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  • 1、二进制 用0、1两个数字来表示数值,这就是二进制(Binary)。通俗讲,二进制只有0和1,。例如,数字 0、1、10、111、...对于二进制,进行加法运算时逢二进一,进行减法运算时借一当二。2、八进制 除了二进制C语言...

    1、二进制

    用0、1两个数字来表示数值,这就是二进制(Binary)。通俗讲,二进制只有0和1,。例如,数字 0、1、10、111、100、1000001 都是有效的二进制。在计算机内部,数据都是以二进制的形式存储的,二进制是学习编程必须掌握的基础。

    对于十进制,进行加法运算时逢十进一,进行减法运算时借一当十;

    对于二进制,进行加法运算时逢二进一,进行减法运算时借一当二。

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    2、八进制

    除了二进制,C语言还会使用到八进制。八进制有 0~7 共8个数字,基数为8,加法运算时逢八进一,减法运算时借一当八。例如,数字 0、1、5、7、14、733、67001、25430 都是有效的八进制。下面两张图详细演示了八进制加减法的运算过程。

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    3、十进制

    因为逢十进一(满十进一),也因为只有 0~9 共十个数字,所以叫做十进制(Decimalism)。十进制是在人类社会发展过程中自然形成的,它符合人们的思维习惯,例如人类有十根手指,也有十根脚趾。进制也就是进位制。进行加法运算时逢X进一(满X进一),进行减法运算时借一当X,这就是X进制,这种进制也就包含X个数字,基数为X。十进制有 0~9 共10个数字,基数为10,在加减法运算中,逢十进一,借一当十。

    4、十六进制

    除了二进制和八进制,十六进制也经常使用,甚至比八进制还要频繁。十六进制中,用A来表示10,B表示11,C表示12,D表示13,E表示14,F表示15,因此有 0~F 共16个数字,基数为16,加法运算时逢16进1,减法运算时借1当16。例如,数字 0、1、6、9、A、D、F、419、EA32、80A3、BC00 都是有效的十六进制。

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  • 在进行加法(减法)运算时,逢X进(借)一就是X进制,这种进制也就包含X个数字,基数为X。十进制有0~9共10个数字,基数为10,在加减法运算中,逢十进一,借一当十。 我们不妨将思维拓展一下,既然
  • 二进制加法:1+0=1、1+1=10、11+10=101、111+111=1110 二进制减法:1-0=1、10-1=1、101-11=10、1100-111=101 八进制加法:3+4=7、5+6=13、75+42=137、2427+567=3216 八进制减法:6-4=2、52-27=2...

    本文参考链接: C语言中文网
    读书笔记:

    数字 0、1、10、111、100、1000001 都是有效的二进制。

    二进制加法:1+0=1、1+1=10、11+10=101、111+111=1110
    在这里插入图片描述
    二进制减法:1-0=1、10-1=1、101-11=10、1100-111=101
    在这里插入图片描述
    八进制加法:3+4=7、5+6=13、75+42=137、2427+567=3216

    八进制减法:6-4=2、52-27=23、307-141=146、7430-1451=5757
    在这里插入图片描述
    十六进制加法:6+7=D、18+BA=D2、595+792=D27、2F87+F8A=3F11
    在这里插入图片描述

    1. 十六进制减法:D-3=A、52-2F=23、E07-141=CC6、7CA0-1CB1=5FEF
      在这里插入图片描述
      二进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易,就是“按权相加”。所谓“权”,也即“位权”。

    假设当前数字是 N 进制,那么:
    ·对于整数部分,从右往左看,第 i 位的位权等于Ni-1
    ·对于小数部分,恰好相反,要从左往右看,第 j 位的位权为N-j。
    更加通俗的理解是,假设一个多位数(由多个数字组成的数)某位上的数字是 1,那么它所表示的数值大小就是该位的位权。

    1) 整数部分

    例如,将八进制数字 53627 转换成十进制:(八进制,开头为8,按位置0、1、2、3、4、5)
    53627 = 5×84 + 3×83 + 6×82 + 2×81 + 7×80 =22423(十进制)

