处的曲率k(k0)k(k\ne 0)与曲线在点MM处的曲率半径ρ\rho有如下关系:ρ=1k\rho =\frac{1}{k}

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  • 高等数学下册知识点总结.7z
  • 高等数学(下)知识点总结

    万次阅读 多人点赞 2019-03-26 19:12:20
    高等数学(下)知识点总结 首先我们学习了空间解析几何。平面的三种方程适用于不同类型的题目: 类比平面解析几何,不难得出如下的夹角与距离的概念: 研究完平面,我们研究直线。直线也有下面三种方程: ...

    高等数学(下)知识点总结 

    首先我们学习了空间解析几何。平面的三种方程适用于不同类型的题目:

    类比平面解析几何,不难得出如下的夹角与距离的概念:

    研究完平面,我们研究直线。直线也有下面三种方程:

    计算夹角的方法如下:

    用好过直线的平面束,可以解决很多问题:

    研究完直线,我们研究曲线。曲线有如下形式的一般方程:

    曲线也可用参数方程表达:

    我们还有投影的概念:

    研究空间解析几何,一定程度上为多元函数的研究提供了基础,多元函数的最基本概念请同学们牢记:

    随后我们研究了偏导数:

    以及高阶偏导数:

    用好全微分的概念,可以处理很多计算偏导数的题目:

    研究完最简单的偏导数,我们想研究复合函数的偏导数。由于复合方法多种多样,也有如下两种不同的情形:

    隐函数定理压轴登场!一个方程的情形,计算偏导数的公式如下:

    方程组联立的情形下,我们引入了雅可比行列式的概念,方法如下。乍一看公式似乎很复杂,实际就是解一个线性方程组~

    除了在坐标轴方向有偏导数,我们在任意方向都可以定义方向导数。自然要用到梯度的概念:

    多元函数微分学反过来对第一章的空间解析几何提供了方法:

    在没有限制条件的情况下,我们可以借助偏导数求出多元函数的极值:

    接触过中学数学竞赛的同学会被中学数学竞赛那细微的放缩以及“先猜后证”弄得晕头转向,而这里的拉格朗日乘子法,让你秒杀多元条件极值问题!

    上学期同学们学习了定积分、反常积分,不过有的特定的反常积分是无法用传统方法解出来的。这就要借助我们的重积分了。类比定积分,二重积分有以下两个性质:

    如何计算重积分,可以说是高数中的关键部分。一般来说,我们把积分区域划分成如下两种区域,再进行求解,实际上,我们还是在做定积分。必要的时候,还要交换积分次序。

    三重积分最基本的计算方法有两种,我们的思想就是把三重积分转化为二重积分和定积分,这两种方法分别叫“先一后二”和“先二后一”:

    当然,有时候利用对称性,可以大大简化问题:

    我们还介绍了柱坐标系、球坐标系,其体积元可以借助雅可比行列式计算出。这两种坐标系常常能简化问题,就如同二重积分中的极坐标一样。

    重积分后,我们有线、面积分:

    曲线积分的一般方法如下:

    曲面积分的一般方法如下:

    接下来是本章最重要的公式之一——格林公式及其推论:

    同为最重要的公式之一——高斯公式:

    学期的最后,我们学习了级数的相关理论,审敛法需牢记~

    我们又讲了两种重要的函数项级数——幂级数和傅里叶级数。幂级数其实同学们在学泰勒公式的时候已经接触到了~而傅里叶级数,以三角级数拟合一般的周期函数,它的提出是一种非常伟大的想法。傅里叶级数的公式稍微复杂,请同学们记住有关公式和结论,不要弄混淆了~

    至此,高数(下)的内容就回顾完了。

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  • 高等数学(上)知识点总结

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    高等数学(上)期末知识点总结 转:http://www.sohu.com/a/287862964_185748

    高等数学(上)期末知识点总结 

     

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