    从右往左看(从右向左增大),第1位的位权为 80=1,第2位的位权为 81=8,第3位的位权为 82=64,第4位的位权为 83=512,第5位的位权为 84=4096 …… 第n位的位权就为 8n-1。将各个位的数字乘以位权,然后再相加,就得到了十进制形式。

    注意,这里我们需要以十进制形式来表示位权。
    再如,将十六进制数字 9FA8C 转换成十进制:(16开头,0、1、2、3、4)
    9FA8C = 9×164 + 15×163 + 10×162 + 8×161 + 12×160 = 653964(十进制)

    从右往左看,第1位的位权为 160=1,第2位的位权为 161=16,第3位的位权为 162=256,第4位的位权为 163=4096,第5位的位权为 164=65536 …… 第n位的位权就为 16n-1。将各个位的数字乘以位权,然后再相加,就得到了十进制形式。

    将二进制数字转换成十进制也是类似的道理:
    11010 = 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 = 26(十进制)

    从右往左看,第1位的位权为 20=1,第2位的位权为 21=2,第3位的位权为 22=4,第4位的位权为 23=8,第5位的位权为 24=16 …… 第n位的位权就为 2n-1。将各个位的数字乘以位权,然后再相加,就得到了十进制形式。

    2) 小数部分

    例如,将八进制数字 423.5176 转换成十进制:
    423.5176 = 4×82 + 2×81 + 3×80 + 5×8^-1 + 1×8^-2 + 7×8^-3 + 6×8^-4 = 275.65576171875(十进制)

    小数部分和整数部分相反,要从左往右(从左向右幂增大)看,第1位的位权为 8^-1 =1/8 ,第2位的位权为 8 ^-2=1/64,第3位的位权为 8 ^ -3=1/512,第4位的位权为 8 ^-4=1/4096 …… 第m位的位权就为 8 ^-m。

    再如,将二进制数字 1010.1101 转换成十进制:
    1010.1101 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 + 1×2-1 + 1×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 10.8125(十进制)

    小数部分和整数部分相反,要从左往右看,第1位的位权为 2 ^-1=1/2,第2位的位权为 2 ^-2=1/4,第3位的位权为 2 ^-3=1/8,第4位的位权为 2 ^-4=1/16 …… 第m位的位权就为 2 ^-m。

    更多转换成十进制的例子:
    二进制:1001 = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9(十进制)
    二进制:101.1001 = 1×22 + 0×21 + 1×20 + 1×2-1 + 0×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.0625 = 5.5625(十进制)
    八进制:302 = 3×82 + 0×81 + 2×80 = 192 + 0 + 2 = 194(十进制)
    八进制:302.46 = 3×82 + 0×81 + 2×80 + 4×8-1 + 6×8-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375(十进制)
    十六进制:EA7 = 14×162 + 10×161 + 7×160 = 3751(十进制)

    将十进制转换为二进制、八进制、十六进制

    将十进制转换为其它进制时比较复杂,整数部分和小数部分的算法不一样,下面我们分别讲解。

    1. 整数部分
      十进制整数转换为 N 进制整数采用“除 N 取余,逆序排列”法。具体做法是:
      将 N 作为除数,用十进制整数除以 N,可以得到一个商和余数;
      保留余数,用商继续除以 N,又得到一个新的商和余数;
      仍然保留余数,用商继续除以 N,还会得到一个新的商和余数;
      ……
      如此反复进行,每次都保留余数,用商接着除以 N,直到商为 0 时为止。

    把先得到的余数作为 N 进制数的低位数字,后得到的余数作为 N 进制数的高位数字,依次排列起来,就得到了 N 进制数字。

    下图演示了将十进制数字 36926 转换成八进制的过程:
    在这里插入图片描述
    从图中得知,十进制数字 36926 转换成八进制的结果为 110076。

    下图演示了将十进制数字 42 转换成二进制的过程:
    在这里插入图片描述
    从图中得知,十进制数字 42 转换成二进制的结果为 101010。

    2) 小数部分
    十进制小数转换成 N 进制小数采用“乘 N 取整,顺序排列”法。具体做法是:
    用 N 乘以十进制小数,可以得到一个积,这个积包含了整数部分和小数部分;
    将积的整数部分取出,再用 N 乘以余下的小数部分,又得到一个新的积;
    再将积的整数部分取出,继续用 N 乘以余下的小数部分;
    ……
    如此反复进行,每次都取出整数部分,用 N 接着乘以小数部分,直到积中的小数部分为 0,或者达到所要求的精度为止。

    把取出的整数部分按顺序排列起来,先取出的整数作为 N 进制小数的高位数字,后取出的整数作为低位数字,这样就得到了 N 进制小数。

    下图演示了将十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的过程:
    在这里插入图片描述
    从图中得知,十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的结果为 0.7345。

    下图演示了将十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的过程:
    在这里插入图片描述
    从图中得知,十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的结果为 0.1011。

    如果一个数字既包含了整数部分又包含了小数部分,那么将整数部分和小数部分开,分别按照上面的方法完成转换,然后再合并在一起即可。
    例如:
    十进制数字 36926.930908203125 转换成八进制的结果为 110076.7345;
    十进制数字 42.6875 转换成二进制的结果为 101010.1011。

    注意

    十进制小数转换成其他进制小数时,结果有可能是一个无限位的小数。请看下面的例子:
    十进制 0.51 对应的二进制为 0.100000101000111101011100001010001111010111…,是一个循环小数;
    十进制 0.72 对应的二进制为 0.1011100001010001111010111000010100011110…,是一个循环小数;
    十进制 0.625 对应的二进制为 0.101,是一个有限小数。

    其实,任何进制之间的转换都可以使用上面讲到的方法,只不过有时比较麻烦,所以一般针对不同的进制采取不同的方法。将二进制转换为八进制和十六进制时就有非常简洁的方法,反之亦然。
    1) 二进制整数和八进制整数之间的转换
    二进制整数转换为八进制整数时,每三位二进制数字转换为一位八进制数字,运算的顺序是从低位向高位依次进行,高位不足三位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 1110111100 转换为八进制:
    在这里插入图片描述
    从图中可以看出,二进制整数 1110111100 转换为八进制的结果为 1674。

    八进制整数转换为二进制整数 时,思路是相反的,每一位八进制数字转换为三位二进制数字,运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将八进制整数 2743 转换为二进制:
    在这里插入图片描述
    从图中可以看出,八进制整数 2743 转换为二进制的结果为 10111100011。

    2) 二进制整数和十六进制整数之间的转换
    二进制整数转换为十六进制整数时,每四位二进制数字转换为一位十六进制数字,运算的顺序是从低位向高位依次进行,高位不足四位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制:
    在这里插入图片描述
    从图中可以看出,二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制的结果为 2D5C。

    十六进制整数转换为二进制整数时,思路是相反的,每一位十六进制数字转换为四位二进制数字,运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将十六进制整数 A5D6 转换为二进制:
    在这里插入图片描述
    从图中可以看出,十六进制整数 A5D6 转换为二进制的结果为 1010 0101 1101 0110。

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  • C语言运算加法

    2020-04-16 21:25:42
    学习了位运算后总想着怎么把它用在程序中,奈何知识量有限,在这里便写一个位运算实现两数之和的功能》 ...接下来我们想要用位运算解决两数之和,得先知道他们的二进制形式。 例如:2+3=5 2 0010 3 ...

    学习了位运算后总想着怎么把它用在程序中,奈何知识量有限,在这里便写一个位运算实现两数之和的功能》
    首先我们得先了解位运算的三个基本操作符:

    & 按位与—(有0为0,双1位1 )
    I 按位或—(有1为1,双0为0)
    ^ 按位异或—(不同为1,相同为0)

    接下来我们想要用位运算解决两数之和,得先知道他们的二进制形式。
    例如:2+3=5

    2 0010
    3 0011
    5 0101

    不难看出第二位发生了进位,那么我们怎么用符号实现呢:

    (2 & 3)<<1 (0010 & 0011)<<1 = 0100
    2^3 0010 ^0011 = 0001
    5 0100^0001 = 0101

    虽然上述看似成立了,但是运算起来仍然有问题,这里仅仅考虑到了单次进位,假设有多次进位那么这个等式便不成立。
    而很自然的想到连续进位那么就会联想到循环,下面这个代码便用了循环实现多次进位:

    #include <stdio.h>
    int main()
    {
     int x, y;
     scanf_s("%d %d", &x, &y);
     
     while (x & y)//一但x&y为真就代表,存在要进位
     {
     int m = x,n = y;
     x = m^n;
     y=(m & n)<<1;
     }
      printf("%d + %d = %d\n", x, y, x ^ y);
    return 0;
    
    }
    
    

    上述代码中的while的条件很好的让所有的进位都能进行。

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  • 首先我们来一起看一下二进制加法二进制加法的计算过程和十进制加法一样,在演算的时候可以列出竖式进行计算。如一个加法程序,用户输入两个十进制数85和78进行加法运算,首先计算机收到这两个数之后,将其存储起.....

    1.6 原码和补码

    前面讲述了十进制整数和小数在计算机里面的存储,但是计算机终究是用来做计算的机器,归根到底它的作用还是用来计算,这一小节就来讲解一下存储在计算机中的二进制数是如何来运算的。首先我们来一起看一下二进制加法。

    二进制加法的计算过程和十进制加法一样,在演算的时候可以列出竖式进行计算。如一个加法程序,用户输入两个十进制数85和78进行加法运算,首先计算机收到这两个数之后,将其存储起来,在运算时再将它们放入寄存器中,此时的它们存储时就已经是二进制了,(85)d=(01010101)b,(78)d=(01001110)b。计算式如下:

    9a701ea9eb755acae70ee30462b4112c.png

    (10100011)b转成十进制就是(163)d。

    这里告诉大家一个秘密,早期的x86 CPU内部是只能做加法,不管是加法还是减法,都是用加法器来计算的。加减法机制到目前的CPU上面还是如此,即减法和加法,CPU最终都是做的加法运算,而乘法和除法运算现在的CPU则和以前的有很大区别,后面会讲述。

    其实计算机在存储变量的时候,计算机都是以补码方式存放的,这里引入了一个新概念叫做补码。在讲补码之前先阐述两个其他概念,原码和反码。

    原码,其实就是二进制码本身,例如,一个十进制的数50,对其进制转换,转换成二进制是00110010,这个00110010就是其原码;

    反码,就是将原码本身的每一位二进制数值取反,这是一种逻辑运算,简单来说就是把二进制的1转换成0,0转换成1,比如原码是00110010的二进制,其反码就是11001101。

    上面的原码和补码都只是抛开符号来说的,但是计算机里面的数值都是以二进制存放的,计算机里面的数值分为有符号数,无符号数,浮点数这三大类。对于负数来说,计算机本身就不知道它到底是一个正数还是一个负数,因此需要对计算机存储器里面的数值进行定义,一般地,以一个二进制的最高比特作为符号位,当符号位为1时,表示这个数值是个负数,符号为0时,表示这个数值是一个正数。总而言之,不管是32位变量,64位变量还是8位变量,它们的最高位都是表示符号。

    而补码的求解原则有两条:

    (1)  正数的补码就是其原码;

    (2)  负数的补码求法是:符号位保持不变,其他位取其反码再加1。

    比如一个数值53,先求其二进制数(00110101)b,按照正数的补码就是其原码的原则,它的补码就是(00110101)b。

    再比如一个数值-53,先求其二进制数(-110101)b,假设这个数值是以8位二进制存储的,那就将其符号位变成最高位,由于是负数,就可以得到它的二进制为(10110101)b,符号位保持不变,其他位取反(11001010)b,再加1,就可以得到其补码(11001011)b。

    上述就是一个二进制数存储在计算机里面求补码的方式。

    好了,让我们再来思考一个问题,已知所有的内存地址都是按照一个字节(8位二进制)来存储的,假设一个变量是1个字节,那么它存储无符号数值的时候,最多可以存储2^8=256中数值,存储数值的范围即从(00000000)b~(11111111)b,即0~255。而在存储一个有符号数值的时候,由于最高位要用来存储符号,而它存储的数值可能还是256个,只不过不同的是其数值范围变成了(-128~+127)。同样的,一个十六位存储宽度的数值,如果存储无符号数的时候,数值范围为0~65535,但是如果存储无符号数值的时候,其数值范围缩小一半,为-32767~+32768。以上就是计算机存储数值的机制,其实对于计算机来说,它是不区分无符号数和有符号数的,它处理的都是二进制数,只不过在显示或者软件编程的时候需要区分。比如在计算机编程的时候,定义了一个八位二进制数,那么它在编译软件处理的时候就将其直接转成补码的形式存放起来。

    理解了以上问题,我们再来看计算机如何做减法。其实初中数学就告诉我们,减法运算其实是加负数的运算,比如十进制数56-3,把它写成加法形式就是56+(-3),我们先假设这两个变量都是以8位二进制数,即一个字节的大小来存储的。存储到计算机里面首先需要将其都转为补码的形式,56由于是正数,因此其补码就是原码,为(00111000)b,-3由于是负数,因此其补码的求解方式就是符号位保持不变,其余位取反加一,为(11111101)b,接着让我们直接将其相加,看看会有什么结果,可以得到其结果为(100110101)b,得到的结果是一个九位的二进制数,由于我们之前假设了这个存储器是八位的,因此第9位属于溢出位,先不管它,取其低八位二进制(00110101)b,这个值是一个补码,接下来需要将它转换成原码。补码转原码的方式和原码转补码的原则一样,即最高位为符号位,正数的补码就是其原码,负数的补码求法是:符号位保持不变,其他位取其反码再加1。回头来看这个结果(00110101)b,它是个正数,因此原码就是它本身,为(35)H,转换成十进制就是53,因此56-3就是53。

    为了给大家再详细地来解释一下这个问题,我们提前来用C语言写一个测试程序。代码如图1-6-1所示。

    7b47ab32fa294e60d7c8da3b248566af.png

    图1-6-1 示例程序

    运行结果如图1-6-2所示。

    c2c71c5d7767f22a8313cf97b0cc8893.png

    图1-6-2 运行结果

    上面的4294967295就是十六进制里面的(FFFFFFFF)H,这个数转成原码,其实就是-1。上例中我们可以得出一个结论,一个数的正负性,和它内部存储器上的内容无关,只和编译器想要它变成正数还是变成负数有关。

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  • 最近在学习C语言,碰到了这些概念,花费了一下午的...1+1=10(向高位进1,就是10进制,满10进1 一样的运算) 0 进位为1 减法 0-0=0 1-0=1 1-1=0 0-1=1(向高位借位) 乘法:0 * 0 = 0,0 * 1 = 0,1 * 0 = 0,1 * 1...
  • 为了使减法运算变成加法运算,并进一步简化计算机中运算单元的电路设计,所有这些转换都是在计算机的底层进行的,而我们使用的汇编语言、C语言和其他高级语言都使用原始代码。得到补码,使负数成为可加的正数。因此...
  • C语言运算

    千次阅读 2016-11-14 18:03:07
    举例来说,“不用加法实现加法”、“不用减法实现减法”、“求一个整数的二进制中1的个数”、“实现bitmap”……  下面是我以C语言为基础总结的位运算的一些细小知识点,后面附有上述问题的解决代码,希望对初学...
  • 一、异或运算简介异或运算一般指异或。异或(xor)是一个数学运算符。...异或也叫半加运算,其运算法则相当于不带进位的二进制加法:二进制下用1表示真,0表示假,则异或的运算法则为:0⊕0=0,1⊕0=1,0⊕1=1,...
  • C语言中无符号数运算判断溢出

    千次阅读 2012-10-01 10:16:43
    对于无符号加法运算,当执行C程序时,不会将溢出作为错误而发信号。例如要计算s = x + y;如果溢出则会得到结果s = (x + y) %2w或者s = x + y - 2w(w 是机器中无符号的最大二进制位数)。又因为x w且y w,所以可以用...
  • 数字在计算机三的二进制表现形式、可以理解为原码 4.真数 机器数对应的10进制数,例如 机器数:01101对应的真数就是+1101 5.原码 计算机中对二进制的表示方式,首位表示正负,0正,1负 6.反码 为了解决负数的加法...
  • 第一章 计算机系统概论1.1电子...程序和数据以同等地位存于存储器,以二进制码表示,可按地址寻访; (3)指令由操作码和地址码组成; (4)指令在存储器中按执行顺序存放,由指令计数器指明执行指令的存放地址; ...
  • C语言教材1.doc

    2020-03-23 17:53:06
    PAGE PAGE 1 C语言概述 HYPERLINK 1.1 进制及其相互转换 HYPERLINK 1.2 C语言环境介绍简介 HYPERLINK 1.3 C语言语法简介 HYPERLINK 1.4 C语言数据类型 1.1 进制及其相互转换 考点 1 进制的构成 2 进制间的相互转换 ...
  • 初识c语言

    2021-01-01 11:49:48
    二进制语言编程很难,科学家就发明了助记符,举例: 1001用ADD来表示,ADD代表加法运算,ADD就是助记符,来帮助编程人员记住1001(注意这里只是举例,并不代表1001就是ADD)。用各种助记符组合而成可实
  • GF(2^8)这是啥我就不多做解释了,某度某科与各位大佬的...因为是二进制上的转化,所以我们可以先将输入的两个十六进制串转化为二进制,转化完后对它们进行乘法运算(下面会有样例)得到多项式mx,然后找到最高幂的...
  • 首先我们可以分析人们是如何做十进制加法的,比如是如何得出5+17=22这个结果的。实际上,我们可以分成三步的:第一步只做各位相加不进位,此时相加的结果是12(个位数5和7相加不要进位是2,十位数0和1相加结果是1...
  • 原因就在于计算机内部的加减乘除运算是通过加法二进制运算来完成的,而二进制是无法准确表示一个浮点数的,只能在有限的精度内逼近这个值。 因此我们可以通过把一些数据扩大一定的倍数进行运算,最后再除去扩大的...
  • 本课程规定,赋值从00…0开始,然后按二进制加法依次写出各赋值,直到11…1为止。 (2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次。 (3) 对应各个赋值计算出各层次的真值,直到最后计算出公式的真值。  实验要求和说明:...
  • 异或运算

    2014-11-17 17:58:00
    异或运算法则与无进位的二进制加法一致:0^0=0,1^0=1,0^1=1,1^1=0(同为0,异为1), 其逻辑表达 式为A XOR B=A'B + AB' 对任意元素a, 令其二进制位第k位为a[k], 真值表: a[k] b[k] XOR .....
  • 写在最前面: ...对于C /C++,它们的数据类型有限,int最大为2^31 -1, 大约十亿,long long最多是2^63-1,十进制也就十位左右。 但是,如果一个数超过了20位,甚至一百位,两百位,那么这些基本的数据
  • C语言复习2之位操作

    2017-08-09 16:00:41
    在现代架构中, 情况并非如此:位运算的运算速度通常与加法运算相同(仍然快于乘法运算)。位运算符 取反(~)是一元运算符, 对一个二进制数的每一位执行逻辑反操作。使数字1成为0, 0成为1。 按...
  • 首先是整数,使用了这么多的C语言之后,每当在使用整数之时都会将其想象成二进制的存在,而不是十进制。原因在于,这是程序的本质所在,稍有研究编译器工作原理的都会发现,在编译器处理乘法乃至除法的时候,优秀的...

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